氢原子的量子力学理论
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1
定态薛定谔方程
如势能函数不是时间的函数,用分离变量法将波函数 写为：
(rr , t) eiEt /h (rr )
定态波函数
得：定态薛定谔方程
h2 2m
2
U
(rr
)
(rr
)
E
(rr
)
2
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化为 折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题，从而给 出其薛定谔方程。
由此得到三个量子数 n、l、m 4
确定氢原子定态波函数的三个量子数n、l、m
（1）主量子数 n
En
mee4
2(4 0 )2
2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为： 1 e2
U
4 0 r 势能函数不显含时间，只需求解定态薛定谔方程
2 2 (r) 1 e2 (r) E (r)
2me
4 0 r
2
1 r2
r
r 2
r
1
s in
s in
1
sin 2
2
2
3
势能具有球对称性，采用球坐标系，这时方程可分离变量
23
当n=1,2,3时，电子的空间分布 | nlm (r) |2
24
25
26
氢原子的电子云的概率密度
27
氢原子电子云的完整图形
1s 电子云
28
氢原子电子云的完整图形
径向函数 球谐函数
6
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
7
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
氢原子的基态波函数：
100 (r)
1
er a0
a03 2
三个量子数n, l, m:
n：主量子数；
l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1,共n个值 m：磁量子数；
m 0, 1, 2,..., (l 1),共2l 1个值
通常，将 l = 0的态称为s态， l = 1, 2, 3,…的态
氢原子系统的轨道角动量的 z 分量 pz m
5
氢原子的能级和波函数
氢原子的能级
每一组量子数（nlm）对应一个确定的定态 能级只与主量子数 n 有关，与 lm 无关，能级是简并的。
n1
简并度 (2l 1) n2 l 0
氢原子的轨道角动量 角动量的分量总小于角动量本身
氢原子的定态波函数
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( ,) Rnl (r)lm ( )m ()
径向波函数用 nl 标记，l = 0，1，2，分别用 s，p，d表示
径向波函数的节点数为 n - l - 1
圆轨道：节点数为零的态
极大值对应玻尔半径
rn
n
a2
16 B
氢原子径向波函数
17
氢原子径向波函数
18
氢原子径向波函数
19
氢原子径向波函数
20
氢原子径向波函数
21
电子云
22
氢原子电子云
(r,,) R(r)( )()
d 2
d 2
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
来自百度文库
2me h2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
(单值、有限、连续)的非零解，
从角度表示电子云在空间的分布规律。
物理意义: 在(q,f)附近单位立体角内发现电子的概率 (r从0到∞)11
氢原子最低几条能级的归一化径向波函数
0
Rnl (r)
2 r2dr 1
n 1,
R10
2 a3/2
r
ea
n 2, R20
2 2a3/ 2
1
r 2a
e
r 2a
R21 2
2
r
r
(r)r2
8
定义 Wlm ( ,) 为电子的角分布:
Wlm ( ,)d
2
d
0
0
d
|
Rnl
(r)Ylm ( ,)
|2
r2
sin drd d
| Ylm ( , ) |2 d
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2 角量子数: l 0,1, 2,3,..., n 1,共n个值
9
13
电子云角向密度分布图
• 角向概率分布
2
Ylm
(
,
)
,
物理意义:
在(q,f)附近单位立 体角内发现电子的概 率 (r从0到∞)
14
Y00 2
粒子概率分布随角度的
变化|Ylm|2，与φ角无关
Y10 2
Y11 2
Y20 2
Y21 2
Y22 2
Y30 2
Y31 2
Y32 2
Y33 2
15
氢原子径向波函数
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了一个微 观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满足的方 程，称为薛定谔方程
ih
t
(rr , t )
h2 2m
2
U
(rr , t )
(rr
,t)
玻恩给出了波函数的概率解释
波函数的平方表征了t 时刻，空间(x,y,z)处
粒子出现的概率密度
e 2a
6a3/2 a
n 3,
R30 3
2 3a3/ 2
1
2r 3a
2r 2 27a2
r e 3a
R31 27
8 6a3/ 2
r 1
r
e
r 3a
a 6a
R32 81
4 30a3/ 2
r2 a2
r
e 3a
12
电子云径向密度分布图
• 径向概率分布
2
Rnl
(r)r 2
r
物理意义:
在半径为r到 r+dr的球壳内找到 电子的概率
Wnlm(r,,)r2 sindrdd |nlm(r,,) |2 r2 sindrdd
Wnl(r)为沿径向在r到r+dr之间发现电子的几率
Wnl (r)dr
2
d
0
0
d
|
Rnl
(r)Ylm ( ,)
|2
r2
sin drd d
R2 (r)r2dr nl
所以，电子的径向分布为
Wnl
(r)
R2 nl
依次称为 p, d, f, …态，处于这些态的电子依次称
为s, p, d, f,…电子。
10
• 电子波函数的径向分布和角分布
- 电子的径向分布作图 R2 (r)r2 r
nl
从径向表示电子云在空间的分布规律。
物理意义: 在半径为r到r+dr的球壳内找到电子的概率
- 电子的角分布作图
