二重积分的概念与性质
二重积分基础数学资料
用若干个小平 顶柱体体积之 和近似曲顶柱 体的体积，
曲顶柱体的体积
先分割曲顶柱体的底，
积分区域
积分和
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
2、二重积分的概念
性质１
性质２
（——与定积分有类似的性质）
3、二重积分的性质
性质３
性质４
4、二重积分的几何意义
例 求
，其中区域
为由直线
所围区域。
答案：2
区域的特征，其次需要考虑被积函数
的特点，在积分区域中为二次积分即两个定积分来计算。
例 计算二重积分
其中
区域
一、在直角坐标系下计算
1、积分区域为矩形域
例 计算二重积分
其中
答案：
二重积分的计算 (D是矩形区域)
y
0
x
z
y
a
b
c
d
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
输出：ans= 3
所围成的区域。
例
解：
X-型
例 计算二重积分
是由直线
所围成的
闭区域。
答案：
例 计算 其中D是由直线
解法1 把D看成X型域,则
y=1, x=2 及 y=x 所围区域.
解法2 把D看成Y型域，则
要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.
第一节 二重积分的概念和性质
1、问题的提出 2、二重积分的概念 3、二重积分的性质 4、二重积分的几何意义
第七章 二重积分
柱体体积=底面积×
二重积分的概念与性质
b
n
f (i )xi ———积分和.
i 1
n
下页
二、定积分定义
定积分的定义
lim f (i )xi . a f (x)dx 0
i1
b
n
根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为 A f (x)dx . a 变速直线运动的路程为 S T v(t)dt .
i 1 i 1 b n n b
下页
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直 线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x) 及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
0 i 1
n
A lim f ( i )xi .
0 i 1
n
下页
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1< i<ti ); (3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
b
a f (x)dx a g(x)dx (a<b).
•推论2 | f (x)dx | | f (x) | dx (a<b). a a •性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最 小值, 则
b b
b
b
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分的概念与性质
(2)二重积分与被积函数和积分区域有关，与积分变量 的表示无关。即
f x, ydxdy f u,vdudv
D
D
(3)二重积分的几何意义：若f(x, y)0,二重积分表示以 f(x, y)为曲顶，以Байду номын сангаас为底的曲顶柱体的体积；若f(x, y)0,二 重积分表示曲顶柱体的体积的负值；当f(x, y)有正、有负时， 二重积分就等于这些区域上柱体体积的代数和。
存在，则称此极限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分，记作
f x, yd ，即
D
n
D
f x, yd
lim 0 i1
f
i ,i k
关于二重积分的几点说明: (1)当f(x, y)在闭区域D上连续时， f(x, y) 在D上的二重积 分必定存在。以后总假定f(x, y)在D上连续。
高等数学
二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义
定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数．将D任意分成 n个小区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，小区域Δσi的面积仍记为
n
Δσi．在Δσi内任取一点(ξi, ηi)，作和式 f (i ，i )i 。 i 1
如果当各小区域中的最大直径λ趋于零时，若此和式的极限
f x, yd f x, yd f x, yd
D
D1
D2
性质4 若在D上，f(x, y)=1，σ为区域D的面积，则
1d = d
D
D
性质5 若在D上，f(x, y) σ(x, y)，则有不等式
f x, yd x, yd
D
D
特殊地,由于-|f(x, y)| f(x, y) |-f(x, y)| ， 又有
二、二重积分的性质
10.1二重积分的概念与性质
24
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
25
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
26
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
∴
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ D
D
f ( x, y) dσ
17
性质5 性质5 估值性质
设f ( x , y )在有界闭区域D上的最大值为M，最小值
为m，σ 是D的面积，则有
mσ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ .
D
性质6 (二重积分的中值定理 性质6 (二重积分的中值定理) 二重积分的中值定理)
若f ( x , y )在闭区域D上连续，σ 是D的面积，则在
D上至少存在一点(ξ ,η )，使得
∫∫ f ( x , y )dσ =
D
f (ξ ,η )σ .
18
∫∫ f ( x , y )dσ =
D
f (ξ ,η )σ .
