数学分析复旦大学第四版大一期末考试
最新大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--的值为（ ）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ .3. （3分） 201lim sinx x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. （6分）设2,1y x =+求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程0cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 131;y x =+ 22;33 0;4 0. 三、 1 解 原式205lim3x x xx →⋅= 5分53=1分 2 解22ln ln ln(1),12xy x x ==-++ 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分321()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t tdt e dt t-=+++⎰⎰ 1分210[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,yey x '⋅+= 2分cos y xy e'=-1分cos sin 1xx =- 1分cos sin 1xdy dx x ∴=- 2分6 解1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2x C =++ 4分 7解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4分=32e 2分四、1 解 令ln ,xt =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴= 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222cos xV xdx πππ-=⎰ 3分2202cos xdx ππ=⎰ 2分2.2π=2分3 解23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分令0,y ''=得 1.x = 1分 当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分(1,3)∴为拐点, 1分该点处的切线为321(1).yx =+- 2分4 解1y '=-= 2分令0,y '=得3.4x = 1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分∴最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分五、证明()()()()()()bbaax a x b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分[()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分 [2()()ba x ab df x =--+⎰ 1分321DCB A {}[2()]()2()b ba a x ab f x f x dx =--++⎰ 1分 ()[()()]2(),ba b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分证明题专项1如图，已知AB ∥CD, ∠1=∠3, 试说明AC ∥BD.2、如图，已知CD ⊥AD ，DA ⊥AB ，∠1＝∠2。
高数第四版考试题及答案
高数第四版考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2+1的导数为：A. 2xB. 2x+1C. x^2D. 1+x^2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A4. 函数f(x)=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^xC. ln(e^x)D. 1/e^x答案：A5. 函数f(x)=ln(x)的导数为：A. 1/xB. xC. ln(x)D. 0答案：A6. 函数f(x)=x^3-3x+2的极值点为：A. x=0B. x=1C. x=-1D. x=2答案：B7. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值为：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A8. 函数f(x)=sin(x)的周期为：A. 2πB. πC. 1D. 2答案：A9. 函数f(x)=cos(x)的导数为：A. sin(x)B. cos(x)C. -sin(x)D. -cos(x)答案：C10. 函数f(x)=x^3的二阶导数为：A. 3x^2B. 6xC. 3xD. 6x^2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数为_______。
答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点为_______。
