双曲线的标准方程 教案

课题:2.3.1双曲线的标准方程

【教学目标】: 1.知识与技能

掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法

教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.

【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用 【教学难点】: 双曲线标准方程的推导 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时

【教 具】：多媒体、实物投影仪 【教学过程】: 一.情境设置

复习提问：

(由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题 1：椭圆的定义是什么？

问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ 二.理论建构 1.双曲线的定义

引导学生概括出双曲线的定义：

定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F 1F 2|）的点轨迹叫做双曲

概念中几个关键词： “平面内”、

“距离的差的绝对值” “常数小于21F F ”

数学实验：

[1]取一条拉链；

[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；

1

F 2

F

[3] 拉动拉链（M）。

思考：拉链运动的轨迹是什么？

思考：

1、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？

2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？

3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？

结论：

2.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。

(2) 设点

（3）列式

由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}.

即:

由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：

由双曲线定义知

这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的是：

思考:双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?

学生得到:双曲线的标准方程:.

注:(1)双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：

焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122

22=-b y a x (0>a ,0>b )

焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122

22=-b

x a y (0>a ,0>b )

②c b a ,,有关系式2

22b a c +=成立，且,0,0>>>c b a

其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,

(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2

x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来

判断焦点所在的位置，即2

x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上

椭圆的标准方程：

12222=+b x a y （a>0,b>0

）

()0 122

2

2>>=+b a b y a

x 相同点：

三.数学应用

例1，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，- 解：

变式1:若|PF 1|-|PF 2|=6呢？ 变式2:若||PF 1|-|PF 2||=8呢？ 变式3:若||PF 1|-|PF 2||=10呢？

练习3、已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点Ｐ1 ,Ｐ2的坐标分别为

，求双曲线的标准方程．

不同点：15151925)1(222

2=-=+y x y x 和1

43134)2(2

222=-=+x y y x 和()()12122.13,4,25,3,30,6,3(4)50,(5,0),,a b x c b x a F F P F F =====-练习写出符合下列条件的双曲线的标准方程:（）焦点在轴上（）焦点在轴上

（）焦点为0,-6、焦点（，）双曲线上一点到的距离的差的绝对值等于82.(1)3,4,2(2,5),a b x a A y ===-例求适合下列条件的双曲线的标准方程：焦点在轴上；（）经过点焦点在轴上；⎫⎛9

练习5

1. 方程mx 2-my 2=n 中mn <0，则其表示焦点在 轴上的 . 2、 若方程(k 2+k -2)x 2+(k +1)y 2=1的曲线是焦点在y 轴上的 双曲线，则k ∈ .

3. 双曲线14

2

2=-y k x 的焦点坐标是 4.双曲线k y x =-222 的焦距是6，则k =

5. 若方程 1522

2=-+-k

y k x 表示双曲线，求实数k 的取值范围 .

四.课堂小结:

（3）类比法

焦点在y 轴上的双曲线方程是 椭圆的焦点由 决定 双曲线的焦点由 决定

在双曲线的标准方程中a,b,c,的关系是 方程12

2

=+By Ax 表示双曲线的充要条件是

22

.121x y m m m -=++练习4方程表示双曲线，求的范围.

1（）推导双曲线的标准方程

2（）利用待定系数法求双曲线的标准方程