由性质6 可知, 证明 由性质6 可知, 1 m ≤ ∫∫ f (x, y)dσ ≤ M
V = lim∑ f (ξi , ηi )∆σi
λ→0
i =1
n
平面薄片的质量: 平面薄片的质量:
M = lim∑µ(ξi , ηi )∆σi
λ→0
i =1
11
n
2. 二重积分的定义 定义 设 (x, y) 是定义在有界区域 D上的有界函数 , f 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点
二重积分的概念及性质
积分区域的可加性
该性质可以用于简 化复杂的积分区域， 将复杂区域分解为 简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则 它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二 重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边 形，然后计算每个小区域的面积并求和。 二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维 平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区 域围成的区域的面积的负值。 二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个 函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成 的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区 域上的二重积分值。
转换坐标 将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。 分层积分 将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。 逐个计算 对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。 得出结果 将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。 极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干 个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果 相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
二重积分
x
f ( x , y )dxdy 0 [0 D
1
2 2
y
f ( x , y )dx ]dy
1 y 2 2 f ( x , y )dx dy 0 2
f ( x , y )dxdy 0 [0 D
1
2 2
y
f ( x , y )dx ]dy
这里A为D的面积.
1 d A ，
D
性质4 若 f ( x, y) g( x, y) ,( x, y) D ,则
f ( x , y ) d g( x , y ) d
D D
推论：
f ( x, y ) d
D D
f ( x , y ) d .
性质5
f ( x , y ) 称为被积函数 ,
n
x , y 称为积分变量 ,
f ( x, y )d 称为被积表达式 , d 称为面ห้องสมุดไป่ตู้元素 ,
f ( xi , yi ) i 称为积分和 . i 1
f ( x, y )d lim f ( xi , yi ) i . d 0 i 1 D
y 2 ( x )
D
y 1 ( x )
a
b
D
y 1 ( x )
a
b
则 f ( x, y )dxdy
b
2 ( x )
D
a
1 ( x )
f ( x, y ) dy dx
dx
a
b
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y ) dy .
关于二元函数 f ( x, y ) 的可积性 , 有以下结论成立:
二重积分的概念与性质word资料6页
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and ItsProperties)一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)ii n σ∆=L 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by(1,2,)i i n σ∆=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, thereexists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=⎰⎰,or 01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分的概念与性质
四、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
二重积分的性质（7条性质） 二重积分的性质
∫∫ f ( x , y )dσ = D
f ( ξ , η) σ
（二重积分中值定理） 二重积分中值定理）
利用二重积分的几何意义， 例2 利用二重积分的几何意义，确定下列二重积分 的值： 的值：
∫∫
D
4 x y dxdy , 其其 D = {( x , y ) x + y ≤ 2}
2 2 2 2
= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
性质３ 性质３ 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D1 D2
性质４ 性质４ 若 σ 为D的面面积 σ
D D
性质５ 若在D上 性质５ 若在 上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有 ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
练习： 练习：
比较下列各组积分的大小： 比较下列各组积分的大小：
(1) I 1 = ∫∫ ( x + y )2 dxdy , I 2 = ∫∫ ( x + y )3 dxdy
分割、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 取极限”的方法，如下动画演示． 、取极限”的方法，如下动画演示．
分割、近似、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分的概念与性质
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分的概念和性质
f (x, y)dxdy 即
R
f (x, y)d f (x, y)dxdy
R
R
⑵根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积是：
V f (x, y)d
R
⑶函数 f (x, y) 在闭区域 R 上连续，则 f (x, y) 在 R 上
的二重积分必定存在.
⑷二重积分仅与积分区域R 和 f (x, y) 有关，而与对 区域 R 的分法和(i ,i ) 的取法无关.
平顶柱 体的体积
=底面积（区域 D的面积）×高（ z f (x, y) 为常数）
请回忆在微积分上册解决曲边梯形面积的思想分析方法
z
z
x
D
y
x
i
D
y
(i ,i )
曲顶柱体体积 V ：
⑴分割：D 1 2 n
V V1 V2 Vn
i 为 Vi 的窄条曲顶柱体的底，d i 为 i 的直径
R
R {(x, y) 0 x 2,0 y 4}
解：⑴在区域R上有：0 xy 2 （此处严格的找法
应该按照二元函数在有界闭区域上最值的找法 去做），根据积分性质
0 SR 2xyd 4 SR
R
而 SR 2 ，所以：
0 xyd 8
R
⑵的解法同⑴
例3：试将下列区域 R 用 x, y 的不等式组形式表示 出来，并写成集合形式
⑴
y 2x yx
R
R (x, y) 0 x 2, x y 2x
⑵
y x2 / 4 1
y 2x
R
6
2
2
x2
R
第十章二重积分
d
d c
x2 ( y) x1 ( y )
f ( x, y )dx dy f ( x, y )dx.
d x2 ( y) dy x ( y ) c 1
(4)
即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.
x2 ( y ) 先对x积分时，x ( y ) 1
f ( x, y )dx中的y应视为常量，
D
为该曲顶柱体的体积.
