回归分析曲线拟合
spss曲线拟合与回归分析
曲线拟合与回归分析1、有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下：（1）说明两变量之间的相关方向；（2）建立直线回归方程；（3）计算估计标准误差；（4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时的总资产（因变量）的可能值。
解：由表格易知：工业总产值是随着生产性固定资产价值的增长而增长的，而知之间存在正向相关性。
用spss回归有：（2）、可知：若用y表示工业总产值（万元），用x表示生产性固定资产，二者可用如下的表达式近似表示：=x.0+y.567395896（3）、用spss回归知标准误差为80.216（万元）。
（4）、当固定资产为1100时，总产值可能是（0.896*1100+395.567-80.216~0.896*1100+395.567+80.216）即（1301.0~146.4）这个范围内的某个值。
另外，用MATLAP也可以得到相同的结果：程序如下所示：function [b,bint,r,rint,stats] = regression1x = [318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225];y = [524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624];X = [ones(size(x))', x'];[b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0.05);display(b);display(stats);x1 = [300:10:1250];y1 = b(1) + b(2)*x1;figure;plot(x,y,'ro',x1,y1,'g-');industry = ones(6,1);construction = ones(6,1);industry(1) =1022;construction(1) = 1219;for i = 1:5industry(i+1) =industry(i) * 1.045;construction(i+1) = b(1) + b(2)* construction(i+1);enddisplay(industry);display( construction);end运行结果如下所示：b =395.56700.8958stats =1.0e+004 *0.0001 0.0071 0.0000 1.6035industry =1.0e+003 *1.02201.06801.11601.16631.21881.2736construction =1.0e+003 *1.2190 0.3965 0.3965 0.3965 0.3965 0.3965200400600800100012001400生产性固定资产价值（万元）工业总价值（万元）2、设某公司下属10个门市部有关资料如下：（1）、确定适宜的 回归模型； （2）、计算有关指标，判断这三种经济现象之间的紧密程度。
第6章线性回归与曲线拟合
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关
关系，自然要先作实验，拥有一批实验
y=lncA 算得：
x=lnt
lncA ~lnt 的数表
Lnt
0.693 1.61
2.08
2.84
2.64
lncA -0.053 -1.09 -2.07 -0.289 -0.375
2.83 -0.446
3.296 -0.707
3.434 -0.821
3.555 -0.939
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
15
10
拉伸倍数x
15
7
6.2 回归方程的相关系数
因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
8
6.3 曲线拟合
在化工实验数据处理中，我们经常会遇到 这样的问题，即已知两个变量之间存在着函数 关系，但是，不能从理论上推出公式的形式， 要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之 间的函数关系。
10
20
30
40
t
系列1
作 t ~lncA 的图， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从
cA=aebt 型经验方程。
对照一级反应动力学的积分式：
c=cA0e-kt
多元线性回归与曲线拟合
第十章：多元线性回归与曲线拟合――Regression菜单详解〔上〕回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。
在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体外表积与身高、体重有关系；等等。
回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。
