第三节 圆的方程-高考状元之路
【瀚海导航】高考数学总复习第十单元 第三节 圆的方程课件
分运用圆的几何性质，以简化运算
3．在讨论含有字母参数度量的圆的方程问题时，始终要把 “方程表示圆的条件”作为首要条件．
4．点与圆的位置关系有三种情况：点在圆内、点在圆上、点
在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关 系：d<r时，点在圆内；d＝r时，点在圆上；d>r时，点在
(1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程．
分析 抛物线，圆与坐标轴有共同的交点，充分利用这一
条件，把所求与已知联系起来．
解 (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0， 由题意得b≠0且Δ＝4－4b>0，解得b<1且b≠0.6分
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程， 故D＝2，F＝b.9分 令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0. 此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1. ∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.12分
规律总结 求圆的方程一般用待定系数法，同时要注意运
用几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．运用 待定系数法要视不同条件灵活选择两种形式，若已知条件与 圆的圆心和半径有关可设圆的标准方程；若已知条件没有明 确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．常用的圆的 几个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任 一弦的中垂线上；(3)弦心距、半径、一半弦长所构成直角 三角形；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共 线．
整理得
＝1.
所以点M的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆．
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：圆的方程课件北师大版
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
掌握确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆
的标准方程与一般方程.
强基础 固本增分
1.圆的定义与方程
微点拨
径 r=
方程 x +y +Dx+Ey+F=0,当 D +E -4F>0 时,表示圆心为
2
2 + 2 -4
,
√2
2r2=(a-b-3)2+3.
①
由于所求圆与直线 x-y=0 相切,
∴(a-b)2=2r2.
②
又圆心在直线 x+y=0 上,∴a+b=0.
③
= 1,
联立①②③,解得 = -1, 故圆 C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
2 = 2,
(方法 3 待定系数法)设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为
√6 2 2
+( 2 ) =r ,
2
③
规律方法 求圆的方程的两种方法
对点训练(2022·全国乙,文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个
圆的方程为
.
答案 (x-2) +(y-3) =13 或(x-2) +(y-1) =5 或
2
2
8 2
169
+(y-1)2=
5
25
√
∴d2+( 2 )2=r2,即 2
+
3
2
2024版新教材高考数学总复习：第三节圆的方程课件
定长
定义
叫做圆
圆心：________
(a，b)
标准
2
2
2
(x－a) ＋(y－b) ＝r (r>0)
半径：________
方程
r
一般 2 2
x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
方程
D
E
(－ ，－ )
圆心：________
2
2
D2 +E2 −4F
半径：________
2
2.点与圆的位置关系
1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋
(y－y1)(y－y2)＝0.
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝25
答案：A
B．(x－3)2＋(y－1)2＝25
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
因为圆C经过点A(－1，－4)，B(6，3)，且圆心在直线x－y－4＝0上，
−1 − 2 + −4 − 2 = 2
轴上的圆的方程为(
)
A．(x＋1)2＋y2＝3
B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x＋2)2＋y2＝4
D．(x＋2)2＋y2＝8
答案：D
解析：设圆心为(a，0)，由题意得：
2025年高考数学一轮复习 第九章 -第三节 圆的方程【课件】
+ −
2
+ 2 = 1 D. 2 + − 2
2
=1
= ,解得 = ,所以圆C的标准方
2或6
（2）已知 2,2 , 5,3 , 3, −1 .若点 , 2 在△ 的外接圆上,则的值为______.
[解析] 设△ 外接圆的一般方程为 + + + + = + − > ,
解得 = ,则半径为 =
−
+ +
+ = ,圆心 , − ,即圆C的标准方程为
= .故选B.
（2）经过坐标原点,且在轴和轴上的截距分别为2和3的圆的方程为( A )
A. 2 + 2 − 2 − 3 = 0
B. 2 + 2 + 2 − 3 = 0
2
二、点与圆的位置关系
1.点 0 , 0 ,圆的标准方程 −
理论依据
三种情况
2
+ −
2
= 2.
点到圆心的距离与半径的大小关系
0 −
2
= 2 ⇔ 点在圆上
+ 0 − 2 ___
0 −
2
> 2 ⇔ 点在圆外
+ 0 − 2 ___
0 −
2
< 2 ⇔ 点在圆内
接圆上,
∴ + − − × + = ,即 − + = ,解得 = 或6.
