直线的参数方程

常见的坐标系
直角坐标 (x,y) 平面坐标 极坐标 (ρ,θ)
空间坐标
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ, z)
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系：ρ ,θ∈R
注① 负极径的定义：先正后对称
x 1
3t
2
y
t
2
t为参数 λ≠ 0
vx cos1500
1500
M0(1,0)
作业：
1.《固学案》P：6 2.《导学案》P：37 3.《导学案》P：37
Ex2 自我检测 2 自我检测 3
预习：
直线参数方程的应用
2
方 ①直线 0 程 ② 0( R)
③ 0 和
0
cos a
cos a
sin a
sin a
特殊圆的极坐标方程
图
(r, )
2
O
x
(r,0)
(r, ) O
像
O
xO
x
x
O
x
(r, 3 )
2
方
r
程
2r cos 2r cos 2r sin 2r sin
圆锥曲线的极坐标方程
§274 直线的参数方程
一、参数方程简述：
1.概念：
2.优点：
二、直线的参数方程：
1.运动(一般)式：xy
x0 y0
vx vy
t t
(t为参数) (t为时间)
2.数量(标准)式：
(t为参数) (t为数量)
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
注2.互化： 数形结合巧转化 类比三角辅助角 除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
解①：将点M1的坐标(0, 1)代入方程组得
t 0
2t
2
1
1
解得 t 0 ,故点M1在曲线C上
将点M2的坐标(5, 4)代入方程组得
3t 5
2t
2
1
4
该方程组无解 ,故点M2不在曲线C上
(1)课本P：22 例1
已知曲线C的参数方程是
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
②已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a 的值
一、参数方程简述：
1.参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,若曲线上任意一点的坐标
x, y都是某个变数
t
的函数
x f (t),
y
g (t ).
………
*
并且对于 t 的每一个允许值, 由方程组 * 所确定的点
M(x, y)都在这条曲线上,那么方程组 * 就叫做这条曲线的
参数方程，联系变数x, y 的变数t 叫做参变数, 简称参数.
注② 极坐标的多值性与单值性：
ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k ) (k Z)
ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k )和(－, 2k ) (k Z)
ⅲ :在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外， 其他点的极坐标是唯一的
极坐标与直角坐标的互化
1.运动(一般)式：
x y
x0 y0
vx vy
t t
(t为参数) (t为时间)
vy
M(x,y)
vx
M0(x0,y0)
2.数量(标准)式：
(t为参数) M0(x0,y0)
(t为数量)
M(x,y)
x
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
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运动(一般)式
x y
x0 y0
at bt
数量(标准)式 a2 b2 1
即普通方程与极坐标方程的互化
§274 直线的参数方程
一、参数方程简述：
1.概念：
2.优点：
二、直线的参数方程：
1.运动(一般)式：xy
x0 y0
vx vy
t t
(t为参数) (t为时间)
2.数量(标准)式：
(t为参数) (t为数量)
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
注2.互化： 数形结合巧转化 类比三角辅助角 除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
4t
③
x
y
2 5t 13
1 12t 13
④
x 3 t sin 20
y
4
t
cos
20
解①：x
y
2
4t 5
3t 5
(t为参数)
解②：x
y
2 4t
5
3t 5
(t为参数)
解③：x
y
2 5t 13
1 12t 13
(t为参数)
解④： yx
3 4
t t
sin 20(t为参数)
3
析⑤ ：直线的简图如下：
M(x,y)
1500
M0(1,0)
(7)将直线的普通方程 x 3y 1 0 改写成参数方程
法①标准式：直线的参数方程为
x y
1 t
t sin
cos1500 1500
即直线的参数方程为
x
1
3t 2
y
t 2
(t为参数)
v 法②运动式：直线的参数方程为 M(x,y) y sin 1500
x y
x0 y0
t t
2 2 1
0
x
x0
y
y0
||t 2 2 ||t 2 2
vy
t
M(x,y)
M0(x0,y0) vx
注：运动式中t为时间 数量式中t为数量
练习3.运动式
数量式：
(6)将下列直线的参数方程改写成标准式参数方程
①
x
y
2 3t 4t
②
x 2 3t
y
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
y x
求极坐标方程常用的方法
b0
x x0 t
y
y0
t
2 2 1
0
x x0 t
y
y0
t
vy
t
M(x,y)
M0(x0,y0) vx
注：运动式中t为时间 数量式中t为数量
练习2.运动(一般)式与数量(标准)式的区分： (5)下列方程组是直线参数方程的是_①___②___③___④__⑤___
是直线标准式参数方程的是__③___ 非负为1平方和
2.参数方程的优点：
①某些参数具有明显的物理或几何意义
②可将二元的x, y，变成一元的 t
③直接求某些曲线的普通方程有难度
但求其参数方程相对较为简单
练习1.参数方程的基础知识：
(1)课本P：22 例1 已知曲线C的参数方程是
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
①判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系
解② ：将点M3的坐标(6, a)代入方程组得
3t 6 2t 2 1 a
即
t 2 a 9
故a 的值为9
(2)曲线
x
1t2
,(t(为t为参参数）数)
与x轴的交点坐标是【B】
y 4t 3
A.(1,4)
B.( 25 , 0); C.(1,－4) D.( 25 , 0);
16
16
(3)若曲线C: 上
①
(t为参数)
x 2 3t
②
y
4t
(t为参数)
③
(t为参数)
④
x y
2 5t 13
1 12t 13
(t为参数)
⑤
x y
x0 y0
at bt
a为参数 t≠0
⑥
x y
1 t cos 2 t sin
(为参量)
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
注2.互化： 数形结合巧转化 类比三角辅助角 除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep
F
x
1 e cos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b2
c
注2：若AB为焦点弦，则
|
AB
|
2ep
1 e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
x y
1 2t at 2 .
,(t为为参参数
,aa∈ R
)) ,且点M(5,4)在C
则常数a=__1_____
(4)若曲线M:
x
y
sin cos 2
A.(2,7)
B. (1 , 1) 32
(θ为参数) ,则在M上的点是
C. (1 , 1) 22
【C】 D.(1,0)
二、直线的参数方程
公式法 方程法
直接法 间接法
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, )
2
O
x
O
x
l
(a, 3 )
cos 20
数形结合巧转化 类比三角辅助角
除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
(7)将直线的普通方程 x 3y 1 0 改写成参数方程
析①
：直线的参数方程为
x
y
x0 y0
t t
析② ：相当于填四个“ ”
析③ ：定点(x0,y0)的选取是越特殊越好,不妨取(1,0)
析④ ：易得直线的斜率为 3 ,倾斜角为1500