§10.1Linear过程调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。
在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法〔如：逐步法、向前法、向后法，等〕。
例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。
但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。
回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。
这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到根本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。
在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：除了大家熟悉的容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。
【Dependent框】用于选入回归分析的应变量。
【Block按钮组】由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。
由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，那么用该按钮组将自变量分组选入即可。
下面的例子会讲解其用法。
【Independent框】用于选入回归分析的自变量。
【Method下拉列表】用于选择对自变量的选入方法，有Enter〔强行进入法〕、Stepwise〔逐步法〕、Remove〔强制剔除法〕、Backward〔向后法〕、Forward〔向前法〕五种。
回归拟合曲线
回归拟合曲线回归拟合曲线是一种数据分析方法，用于确定数据之间的关系模式。
它可以帮助我们预测未来的趋势和变化。
本文将介绍回归拟合曲线的基本概念、常见的回归方法以及如何使用这些方法进行曲线拟合。
回归拟合曲线是通过找到最佳拟合线来描述两个或多个变量之间的关系。
拟合曲线可以是线性的，也可以是非线性的。
线性回归使用一条直线来拟合数据，而非线性回归使用其他类型的函数来拟合数据。
回归分析通常用于预测一个变量的值，基于已知的自变量值。
在回归拟合曲线中，有两个主要的变量：自变量和因变量。
自变量是我们用来预测因变量的变量，而因变量是我们想要预测的变量。
我们假设自变量能够解释因变量的变化。
回归分析的目标是找到自变量和因变量之间的关系，并使用这种关系来预测未来的因变量。
回归分析有很多不同的方法，包括线性回归、多项式回归、指数回归等。
线性回归是最简单的回归方法之一，它使用一条直线来拟合数据。
线性回归的基本原理是找到一条直线，使得这条直线与数据点的距离最小。
这种方法被广泛应用于各种领域，例如经济学、统计学和工程学等。
多项式回归是一种非线性回归方法，它使用多项式函数来拟合数据。
它可以适应各种曲线形态，并能更好地拟合非线性数据。
多项式回归的原理是在数据中添加多项式项，使得拟合曲线能够更好地适应数据点。
通过选择合适的多项式次数，我们可以调整曲线的形状和适应性。
指数回归是一种应用较广泛的非线性回归方法，它使用指数函数来拟合数据。
指数回归在研究生长速度、衰变速度等方面非常有用。
指数回归的原理是将因变量和自变量取对数，使拟合曲线变为线性形式。
然后使用线性回归分析来获得最佳拟合直线。
在进行回归拟合曲线之前，我们需要明确两个事项：回归分析的目标和回归模型的选择。
回归分析的目标是什么，决定了我们要解决什么问题。
回归模型的选择取决于我们的数据类型和问题需求。
回归分析在实际应用中非常有价值。
例如，在销售预测中，我们可以使用历史销售数据来预测未来销售额。
spss曲线拟合与回归分析
曲线拟合与回归分析1、有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下：（1）说明两变量之间的相关方向；（2）建立直线回归方程；（3）计算估计标准误差；（4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时的总资产（因变量）的可能值。
解：由表格易知：工业总产值是随着生产性固定资产价值的增长而增长的，而知之间存在正向相关性。
用spss回归有：（2）、可知：若用y表示工业总产值（万元），用x表示生产性固定资产，二者可用如下的表达式近似表示：=x.0+y.567395896（3）、用spss回归知标准误差为80.216（万元）。
（4）、当固定资产为1100时，总产值可能是（0.896*1100+395.567-80.216~0.896*1100+395.567+80.216）即（1301.0~146.4）这个范围内的某个值。