规律方法
求圆的方程常用“待定系数法”，其大致步骤如下:
（1）根据题意,选择标准方程或一般方程；
（2）根据已知条件,建立关于,,或,,的方程组；
2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
A．a<－2
B．－23<a<0
C．－2<a<0
D．－2<a<23
【解析】 由方程表示圆的条件得 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 即 3a2＋4a－4<0，∴－2<a<23.故选 D.
6．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝4，则 3x2＋4y2 的最大值为___4_8____．
3．过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( C ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 解法一：∵圆心在直线 x＋y－2＝0 上，
设圆心(a,2－a)，圆方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，代入点 A(1，－1)，B(－1,1)得
【解析】 由(x－2)2＋y2＝4，得 y2＝4x－x2≥0，得 0≤x≤4.所以 3x2＋4y2＝3x2＋4(4x －x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64,0≤x≤4，所以当 x＝4 时，3x2＋4y2 取得最大值 48.
易错点睛：(1)忽视表示圆的充要条件 D2＋E2－4F>0 致误． (2)忽视圆的方程中变量的取值范围致误．
x－y－1＝0.联立 Nhomakorabeax－y－1＝0， 2x－7y＋8＝0，
解得
x＝3， y＝2.
∴r＝ 6－32＋0－22＝ 13.
∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法二(待定系数法)：设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得61－ －aa22＋ ＋05－ －bb22＝ ＝rr22， ， 2a－7b＋8＝0，
高考数学第一轮知识点总复习 第三节 圆的方程
xa
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如 x a2 形y 式b的2 最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值
问题.
举一反三
3. 已知圆C：x 32 y ,点4A2 (-11,0),B(1,0),点P为圆上的动
故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小 时………………………………………………………………12′ 学后反思 在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建 立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.
举一反三
5. 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之 一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知 A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费 和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在 的曲线方程，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.
解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，
正北方向为y轴正方向建立直角坐标系，
如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）.
根据题意可知,t小时后B的坐标为
（-300+40tcos 45°,40tsin 45°）,
即（-300+202 t,20 2t）…………………………….3′ 因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受
(1)
xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设
=y k,即y=kx. x
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k 0 3
2015届高考数学总复习第七章 第三节圆的方程课件 理
故当b变化时，圆C经过除原点外的一个定点， 其坐标为(－1,1)
与圆有关的最值问题
【例 3】 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1 上． (1)求 x＋y 的最大值和最小值； y (2)求x的最大值和最小值； (3)求 x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．
解析：(1)(法一)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝ － x ＋ t 的纵截距，所以x ＋ y 的最大值和最小值就是直线与圆有 公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的 纵截距．由直线与圆相切圆的方程
【例1】 根据下列条件，求圆的方程．
(1)和圆x2＋y2＝4相外切于点P(－1， )，且半径为4； (2)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上； (3)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段 长为4 . 思路点拨：在用待定系数法求圆的方程时，若已知条件 与圆心、半径有关，则设圆的标准方程；若已知条件与圆心、
圆的综合问题 【例2】 x－y－2 已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：
＝0相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)设点A(x0，y0)为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q
满足 (其中m＋n＝1，m，n≠0，
m为常数)，试求动点Q的轨迹方程C2.
解析：(1)设圆的半径为r，圆心到直线l1的距离为d， 则r＝d＝ ＝2，所以圆C1的方程为x2＋y2＝4.
2 b －bD＝0， 2 2 1－b ＋1－b ＋1－bD＋1－bE＝0，
D＝b， 解得 E＝b－2.
故经过三点O，A，B的圆C的方程为 x2＋y2＋bx＋(b－2)y＝0.
设圆C的圆心坐标为(x0，y0)，则x0 = 所以 y0 ＝ x0 ＋ 1 ，这说明当 b 变化时，圆 C 的圆心在
【高考风向标】高考数学一轮复习 第十一章 第3讲 圆的方程课件 文
解题思路分析：研究圆的问题，既要理解代数方 法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以 降低运算量．总之，要数形结合，拓宽解题思路．与弦长有关的 问题经常需要用到点到直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等．
【互动探究】 1．(2010 年广东)若圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 O 位于 y 轴
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质， 简化运算．
3．常用结论 (1)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆方程为(x－x1)(x－x2) ＋(y－y1)(y－y2)＝0； (2)若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2与x轴相切，则|b|＝r； 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2与y轴相切，则|a|＝r. (3)若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于x轴对称，则E＝0； 若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于y轴对称，则D＝0； 若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于y＝x轴对称，则D＝E.
