高等数学微分方程试题及答案
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.
第九章 常微分方程
一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：
()()()()0≠=y Q y Q x P dx
dy
通解()
()⎰
⎰+=C dx x P y Q dy
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意
常数另外再加）
（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M
通解()()()()
C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221
()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程
⎪⎭
⎫
⎝⎛=x y f dx dy 令
u x y =， 则()u f dx
du
x u dx dy =+= ()c x c x
dx
u u f du +=+=-⎰⎰
||ln
二．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程
()0=+y x P dx
dy 它也是变量可分离方程，
通解()⎰-=dx
x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程
()()x Q y x P dx
dy
=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dx
x P e x C y 代入方程求出()x C 则得
()()()[]
⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P
3．伯努利方程
()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx
dy
令α
-=1y
z 把原方程化为
()()()()x Q z x P dx
dz
αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：
()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy
dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
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. 四．线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的
线性微分方程。
二阶齐次线性方程()()0=
+'
+''y
x
q
y
x
p
y（1）
二阶非齐次线性方程()()()x f
y
x
q
y
x
p
y=
+'
+''（2）
1．若()x
y
1
，()x
y
2
为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
()()x
y
C
x
y
C
2
2
1
1
+（
1
C，
2
C为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当
()()x
y
x
y
2
1
λ
≠（λ为常数），也即()x
y
1
与()x
y
2
线性无关时，则方程的通解
为()()x
y
C
x
y
C
y
2
2
1
1
+
=
2．若()x
y
1
，()x
y
2
为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x
y
x
y
2
1
-为
对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3．若()x y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()x y为对应的二阶齐次线性
方程的任意特解，则()()x y
x
y+为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()()x
y
C
x
y
C
2
2
1
1
+为对应的二
阶齐次线性方程的通解（
1
C，
2
C为独立的任意常数）则
()()()x
y
C
x
y
C
x
y
y
2
2
1
1
+
+
=是此二阶非齐次线性方程的通解。
5．设()x
y
1
与()x
y
2
分别是()()()x
f
y
x
q
y
x
p
y
1
=
+'
+''与
()()()x
f
y
x
q
y
x
p
y
2
=
+'
+''的特解，则()()x
y
x
y
2
1
+是
()()()()x
f
x
f
y
x
q
y
x
p
y
2
1
+
=
+'
+''的特解。
五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
1．二阶常系数齐次线性方程
=
+'
+''qy
y p
y其中p，q为常数，特征方程0
2=
+
+q
pλ
λ
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）特征方程有两个不同的实根
1
λ，
2
λ则方程的通解为x
x e
C
e
C
y2
1
2
1
λ
λ+
=
（2）特征方程有二重根
2
1
λ
λ=则方程的通解为()x e x
C
C
y1
2
1
λ
+
=
（3）特征方程有共轭复根β
αi±，则方程的通解为()x
C
x
C
e
y x sin
cos
2
1
β
β
α+
=
2．n阶常系数齐次线性方程
()()()0
1
2
2
1
1
=
+'
+
+
+
+
-
-
-y
p
y
p
y
p
y
p
y
n
n
n
n
n 其中()n
i
p
i
,
,2,1
=为常数。
相应的特征方程0
1
2
2
1
1
=
+
+
+
+
+
-
-
-
n
n
n
n
n p
p
p
pλ
λ
λ
λ
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（1）若特征方程有n个不同的实根
n
λ
λ
λ,
,
,
2
1
则方程通解
x
n
x
x n
e
C
e
C
e
C
yλ
λ
λ+
+
+
=
2
1
2
1
（2）若
λ为特征方程的k重实根()n
k≤则方程通解中含有
y=()x
k
k
e
x
C
x
C
C0
1
2
1
λ
-
+
+
+
（3）若β
αi±为特征方程的k重共轭复根()n
k≤
2，则方程通解中含有
()()
[]x
x
D
x
D
D
x
x
C
x
C
C
e k
k
k
k
x sin
cos1
2
1
1
2
1
β
β
α-
-+
+
+
+
+
+
+
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是
三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程
的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。