另外，用MATLAP也可以得到相同的结果：程序如下所示：function [b,bint,r,rint,stats] = regression1x = [318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225];y = [524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624];X = [ones(size(x))', x'];[b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0.05);display(b);display(stats);x1 = [300:10:1250];y1 = b(1) + b(2)*x1;figure;plot(x,y,'ro',x1,y1,'g-');industry = ones(6,1);construction = ones(6,1);industry(1) =1022;construction(1) = 1219;for i = 1:5industry(i+1) =industry(i) * 1.045;construction(i+1) = b(1) + b(2)* construction(i+1);enddisplay(industry);display( construction);end运行结果如下所示：b =395.56700.8958stats =1.0e+004 *0.0001 0.0071 0.0000 1.6035industry =1.0e+003 *1.02201.06801.11601.16631.21881.2736construction =1.0e+003 *1.2190 0.3965 0.3965 0.3965 0.3965 0.3965200400600800100012001400生产性固定资产价值（万元）工业总价值（万元）2、设某公司下属10个门市部有关资料如下：（1）、确定适宜的 回归模型； （2）、计算有关指标，判断这三种经济现象之间的紧密程度。
二元回归曲线拟合
二元回归曲线拟合
二元回归曲线拟合是一种常见的统计分析方法，用于研究两个变量之间的关系。
它是回归分析的一种特殊形式，适用于当因变量和自变量都是二元变量时。
在进行二元回归曲线拟合时，首先需要确定一个适合的回归模型。
常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、指数回归等。
选择适当的回归模型取决于变量之间的关系以及数据的分布特征。
一旦确定了回归模型，接下来就是利用已有数据对模型进行拟合。
拟合的目标是使模型与观测数据之间的误差最小化，即找到最佳拟合曲线。
常用的拟合方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
进行二元回归曲线拟合后，可以通过模型来预测因变量的取值。
这对于研究变量之间的相互作用、预测未来趋势等具有重要意义。
此外，还可以利用拟合结果来评估模型的拟合优度，例如决定系数（R-squared）、残差分析等。
二元回归曲线拟合在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在金融领域，可以利用二元回归曲线拟合来研究股票市场和利率之间的关系。
在医学领域，可以利用该方法来研究药物疗效和剂量之间的关系。
在环境科学领域，可以利用二元回归曲线拟合来分析污染物的浓度和环境因素之间的关系。
总之，二元回归曲线拟合是一种有效的统计分析方法，用于研究两个二元变量之间的关系。
通过选择适当的回归模型和进行拟合，我们可以得到准确的拟合曲线，并利用拟合结果进行预测和评估。
这一方法在各个领域都有着广泛的应用，为我们提供了更深入的数据分析和决策支持。
非线性回归分析与曲线拟合方法
非线性回归分析与曲线拟合方法回归分析是一种常见的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，很多数据并不符合线性关系，而是呈现出曲线形式。
这时，我们就需要使用非线性回归分析和曲线拟合方法来更好地描述数据的规律。
一、非线性回归分析的基本原理非线性回归分析是一种通过拟合非线性方程来描述自变量与因变量之间关系的方法。
与线性回归不同，非线性回归可以更准确地反映数据的特点。
在非线性回归分析中，我们需要选择适当的非线性模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式方程来拟合数据。
多项式回归模型可以描述数据的曲线特征，但容易出现过拟合问题。
2. 指数回归模型：指数回归模型适用于自变量与因变量呈指数关系的情况。
指数回归模型可以描述数据的增长或衰减趋势，常用于描述生物学、物理学等领域的数据。
3. 对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量呈对数关系的情况。
对数回归模型可以描述数据的增长速度，常用于描述经济学、金融学等领域的数据。
4. S形曲线模型：S形曲线模型适用于自变量与因变量呈S形关系的情况。
S形曲线模型可以描述数据的增长或衰减过程，常用于描述市场营销、人口增长等领域的数据。
三、曲线拟合方法曲线拟合是一种通过选择合适的曲线形状来拟合数据的方法。
