2020届高三数学小题狂练七含答案

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三角函数恒等变换—小题狂刷2020年高考数学(理)(含解析)

狂刷15三角恒等变换1．若2cos()12απ+=，则sin(2)3απ-= A ．79- B ．59- C ．59D ．792．已知tan 3α=，则cos(2)2απ+= A ．45-B ．35- C ．35D ．453．若π1cos()42θ-=，则sin2θ= A ．12-B ．3-C ．12D ．324．已知点(3,4)--在角α的终边上，则cos2sin 2αα+=A ．3125-B ．1725 C ．1725-D ．31255．已知4sin 5α=-，且α是第四象限角，则πsin()4α-的值为 A ．210B ．325 C ．7210D ．256．已知2cos()48απ+=-，则sin2α= A ．58-B ．916- C ．916D ．587．若π1sin()63α-=，则2πcos(2)3α+=A ．79B ．79-C 7D ．78．函数23()sin )2f x x x π=-的最小正周期是 A ．4πB ．2π C ．πD ．2π9．若sin 2cos αα=，且(,)2απ∈π，则tan 2α的值是 A 3B ．3-C 3D ．3-10．函数23()sin )([0,])23f x x x x ππ=+-∈的值域是 A ．[1,1]- B ．1[,1]2-C ．3[0,]2D ．13[,]2211．函数2()2coscos()122x f x x π=--+的最小值为 A ．22 B ．12 C ．22D ．12+12．若51cos()cos()12124ααππ+-=-，则=+αα2cos 2sin 3 A ．3B ．1C ．1-D ．3-13．函数1()2cos()12f x x =π+-的最小正周期为______________． 14．已知cos(300)2cos αα+︒=，则tan α=______________． 15．若4sin()65x π-=，则sin(2)6x π+=______________． 16．22tan7.5tan153(sin 7.5cos 7.5)tan15tan7.5︒⋅︒︒-︒=︒-︒______________．17．已知πtan()24α+=-，则1sin2cos2αα-=______________．18．22π(sincos )2sin ()2242ααα++-的值等于 A ．2sin α+B ．2C ．π22sin()4α+-D ．(π22in )s 4α+19．函数()3sin 3cos f x x x =+的最大值为A 3B ．2C ．3D ．420．已知函数2lg(54)y x x =++的零点为1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=A ．53 B ．53-C ．52D ．52-21．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角π4α+的终边经过点(2)-，则sin cos αα+=A ．63B ．63-C 23D ．2322．已知向量(cos ,2)α=-a ，(sin ,1)α=b ，若∥a b ，则πtan()4α-=A ．3-B ．3C ．13D ．13-23．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(4,3)P -，则2πcos(2)3α+= A ．725- B ．725 C ．825D ．825-24．平面直角坐标系xOy 中，角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34(,)55A ，将其终边绕O 点逆时针旋转3π4后与单位圆交于点B ，则B 的横坐标为 A ．2B ．72C ．32D ．4225．若,αβ均为锐角，25sin 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β=A ．255B ．525 C 2525D ．2526．已知324αππ<<，若5sin()4απ+=，则sin(2)4απ-= A ．210-B ．210-C ．210D ．21027．已知(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，若cos2tan 1sin2βαβ=-，则A ．2αβπ+=B ．4αβπ+=C ．4αβπ-=D ．22αβπ+=28．若ABC △的内角,A B 满足sin 2cos()sin BA B A=+，则tan B 的最大值为 A 3B 3C 2D 2 29．若1sin2,2θ=则2πcos ()4θ+=______________． 30．若3sin25α=，(,)42αππ∈，则2sin(2)2cos cos 44ααππ++=______________． 31．函数2()sin(2)sin 23f x x x π=++，(0,)2x π∈的值域为______________． 32．已知228x y +=，则x y +的最大值为______________．33．当函数cos(10)cos(70),(0,180)y x x x =+︒++︒∈︒︒取得最小值时，x =______________．34．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 55C 33D 25536．【2016年高考全国Ⅲ卷理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=A ．6425B ．4825 C ．1D ．162537．【2016年高考全国Ⅱ卷理数】若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−72538．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是______________． 39．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α=______________．40．【2016年高考浙江卷】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______________，b =______________．41．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=______________．