二重积分的概念与性质

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第一节 二重积分的概念与性质
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题
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复习和总结
定积分
b
a
f

x
dx
（1）定积分是用来解决哪一类问题？
答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题 被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间
（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？
一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题
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复习与回顾
n
(1)二重积分
D
f (x, y)d
lim 0 i1
f (i ,i )i
(2)回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为: A(x)
oa
A(x)
x x dx
由性质 6 知 e d (x2 y2 ) ea2 ,
D
abπ e d (x2 y2 ) abπ ea2 .
D
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例3 比较积分 ln(x y)d 与[ln(x y)]2d
D
D
的大小,其中 D 是三角形闭区域 ,三顶点各为
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y) 在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
2.【对二重积分定义的说明】
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(1)积分存在时，其值与区域的分法和点
？ 不能 用 i 0 代替 0
D
D
D
线性性质可以推广至有限个函数的情形。
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性质3 对区域具有可加性
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d.
D
D1
D2
性质4 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质5 若在D上 f (x, y) g(x, y), 比较性质
3.【二重积分的几何意义】
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体
1)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体的体积.
积 的
D
2)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体体积的负值.
代 数
D
3)若 f ( x, y) 1 , 1 d 表区域D的面积.
D
D
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
解Ⅰ 积分域D 的边界为圆周
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作业题、课后习题
y
1
D
o 1 2 3x x y 1
它与x 轴交于点(1,0) ,
而区域D位
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
( x y)2 ( x y)3
(x y)2 d (x y)3 d
二重积分估值不等式
性质7 设函数 f (x, y)在闭区域 D上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得
f (x, y)d f ( ,)
D
二重积分中值定理
几何意义 曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积
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以下仅证性质7（中值定理）
证明
f (x, y)是有界闭域 D上的连续函数
I2 I1 I3
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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 yx3 d ,
D
的大小顺序为 ( D )
I3
y
1 2
x3
d
D
提示
( A) I1 I2 I3; (C) I3 I2 I1 ;
(B) I2 I1 I3 ; (D) I3 I1 I2 .
(1,0),(1,1), (2,0).
课后习题
解 在 D 内有 1 x y 2 e,
y
故 0 ln(x y) 1,
于是 ln(x y) ln(x y)2,
1
x y2
D
o
12x
x y1
因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .
D
D
解Ⅱ 见作业答案解法或有关习题解答
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例2 不作计算，估计 I e(x2y2 )d 的值，
D
其中
D
是椭圆闭区域：
x a
2 2

y2 b2
1
(0 b a).
解 区域 D 的面积 abπ
在D上 0 x2 y2 a2,
1 e0 ex2 y2 ea2 ,
的取法无关
(2)存在条件（充分条件）
当 f ( x, y)在有界闭区域上连续时，定义中和式的极
限必存在，即二重积分必存在. 以后总假定 f ( x, y)在所论有界闭域 D上连续
从而二重积分都是存在的.
(3) f (x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件. 连续是二重积分存在的充分条件
(证明略)
1y
D
面密度为f (x, y)占有平面区域D的平面薄片的质量
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[注] 1. 重积分与定积分的区别：
重积分中d 0,定积分中dx 可正可负.
2. 根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系 下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D
即 x 常数 , y 常数
y
则直角坐标系下面积元素为 d dxdy
z
和
a
D
几个特殊结果 (1) kd k ；
D
(2)
a2 x2 y2d 2 π a3 ；
x2 y2a2
3
y
a
x x2 y2 a2
z
(3)
(1 x y)d 1 .
x y1,x0, y0
6
1 z 1 x y
4.【物理意义】 ( x, y)d 在物理上表示 x 1 D
积分类型 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
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一、问题的提出——引例
1．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 【特点】平顶.
z f (x, y)
柱体体积=？
【特点】曲顶.
D
D
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给定曲顶柱体: 底：xoy 面上的闭区域D
D
顶: 连续曲面 侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面 求其体积. 解法 类似定积分解决问题的思想:
D
故二重积分可写为 f (x, y)d f (x, y)dxdy o
x
D
D
引例1中曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
引例2中平面薄板的质量:
M D ( x, y)d D ( x, y)d x d y
特殊地
则有 f (x, y)d g(x, y)d .
D
D
f (x, y)d f (x, y) d.
D
D
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性质6 设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f (x, y)d M
D
答： “分割,取近似,求和, 取极限”
b f xdx lim n
a
d 0 k1
f k xk
（3）如何计算定积分？
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问题:
现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题
所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关
推广
被积函数 二元函数 三元函数
积分范围 平面区域 空间区域 一段曲线 一片曲面
D1
D2
D2为y轴右方的部分
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[例如]
在第一象限部分, 则有
2 ( x2 y2 )dxdy ；
D上
4 ( x2 y2 )dxdy ；
D1
y
D1
o
x
(2) ( x y)dxdy xdxdy ydxdy 0
D
D
D
说明
利用对称性简化运算时要特别考虑两方面 ①被积函数的奇偶性 ②积分区域的对称性
(2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
n
V
lim 0
i 1
f (i , i ) i
平面薄片的质量:
n
M

