矩阵秩的等式
秩的一些相关公式
秩的一些相关公式在线性代数这门学科里，秩是非常关键也是常用的一个工具，要深刻理解和掌握秩这个武器，必须还要熟记与秩有关的一些公式，这样才能在考试中得心应手，下面对秩的公式进行了总结，也方便同学们掌握这部分内容。
1.()()()T r r r k ==A A A ，0k ≠；前一篇笔者讲到了，矩阵的秩等于其行秩也等于其列秩，所以将矩阵转置了之后秩是没有改变的，数乘也是不改变秩的。
2.()min{,}m n r m n ⨯≤A ；矩阵形式：结合矩阵秩的概念，非零子式的最高阶数即为矩阵的秩，矩阵最高阶子式为min{,}m n ，故其非零子式最高阶应小于等于min{,}m n ；向量形式：若将矩阵m n ⨯A 写成向量组的形式，即1[,...,]m n n αα⨯=A ，矩阵的秩等于向量组的秩，则有的向量组的秩1(,...,)min{,}n r m n αα≤。
3.若向量组1,...,n αα可由向量组1,...,m ββ表出，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ<。
这个推导过程上一篇文章笔者已经介绍了，就不在这介绍过多了，若将向量组组成矩阵的形式，有()m i n {(),()}r r r ≤A B A B ，这个矩阵形式的公式是最常用的，关于这个公式还有如下几点推论： 推论1：若n n ⨯P 可逆，则()()r r =AP A , ()()r r =PB B ；这条推论的用法就是乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩，那么可逆矩阵的本质就是若干个初等矩阵相乘，乘以可逆矩阵相当于做了若干次初等变换，初等变换是不改变秩的。
推论2：若m n m n ⨯⨯≅A B ，等价于()()m n m n r r ⨯⨯=A B ；两个同型矩阵等价的充要条件是其秩相同。
推论3：若向量组1,...,n αα与向量组1,...,m ββ等价，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ=，这条推论两个向量组等价的必要条件是这两个向量组的秩相同，这只是一个必要条件，而非充要条件，要和推论2区别开。
矩阵的秩
D3
1 6 0 4 0 6
4
2 7
D6 7 4 42 Nhomakorabea高 等 代 数
●矩阵的秩的概念
定义2.5.2 矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为 矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。 如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，
高 等 代 数
定理2.5.2 n阶矩阵A可逆的充要条件是R(A)=n
定理2.5.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是方阵A满秩序。
定理2.5.4 一个方阵满秩的充要条件是它能表示为初等矩阵的乘积
高 等 代 数
所有高于 r 阶的子式都为零。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 4
因为 所以
高 等 代 数
A 0
1 2 2 0 2 2
R( A) 2
1 3 2 2 0 2 1 3 的秩. 例 求矩阵A= 2 0 1 5 解: 因为 1 3 2 0, 计算A的3阶子式. 0 2 1 3 2 0 2 1 0, 2 0 1 1 2 2 0 1 3 0, 2 1 5 1 3 2 0 2 3 0, 2 0 5 3 2 2 2 1 3 0. 0 1 5 所以, R(A)=2.
高 等 代 数
●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
定理2.5.1 设矩阵A经过初等变换化为B，则A有不等于零的 K阶子式当且仅当B有不等于零的K阶子式 推论2.5.1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成 为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 矩阵的秩.
一、矩阵的秩概念 二、矩阵的秩求法
高等代数矩阵秩的等式与不等式
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故
( 秩A
) B
=
秩
Er
Es
= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证 设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).
