数学分析复旦大学第四版大一期末考试

数学分析复旦大学第四版大一期末考试

一、填空题（每空1分，共9分）

1.

函数()f x =的定义域为________________

2.已知函数sin ,1()0,1

x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(1)____,()____4f f π== 3.函数()sin cos f x x x =+的周期是_____

4.当0x →时，函数tan sin x x -对于x 的阶数为______

5.已知函数()f x 在0x x =处可导，则00011()()23lim ____h f x h f x h h

→+--= 6.

曲线y =在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________ 7.函数2()f x x =在区间[0,3]上的平均值为________

二、判断题（每小题1.5分，共9分）

1.函数()f x x =

与()g x =（ ） 2.两个奇函数的积仍然是奇函数。（ ）

3.极限0lim x x x

→不存在。（ ） 4.函数1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩是初等函数，而1,0()0,01,0x g x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

不是初等函数。（ ） 5.函数()sin f x x x =在区间[0,]π上满足罗尔中值定理。 （ ）

6.函数()f x 在区间[,]a b 上可导，则一定连续；反之不成立。（ ）

三、计算题（64分）

1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）

（1）111lim(...)1223(1)n n n →∞+++⨯⨯⨯+ （2

）...n →∞++ （3

）4x → （4）210lim (cos )x x x →+ （5）2

11lim 1x t x e dt x →-⎰ 2.求出下列各导数（每小题4分，共16分）

（1）2()x

t x f x e dt --=⎰ （2）cos ()(sin )x f x x = (3) sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩

（4

）由方程arctan y x

=所确定的函数()y f x =。 3.求下列各函数的积分（每小题5分，共计20分） （1）2ln x xdx ⎰ （2）1sin cos dx x x +⎰ （3

）201-⎰ （4）411dx x

+∞

⎰ 4.试判断函数1sin ,0()0,0

x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性（8分） 四、证明题（18分）。

1.（8分）试用N ε-定义证明lim 11n n

n →∞=+

。 2.（10分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，0a >，试证明存在点(,)a b ξ∈，使得()()'()ln b

f b f a f a ξξ-=。