答案：-13. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为_______。
答案：04. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点为_______。
答案：2和45. 函数f(x)=ln(x)的定义域为_______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数为3x^2-6x+2，二阶导数为6x-6。
2. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。
2019-2020第一学期数学分析期末考试试题
2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛 （B ）{}n x 收敛，{}n y 发散 （C ）{}n x 发散，{}n y 收敛 （D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点； （B ）3=x 是)(x f 的极值点； （C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点 （B ）第一类（非可去）间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小 二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点： 令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以 原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分） 两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念； （2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续； （3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续． 答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分） （1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号 学术之星。
复旦大学2014～2015学年《高等数学A上》第一学期期末考试试卷及答案
上，曲线上凸；在区间
e
3 2
,
上，曲线下凸。拐点为
e
3 2
,
3 2
e
3
；
（
装 订
（5） cos x
1 cos3
xC
；（6） ln 2 2
π
；（7）
X
5 8
1 1
；
线
3
2
6 1
内
不
（8）一定有解。
要
2．（本题满分 8 分） a 1 ， b 1。
答
2
题
3．（本题满分 8 分）（1） 4 ；（2）是极小值点。
x1 x2 a1,
（8）已知
a1
a2
a3
0
，问线性方程组
x2
x3
a2 ,
是否一定有解？请说明理由。
x3 x1 a3
3
2．（本题满分
8
分）
设函数
f
(x)
asixnxb,
cos x
x
1,
x 0, x 0 在 x 0 点可导，求常数
a 、 b 的值。
3．（本题满分
8
分）设函数
f
在 x 0 点附近有定义，且满足
6
复旦大学数学科学学院 2014～2015 学年第一学期期末考试试卷
《高等数学 A》（I）A 卷试题答案
1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） t ；（2）0； 2
（3）在 (, 1]上单调减少，在[1, ) 上单调增加。 f (1) 17 为极小值； 12
（4）在在区间
0,
e
3 2
x
(t
1)(t
2)
复旦大学《高等数学》2011-2012学年第一学期期末试卷A卷
1 060 31□A 卷高等数学 C （上）05数学科学学院医学试验班、八年制临床医学题号 一二 三四五六七八总分得分一、 填充题（3 5 ） 1 ．设 sin x是f x 的一个原函数，答案： 1则为 xf x dx = 。
22 ．设0 ，则。
答案： 361 0 3 ． A 0 0 01 6 0答案： 00 0 2 0 0 00 1 3 0 00 0 023 00 13 12 0 0 0 0 01 0 ，则 A 1= 。
2 0 0 30 0 0 01 0 2x 44 ． lim。
n答案： 35 ． 1 sin 2 x dx 。
答案：2二、 单选题（3 5 ）1 ． lim f x 是f x 在x 0 的某空心邻域内无界的（ ）条件。
xx 0A ．充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关 答案： A2 ．lim f x 2 ， x 0 x32答案： C23sin 2x x 0 f 3x 1 3 （ ）。
4 3x 1 x 2 x 3 03 ．设 A 为齐次线性方程组 x 1 tx 2 x 3 0 的系数矩阵，若有三阶方阵B 0 ，且 AB 0 ，则（ ）。
x 1x 2 tx 3 0A. t 2, 且B 0B. t 2, 且B 0C. t 1, 且B 0D. t 1, 且B 0答案： C4 ．下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（6x 3B. 11dx C.60dx答案： A ）。