矩阵的秩——精选推荐
课程：高等代数第2.6.1页课程：高等代数第2.6.2页课程：高等代数第2.6.3页课程：高等代数第2.6.4页课程：高等代数第2.6.5页编者按：大地涵藏万物，孕育生命，被誉为人类的母亲。
但是，近年来，伴随我国工业化的快速发展，大地不断遭到各种污染的伤害。
仅仅因土壤污染防治不足、环境监管乏力，导致的食品药品安全事件就频频发生，2008年以来，全国已发生百余起重大污染事故。
目前我国大地污染现状严峻，成因十分复杂，形成令人扼腕的“大地之殇”。
《经济参考报》以此为主题，探寻大地污染背后所触及的我国农业、工业、城市化进程中关于生存与发展的一系列深层矛盾与两难抉择，并以“大地之殇”系列报道的形式在“深度”版推出，敬请关注。
大地之殇一·黑土地之悲占全国粮食总产五分之一的东北黑土区是我国最重要的商品粮基地，但一个并不为多数人了解的严峻事实是，支撑粮食产量的黑土层却在过去半个多世纪里减少了50%，并在继续变薄，几百年才形成一厘米的黑土层正以每年近一厘米的速度消失。
照此速度，部分黑土层或将在几十年后消失殆尽，东北这一中国最大粮仓的产能也将遭受无法挽回的损失。
□记者孙彬管建涛连振祥吉哲鹏娄辰李松南京哈尔滨兰州昆明济南重庆报道毒土：GDP至上的恶果当前，我国土壤污染出现了有毒化工和重金属污染由工业向农业转移、由城区向农村转移、由地表向地下转移、由上游向下游转移、由水土污染向食品链转移的趋势，逐步积累的污染正在演变成污染事故的频繁爆发。
日益加剧的污染趋势可能还要持续30年“目前，我国土壤污染呈日趋加剧的态势，防治形势十分严峻。
”多年来，中国土壤学会副理事长、中国农业科学院研究员张维理教授一直关注我国土壤污染问题“我国土壤污染呈现一种十分复杂的特点，呈现新老污染物并存、无机有机污染混合的局面。
”“现在我国土壤污染比各国都要严重，日益加剧的污染趋势可能还要持续30年。
”中国土壤学专家，南京农业大学教授潘根兴告诉《经济参考报》记者，这些污染包括随经济发展日益普遍的重金属污染、以点状为主的化工污染、塑料电子废弃物污染及农业污染等。
第一章7矩阵的秩
x2
b x 2,r 1 r 1
b2n xn
d2
(#)
xr
b x r ,r 1 r 1
brn xn
dr
0 dr1
(1) 若 dr1 0 ，则 (#)无解。 (2) 若 dr1 0, 则 (#)有解，并且
当
r
r
n n
时，有唯一解。 时，有无穷多解。
13
非齐次性线性方程组有解的条件
定理：非齐次线性方程组 Amn x b 有解的充要
1 D2 0
9 5
0 1
6 2 108
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6
1
2 27 D4 0
3 2
0 1
9 27
5
14 0 6
1 4 7 0
所以
x1
D1 D
81 27
3,
x2 4,
x3 1,
x4 1.
27
Cramer 法则也可以叙述为
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 3 5 3 3 3
0 1 0
27
c3 2c2 7 7 2 7 2
26
8 1 5 1
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6
81
2
ann xn 0
易知，x1 x 2 x n 0 是上述方程组的解，称为 齐次线性方程组的零解；若其有一组不全为零的解， 则称为齐次线性方程组的非零解。
29
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。
11 预备知识1.1 矩阵的定义定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1.1） 简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是一个3阶方阵.1.2 矩阵秩的定义定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kkm n C C ⋅个.定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.2 矩阵秩的性质在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.证明 考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.接着证明行秩等于列秩.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换： （1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）； （2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）； （3）交换矩阵中两行（列）的位置.证明 设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且()1R A r =，()2R B r =.1.初等交换变换：i jr rA B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.2.初等乘法变换：ikr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.3.初等加法变换：i j r krA B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B .（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性质得11+1r B D =这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得11111r r B D k C ++=+这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。
矩阵的秩的等式及不等式的证明
《矩阵的秩的等式及不等式的证明》(总27页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.目录第一章绪论 ·······························································错误!未定义书签。
第二章预备知识························································错误!未定义书签。
6矩阵的秩
（4）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵.
