第二节 完全剩余系

初等数论 第二章 同 余

第二节 完全剩余系

由带余数除法我们知道，对于给定的正整数m ，可以将所有的整数按照被m 除的余数分成m 类。本节将对此作进一步的研究。

一、知识与方法

定义1 给定正整数m ，对于每个整数i ，0 ≤ i ≤ m - 1，称集合

R i (m ) = { n |n ≡ i (mod m )，n ∈Z }

是模m 的一个剩余类。

显然，每个整数必定属于且仅属于某一个R i (m )（0 ≤ i ≤ m - 1），而且，属于同一剩余类的任何两个整数对模m 是同余的，不同剩余类中的任何两个整数对模m 是不同余的。 例如，模 5的五个剩余类是

R 0(5) = { , -10, -5, 0 , 5, 10, }，

R 1(5) = { , -9 , -4 , 1 , 6 , 11, }，

R 2(5) = { , -8 , -3 , 2 , 7 , 12, }，

R 3(5) = { , -7 , -2 , 3 , 8 , 13, }，

R 4(5) = { , -6 , -1 , 4 , 9 , 14, }。

定义2 设m 是正整数，从模m 的每一个剩余类中任取一个数x i （0 ≤ i ≤ m - 1），称集合{x 0, x 1, ,x m - 1}是模m 的一个完全剩余系（或简称为完全系）。

由于x i 的选取是任意的，所以模m 的完全剩余系有无穷多个，通常称

(ⅰ) {0, 1, 2, , m - 1}是模m 的最小非负完全剩余系；

(ⅱ) ）（当m m m |22

,,1,0,1,,12}{ -+-或 ）

（当m m m |22

1,,1,0,1,,21}{/---- ,是模m 的绝对最小完全剩余系。 例如，集合{0, 6, 7, 13, 24}是模5的一个完全剩余系，集合{0, 1, 2, 3, 4}是模5的最小非负完全剩余系。

定理1 整数集合A 是模m 的完全剩余系的充要条件是

(ⅰ) A 中含有m 个整数；

(ⅱ) A 中任何两个整数对模m 不同余。

【证明】

定理2 设m ≥ 1，a ，b 是整数，(a , m ) = 1，{x 1, x 2, , x m }是模m 的一个完全剩余系，则{ax 1 + b , ax 2 + b , , ax m + b }也是模m 的一个完全剩余系。

【证明】 由定理1，只需证明：若x i ≠ x j ，则ax i + b ≡/ax j + b (mod m )。

(1) 事实上，若ax i + b ≡ ax j + b (mod m )，

则ax i ≡ ax j (mod m )，

由此及第一节定理5得到x i ≡ x j (mod m )，因此x i = x j 。所以式(1)必定成立。证毕。 定理3 设m 1, m 2∈N ，A ∈Z ，(A , m 1) = 1，又设

},,,{},,,{212121m m y y y Y x x x X ==，，

分别是模m 1与模m 2的完全剩余系，则

R = { Ax + m 1y ；x ∈X ，y ∈Y }

是模m 1m 2的一个完全剩余系。

【证明】 由定理1只需证明：若x ', x ''∈X ，y ', y ''∈Y ，并且

Ax ' + m 1y ' ≡ Ax '' + m 1y '' (mod m 1m 2)， (2)

则 x ' = x ''，y ' = y ''

事实上，由第一节定理5及式(2)，有

Ax ' ≡ Ax '' (mod m 1) ⇒ x ' ≡ x '' (mod m 1) ⇒ x ' = x ''，

再由式(2)，又推出

m 1y ' ≡ m 1y '' (mod m 1m 2) ⇒ y ' ≡ y '' (mod m 2) ⇒ y ' = y '' 。

证毕。

推论 若m 1, m 2∈N ，(m 1, m 2) = 1，则当x 1与x 2分别通过模m 1与模m 2的完全剩余系时，m 2x 1 + m 1x 2通过模m 1m 2的完全剩余系。

