北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题5.1
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习题5.1
1.,,,,,().11
,,().
22ABCD
AB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设
为一平行四边形
试用表示
为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b
()
2.,1().
211221
().
2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+
设为线段的中点,为空间中的任意一点证明
证
3.,,
1().
3221()
3321
(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=
设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().
31
3,().
3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++
4.,1
,().
41
(),
21
1(),(),
221
().
24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的
任意一点证明证1,().
4OM OA OB OC OD =+++
2222225.?
(1)()();
(2)();
(3)()().
(1).:()().
(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .
,
11
2211
().
22DE DA AE BA AC
BA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.
证
2227.:
(1),;(2).
(1)()()
()()||||0.
()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB AD
AB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===
利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,
||()cos cos .
|||||||||||,.
a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB AD
AB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 2
2222(2)||()()
||||2||||.AC
AC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+
2222222222222222228.()()||||.
()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.
9..
||.
AB AC ABC ABC ABDC AB AC αα
αα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯
证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b
222222222210.,,,()()2().
()()()()()()222().
=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :
a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b
2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.
,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .