数学建模城市空气质量评估及预测

城市空气质量评估及预测

摘要: 本文对我国十个城市的空气质量进行了深入的研究，利用统计学等相关原理，结合我国现行的“创模”和“城考”体系中的环境空气质量指标，就城市空气污染程度，空气质量的预测和影响因素等问题建立出相应的数学模型。

利用层次分析法和Perron-Frobenions等相关原理建立数学模型对中国十大城市的空气污染严重程度给出分析并排名。运用GM（1,1）灰色预测模型，结合相关数据运用excel软件进行数据统计，对成都市2010年11月份的空气质量状况进行预测。使用优势分析原理分析空气中可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等因素对空气质量的影响程度。

关键词：空气质量，层次分析，判断矩阵，相对权重，排名，灰色预测，优势分析，可吸入颗粒，二氧化硫，二氧化氮

一、问题的提出

1.1背景介绍

随着中国经济的进一步发展，环境问题已是制约我国发展的关键因素之一，而环境问题最突出的就是空气污染。“十一五”“创模”考核指标“空气污染指数”要求：API指数≤100的天数超过全年天数85%。“城考”依据API指数≤100的天数占全年天数的比例来确定空气质量得分。“API指数≤100的天数”，通常又被称为空气质量达到二级以上的天数。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国空气质量做出分析和预测是一个重要问题，同时通过对影响空气质量因素的分析，以正确做好环境保护措施也极为重要。

本文主要针对以下几个问题进行相关分析：

（1）利用已知的数据，建立数学模型通过分析给出十个城市空气污染严重程度的科学排名。

（2）建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测。

（3）收集必要的数据，建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么。

二、基本假设

1）表格中已有的数据具有权威性，值得相信，具有使用价值。

2）空气质量相同等级的污染程度相同。

3）假设该市各种影响空气质量的软因素（如工业发展，人口数量）保持平稳变化。

4）不考虑突发事件即人为因素（如工业事故）造成的空气质量突变。

5）假设各种因素对环境的影响最终主要表现在可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮上，不考虑其他随机因素的影响。

三、问题的分析

3．1第一问所涉及的问题是一个具有一般性的，又有代表性的排序问题，鉴于每个城市的空气质量状况等级的权重有所不同，我们利用层次分析法对题中所测得城市空气质量状况进行排序，首先建立层次分析结构：

最上层为目标层（O）：各城市空气质量污染程度。

P i 中间层为准则层（P）：空气质量状况等级。共7个等级，依次为(1,2, (7)

i

最底层为对象层(C)：为排序对象。

由各层次之间的关系，C与P关联，且P与O相关联。

3.2第二问涉及对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，故可以运用GM

模型对其进行灰色预测，从掌握的历史数据可以看出，每年11月的空气质量级别分布较为相似，全月的平均值较好的反应了相关指标的变化规律，这样我们可以将预测评估分为两个部分：

1）利用灰色理论建立GM（1,1）模型，由2005-2009年11月份空气质量指数的平均值预测2010年的平均值。

2）通过历史数据计算每天指标值与全月总值的关系，从而可以预测出正常情况下2010年11月份每天的指标值，即空气质量指数。

3.3第三问是要分析影响空气质量的因素，本文主要考虑计入空气污染指数的三个指标。通过计算可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮的关联度，分析得知哪个因素对空气质量影响较大，哪个因素对空气质量影响较小。

四、模型的建立及求解

4.1运用层次分析法，将研究目标（O），空气质量状况（P）和对象（C）相应的分为目标层，中间层，最底层。层次关系图如下：

按照层次分析法的步骤，构造城市排名模型： 1） 建立层次结构图（如上图）；

2） 构造比较矩阵A ，比较7个空气质量状况P 对目标层（O ）的影响程度，

即确定它在O 中所占得比重。对任意两个和，用ij a 表示i P 和j P 对O 的影响程度之比，按1—9的比例标度来度量ij a (,1,2...)i j n =,由此可得到两两成对比较矩阵()ij n n A a ⨯=，ij a >0 , 1

ji ij

a a =

, ij a =1 (,1,2...)i j n = 比例标度的确定：ij a 取1—9的9个等级，而ji a 取ij a 的倒数。 比例标度值

3)确定相对权重

由两两成对比较的判断矩阵。结合Perron-Frobenions 定理，得非负矩阵存在正的最大模特征值，对应着正的特征向量。用“和法”求出矩阵的最大特征根和最大特征向。再将所求的特征向量单位化后得到的就是空气质量状况P 对目标O 相对影响性的权重，记为

ω。

和法求矩阵的最大特征根和最大特征向

a ． 将A 的每一列向量归一化得 1/n

ij ij ij i a a ω==∑, 矩阵ij ω如下：

0.5011 0.6797 0.4575 0.3810 0.3248 0.2832 0.2250

0.1253 0.1699 0.3660 0.3175 0.2784 0.2478 0.2000 0.1002 0.0425 0.0915 0.1905 0.1856 0.1770 0.1750 0.0835 0.0339 0.0305 0.0635 0.1392 0.1416 0.1500 0.0716 0.0283 0.0229 0.0212 0.0464 0.1062 0.1250 0.0626 0.0243 0.0183 0.0159 0.0155 0.0354 0.1000 0.0557 0.0212 0.0131 0.0106 0.0093 0.0089 0.0250

b ． 对ij ω按行求和得i ω： 0.4075 0.2436

0.1375

i ω=0.0918 0.0602 0.0389 0.0206

c ． 将i ω归一化得7

1

/i i i i ωωω*==∑，ω=127(,,...)T

ωωω即为特征向量。

d ． 7max

1()17i

i i

A ωλω==∑

()i A ω表示A ω的第i 个分量。