(2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x＋2y＝0 的对称点仍在这个圆 上，且与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为 2 2 ，求圆的方程．
解析：(1)方法一：从数的角度，选用标准式 设圆心P(x0，y0)，则由|PA|＝|PB|得：(x0－5)2＋(y0－2)2＝ (x0－3)2＋(y0－2)2，
解析：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)； 令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0， 解得b＜1且b≠0. (2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0得x2＋Dx＋F＝0这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故 D＝2，F＝b. 令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b， 代入得出E＝－b－1. 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
【状元之路】高中数学 直线和圆的方程85 文 大纲人教版
【状元之路】高中数学 直线和圆的方程85 文 大纲人教版对应学生书P 237一、选择题1．(2009·宁夏)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋1＝－1，x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，从而可知圆C 2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1，故所求圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，选B.答案：B2．(2009·上海春季高考)过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：依题意，得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C.答案：C3．若P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α上任意一点，则(x －2)2＋(y ＋4)2的最大值是( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：曲线为圆(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心O (－1,0)到点P (2，－4)的距离为|OP |＝5. ∴(x －2)2＋(y ＋4)2的最大值为(5＋1)2＝36. 答案：A4．若P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1与直线x ＋y ＋2m ＝0(m ＞0)的公共点，则直线mx －y －2008＝0的倾斜角的最大值为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：由题意，知直线x ＋y ＋2m ＝0与圆x 2＋y 2＝1有公共点，∴|2m |2≤1，∴|m |≤1.故直线mx －y －2 008＝0的斜率k 满足|k |≤1. ∴0＜k ≤1.∴其倾斜角的最大值为45°. 答案：A5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22D.3－22解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1.∴S min ＝12×22×(32－1)＝3－ 2.答案：A6．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心， ∴a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号． ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.答案：D7．(2008·山东)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：由x 2＋y 2－6x －8y ＝0，得(x －3)2＋(y －4)2＝25， 圆心为(3,4)，半径为5.又点(3,5)在圆内，则最长弦|AC |＝10， 最短的弦|BD |＝2·25－3－32－4－52＝224＝46，∴S 四边形ABCD ＝12×10×46＝20 6.答案：B8．直线l ：4x －3y －12＝0与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝ 2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：A (3,0)，B (0，－4)，O (0,0)， ∴内切圆的半径r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝1.由图像知圆心为(1，－1)．∴方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，故选A. 答案：A 二、填空题9．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是__________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π10．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向这个圆引切线，则切线长为__________． 解析：圆心C (1,1)，则|PC |2＝5，∴切线长＝|PC |2－12＝2. 答案：211．(2010·泰安)已知半径为1的动圆与定圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是__________．解析：动圆与定圆相切可以是外切也可以是内切，所以动圆与定圆两圆圆心距为4－1＝3，或4＋1＝5.因此动圆圆心的轨迹方程是(x －5)2＋(y ＋7)2＝25，或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.答案：(x －5)2＋(y ＋7)2＝25，或(x －5)2＋(y ＋7)2＝912．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域|x |＋|y |≥a 覆盖，则实数a 的取值范围是__________．解析：易知OP 的垂直平分线即为单位圆的切线，当a ≤0时，平面区域即坐标平面，显然满足题意；当a ＞0时，由图像易知0＜a ≤1.综上，a ≤1.答案：a ≤1 三、解答题13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a ＞0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值．(2)设点P 在⊙E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问：这样的⊙E 是否存在？若存在，求出⊙E 的标准方程；若不存，说明理由．解析：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E (a 2，a 2)，半径r ＝22a .由题意，得|a 2－a2＋4|2＝22a ，解得a ＝4.(2)∵|CD |＝－42＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需⊙E 的半径2a2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.14．已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解析：(1)∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|4t |×|2t |＝4.即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞ 5.又∵圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.15．设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．解析：(1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， 表示圆心为C (－1,3)，半径为3的圆． 又圆上两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称， ∴该直线过圆心C .∴－1＋3m ＋4＝0，∴m ＝－1.(2)设PQ 的方程为x ＋y ＋b ＝0，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． ∵OP →·OQ →＝0，∴OP →⊥OQ →. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，x ＋y ＋b ＝0，得2x 2＋(2b ＋8)x ＋b 2＋6b ＋1＝0. ∴x 1x 2＝b 2＋6b ＋12，x 1＋x 2＝－(b ＋4)．∴y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－2b ＋12.∴b 2＋6b ＋1＋b 2－2b ＋1＝0.即b 2＋2b ＋1＝0，(b ＋1)2＝0，解得b ＝－1. ∴直线PQ 的方程为x ＋y －1＝0.。
2025年高考数学一轮复习-9.3-圆的方程【课件】
4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程
2+(y+1)2=5
(x-1)
为__________________.