42．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】函数23()sin 34f x x x =-(π[0,]2x ∈)的最大值是______________． 43．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=______________． 44．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan()4αα=-+，则πsin(2)4α+的值是______________．1．若2cos()123απ+=，则sin(2)3απ-= A ．79- B ．59- C ．59D ．79【答案】B【解析】由题可得2225sin(2)cos(2)2cos ()12()1361239αααπππ-=+=+-=⨯-=-，故选B ．2．已知tan 3α=，则cos(2)2απ+= A ．45-B ．35- C ．35D ．45【答案】B【解析】由题可得222π2sin cos 2tan 63cos(2)sin22sin cos 1tan 195αααααααα+=-=-=-=-=-+++．故选B ． 3．若π1cos()42θ-=，则sin2θ= A ．12-B ．3-C ．12D ．32【答案】A 【解析】因为π1cos()42θ-=，所以22πππ11sin2cos(2)cos[2()]2cos 12()124422()θθθθ=-=-=--=⨯-=-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．由三角函数的诱导公式，化简得2πππsin2cos(2)cos[2()]2cos 124()4θθθθ=-=-=--，即可求解． 4．已知点(3,4)--在角α的终边上，则cos2sin 2αα+=A ．3125- B ．1725 C ．1725-D ．3125【答案】B【解析】因为点(3,4)--在角α的终边上，所以4sin 5α=-，3cos 5α=-，所以cos2sin 2αα+=22343172cos 12sin cos 2()12()()55525ααα-+=⨯--+⨯-⨯-=．故选B ． 5．已知4sin 5α=-，且α是第四象限角，则πsin()4α-的值为 A ．210B ．325 C ．7210D ．25【答案】C【解析】由同角三角函数基本关系式可得2243cos 1sin 1()55αα=-=--=，结合两角差的正弦公式可得πππ23472sin()sin cos cos sin ()44455ααα-=-=+=故选C ．【名师点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，两角差的正弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．首先求得cos α的值，然后结合两角和差正余弦公式求解πsin()4α-的值即可． 6．已知2cos()48απ+=-，则sin2α= A ．58-B ．916-C ．916D ．58【答案】B 【解析】因为52cos()48απ+=-，所以22529cos(2)2cos ()12(124816ααππ+=+-=⨯--=，所以9sin 216α=-．故选B ． 7．若π1sin()63α-=，则2πcos(2)3α+=A ．79B ．79-C 7D ．7【答案】B【解析】∵ππππ1sin()cos[()]cos()62633ααα-=--=+=， ∴22ππ17cos(2)2cos ()1213399αα+=+-=⨯-=-．故选B ．8．函数23()sin )2f x x x π=-的最小正周期是 A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】C【解析】易得231cos 23()sin )222x f x x x x π-=-=+ 311sin 2cos 2222x x =-+=1sin(2)62x π-+，其最小正周期22T π==π．故选C ．9．若sin 2cos αα=，且(,)2απ∈π，则tan 2α的值是 A 3B ．3-C ．33D ．33-【答案】B【解析】由sin 2cos αα=可得sin 22sin cos cos αααα==，因为(,)2απ∈π，所以cos 0α≠，所以1sin 2α=，所以56απ=，所以5tan 2tan tan()tan 3333απππ==-=-=-．故选B ．10．函数23()sin cos(2)([0,])223f x x x x ππ=+-∈的值域是 A ．[1,1]- B ．1[,1]2-C ．3[0,]2D ．13[,]22【答案】C【解析】由题可得231cos 2331()sin )22cos 2222x f x x x x x x π-=+-==-+11sin(2)262x π=-+，当[0,]3x π∈时，2[,]662x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]62x π-∈-，所以13sin(2)[0,]622x π-+∈．故选C ． 11．函数2()2coscos()122x f x x π=--+的最小值为 A ．22 B ．12 C ．22D ．12+【答案】A【解析】由题可得()cos sin 22)24f x x x x π=-+=++，所以函数()f x 的最小值为22，故选A ． 12．若51cos()cos()12124ααππ+-=-，则=+αα2cos 2sin 3 A ．3 B ．1 C ．1-D ．3-【答案】C【解析】由题可得5cos()cos()cos()cos()cos()sin()1212121221212ααααααπππππππ+-=++-=++11sin(2)264απ=+=-，即1sin(2)62απ+=-32cos 22sin(2)16αααπ+=+=-，故选C ．13．函数1()2cos()12f x x =π+-的最小正周期为______________．【答案】2【解析】由题可得函数()f x 的最小正周期为22π=π． 14．已知cos(300)2cos αα+︒=，则tan α=______________．【答案】3【解析】由cos(300)2cos αα+︒=可得cos(60)2cos αα-︒=，所以13cos sin 22αα+=2cos α，即33sin cos 22αα=，所以tan 3α=． 15．若4sin()65x π-=，则sin(2)6x π+=______________．