在曲线拟合过程中，我们需要根据数据的特点选择适当的拟合方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法：非线性最小二乘法是一种用于拟合非线性模型的方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定模型的参数。
3. 曲线拟合软件：除了手动选择拟合方法，我们还可以使用曲线拟合软件来自动拟合数据。
常见的曲线拟合软件包括MATLAB、Python的SciPy库等。
四、应用实例非线性回归分析和曲线拟合方法在实际应用中有着广泛的应用。
wps计算回归函数和回归拟合曲线值
wps计算回归函数和回归拟合曲线值WPS是一款功能强大的办公软件，其中的计算模块和分析工具为用户提供了丰富的数据处理能力。
特别是对于统计分析方面的需求，WPS提供了多种回归函数和回归拟合曲线值的计算方法。
本文将介绍WPS中的回归分析功能，以及如何计算回归函数和拟合曲线值。
一、回归分析回归分析是一种统计学的分析方法，主要用于预测模型的建立和数据分析。
回归分析根据自变量和因变量之间的关系，来预测未来或者未观测到的因变量值。
在WPS 中，我们可以使用回归分析功能，进行数据处理。
回归分析功能在WPS的数据分析功能中，可以通过点击“数据”菜单栏中的“数据分析”来打开。
在数据分析对话框中，选择“回归”选项，即可打开回归分析窗口。
二、计算回归函数在回归分析窗口中，“输入变量”一栏需要填写自变量所在的数据区域；“输出变量”一栏需要填写因变量所在的数据区域。
WPS支持多元回归分析，即可以同时分析多个自变量和一个因变量的关系。
此时，“输入变量”一栏可以填写多列数据区域，以逗号隔开即可。
在回归分析窗口中，我们可以选择不同的回归模型，如线性回归、多项式回归、指数回归、对数回归等。
WPS中提供了多种求解器，可以选择最小二乘法、最大似然估计、非线性最小二乘法等方法，计算回归系数和截距。
回归分析结果的窗口中会显示出回归系数和截距，以及R方值、p值、标准误差等统计数据。
回归系数表示自变量的变化在因变量中产生的影响程度，截距则表示当自变量为0时因变量的值。
根据回归系数和截距，我们可以计算出回归函数。
例如，在线性回归中，回归函数为y = kx + b，其中k为回归系数，b为截距。
在WPS中，我们可以使用函数公式编辑器，直接输入回归函数的表达式，并依据计算结果中的回归系数和截距值，对表达式做出填写。
以上就是计算回归函数的一般方法，我们需要准确选择输入变量和回归模型，以及根据回归系数计算出回归函数表达式，才能进行更为精准的预测和数据分析。
多重非线性回归曲线拟合方法评估
多重非线性回归曲线拟合方法评估在数据分析和统计建模中，回归分析是一种常用的方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，线性回归是最为常见的方法之一，用于寻找一条最优的直线来拟合数据。
然而，有时候数据并不满足线性关系，因此需要使用多重非线性回归曲线拟合方法来更准确地描述数据的特点。
多重非线性回归曲线拟合方法是一种通过使用非线性函数来逼近因变量和自变量之间的关系的方法。
这种方法通过寻找与数据最匹配的曲线来揭示数据的隐藏规律。
与线性回归相比，非线性回归所拟合的曲线能够更准确地描述数据之间的关系，并提供更贴切的预测。
在评估多重非线性回归曲线拟合方法时，有一些常见的评估指标和方法，如下所述：1. 残差分析：残差是因变量与回归模型估计值之间的差异。
通过对残差进行分析，可以评估模型的拟合程度。
一种常用的方法是绘制残差图，观察残差是否呈现随机分布。
如果残差的分布符合随机性，则说明模型的拟合程度较好；反之，如果残差存在一定的模式或规律，可能意味着模型存在问题。
2. 拟合优度指标：拟合优度指标用于衡量模型拟合数据的好坏。
常见的拟合优度指标包括决定系数（R²）、平均绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE）等。
决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合程度越好；MAE和RMSE越小，说明模型的预测误差越小。
3. 参数估计：非线性回归模型中的参数估计需要通过最小化估计误差来得到。
在进行参数估计时，需要保证模型具有足够的灵活度，以拟合数据的非线性关系。
一种常见的方法是使用最小二乘法来估计参数，同时使用交叉验证等方法来消除过拟合或欠拟合问题。
4. 统计显著性：统计显著性检验用于判断回归模型中的参数是否显著影响因变量。
在非线性回归模型中，参数的显著性可以通过计算置信区间或使用假设检验的方法进行。
如果参数的置信区间不包含零，或者显著性检验的p值小于显著性水平（通常为0.05），则可以认为参数对因变量的影响是显著的。
在曲线拟合APP中是如何进行线性回归分析的
在曲线拟合APP中是如何进行线性回归分析的线性回归是一种统计学方法，用来建立自变量和因变量之间的线性关系。
它假设自变量和因变量之间存在一个线性关系，即因变量是自变量的线性组合。
线性回归的目标是通过拟合模型，从数据中推测出自变量和因变量之间的关系，并预测新数据样本的因变量。
在线性回归中，自变量和因变量之间的关系可以用一个简单的公式来表示:y=a+b某其中，y是因变量，某是自变量，a是截距，b是斜率。