lim
0
i 1
(i , i ) i
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二、二重积分的定义及可积性
1.定义 设 f (x, y) 是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
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三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质1
kf (x, y)d k f (x, y)d .
D
D
性质2 线性性质
[ f (x, y) g(x, y)]d
D
f (x, y)d g(x, y)d .
D
D
逐项积分
[kf (x, y) mg(x, y)]d k f (x, y)d m g(x, y)d
D
D1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 I f ( x, y)d 0
D
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y
D1
oD x
当区域关于y轴对称, 函数关于变量x有奇偶性时有类似结果.
2. 若D关于原点对称,
(1) f ( x, y) f ( x, y), I 0
(2) f ( x, y) f ( x, y), I 2 2
四、小结
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二重积分的定义 （积分和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的物理意义（平面薄片的质量） 二重积分的性质（7条）
[二重积分的比较大小] 1.若区域D相同，则比较被积函数的大小； 2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.
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§10.2 二重积分的计算法（一）
必有最大、最小值 M、m
由估值性质得
由于 0
m f (x, y)d M
m
来自百度文库1

D

D
f
(x, y)d

M
据有界闭域上的连续函数的介值定理
在D上至少存在一点 ( ,), 使得
1


D
f
(x, y)d

f
( ,)
变形后
【得证】
例1 比较下列积分的大小:
(x y)2 d , (x y)3 d
z f (x, y)
y
(i ,i )
•
i
(i ,i )
i
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2．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，在点
( x, y)处的面密度为( x, y)，假定( x, y)在 D上连续，
平面薄片的质量为多少？
分 =常数时，质量= · ，其中 为面积. 若析为非常数，仍可用“分割, 取近似, 求和, 取极限”解决.
“分割, 取近似, 求和, 取极限”
步骤如下
z
①分割：先分割曲顶柱体 的底，并取典型小区域，
②取近似、 ③求和：用若干
个小平顶柱体体积之和近似 o
表示曲顶柱体的体积，
④取极限：
x
D
得曲顶柱体的体积
n
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
f (i , i )
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D
D
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练
机动
1. 习比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d xd y ； I3 xy dxdy
x y 1
1 x1 1 y1
[提示] 被积函数相同，则比较区域D的大小. y
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o
1x
体积元素 dV A(x)dx
体积为
bx
b
V a A(x)dx
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一、利用直角坐标系计算二重积分
1. [预备知识]
(1)［X－型域］
a x b, 1(x) y 2(x).
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数 1(、x) 在2(x区) 间 上[a连,b续] .
⑴分割：将薄片分割成若干小块， y
⑵近似：取典型小块，将其近似
(i ,i )
•
看作均匀薄片，
⑶求和：所有小块质量之和
i
近似等于薄片总质量
o
x
n
⑷ 取极限：得薄片总质量
M

lim
0
i 1
( i
,i
) i
.
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同
“分割, 取近似, 求和, 取极限”
区域D相同，则比较被积函数的大小
因 0 < y <1, 故
y2

y

1
y2
;
y 1
又因 x3 0, 故在D上有
D
y
1 2
x3

y x3

y2x3
ox
[补充]在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性
1. 设函数
在闭区域D上连续, D关于x 轴对称,
D 位于x 轴上方的部分为D1 ,在D上
(1) f ( x , y) f ( x, y),则 I f ( x, y)d 2 f ( x, y)d