【命题意图】本题主要考查求圆的标准方程的方法,关键是确定圆心和半径.
【解析】因为点M在直线2x+y-1=0上,所以设点M为(a,1-2a),
(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
2+(y -b)2>r2
(x
-a)
0
0
(1)若M(x0,y0)在圆外,则________________.
2+(y -b)2=r2
(x
-a)
0
0
(2)若M(x0,y0)在圆上,则________________.
第九章
直线与圆、圆锥曲线
第三节
圆的方程
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表
示圆的条件.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
圆的方程高考一般不单独考查,它常与直线、平面向量及圆锥曲
考点一 求圆的方程
[例1](1)(一题多法)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程
为(
)
A.(x-3)2+(y+1)2=4
2025高考数学必刷100讲常规版第10章解析几何模块2圆与方程含答案
2025高考数学必刷100讲常规版第10章解析几何模块2圆与方程模块二圆与方程第1节圆的方程(★☆)内容提要1.圆的方程①标准方程：(x-€7)2+(j/-6)2=r2(r>0),其中圆心为0,b),半径为尸.②一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+£2-4F>0.2.求圆的方程常用三种方法：①设一般式方程x2+/+D x+£>+F=0,建立关于系数。
，E,尸的方程组，解方程组.当已知圆上三点时，常用这种方法.②设圆心，利用圆心到圆上点的距离都等于半径建立方程求圆心.已知圆心性质时常用此法.③找圆心(弦的中垂线过圆心)、求半径.3.点与圆的位置关系：设尸(％*0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(或x2+y2+Dx+£y+F=0),①点尸在圆C外(X q—I)?+(*o—3)2>疽(或X q+j V q+D xq+Ey^+7^>0);②点P在圆C上u*(工。
—")2+(*o—bV=尸2(或X q+j V q+D xq4-互+/=0);③点P在圆C内(x o—「)2+3o—3)2<尸2(或X q+jPg+D xq+Ey^4-/^<0).类型I：圆的方程中的系数条件【例1】若方程J+j?+6x+m=0表示一个圆，则m的取值范围是()A,(—00,9)B・(一3,—9)C.(9,+oo)D.(—9,+oo)解析:观察发现可用D'+E‘-4F〉0求解秫的范围，方程工2+j;2+6x+m=0表示圆=>6?-4m>0=>m<9.答案：A【变式】若点F(-l,2)在圆C:x2+y2-2x+4y+/c=0的外部，则实数次的取值范围是()A.(—5,5)B.(-15,5)C.(-00,-15)U(5,+oo)D.(-15,2)解析：点P(-l,2)在圆■外部=>(-1)2+22-2x(-l)+4x2+^>0,解得:k>—15①，务必注意，题设隐含了所给方程表示圆，故还需由D2+E2-4F>0求次的范围，与①取交集，方程*2一2工+4*+*=0表示圆，应有(-2)2+4?—4*>0,解得：k<5,结合①可得Re(—15,5).答案：B【反思】当圆的方程中含参时，不要忘了考虑圆的方程本身对参数的要求.类型II:求圆的方程【例2】已知力(2,0),5(4,2),。
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第三节 圆的方程
预习设计 基础备考
知识梳理
1．圆的定义
(1)在平面内，到 的距离等于 的点的轨迹叫圆．
(2)确定一个圆最基本的要素是 和
2．圆的标准方程
),0()()(222>=-+-r r b y a x 其中 为圆心， 为半径．
3．圆的一般方程
022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是 其中圆心为 ，半径r=
4．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程),(,)()(00222y x M r b y a x 点=-+-
(1)点在圆上：
(2)点在圆外：
(3)点在圆内：
典题热身
1．已知点),1,1(),1,1(--B A 则以线段AB 为直径的圆的方程是( )
2.22=+y x A 2.22=+y x B 1.22=+y x C 4.22=+y x D
答案：A
2．方程0122222=-++
+++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是（ ） 322.>
-<a a A 或 032.<<-a B 02.<<-a C 3
22.<<-a D 答案：D
3．若点(1，1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 取值范围是( ) 11.<<-a A 10.<<a B 11.-<>a a C 或 1.±=a D
答案：A
4．若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为
,2
2则a 的值为 答案：O 或2
5．圆心在直线2=x 上的圆C 与y 轴交于两点),4,0(-A ),2,0(-B 则圆C 的方程为
答案：5)3()2(22=++-y x
课堂设计 方法备考
题型一 求圆的方程
【例1】求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线0=-y x 截得的弦长为72的圆的方程．
题型二 与圆有关的最值问题
【例2】已知实数x 、y 满足方程.01422=+-+x y x
(1)求y-x 的最大值和最小值；
(2)求22y x +的最大值和最小值；
(3)求
x
y 的最大值和最小值． 题型三 与圆有关的轨迹问题
【例3】已知圆42
2=+y x 上一定点)1,1(),0,2(B A 为圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．
(1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若,90 =∠PBQ 求PQ 中点的轨迹方程．
题型四 圆的一般式方程
【例4】 (2010．冀州模拟)若方程04)1(42
2=+--+y x a ay ax 表示圆，求实数a 的取范围，并求出半径最小的圆的方程，