当我们拟合数据时，我们需要找到最佳的截距和斜率，使得模型的拟合效果最优。
我们可以使用梯度下降等算法来拟合线性回归模型，并计算出截距和斜率的最优值。
一旦我们得到了最佳的截距和斜率，我们就可以使用这个模型来预测新的数据样本了。
下面是线性回归的主要步骤：收集数据：首先，需要收集一个包含自变量和因变量的数据集。
确定回归模型：然后，需要选择一个适当的线性回归模型来拟合数据。
这通常涉及确定适当的模型假设、选择自变量等。
拟合回归模型：一旦确定了回归模型和自变量，就可以使用最小二乘法等方法来拟合回归模型，以使预测误差最小化。
评估模型：在拟合回归模型后，需要评估其拟合程度。
这可以通过计算拟合优度、检查残差图、Q-Q图和其他统计量来实现。
使用模型：最后，可以使用已拟合的回归模型来进行预测。
此时，给定自变量值，可以通过回归方程直接计算因变量的估计值。
需要注意的是，回归分析并不是一定要采用线性回归模型。
实际上，有许多其他类型的回归分析可以使用，如多元回归、非线性回归、广义线性回归等。
具体选择哪种回归分析方法，取决于数据的性质和研究问题的特征。
如何在报告中准确解读回归与拟合曲线
如何在报告中准确解读回归与拟合曲线一、回归分析的基本原理和概念1.1 回归分析的定义和应用领域1.2 简单线性回归与多元线性回归的区别1.3 回归分析中的相关系数和确定系数的含义二、回归线的解读2.1 回归线的方程及参数估计2.2 利用回归线进行预测和精确度评估2.3 回归线的显著性检验和解释三、拟合曲线的解读3.1 拟合曲线的定义和建立方法3.2 拟合曲线的优度评估指标3.3 拟合曲线中的过拟合与欠拟合问题四、误差项的解读4.1 误差项的定义和性质4.2 常见的误差分布假设4.3 残差分析和异常值的处理五、多元回归的解读5.1 多元回归模型的基本构建和参数估计5.2 多元回归模型的显著性检验和系数解释5.3 多重共线性和变量选择的问题六、回归与拟合曲线的应用案例解析6.1 金融领域中的回归分析应用6.2 生物医学中的拟合曲线应用6.3 工程领域中的多元回归分析案例回归分析在统计学和数据分析中被广泛应用，用于探究变量之间的关系和预测未来趋势。
在报告中准确解读回归与拟合曲线是非常重要的，能够帮助读者对数据进行深入理解和正确的应用。
本文将从回归分析的基本原理和概念开始，逐步展开，通过六个小标题进行详细论述。
首先，我们需要了解回归分析的基本原理和概念。
回归分析是一种用于研究因变量与一个或多个自变量之间关系的统计方法。
在不同的应用领域中，回归分析有着广泛的应用，比如金融领域的股市预测和走势分析，生物医学领域的药物疗效评估等。
同时，我们还介绍了简单线性回归和多元线性回归的区别，以及回归分析中使用的相关系数和确定系数的含义。
接下来，回归线的解读是非常重要的一环。
我们介绍了回归线的方程及参数估计的方法，以及如何利用回归线进行预测和精确度评估。
此外，还需要进行回归线的显著性检验和解释，以确定回归模型是否具有统计学意义。
在拟合曲线的解读中，我们首先介绍了拟合曲线的定义和建立方法，说明了拟合曲线的优度评估指标。
同时，我们讨论了拟合曲线中的过拟合与欠拟合问题，这对于解读拟合曲线的准确性和稳定性有着重要意义。
回归曲线的拟合优度
回归曲线的拟合优度是用来评估回归模型对观测数据的拟合程度的指标。
常见的拟合优度指标包括判定系数（R-squared）和调整判定系数（Adjusted R-squared）。
1.判定系数（R-squared）：判定系数是最常用的拟合优度指标之一，表示回归模型所
解释的因变量方差的比例。
它的取值范围是0到1，越接近1表示模型对观测数据的拟合程度越好。
计算公式如下：R-squared = 1 - (SSR/SST) 其中，SSR代表残差平方和（Sum of Squares Residuals），SST代表总平方和（Sum of Squares Total）。
2.调整判定系数（Adjusted R-squared）：调整判定系数是对判定系数进行修正的指标，
考虑了自变量个数对拟合优度的影响。
与判定系数相比，调整判定系数会惩罚自变量个数较多的模型，使得模型选择更加稳健。
计算公式如下：Adjusted R-squared = 1 - [(1 - R-squared) * (n - 1) / (n - k - 1)] 其中，n表示样本量，k表示自变量个数。
需要注意的是，拟合优度指标只能反映回归模型对样本数据的拟合程度，不能用于判断模型的预测能力。
在选择模型时，除了拟合优度指标，还应该考虑其他因素，如实际背景知识、模型的假设前提以及残差分析等。
MATLAB程式设计进阶篇曲线拟合与回归分析(精)
2
( y A ) T ( y A )
此即為前述的總平方誤差 E
MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指 令，來解出最佳的 ，使得總平方誤差為最小。
曲線擬合運算範例
利用「左除」來算出最佳的參數值，並同時畫 出具有最小平方誤差的二次曲線
範例10-2： census01.m
a 0 a1 x1 a 2 x1 y1 a 0 a1 x 2 a 2 x 2 y 2 2 a 0 a1 x 21 a 2 x 21 y 21
2 2
亦可寫成
