九年级数学下册第7章锐角三角函数7.5解直角三角形7.5.2构造直角三角形解题同步练习一

第7章锐角三角函数

7.5 第2课时构造直角三角形解题

知识点构造直角三角形解题

1．如图7－5－12，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，如果AH＝BC，那么sin ∠BAC的值是( )

A.5

4

B.

4

5

C.

3

5

D.

5

3

7－5－12

7－5－13

2．如图7－5－13，圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r，下列等式成立的是( )

A．a＝2r·sin36° B．a＝2r·cos36°

C．a＝r·sin36° D．a＝2r·sin72°

3．如图7－5－14，在△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝60°，则△ABC的面积等于( )

A.3 3

2

B.

3

2

C. 3 D．3 3

7－5－14

7－5－15

4．如图7－5－15，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tan A ＝4

3

，则

CD ＝________．

5．如图7－5－16，正三角形ABC 内接于⊙O ，若AB ＝2 3 cm ，求⊙O 的半径．

图7－5－16

6．2018·自贡 如图7－5－17，在△ABC 中，BC ＝12，tan A ＝3

4，∠B ＝30°，求AC

和AB 的长．

图7－5－17

7．如图7－5－18，已知∠B ＝37°，AB ＝20，C 是射线BM 上一点．

(1)在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是________(填写所有符合条件的序号)； ①AC ＝13；② tan ∠ACB ＝12

5

；③连接AC ，△ABC 的面积为126.

(2)在(1)的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC (参考数据： sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, tan37°≈0.75)．

图7－5－18

第7章 锐角三角函数

7.5 第2课时 构造直角三角形解题

1．B [解析] 过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设AH ＝BC ＝2x .∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝x .根据勾股定理，得AC ＝AH 2＋CH 2＝（2x ）2＋x 2

＝5x .由S △ABC ＝12BC ·AH ＝12AC ·BD ，得12·2x ·2x ＝12·5x ·BD ，解得BD ＝4 55x ，∴sin ∠BAC ＝BD AB ＝4 5

5x 5x ＝4

5

.

2．A [解析] 如图，作OF ⊥BC 于点F . ∵∠COF ＝360°÷5÷2＝36°， ∴CF ＝r ·sin36°， ∴a ＝2r ·sin36°.故选A.

3．A [解析] △ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×2×sin60°＝12×3×2×32＝

3 3

2

. 故选A.

4.65 [解析] 延长AD 和BC 交于点E .∵在Rt △ABE 中，tan A ＝BE AB ＝43，AB ＝3，∴BE ＝4，∴EC ＝BE －BC ＝4－2＝2.∵△ABE 和△CDE 中，∠B ＝∠EDC ＝90°，∠E ＝∠E ，∴∠DCE ＝∠

A ，∴在Rt △CDE 中，tan ∠DCE ＝tan A ＝DE CD ＝4

3

，∴设DE ＝4x ，则CD ＝3x .在Rt △CDE 中，EC 2

＝DE 2＋CD 2，∴4＝16x 2＋9x 2

，∴x ＝25(负值舍去)，则CD ＝65

.

5．解：如图，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，连接BO .∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴点O 既是三角形的内心也是外心，∴∠OBD ＝30°，BD ＝CD ＝12BC ＝12AB ＝ 3 cm ，∴ cos30°＝

BD

BO ＝

3

BO

，解得BO ＝2(cm)，即⊙O 的半径为2 cm.

6．[解析] 通过作高构造直角三角形，在Rt △BCD 和Rt △ACD 中利用特殊角的三角函数值和勾股定理即可求解．

解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，

在Rt △BCD 中，∵∠B ＝30°，BC ＝12，

∴sin B ＝CD BC ＝CD 12＝sin30°＝1

2，∴CD ＝6；

cos B ＝BD BC ＝BD 12＝cos30°＝3

2

，∴BD ＝6 3.

在Rt △ACD 中，tan A ＝3

4，CD ＝6，

∴tan A ＝CD AD ＝

6AD ＝3

4

，∴AD ＝8，

∴AC ＝AD 2

＋CD 2

＝82

＋62

＝10，AB ＝AD ＋BD ＝8＋6 3. 即AC 的长为10，AB 的长为8＋6 3. 7．解：(1)②③

(2)画图略．若选②，作AD ⊥BM 于点D ，则∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，

∴AD ＝AB · sin B ≈12，BD ＝AB ·cos B ≈16. 在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°， ∴CD ＝

AD

tan ∠ACB

≈5，

∴BC ＝BD ＋CD ≈21.

若选③，作CE ⊥AB 于点E ，则∠BEC ＝90°.