1 2 2 1 1 2 4 8 2 0 ,b 例2 设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求 R A , R B , 其中 B A b
1 0 5 1
r2 2 r3 r2
r4 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0
2 1 1 2 1 0 0 0 5 0 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
结论 矩阵的秩
最高阶非零子式的阶数 行阶梯形矩阵非零行的行数 行标准形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的阶数
注： （1）同型同秩矩阵等价. （2）化 A 为行阶梯形矩阵或行标准形矩阵，仅能 用初等行变换，而化 A为标准形矩阵时，初等行变 换和初等列变换均可使用. （3）任一矩阵的行标准形矩阵与标准形矩阵唯一.
的一个 k 阶子式. k k m n 矩阵共有 C m C n 个 k 阶子式. 最低阶为 1 阶， 最高阶为 min{m, n} 阶.
如：矩阵
3 9 3 1 0 1 3 4 A 2 3 9 6
组成的 取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素， 1 3 二阶子式是 12 2 6 易见 A 的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式. 而在这个矩阵中, 1 3 9 3 9 0 1 3 4 都是矩阵 A 的子矩阵.
思考二： 设A为n阶方阵，证明：| A *|= | A |n-1 其中，A *为A 的伴随矩阵
证明一： 因为A A *=| A |I, 故| A A *|=| A |n ①若| A | ≠0，| A* |=| A |n-1 ②若| A | =0， 则A A *=| A |I=0 且A *必不可逆，即| A *|= | A |n-1=0。 若A *可逆， A A *=| A |I=0两端左乘A *的逆 得 A =0，进一步A *=0与A *可逆矛盾 if r ( A) n n, 证明二（利用秩关系式） * r A 1, if r ( A) n 1 0, ①若| A | ≠0，| A* |=| A |n-1 if r ( A) n 1 ②若| A | =0， 则r(A)<n，r(A*)<n => | A *|= | A |n-1=0
矩阵的秩
推论2.6.2设 ，则A与B相抵，即 ，当且仅当它们有相同的秩；并且，设rankA = r，则有可逆矩阵P，Q，使得
．(5)
因此，秩是矩阵相抵的不变量， 是秩为r的矩阵相抵的标准形．
例2求下面矩阵A的秩：
．
解A的第2行分别乘以(－2)、(－3)，各自加到第1、3行，再将此行调到第1行，则得
．
因此，易见rankA =rankB= 3．
下面证明乘积矩阵秩的一个基本性质．
定理2.6.2设 ， ，则
rankABmin{rankA,rankB}．
证若A、B中有一个是零矩阵，则定理显然成立．
若 ，设rankA = r，则由推论2.6.2知道有可逆阵P，Q，使得
，
于是
．
考察右边矩阵，易见此矩阵不为0的行至多r行，因而由推论2.6.1与秩的定义得到
，
其中 是A的两个t阶子式，且至多相差一个符号．因而由rankA = r知道 ．所以M= 0．
综上，则得rankB≤rankA，又Tij(k)B=A，因而有rankA≤rankB．故rankA=rankB．
类似地，知道列的初等变换也不改变矩阵的秩．
据上，并注意到定理1.3.2，则得
推论2.6.1设 ，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则rankA =rankPA =rankAQ =rankPAQ．
rankA+rankB=rank
=rank rank(A+B)．
定理2.6.4(Frobenius)设 , ，则
rankABCrankAB+rankBCrankB．
证因为
，
所以，由引理2.6.1、2.6.2得
rankABC+rankB=rank rankAB+rankBC．
Ch3-2线性代数矩阵的秩
rt,
故有
R ( A, B) R ( A) R ( B).
6 0 R( A+B ) R( A) +R( B) ． c i c n i ( , ) 证 ( A B , B) A B ， , n i 1, R ( A B ) R ( A B , B ) R ( A, B) R ( A) R (B) .