1 x1 x12 2 1 x x 2 2 2 1 x21 x21
E (a0 , a1 , a2 ) yi f ( xi ) yi a0 a1 xi a2 xi
2 i 1 i 1 21 21
2
2
目標函數之求解
求得參數 a0 、 a、 1 a2 的最佳值 a2 的導式，令其為零，即可解 求出 E 對 a0、a1 、 出 a0、 a1、a2 的最佳值。
MATLAB 程式設計進階篇 曲線擬合與迴歸分析
張智星 (Roger Jang) jang@ /jang 清大資工系 多媒體檢索實驗室
資料擬和簡介
資料擬合（Data Fitting）
給定一組資料（含輸入及輸出），建立一個數學模 型，來逼近此資料的輸入輸出特性 如果此資料包含一維輸入及輸出，則此數學模型可 以表示成一條曲線，在此情況下又稱為曲線擬合 （Curve Fitting） 使用統計的方法來進行資料擬和，並分析每一個變 數的統計特性，此過程稱為迴歸分析
回归分析和曲线拟合
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0.05 0.01
0.413 0.404 0.396 0.388 0.381 0.374 0.367 0.364 0.355 0.349
0.526 0.515 0.505 0.496 0.487 0.478 0.470 0.463 0.456 0.449
单击此处添加大标题内容
04
05
从偏回归平方和的意义可以看出,凡是对Y作用显著的因素一般具有较大的Ｐi值。Ｐi愈大,该因素对Y的作用也就愈大,这样通过比较各个因素的Pｉ值就可以大致看出各个因素对因素变量作用的重要性。在实用上,在计算了偏回归平方和后,对各因素的分析可以按下面步骤进行:
01
为此,我们要先计算
腐蚀时间x（秒）
腐蚀深度y（μ）
5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120
4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46
40 30 20 10
y
x
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
只有当正规方程的系数矩阵为对角型
在化工实验数据处理中，我们经常会遇到这样的问题，即已知两个变量之间存在着函数关系，但是，不能从理论上推出公式的形式，要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之间的函数关系。
01Leabharlann 二元溶液的溶解热与浓度的函数关系
02
反应物的浓度与反应时间的函数关系
03
做散点图，选经验方程，曲线变直，相关系数对比，求出常数
相关系数临界值表
预报与控制
01
当我们求得变量x、y之间的回归直线方程后，往往通过回归方程回答这样两方面的问题：
趋势分析和回归分析
趋势分析和回归分析，线性、对数、多项式、盛幂、指数、移动平均分析有何不同？1 趋势分析法趋势分析法称之趋势曲线分析、曲线拟合或曲线回归，它是迄今为止研究最多，也最为流行的定量预测方法。
它是根据已知的历史资料来拟合一条曲线，使得这条曲线能反映负荷本身的增长趋势，然后按照这个增长趋势曲线，对要求的未来某一点估计出该时刻的负荷预测值。
常用的趋势模型有线性趋势模型、多项式趋势模型、线性趋势模型、对数趋势模型、幂函数趋势模型、指数趋势模型、逻辑斯蒂(logistic)模型、龚伯茨(gompertz)模型等，寻求趋势模型的过程是比较简单的，这种方法本身是一种确定的外推，在处理历史资料、拟合曲线，得到模拟曲线的过程，都不考虑随机误差。
采用趋势分析拟合的曲线，其精确度原则上是对拟合的全区间都一致的。
在很多情况下，选择合适的趋势曲线，确实也能给出较好的预测结果。
但不同的模型给出的结果相差会很大，使用的关键是根据地区发展情况，选择适当的模型。
分析珠海市1995年以来的用电量历史数据，发现具有比较明显的二项式增长趋势，模型曲线为y=0.229565x2-914.8523x+911472.65，利用该模型曲线得到2005年到2010年的用电量水平分别为52.78亿kwh和85.08亿kwh。
拟合曲线如图1所示。
2 回归分析法回归分析法(又称统计分析法)，也是目前广泛应用的定量预测方法。
其任务是确定预测值和影响因子之间的关系。
电力负荷回归分析法是通过对影响因子值(比如国民生产总值、工农业总产值、人口、气候等)和用电的历史资料进行统计分析，确定用电量和影响因子之间的函数关系，从而实现预测。
但由于回归分析中，选用何种因子和该因子系用何种表达式有时只是一种推测，而且影响用电因子的多样性和某些因子的不可测性，使得回归分析在某些情况下受到限制。
对珠海市历年用电量和国内生产总值gdp、人口popu等数据进行分析，求得回归方程为：y=-3.9848+0.0727gdp+0.10307popu，用该模型预测2005年和2010年的用电量水平分别为47.11亿kwh和70.98亿kwh。
execl 曲线拟合
在Excel中，可以使用“回归分析”功能来拟合曲线。
以下是一些简单的步骤：
1. 准备数据：将要拟合的数据点输入到Excel工作表中。
确保数据的准确性和完整性。
2. 选择数据：选择要拟合的数据点。