(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些
子区域上为负的，则 f ( x, y )d 表示在这些子区域
D
上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶
柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
二重积分的存在定理
若f(x,y)在有界闭区域D上连
续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必 可积).
二重积分 f ( x, y )d 的几何意义： (1) 若在D上f(x,y)≥0，则 f ( x, y )d 表示以区域D为底，
以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积. (2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下
D D
方，二重积分 f ( x, y )d 的值是负的，其绝对值
性质1有限个可积函数的代数和必定可积且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和即性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号前面性质3若d可以分为两个区域d它们除边界外无公共点则性质4若在积分区域d上有fxy1且用sd表示区域d的面积则性质5若在d上处处有fxygxy则有性质7二重积分中值定理设fxy在有界闭区域d上连续则在d上存在一点成立
f ( x, y )dy 时，应将x视为常
二重积分变换次序
二重积分变换次序（原创实用版）目录一、二重积分的概念与性质二、二重积分的积分次序三、交换积分次序的依据四、实际应用案例正文一、二重积分的概念与性质二重积分是多元函数积分中的一种，它是对一个函数在空间中曲面上的取值进行积分。
假设函数 f(x,y) 在区域 D 上有界，D 的边界是由曲线 C1 和 C2 围成的，那么我们可以对 f(x,y) 在 D 上进行二重积分。
二重积分的定义为：∫∫_D f(x,y) dxdy根据积分区域的不同，二重积分可以分为两类：第一类是区域 D 由两个相交的曲线围成；第二类是区域 D 由两个平行的曲线围成。
二重积分具有以下性质：1.线性性质：如果 F(x,y) 是由两个函数相加或相乘得到，那么对F(x,y) 进行二重积分，结果等于各个函数二重积分的线性组合。
2.保号性：如果 f(x,y) 在区域 D 上非负，那么∫∫_D f(x,y) dxdy ≥ 0。
二、二重积分的积分次序在计算二重积分时，我们需要按照一定的次序进行积分。
通常的做法是先对 x 进行积分，再对 y 进行积分，即：∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫[∫_C f(x,y) dy] dx这里，我们首先对曲线 C1 上的 y 进行积分，然后再对曲线 C2 上的 x 进行积分。
三、交换积分次序的依据在实际计算过程中，我们可以根据需要交换积分次序。
依据是积分的可交换性，即：∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫[∫_C f(x,y) dy] dx = ∫[∫_C f(y,x) dx] dy这里，我们对 x 和 y 的积分次序进行了交换。
交换积分次序可以简化计算过程，但需要保证积分区域和被积函数的连续性。
四、实际应用案例二重积分在实际问题中有广泛应用，例如求解几何体的表面积、物体的重心、质心等。
例如，求解一个圆柱体的表面积，我们可以通过计算其侧面积和两个底面积的和得到。
圆柱体的侧面积计算公式为：∫∫_D y dxdy，其中 D 为 [0,2π]×[0,h]。
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步骤如下
z
①分割：先分割曲顶柱体 的底，并取典型小区域，
②取近似、 ③求和：用若干
个小平顶柱体体积之和近似 o
表示曲顶柱体的体积，
④取极限：
x
D
得曲顶柱体的体积
n
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
f (i , i )
6/24
D
D1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 I f ( x, y)d 0
D
22/24
y
D1
oD x
当区域关于y轴对称, 函数关于变量x有奇偶性时有类似结果.
2. 若D关于原点对称,
(1) f ( x, y) f ( x, y), I 0
(2) f ( x, y) f ( x, y), I 2 2
体积元素 dV A(x)dx
体积为
bx
b
V a A(x)dx
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一、利用直角坐标系计算二重积分
1. [预备知识]
(1)［X－型域］
a x b, 1(x) y 2(x).
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数 1(、x) 在2(x区) 间 上[a连,b续] .
区域D相同，则比较被积函数的大小
因 0 < y <1, 故
y2
y
1
y2
;
y 1
又因 x3 0, 故在D上有
D
y
1 2
x3
y x3
y2x3
ox
[补充]在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性
1. 设函数
在闭区域D上连续, D关于x 轴对称,
D 位于x 轴上方的部分为D1 ,在D上
(1) f ( x , y) f ( x, y),则 I f ( x, y)d 2 f ( x, y)d
四、小结
24/24
二重积分的定义 （积分和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的物理意义（平面薄片的质量） 二重积分的性质（7条）
[二重积分的比较大小] 1.若区域D相同，则比较被积函数的大小； 2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.