0 3 2 4 A 0 3 1 1 6 2
1 2 1 3
3 1 4 2
1 3 1 4
2 0 2 1
2 0 1 3 4 3 1 2 4
2 1 3 4
一般地： m×n 矩阵A 的 k
2 阶子式 3 阶子式 k C k 个. 阶子式共有 Cm n
k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式的区别!
定义3(P66) 设 A 为 n 阶方阵，若 R(A)= n， 则称 A 为 满秩矩阵；若 R(A)< n，则称 A 为降秩矩阵.
单位阵 E 是满秩矩阵， 1 2 2
A 0 3 1 是降秩矩阵. 0 0 0
① n 阶满秩阵化为行阶梯形时有多少非零行？ — n 行. ② 满秩阵的行列式 ≠ 0
左乘列满秩阵秩不变 Bnl ， 证明： 若 A mn， 且 R ( A) n , R ( AB ) R ( B ) . A的秩等于其列数 A列满秩
,
行满秩阵——矩阵的秩等于其行数. 上面的结论可以相应地推广到右乘行满秩阵. 请自证. 满秩矩阵——方阵,且既列满秩又行满秩. AB = O时,本题结论为：设 AB = O,若 A为列满秩矩阵,则B = O. 原本仅对可逆阵成立的零因子性质,可以推广到列(行)满秩矩阵. 由此可以体会到列(行)满秩矩阵概念的重要性.
§3 矩阵的秩
2
5
1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 例5 设 A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
R( A) 2.
1 例2 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 0 1 5
计算A的3阶Biblioteka 式，1 3 2 3 2 2 1 2 2 2 0, 1 3 , 1 3 0, 00 , 2 3 0 0 2 1 0 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
子式的最高阶数.
显然有： 0 R( A) min( m , n)
T 显然有 R ( A ) R( A). 对于 A ，
T
例1
1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1
解
1 2 在 A 中， 0. 2 3
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
0
0
4
显然：行阶梯形矩阵的秩为其 非零行行数 .
二、矩阵秩的求法
对于任何矩阵 Amn , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形.
问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？ 1、
定理 1 若 A ~ B, 则 R A RB.
2、 初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形 矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 矩阵的秩.
R( A) n R( A) n 1 R( A ) n 2
例
1 1 1 2 设 A 3 1 2 的秩为 2 , 求 , . 5 3 6
线性代数矩阵的秩
bn1n )
k p (b1 p1 b2 p2
(k1bn1
k pb1 p )1 (k1b21
k pb2 p )2
span1,2 ,
, n .
因此， Col ( AB) ColA,
有 即
dim Col ( AB) dim ColA,
由（1），B的行秩=B的列秩=r， 则B的行极大无关组构成A的一个非零r阶子式. 因此
rankA r.
另一方面，若 rankA rA , 则A有一个r阶非零子式.
该子式的r列线性无关，且可扩充为A中的r个列向量，
由性质4.2.3，A中的这r个列向量线性无关. 所以有 A的列秩 rA . 因此，必有 A的列秩 = rankA.
rA r n，则齐次 定理4.6.6 设A是m n矩阵， 线性方程组Ax=0存在基础解系，且基础解系 含n-r个解向量.
例：求下列齐次方程组的通解.
x1 (1) 2 x1 3 x 1
2 x2
4 x3 8 x3 2 x3
x4
0 0 0
4 x2 6 x2
例4.6.3
1 7 2 6 求矩阵 A 3 1
的秩、行秩和列秩.
1 7 0, A没有三阶子式， 解：A的二阶子式 D 2 6 rA 2. 故
A的两个列向量线性无关，A的列秩=2. 三个二维行向量线性相关， A的1、2行线性无关，
§4.6 矩阵的秩
定义4.6.1 设A是m×n矩阵，A的行空间 RowA是A的行向量的所有可能的线性组 合构成的集合.
1 A 2 , m
记