可以通过单击第一个数据点，然后按住Shift键单击最后一个数据点，或单击第一个数据点，然后拖动鼠标选择所有数据点。
3. 插入回归分析工具：在Excel菜单栏中选择“分析”选项卡，然后单击“回归”按钮。
4. 选择拟合类型：在回归分析对话框中，选择要拟合的曲线类型。
Excel支持多种拟合类型，包括线性、多项式、指数、对数等。
5. 确定拟合参数：在回归分析对话框中，可以设置拟合的参数，例如拟合的阶数、截距、系数等。
6. 运行回归分析：单击“确定”按钮，Excel将拟合曲线并显示拟合的结果。
7. 可视化拟合曲线：使用Excel图表工具，可以将拟合的曲线绘制在图表中，并添加标签和标题。
需要注意的是，回归分析是一种统计方法，其结果可能受到数据的影响。
因此，在使用回归分析结果时，需要谨慎分析和解释结果，并结合实际情况进行判断。
第八章 曲线拟合、回归和相关分析
相关的概率解释
总体相关系数提供了给定的总体回归曲线是否较好 地拟合了总体数据地一种度量。前面关于样本间相 关的各种叙述均可以很好地用到总体上。
n
或 s
2 y. x
( y y ) b ( x x)( y y ) n
对最小二乘直线也能用方差和相关系数表示
2 2 2 sy s ( 1 r ) .x y
正如存在一个总体方差的无偏估计
ˆ 2 ns2 /(n 1) s
一样，有一个估计的理论标准误差的平方的无偏估 计，有
2 2 ˆ s y. x nsy. x /(n 2)
线性相关系数
为了考察相关系数的统计意义
r 2 1
我们也能显示
2 ( y y ) est 2 ( y y )
2
( y y)
2
( y yest ) ( yest y )
2
式子的左边为总变差，右边的第一项为不可解释的变差(是随机的或不可 预见的方式引起的)，第二项为可解释变差(可以由最小二乘回归线得到 解释)，所以我们可以得到
数据点集(x1,y1),…,(xn,yn)最小二乘直线方程 y=a+bx 将所有点代入直线方程后相加，我们得到 y=an+bx(或 y a b x) 以及 xy=ax+bx2 这两个方程称为最小二乘的正规方程。由上 面的方程组我们可以达到a,b分别为：
yx xxy a , 2 2 n x ( x ) nxy xy b , 其中b也可以写成 2 2 n x ( x )
x和y的样本方差和协方差给定为
2 2 ( x x ) ( y y ) ( x x)( y y ) 2 2 sx , sy , s xy n n n
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路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
(一) 一元线性回归模型
(linear regression model)
1、描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型
2、一元线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x +
Y是x 的线性函数(
也表示
路漫漫其修远兮,
x
每变动一个单位时，
y
的平均变动值
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SPSS 线性回归分析
多元线性回归分析基本结构与一元线性回归相同。而 他们在SPSS下的功能菜单是集成在一起的。下面通过 SPSS操作步骤解释线性回归分析问题。
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SPSS过程
步骤一：录入数据，选择分析菜单中的 Regression==>liner 打开线性回归分析对话框；
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Statistics
模型拟合：复相关 系数、判定系数、
选项
调整R2、估计值的标 准误及方差分析
步骤二：选择被解释变量和解释变量。其中因 变量列表框中为被解释变量，自变量为回归分 析解释变量。
注：要对不同的自变量采用不同引入方法时， 选NEXT按钮把自变量归入不同自变量块中。
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第三步：选择个案标签。在变量列表中选择变 量至个案标签中，而被选择的变量的标签用于 在图形中标注点的值。
1. 总体回归参数β0和β1是未知的，必须利用样本数 据去估计
2. 用样本统计量 bˆ0和 bˆ1代替回归方程中的未知参
数β0和β1 ，就得到了估计的回归方程
3. 一元线性回归中估计的回归方程为
yˆ = bˆ0 + bˆ1x
其中：bˆ0是估计的回归直线在 y 轴上的截距，bˆ1是直线的
斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， yˆ 是 y 的估计值，
2、在重复抽样中，自变量x的取值 是固定的，即假定x是非随机的
3 、误差项 满足条件
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
