一类一阶非齐次线性微分方程的解法

几类一阶微分方程的简捷求法

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中图分类号: 文献标识码: A

1 预备知识

形如

()()dy

P x y Q x dx

+= (1) 的方程称为一阶线性方程.这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上是连续的.当()0Q x ≡时,方程(1)变为

()0dy

P x y dx

+= (2) 方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解. 形如

()()n dy

P x y Q x y dx

+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.

现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解. 2 主要结果

定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式

'()

()()n n

dy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣

⎦ (4) 则它的通解为 1()()

n y Q x dx C F x ⎡

⎤=

+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(4)化为 ()()()n

n

d F x dy F x y Q x dx dx

⎡⎤⎣⎦+

= ()()()n n

F x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦

()()n

d F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦

两边积分得 ()()n

F x y Q x dx C =+⎰

1()()

n y Q x dx C F x ⎡

⎤=

+⎣⎦⎰ 证毕. 推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式

'()

()()dy

F x F x y Q x dx

+= (6) 则它的通解为 1()()

y Q x dx C F x ⎡

⎤=

+⎣⎦⎰ (7) 定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式

'()

()0n n

dy F x F x y dx ⎡⎤+=⎣

⎦ (8) 则它的通解为 ()

n C

y F x =

(9) 证明 在定理1的结果1()()

n y Q x dx C F x ⎡

⎤=

+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证. 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式

'()

()0dy

F x F x y dx

+= (10) 则它的通解为 ()

C

y F x = (11) 定理3 若一阶微分方程具有如下形式

()ln ()()ln ()n dy

P x y F y Q x y F y dx

+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d y

Q x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)

当1n ≠时,其通解为

其中ln ()F y 在所考虑区间上是连续的. 证明 若1n =,方程(12)变为

()l n ()()l n ()dy

P x y F y Q x y F y dx

+= (15)此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得

[]()()ln ()

dy

Q x P x dx y F y =-

[]ln ()()ln ()

d y

Q x P x dx F y =-

两边积分得

[]ln ()()ln ()d y

Q x P x dx C F y =-+⎰⎰

此即为方程(15)的通解表达式.

若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()n

y F y 得

1

1()

()ln ()ln ()

n n dy P x Q x y F y dx F y -+= 令1ln

()n

z F y -=,则

定理3 若一阶微分方程具有如下形式

'()

()()n dy

F x F x y Q x y dx

+= (0,1

)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()

n y Q x dx C F x ⎡

⎤=

+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()

()n dy dF x F x y Q x y dx dx

+= []()()n d F x y y Q x dx =

方程两端除以n

y ,得到 1()()

()n

n

dy dF x y F x y Q x dx dx

--+= 11()()()1n

n n n d F x F x dy y Q x n dx dx

--⎡⎤⎣⎦+

=- 令1n

z y

-=,则(1)n

dy dz

n y

dx dx

--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx

⎡⎤⎣⎦+

=- ()(1)()(1)()n n

F x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦

()()n

d F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦

两边积分得 ()()n

F x y Q x dx C =+⎰

1()()

n y Q x dx C F x ⎡

⎤=

+⎣⎦⎰ 证毕.