e1e x ln x5 ． x ，有f x f x ，且 fx 0k 0 ，则 f x 0（）。
A ． 0 1 x 2 dxx cos x A ．D. B. C. D.1dx 则lim1k答案：CC. kD. k 1．lim0答案：32 ．dx答案：lnsinC3. 设y f x 由方程xy2 sin x3 y3x 确定，求dy。
答案：dx4 ．y arctan3e x，求dy。
3e x(19e2x)cos x1,x 05.设f x x 1,0x1，求f x dx。
复旦大学《数值分析》2020-2021学年第一学期期末试卷A卷
课程编号：A071001复旦大学2020-2021学年第一学期数值分析期末试题A一.解下列各题（每小题6分）1.求极限n n nn )111(lim 2++∞→.2..已知f 是可导函数,且x x f dx d 11(arctan =，求4(πf '.微分法，可以补用考虑微分次数，不断向下推。
导数法，比需两边对同一变量求导。
3.求出23||ln )(2+-=x x x x f 的间断点，并指出是第几类间断点.4.已知2)13(lim 2=++-+∞→bx ax x x ,试确定其中常数b a ,.二.解下列各题（每小题7分）1.设⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x ,求22dx y d .2.试确定常数b a ,的值,使点)3,1(是曲线34bx ax y +=的拐点,并求出曲线的凹凸区间.3.求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数.4.已知2112sin )(1lim30=--+→x x e x x f ，求)(lim 0x f x →.复合函数与函数求导公式可以一起用。
三.(9分)设数列}{n x 满足010<<-x ,),2,1,0(221 =+=+n x x x n nn ,证明}{n x 收敛,并求n n x ∞→lim .四.(9分)设)(x f 有二阶连续导数,0)0(=f ,⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x g ，求)(x g '并讨论)(x g '的连续性.五.(9分)一个体积给定的观察站底部是一个直圆柱,顶部是一个半球形,如果顶部单位面积的造价是侧面单位面积造价的二倍,问圆柱的底半径r 与高h 分别为多少时可使总造价最低?六.(8分）证明，当1>x 时，11ln +-≥x x x .七.(9分）(1)已知当0→x 时,2cos x e x -与k cx 是等价无穷小,求c 与k 的值;(2)求极限222sin )(cos 112lim 2xe x x x x x -+-+→.八.(4分)设)(xf 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,0)(≠'x f ,证明存在),(,b a ∈ηξ,使ηηξ---=''e ab e e f f a b )()(.最后一道题一定要会拼与凑。
数学分析复旦答案
数学分析复旦答案【篇一：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm3。
）解球体积v?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
?0⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。
证当x?0时，?y?微。
当x?0时，?y???3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是?x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。
习题 4.2 导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。
f(x0?(??x))?f(x0) (??x)??f(x0)。
limh?0f(x0?h)?f(x0?h) h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0) ?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0) x?x0x?x0?0?f(x0)。
limf(x0?h)?f(x0?h) hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。
2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。
22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。
f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。
复旦大学2017～2018学年《高等数学B上》第一学期期末考试试卷及答案
复旦大学数学科学学院2017～2018学年第一学期期末考试试卷A 卷 (共八页)课程名称： 高等数学B （上） 课程代码： MATH120003 开课院系： 数学科学学院 考试形式： 闭卷一（ 36分，每小题6分，共6小题 ） 1. 求极限1ln(1)ln(1)lim x x x→+∞++的值 。