误差项 满足条件
正态性。 是一个服从正态分布的随机变量，
且期望值为0，即 ~N(0 , 2 ) 。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E(y)=b0+ b1x
方差齐性。对于所有的 x 值， 的方差一个特定
部分)加上误差项
b0 和 b1 称为模
型的参数
误差项 是随机
变量
注：线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变
化；误差项反映了除x和y之间的线性关系之
外的随机因素对y的影响，它是不能由x和y之 路漫漫其修间远兮, 的线性关系所解释的变异性。
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一元线性回归模型（基本假定 ）
1、因变量x与自变量y之间具有线性 关系
拟合程度R2
(注：相关系数的平方，一元回归用R Square，多元回归 路漫漫用其修远A兮d, justed R Square)
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回归分析的过程
在回归过程中包括：
Liner：线性回归 Curve Estimation：曲线估计
Binary Logistic： 二分变量逻辑回归 Multinomial Logistic：多分变量逻辑回归； Ordinal 序回归；Probit：概率单位回归； Nonlinear：非线性回归； Weight Estimation：加权估计； 2-Stage Least squares：二段最小平方法； Optimal Scaling 最优编码回归 路漫漫我其修远们兮, 只讲前面2个简单的（一般教科书的讲法）
3、因变量与自变量之间的关系用一个线性 方程来表示 路漫漫其修远兮,
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线性回归的过程
一元线性回归模型确定过程 一、做散点图(Graphs ->Scatter->Simple)
目的是为了以便进行简单地观测（如： Salary与Salbegin的关系)。 二、建立方程 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方 程，若不呈线性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳方程式（曲线估计）。
第四步：选择加权二乘法（WLS）。在变量列 表框中选择变量至WLS中。但是该选项仅在被 选变量为权变量时选择。
第五步：如果点击OK，可以执行线性回归分析 操作。
hod选项
Enter：强迫引入法，默认选项。全部被选变量一次性进 入回归模型。
Stepwise：强迫剔除法。每一次引入变量时，概率F最小 值的变量将引入回归方程，如果已引入回归方程的变量 的F大于设定值，将被剔除回归方程。当无变量被引入 或剔除，时终止回归方程
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线性回归
线性回归分为一元线性回归和多元线性回归。
一、一元线性回归：
1、涉及一个自变量的回归
2、因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)
，用y表示
用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量
(independent variable)，用x表示
的值，的方差也都等于 2 都相同。同样，一个特定 的x 值， y 的方差也都等于2
独立性。独立性意味着对于一个特定的 x 值，
它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关；对于一 个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关 路漫漫其修远兮,
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估计的回归方程
(estimated regression equation)
Remove：剔除变量。不进入方程模型的被选变量剔除。 Backward：向后消去 Forward：向前引入
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Rule选项
选择一个用于指定分析个案的选择规则的变量 。
选择规则包括： 等于、不等于、大于、小于、大于或等于、小于
或等于。 Value中输入相应变量的设定规则的临界值。
回归分析曲线拟合
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2020年4月12日星期日
回归分析的模型
一、分类 按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归和多元回归
二、基本的步骤
利用SPSS得到模型关系式，是否是我们所要的？ 要看回归方程的显著性检验（F检验）
回归系数b的显著性检验(T检验)