二次根式复习课件

a 2 与 a2 的联系：仅当 a≥ 0 时，有 a 2＝ a2.



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考点三
二次根式的化简
例 3 设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 0.54，则下 列表示正确的是( C ) A．0.03ab B．3ab
C．0.1ab3 D．0.1a3b
[解析] C
易错方法点拨 1．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根 式． 2．在二次根式的运算中，要灵活运用乘法公式．
1 1 1 a b ＋ 3．(a＋b)÷ d＝(a＋b)·＝ ＋ ，但 d÷ (a＋b)≠d· a b . d d d
0.54＝
9×6 32· 3· 2 54 54 ＝ ＝ ＝ ，因为 100 10 10 10


ab3 2＝a， 3＝b，所以 0.54＝ ＝0.1ab3，故答案为 C. 10
方法点拨 1． 化简二次根式时注意 ab＝ a· b(a≥0， b≥0)和 (a≥0，b>0)的综合运用． 2．整体代换或转化等数学思想的应用． a a ＝ b b
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念
一般地，形如
a
(a≥ 0)的式子叫做二次根式；
(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数． (2) a是非负数，即 a≥ 0. [易错点 ] (1)二次根式中， 被开方数一定是非负数， 否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝ 3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
2．二次根式的性质 ( a)2＝
a
(a≥0)
2 ； a ＝a＝
a
a>0， 0 a＝0， -a a<0.
3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含
分母
；Hale Waihona Puke Baidu
(2)被开方数中不含能
开得尽方
的因数或因式．
4．二次根式的运算 a· b＝ b>0)． 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ， 再将
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考点二
二次根式性质的运用
例 2 如图 21－1 所示是实数 a、 b 在数轴上的位置， 化简： a2 － b2－ a－b2.

图 21－1
[解析] 解决此问题需要确定a、b及a－b的正负．
解：根据实数 a、b 在数轴上的位置可知 a<0，b>0，所以 a－b<0，所以 a2 － b 2－ a－b2 ＝ |a|－ b － |a － b|＝－ a－ b－[－ (a－ b)] ＝－a－b＋a－b＝－2b.
因此要使 x＋2＋ (y － 3)2 ＝ 0
x＋2＝0， 成立，必须满足 y－ 3＝0，
x＝－2， 解得 y＝ 3，
所以 xy＝－2 3.
方法技巧
a ≥0， a2≥0.如果 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，
若干个非负数的和为 0， 那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一．
ab
a (a≥0，b≥0)； ＝ b
a b
(a≥0，
被开方数相同
的二次根式进行合并．
┃考点攻略┃
► 考点一
例 1 ________．
[答案] －2 3
二次根式的非负性
若实数 x，y 满足 x＋2＋(y－ 3)2＝0，则 xy 的值是
[解析 ]
x＋2≥0， 因为 2 y － 3 ≥0，
3 5 解：(1)原式＝－ × ×2 10 3
5ab 2ac 15bc · · c b a
＝－ 5×2×15×3abc＝－5 6abc. (2)原式＝[1－( 3－ 2)]· [1＋( 3－ 2)]＝1－( 3－ 2)2 ＝1－( 3)2＋2· 3· 2－( 2)2＝1－3＋2 6－2＝2 6－4.
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考点四
二次根式的运算
例 4 计算下列各题： 3 (1) 10 5ab 5 · c 3 2ac · －2 b 15bc ； a
(2)(1－ 3＋ 2)(1＋ 3－ 2)．
[解析] 两个以上的二次根式相乘与两个二次根式相乘的方 法一样，把它们的系数、被开方数分别相乘，根指数不变．

易混辨析

a 2 与 a2 的区别：(1)表示的意义不同 . a 2 表示非负实数 a



的算术平方根的平方； a2 表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运 算的顺序不同. a 2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行 平方运算； 而 a2则是先求实数 a 的平方， 再求 a2 的算术平方根． (3) 取值范围不同． 在 a 2 中， a 只能取非负实数， 即 a≥0； 而在 a2 中， a 可以取一切实数．