2. 设常数 0a >，1a ≠，已知ln ()(ln )x a f x a x =+，求导数 ()f x '。
姓 名： 学 号： 专 业：：我已知悉学校对于考试纪律的严肃规定，将秉持诚实守信宗旨，严守考试纪律，不作弊，不剽窃；若有违反学校考试纪律的行为，自愿接受学校严肃处理。
签名: 年 月 日 ）3. 求不定积分dx ⎰。
4. 求由方程1y y xe +=确定的隐函数 ()y y x =在1x =处的一阶导数dydx。
5. 求形式为22z a bx cy =++的曲面方程，使该曲面过点 0(1,1,4)M -和曲线2322z x y ⎧=-⎨=⎩，并指出该曲面的名称 。
6. 计算行列式 2221111222413339x x x x x x ++++++。
二（8分）求Oxy 平面内曲线 22332()x y xy +=所围区域的面积A 。
（ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）三（8分）已知 4()f x t x dt =-⎰，求曲线 ()y f x =在 3x =处的切线方程 。
四（8分）水平安置半径为R 的半球形水池中盛满了水，水池球形底部中心有一个半径为5R的圆孔，按流速公式v ( h 为池中水深 )，计算池中的水全部流完所需的时间T 。
五（8分）求过直线:L 21010x y z x y z --+=⎧⎨+--=⎩ 且与点 0(1,1,0)M -距离最远的平面∏的一般方程 。
（ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）。
数学分析答案第四版
数学分析答案第四版【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】>第一部分实数理论1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。
（1）域公理：（2）全序公理：则或a中有最大元而a?中无最小元，或a中无最大元而a?中有最小元。
评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（heine-borel）聚点定理：(weierstrass)致密性定理：(bolzano-weierstrass)柯西收敛准则：(cauchy)习题1 证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。
习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？ n2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8介值定理与零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理习题5 用致密性定理证明一致连续性定理3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）??n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；??n定义易于理论证明习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
数学分析(2)期末试题参考答案
些值，使得
∫J
χK
(x,
y)dy ∫
≤
F (x)
≤
J χK (x, y)dy，则 F (x) 在 I 上 Riemann
可积，且有
I F (x)dx =
I ×J
χK (x,
y)dxdy
=
0。注意
F ∫
(x)
≥
0，所以，F
(x)
几乎处处为零。另一方面，根据 Kx 的定义，有 F (x) = J χKx (y)dy，所以 Kx
0，则有
(∫ R−ε ∫ R )
I(R) =
+
ey2−R2 dy ≤ e−2 R ε+ε2 (R − ε) + ε,
0
R−ε
于是 lim sup I(R) ≤ ε，另一方面显然有 lim inf I(R) ≥ 0，最后再令 ε → 0 即可
R→+∞
R→+∞
证明 lim I(R) = 0。
R→+∞
（证法二）上述极限还可通过 L’Hôspital 法则求得：
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是
χK (x,
y)
在
I
×J
上
Riemann ∫
可积，且有
I×J χK (x, y)dxdy = 0。根据 Fubini 定理，
积分
F (x)
= ∫
J χK (x, y)dy
几乎处处存在。在 ∫
F (x)
不存在的地方随意规定一
det J
=
det AU det AV
> 0。
数学分析习题集4复旦大学
x − cos y = sin y − x ；
e x 2 + y − xy 2 = 0 ；
2 y sin x + x ln y = 0 ；
6． 设所给的函数可导，证明： ⑴ 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； ⑵ 周期函数的导函数仍是周期函数。 7．求曲线 xy + ln y = 1 在 M (1,1) 点的切线和法线方程。 8． 对下列参数形式的函数求
x →a + 0 x→a + 0
⑵ 若 lim f ′( x ) = ∞ ，那么能否断定也有 lim f ( x ) = ∞ ？
x→a + 0 x →a + 0