技法巧点
1．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：
(1)根据题意选择标准方程或一般方程；
(2)根据题设条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；
(3)由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程．
2．与圆有关的最值问题
研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地，
(1)形如a
x b y u --=型的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题； (2)形如by ax t +=型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
(3)形如2
2)()(b y a x -+-型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 3．求轨迹方程的一般步骤
(1)建系：设动点的坐标为(x ，y)；
(2)列出几何等式；
(3)用坐标表示得到方程；
(4)化简方程；
(5)除去不合题意的点，作答．
失误防范
1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．
2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．
随堂反馈
1．点)2,4(-P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点轨迹方程是( )
1)1()2.(22=++-y x A 4)1()2.(22=++-y x B
4)2()4.(22=-++y x c 1)1()2.(22=-++y x D
答案：A
2．(2010．芜湖一模)已知⊙,0:22=++++F Ey Dx y x C 则0==E F 且D<O 是⊙C 与y 轴相切于原点
的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：A
3．以直线01243=+-y x 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 答案：4
25)23()2(22==
-++y x
4．已知实数x 、y 满足,4)1(22=+-y x 求y x 2-的最小值与 最大值分别为 答案：521- 521+
5．(2011．南京模拟)已知点M(l ，O)是圆-+22:y x c 02=y 内的一点那么过点M 的最短弦所在直线的方程是
答案：01=-+y x
高效作业 技能备考
一、选择题
1．已知圆,1)1()1(:221=-++y x c 圆2C 与圆1C 关于直线01=--y x 对称，则圆2C 的方程为 ( )
1)2()2.(22=-++y x A 1)2()2.(22=++-y x B
1)2()2.(22=+++y x C .()2.(2-+-y x D
答案：B
2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是 ( )
1)2(.22=-+y x A 1)2(.22=++y x B 1)3()1.(22=-+-y x C 1)3(.22=-+y x D
答案：A
3．当a 为任意实数时，直线01)1(=++--a y x a 恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为
( )
042.22=+-+y x y x A 042.22=+++y x y x B
042.22=-++y x y x C 042.22=--+y x y x D
答案：C
4．方程02422=---+k y kx y x 表示圆的充要条件是 ( )
141.<<k A 141.><k k B 或 R k c ∈. 14
1.==k k D 或 答案：C
5．过点),1,1(),1,1(--B A 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是( )
4)1()3.(22=++-y x A 4)1()3.(22=-++y x B
4)1()1.(22=-+-y x C 4)1()1.(22=+++y x D
答案：C
6．（2011．福州模拟）已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，O)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为 ( )
3433.2=+±<y r x A 3
1)33.(22=+±y x B 34)33(.22=±
+y x c 31)33(.22=±+y x D 答案：C
二、填空题
7．若圆02)1(222=-+-++a ay x a y x 关于直线=+-1y x 0对称，则实数a 的值为
答案：3
8．若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x ，y)都使不等式0≥++m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是 答案：21+
-≥m
9．(2011．南通调研)已知),(),(2211y x B y x A 、是圆222=+y x 上两点，O 为坐标原点，且,120
=∠AOB
则=+2121y y x x
答案：-1
三、解答题
10．（2010．衡阳模拟）根据下列条件求圆的方程．
(1)经过点P(l ，1)和坐标原点，并且圆心在直线0132=++y x 上；
(2)圆心在直线x y 4-=上，且与直线01:=-+y x l 相切于点);2,3(-P
(3)过三点).2,9(),10,7(),12,1(-c B A
11．设定点),4,3(-M 动点N 在圆422=+y x 上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨
迹．
12．（2010．烟台一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线x y =
相切于坐标原点0．
(1)求圆C 的方程；
(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定F(4，O)的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由，。