Ylm2 ( ,) ,
定态薛定谔方程
如势能函数不是时间的函数,用分离变量法将波函数 写为：
(rr , t) eiEt /h (rr )
定态波函数
得：定态薛定谔方程
h2 2m
2
U
(rr
)
(rr
)
E
(rr
)
2
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化为 折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题，从而给 出其薛定谔方程。
由此得到三个量子数 n、l、m 4
确定氢原子定态波函数的三个量子数n、l、m
（1）主量子数 n
En
mee4
2(4 0 )2
2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为： 1 e2
U
4 0 r 势能函数不显含时间，只需求解定态薛定谔方程
2 2 (r) 1 e2 (r) E (r)
2me
4 0 r
2
1 r2
r
r 2
r
1
s in
s in
1
sin 2
2
2
3
势能具有球对称性，采用球坐标系，这时方程可分离变量
23
当n=1,2,3时，电子的空间分布 | nlm (r) |2
24
25
26
氢原子的电子云的概率密度
27
氢原子电子云的完整图形
1s 电子云
28
氢原子电子云的完整图形
径向函数 球谐函数
6
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
7
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
氢原子的基态波函数：
100 (r)
1
er a0
a03 2
三个量子数n, l, m:
n：主量子数；
l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1,共n个值 m：磁量子数；
m 0, 1, 2,..., (l 1),共2l 1个值
通常，将 l = 0的态称为s态， l = 1, 2, 3,…的态
氢原子系统的轨道角动量的 z 分量 pz m
5
氢原子的能级和波函数
氢原子的能级
每一组量子数（nlm）对应一个确定的定态 能级只与主量子数 n 有关，与 lm 无关，能级是简并的。
n1
简并度 (2l 1) n2 l 0
氢原子的轨道角动量 角动量的分量总小于角动量本身
氢原子的定态波函数
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( ,) Rnl (r)lm ( )m ()
径向波函数用 nl 标记，l = 0，1，2，分别用 s，p，d表示
径向波函数的节点数为 n - l - 1
圆轨道：节点数为零的态
极大值对应玻尔半径
rn
n
a2
16 B
氢原子径向波函数
17
氢原子径向波函数
18
氢原子径向波函数
19
氢原子径向波函数
20
氢原子径向波函数
21
电子云
22
氢原子电子云
(r,,) R(r)( )()
d 2
d 2
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
来自百度文库
2me h2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
(单值、有限、连续)的非零解，
从角度表示电子云在空间的分布规律。
物理意义: 在(q,f)附近单位立体角内发现电子的概率 (r从0到∞)11
氢原子最低几条能级的归一化径向波函数
0
Rnl (r)
2 r2dr 1
n 1,
R10
2 a3/2
r
ea
n 2, R20
2 2a3/ 2
1
r 2a
e
r 2a
R21 2
2
r
r
(r)r2
8
定义 Wlm ( ,) 为电子的角分布:
Wlm ( ,)d
2
d
0
0
d
|
Rnl
(r)Ylm ( ,)
|2
r2
sin drd d
| Ylm ( , ) |2 d
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2 角量子数: l 0,1, 2,3,..., n 1,共n个值
9
13
电子云角向密度分布图
• 角向概率分布
2
Ylm
(
,
)
,
物理意义:
在(q,f)附近单位立 体角内发现电子的概 率 (r从0到∞)
14
Y00 2
粒子概率分布随角度的
变化|Ylm|2，与φ角无关
Y10 2
Y11 2
Y20 2
Y21 2
Y22 2
Y30 2
Y31 2
Y32 2
Y33 2
15
氢原子径向波函数
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了一个微 观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满足的方 程，称为薛定谔方程
ih
t
(rr , t )
h2 2m
2
U
(rr , t )
(rr
,t)
玻恩给出了波函数的概率解释
波函数的平方表征了t 时刻，空间(x,y,z)处
粒子出现的概率密度
e 2a
6a3/2 a
n 3,
R30 3
2 3a3/ 2
1
2r 3a
2r 2 27a2
r e 3a
R31 27
8 6a3/ 2
r 1
r
e
r 3a
a 6a
R32 81
4 30a3/ 2
r2 a2
r
e 3a
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电子云径向密度分布图
• 径向概率分布
2
Rnl
(r)r 2
r
物理意义:
在半径为r到 r+dr的球壳内找到 电子的概率
Wnlm(r,,)r2 sindrdd |nlm(r,,) |2 r2 sindrdd
Wnl(r)为沿径向在r到r+dr之间发现电子的几率
Wnl (r)dr
2
d
0
0
d
|
Rnl
(r)Ylm ( ,)
|2
r2
sin drd d
R2 (r)r2dr nl
所以，电子的径向分布为
Wnl
(r)
R2 nl
依次称为 p, d, f, …态，处于这些态的电子依次称
为s, p, d, f,…电子。
10
• 电子波函数的径向分布和角分布
- 电子的径向分布作图 R2 (r)r2 r
nl
从径向表示电子云在空间的分布规律。
物理意义: 在半径为r到r+dr的球壳内找到电子的概率
- 电子的角分布作图
Ylm2 ( ,) ,