证明 f ( x ) 在 x = 0 处可导的充分必要条件是： 存在在 x = 0 11． 设函数 f ( x ) 满足 f (0) = 0 。 处连续的函数 g ( x ) ，使得 f ( x ) = xg ( x ) ，且此时成立 f ′(0) = g (0) 。
⑷ y = ln( x + x 2 + a 2 ) ；
⑸ ⒊
1 y = ( x x 2 − a 2 − a 2 ln( x + x 2 − a 2 ) . 2
设 f ( x ) 可导，求下列函数的导数：
⑴ ⑶ ⑸
f (3 x 2 ) ；
⑵ ⑷ ⑹
⎛ 1 ⎞ f⎜ ⎟； ⎝ ln x ⎠
arc tan f ( x ) ； sin ( f (sin x )) ；
1 ； x + cos x
f ( x) = x 2 (3 tan x + 2 sec x) ；
f (x) = 2 sin x + x − 2 x ； 3 x2
《复旦大学数学分析》课件
5
数论
基本数论概念和定理，素数和因子分解。
微积分基本理论
导数和微分的概念，中值定理及其应用。
微分方程
常微分方程的基本概念和解法，常系数 线性微分方程。
教学方法
1 授课讲解
通过示例和解题过程进行 理论和概念讲解。
2 课堂互动
3 小组合作
鼓励学生参与讨论和提问， 激发学生的思考和独立思 考能力。
组织学生进行小组讨论和 合作解题，培养团队合作 和批判性思维能力。
《复旦大学数学分析》 PPT课件
欢迎来到《复旦大学数学分析》的PPT课件。本课程将带您深入了解数学分析 的重要概念和应用，了解其在现实生活和学术领域中的重要性。
课程概述
在这个部分，我们将简要介绍《复旦大学数学分析》的课程概述。我们将涵 盖的主题包括数论、函数极限和连续性、微积分基本理论、级数以及部分微 分方程。
课程目标
本课程的目标是使学生在数学分析领域拥有坚实的基础，并能够应用所学知 识解决实际问题。我们的目标是培养学生的逻辑思维能力、分析和证明能力， 以及数学建模的能力。
课程内容
1
函数极限和连续性
ห้องสมุดไป่ตู้
2
函数极限的概念、性质和计算方法，连
续函数的定义和性质。
3
级数
4
级数的概念，收敛性和发散性判定方法，
常见级数的性质。
考核方式
考试
期末考试将占总评成绩的 50%，重点考察学生对课程 知识的理解和应用能力。
作业
平时作业和小组项目将占总 评成绩的30%，鼓励学生在 课程中持续学习和实践。
参与度
学生在课堂讨论和小组活动 中的积极参与将占总评成绩 的20%。
结语
复旦大学2004～2005学年 数学分析Ⅱ 期末考试试卷
3
7．判断 ∑ x 2 (1 − x) n 与
n =1
∞
∑ nx
n =1
∞
2
(1 − x) n 在 [0,1] 上的一致收敛性，并证明0 。 8． 设函数 f ( x) 在 [a, +∞) 上一致连续， ∫ a f ( x)dx 收敛， x →+∞
+∞
4
n =1
∞
话举出反例。
4．求曲线 y =
xe− x ( x ≥ 0) 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
2
2
5. 求 f ( x) = arctan
∞ (−1) n 1 − 2x 在 x = 0 的幂级数展开，并求 ∑ 的值。 n 1 + 2x n = 0 ( 2n + 1) 4
6．设底面直径为 2 米，高为 5 米的圆柱体形状的浮桶横躺在 100 米 深的海底，打捞作业时需要将桶内的水“抽”到海面上，问将桶内的 。 水全部抽干要做多少功？（答案可保留水的比重 ρ 与重力加速度 g ）
ln(1 + x ) ⋅ sin x dx 收敛，则 α 的取值范围为 xα
。
。
（6） 函数项序列 S n ( x) = n 2 xα e − nx 在区间 [0,1] 上一致收敛， 则 α 的取
值范围为 。
1
解答题（每题 10 分） 2．计算积分 ∫ 0
+∞
xn dx 。 1 + x n+2
3. x n > 0 ， ∑ x n 收敛，问是否有 lim nx n = 0 ？是的话证明之，不一定的 n→∞
复旦大学 2004～2005 学年第二学期期末考试试卷
课程名称： 开课院系： 学生姓名：
复旦大学2018--2019学年第一学期高等代数I期末考试情况分析
复旦⼤学2018--2019学年第⼀学期⾼等代数I期末考试情况分析⼀、期末考试成绩90分以上的同学（共21⼈）周烁星(99)、封清(99)、叶⾬阳(97)、周⼦翔(96)、王捷翔(96)、张思哲(95)、丁思成(94)、陈宇杰(94)、谢永乐(93)、张哲维(93)、陈钦品(93)、邹年轶(92)、顾天翊(91)、吴润华(91)、黄泽松(91)、刘⽻(91)、范⾠健(90)、⾦维涵(90)、黄永晟(90)、张俊杰(90)、时天宇(90)⼆、总成绩计算⽅法平时成绩根据交作业的次数决定，本学期共交作业13次（因调休安排，2018年11⽉12⽇和2018年11⽉26⽇的作业各算2次），10次以上（包括10次）100分，少⼀次扣10分。
总成绩=平时成绩*15%+期中考试成绩*15%+期末考试成绩*70%三、期末卷⾯成绩及⼈数期末卷⾯成绩⼈数90分--100分2180分--89分3270分--79分2560分--69分2050分--59分940分--49分340分以下2缺考0合计112期末考试班级平均分76分四、最终等级成绩及⼈数最终等级成绩⼈数A35A-0B+28B24B-14C+5C3C-1D0F2缺考0合计112五、试卷命题分析本次期末试卷的第⼀⼤题为8道选择题，主要考察学⽣对基本概念的理解程度和对平时学习或作业中常见结论的熟悉程度；第⼆⼤题为8道填空题，它们与第三、四、五⼤题同为计算题，覆盖了整个⾼等代数I中所有重要的计算要点，这也是⾼等代数II和后续专业课程必需的计算基本功；第六、七、⼋⼤题同为证明题，其中第六⼤题是简单证明题，第七⼤题的难度略有增加，第⼋⼤题是最难的压轴题。