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26/24
§10.2 二重积分的计算法（一）
D
D
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
解Ⅰ 积分域D 的边界为圆周
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作业题、课后习题
y
1
D
o 1 2 3x x y 1
它与x 轴交于点(1,0) ,
而区域D位
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
( x y)2 ( x y)3
(x y)2 d (x y)3 d
二重积分估值不等式
性质7 设函数 f (x, y)在闭区域 D上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得
f (x, y)d f ( ,)
D
二重积分中值定理
几何意义 曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积
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以下仅证性质7（中值定理）
证明
f (x, y)是有界闭域 D上的连续函数
(1,0),(1,1), (2,0).
课后习题
解 在 D 内有 1 x y 2 e,
y
故 0 ln(x y) 1,
于是 ln(x y) ln(x y)2,
1
x y2
D
o
12x
x y1
因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .
3.【二重积分的几何意义】
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体
1)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体的体积.
积 的
D
2)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体体积的负值.
代 数
D
3)若 f ( x, y) 1 , 1 d 表区域D的面积.
D
D
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练
机动
1. 习比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d xd y ； I3 xy dxdy
x y 1
1 x1 1 y1
[提示] 被积函数相同，则比较区域D的大小. y
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o
1x
的取法无关
(2)存在条件（充分条件）
当 f ( x, y)在有界闭区域上连续时，定义中和式的极
限必存在，即二重积分必存在. 以后总假定 f ( x, y)在所论有界闭域 D上连续
从而二重积分都是存在的.
(3) f (x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件. 连续是二重积分存在的充分条件
(证明略)
D1
D2
D2为y轴右方的部分
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[例如]
在第一象限部分, 则有
2 ( x2 y2 )dxdy ；
D上
4 ( x2 y2 )dxdy ；
D1
y
D1
o
x
(2) ( x y)dxdy xdxdy ydxdy 0
D
D
D
说明
利用对称性简化运算时要特别考虑两方面 ①被积函数的奇偶性 ②积分区域的对称性
答： “分割,取近似,求和, 取极限”
b f xdx lim n
a
d 0 k1
f k xk
（3）如何计算定积分？
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问题:
现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题
所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关
推广
被积函数 二元函数 三元函数
积分范围 平面区域 空间区域 一段曲线 一片曲面
一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题
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复习与回顾
n
(1)二重积分
D
f (x, y)d
lim 0 i1
f (i ,i )i
(2)回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为: A(x)
oa
A(x)
x x dx
特殊地
则有 f (x, y)d g(x, y)d .
D
D
f (x, y)d f (x, y) d.
D
D
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性质6 设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f (x, y)d M
D
必有最大、最小值 M、m
由估值性质得
由于 0
m f (x, y)d M
m
1
D
D
f
(x, y)d
M
据有界闭域上的连续函数的介值定理
在D上至少存在一点 ( ,), 使得
1
D
f
(x, y)d
f
( ,)
变形后
【得证】
例1 比较下列积分的大小:
(x y)2 d , (x y)3 d
D
D
解Ⅱ 见作业答案解法或有关习题解答
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例2 不作计算，估计 I e(x2y2 )d 的值，
D
其中
D
是椭圆闭区域：
x a
2 2
y2 b2
1
(0 b a).
解 区域 D 的面积 abπ
在D上 0 x2 y2 a2,
1 e0 ex2 y2 ea2 ,
⑴分割：将薄片分割成若干小块， y
⑵近似：取典型小块，将其近似
(i ,i )
•
看作均匀薄片，
⑶求和：所有小块质量之和
i
近似等于薄片总质量
o
x
n
⑷ 取极限：得薄片总质量
M
lim
0
i 1
( i
,i
) i
.
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同
“分割, 取近似, 求和, 取极限”
z
和
a
D
几个特殊结果 (1) kd k ；
D
(2)
a2 x2 y2d 2 π a3 ；
x2 y2a2
3
y
a
x x2 y2 a2
z
(3)
(1 x y)d 1 .
x y1,x0, y0
6
1 z 1 x y
4.【物理意义】 ( x, y)d 在物理上表示 x 1 D
D
D
D
线性性质可以推广至有限个函数的情形。
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性质3 对区域具有可加性
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d.
D
D1
D2
性质4 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质5 若在D上 f (x, y) g(x, y), 比较性质
(2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
n
V
lim 0
i 1
f (i , i ) i
平面薄片的质量:
n
MHale Waihona Puke lim 0
i 1
(i , i ) i