定理4 设m i ∈N （1 ≤ i ≤ n ），则当x i 通过模m i （1 ≤ i ≤ n ）的完全剩余系时，

x = x 1 + m 1x 2 + m 1m 2x 3 + + m 1m 2 m n - 1x n

通过模m 1m 2 m n 的完全剩余系。

【证明】 对n 施行归纳法。

当n = 2时，由定理3知定理结论成立。

假设定理结论当n = k 时成立，即当x i （2 ≤ i ≤ k + 1）分别通过模m i 的完全剩余系时，

y = x 2 + m 2x 3 + m 2m 3x 4 + + m 2 m k x k + 1

通过模m 2m 3 m k + 1的完全剩余系。由定理3，当x 1通过模m 1的完全剩余系，x i （2 ≤ i ≤ k +

1）通过模m i 的完全剩余系时，

x 1 + m 1y = x 1 + m 1(x 2 + m 2x 3 + + m 2 m k x k + 1)

= x 1 + m 1x 2 + m 1m 2x 3 + + m 1m 2 m k x k + 1

通过模m 1m 2 m k + 1的完全剩余系。即定理结论对于n = k + 1也成立。定理由归纳法得证。证毕。

定理5 设m i ∈N ，A i ∈Z （1 ≤ i ≤ n ），并且满足下面的条件：

(ⅰ) (m i , m j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ n ，i ≠ j ；

(ⅱ) (A i , m i ) = 1，1 ≤ i ≤ n ；

(ⅲ) m i ∣A j ，1 ≤ i , j ≤ n ，i ≠ j 。

则当x i （1 ≤ i ≤ n ）通过模m i 的完全剩余系X i 时，

y = A 1x 1 + A 2x 2 + + A n x n

通过模m 1m 2 m n 的完全剩余系。

【证明】由定理1只需证明：若x i ', x i ''∈X i ，1 ≤ i ≤ n ，则由

A 1x 1' + A 2x 2' + + A n x n ' ≡ A 1x 1'' + A 2x 2'' + + A n x n '' (mod m 1 m n ) (3)

可以得到x i ' = x i ''，1 ≤ i ≤ n 。

事实上，由条件(ⅲ)及式(3)易得，对于任意的i ，1 ≤ i ≤ n ，有

A i x i ' ≡ A i x i '' (mod m i )。

由此并利用条件(ⅱ)和第一节定理5推得

x i ' ≡ x i '' (mod m i )，因此x i ' = x i ''。证毕。

二、例题讲解

1.设A = {x 1, x 2, , x m }是模m 的一个完全剩余系，以{x }表示x 的小数部分

证明：若(a , m ) = 1，则∑=-=+m i i m m b ax 1)1(2

1}{

【证明】 当x 通过模m 的完全剩余系时，ax + b 也通过模m 的完全剩余系，

因此对于任意的i （1 ≤ i ≤ m ），ax i + b 一定与且只与某个整数j （1 ≤ j ≤ m ）同余，即存在整数k ，使得

ax i + b = km + j ，（1 ≤ j ≤ m ）

从而

212)1(11111111}{}{}{}{-=-⋅====+=+∑∑∑∑∑-===-==m m m m m j m j m j m j k m b ax m j m

i m j m j m j i

2.设p ≥ 5是素数，a ∈{ 2, 3, , p - 2 }，则在数列a ，2a ，3a ， ，(p - 1)a ，pa (4) 中有且仅有一个数b ，满足b ≡ 1 (mod p ) (5)

此外，若b = ka ，则k ≠ a ，k ∈{2, 3, , p - 2}。

【解答】

因为(a , p ) = 1，所以由定理2，式(4)中的数构成模p 的一个完全剩余系，因此必有数b 满足式(5)

设b = ka ，那么

(ⅰ) k ≠ a ，否则，b = a 2 ≡ 1 (mod p )，即p ∣(a + 1)(a - 1)，因此p ∣a - 1或p ∣a + 1，这与2 ≤ a ≤ p - 2矛盾；

(ⅱ) k ≠ 1，否则，b = 1⋅a ≡ 1 (mod p )，这与2 ≤ a ≤ p - 2矛盾；