遵循⾼等代数I的教学⽬标，试卷的前六⼤题共计80分，着重考察学⽣对基本概念的理解、基本计算的掌握以及证明推导能⼒的养成；最后两道较难的证明题，让优秀的学⽣尽情发挥，使卷⾯成绩出现必要的梯度。
学⽣的期末考试卷⾯成绩分布说明本试卷具有较好的区分度。
数学分析试题及答案
z = 0 与 z = h （ h > 0 ）之间的部分，定向为下侧。
七．设 A(x, y) = 2xy(x 4 + y 2 )λ i − x 2 (x 4 + y 2 )λ j 是右半平面 D = { (x, y) | x > 0 } 上 的向量场，试确定常数 λ ，使得 A(x, y) 为 D 上函数 u(x, y) 的梯度场，并求出 u(x, y) 。
∑ 计算 ∞ (−1)n+1 的值。 n2 n=1
4
复旦大学 2005～2006 学年第一学期期末考试试卷
答案
1． （本题满分 40 分，每小题 8 分） （1） 2 2x + y − 2 = 0 。
（2） 1 。 2
1
（3） y = e e 为极大值。 x=e
（4）曲线在 (0, 1] 上为上凸，在[1,+∞) 上为下凸， (1, − 7) 为拐点。
∫∫∫ 四．计算三重积分 e|z|dxdydz ，其中 Ω = { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}。 Ω
五． 计算曲线积分
∫ 2 y 2 + z 2 ds ，
L
其中 L 是球面 x2 + y 2 + z 2 = a 2 （ a > 0 ）与平面 x = y 相交而成的圆周。
A t(1 + t 2 ) 2
x→+∞ 1 t(1 + t 2 )
∫ 所以存在 X > 0 ，当 x > X 时成立 A cos xt dt < ε ，于是当 x > X 时成立
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数学分析复旦大学第四版大一期末考试
一、填空题（每空1分，共9分）
1.
函数()f x =的定义域为________________
2.已知函数sin ,1()0,1
x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(1)____,()____4f f π== 3.函数()sin cos f x x x =+的周期是_____
4.当0x →时，函数tan sin x x -对于x 的阶数为______
5.已知函数()f x 在0x x =处可导，则00011()()23lim ____h f x h f x h h
→+--= 6.
曲线y =在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________ 7.函数2()f x x =在区间[0,3]上的平均值为________
二、判断题（每小题1.5分，共9分）
1.函数()f x x =
与()g x =（ ） 2.两个奇函数的积仍然是奇函数。
（ ）
3.极限0lim x x x
→不存在。
（ ） 4.函数1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩是初等函数，而1,0()0,01,0x g x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
不是初等函数。
（ ） 5.函数()sin f x x x =在区间[0,]π上满足罗尔中值定理。
（ ）
6.函数()f x 在区间[,]a b 上可导，则一定连续；反之不成立。
（ ）
三、计算题（64分）
1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）
（1）111lim(...)1223(1)n n n →∞+++⨯⨯⨯+ （2
）...n →∞++ （3
）4x → （4）210lim (cos )x x x →+ （5）2
11lim 1x t x e dt x →-⎰ 2.求出下列各导数（每小题4分，共16分）
（1）2()x
t x f x e dt --=⎰ （2）cos ()(sin )x f x x = (3) sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩
（4
）由方程arctan y x
=所确定的函数()y f x =。
3.求下列各函数的积分（每小题5分，共计20分） （1）2ln x xdx ⎰ （2）1sin cos dx x x +⎰ （3
）201-⎰ （4）411dx x
+∞
⎰ 4.试判断函数1sin ,0()0,0
x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性（8分） 四、证明题（18分）。
1.（8分）试用N ε-定义证明lim 11n n
n →∞=+。
2.（10分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，0a >，试证明存在点(,)a b ξ∈，使得()()'()ln b
f b f a f a ξξ-=。