【答案】725-【解析】由题可得2247sin(2)cos(2)cos(2)12sin ()12()6336525x x x x ππππ+=-+=-=--=-⨯=-． 16．22tan7.5tan153(sin 7.5cos 7.5)tan15tan7.5︒⋅︒︒-︒=︒-︒______________．【答案】2- 【解析】原式tan7.5tan153cos15tan15tan7.5︒︒=︒︒-︒sin7.5sin153cos15sin153cos15sin7.5︒︒=︒=︒︒︒2sin(6015)2sin 452=-︒-︒=-︒=【名师点睛】利用弦切互化法和两角差的正弦公式把tan7.5tan15tan15tan7.5︒︒︒-︒化为sin15︒，再利用二倍角公式把22sin 7.5cos 7.5︒-︒化为cos15-︒，最后利用辅助角求值．利用三角变换公式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把1看成22sin cos αα+．（3）升幂降幂法：即利用二倍角公式2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂，利用221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==降幂．（4）辅助角公式：即利用22cos sin sin()a x b x a b x φ+=++来整合三角函数式． 17．已知πtan()24α+=-，则1sin2cos2αα-=______________．【答案】12-【解析】因为2221sin2(sin cos )cos sin 1tan cos2cos sin cos sin 1tan αααααααααααα----===-++，又因为πtan 1tan()241tan ααα++==--，所以1sin21cos22αα-=-．【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．18．22π(sincos )2sin ()2242ααα++-的值等于 A ．2sin α+B ．2C ．π22sin()4α+-D ．(π22in )s 4α+【答案】B 【解析】2222ππ(sincos )2sin ()sin +2sin cos cos 1cos[2()]2242222242αααααααα++-=⋅++-- π1sin 1cos()1sin 1sin 22αααα=++--=++-=．故选B ．【名师点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式化简计算，属基础题．利用二倍角公式和诱导公式化简计算即可．19．函数()3sin 3cos f x x x =+的最大值为A 3B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可知31π()3sin 323(cos )23)26f x x x x x x =+=+=+， π1sin()16x -≤+≤Q ，π2323)236x ∴-≤+≤故函数()3sin 3cos f x x x =+的最大值为3 故选C ．【名师点睛】利用该公式22()sin cos )f x a x b x a b x ωωωϕ=+++可以求出： ①函数()f x 的最小正周期2π||ω；②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）； ③值域：2222[,]a b a b -++； ④对称轴及对称中心（由ππ,2x k k ωϕ+=+∈Z 可得对称轴方程，由π,x k k ωϕ+=∈Z 可得对称中心横坐标）．20．已知函数2lg(54)y x x =++的零点为1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=A ．53B ．53-C ．52D ．52-【答案】C【解析】由2lg(54)0y x x =++=可得2541x x ++=，2530x x ++=，所以12125,3x x x x +=-=，所以121255tan()1132x x x x αβ+-+===--．故选C ．【名师点睛】本题考查两角和正切公式以及根与系数的关系，考查基本求解能力．先求函数零点得零点关系，再根据两角和正切公式求结果．21．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角π4α+的终边经过点(2)-，则sin cos αα+=A 6B ．6C ．233D ．33-【答案】C【解析】因为πsin cos 2sin()4ααα+=+，角π4α+的终边经过点(2)-，所以πsin()4α+=2226(1)(2)=-+62sin cos 32αα+==．故选C ．22．已知向量(cos ,2)α=-a ，(sin ,1)α=b ，若∥a b ，则πtan()4α-=A ．3-B ．3C ．13D ．13-【答案】A【解析】因为向量(cos ,2)α=-a ，(sin ,1)α=b ，∥a b ，所以cos 2sin 0αα+=，所以1tan 2α=-，所以πtan tanπ4tan()3π41tan tan 4ααα--==-+⋅．故选A ．【名师点睛】（1）由∥a b 可得两向量坐标之间的关系cos 2sin 0αα+=，化简可得1tan 2α=-，进而根据两角差的正切公式可求得πtan()4α-的值．（2）平面向量平行应注意两个结论：①数量关系（共线向量定理）：若∥a b （≠0b ），则λ=a b ；②若∥a b ，1122(,),(,)x y x y ==a b ，则12210x y x y -=．23．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(4,3)P -，则2πcos(2)3α+=A ．725- B ．725 C ．825D ．825-【答案】A【解析】将角α的终边按顺时针方向旋转π6后所得的角为π6α-，则由三角函数的定义可得22π3sin()65(4)3α-==-+，所以22πππcos(2)cos(2)[12sin ()][12336ααα+=--=---=--⨯237()]525-=-．故选A ．24．平面直角坐标系xOy 中，角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34(,)55A ，将其终边绕O 点逆时针旋转3π4后与单位圆交于点B ，则B 的横坐标为 A ．210-B ．7210-C ．324-D ．425-【答案】B【解析】设A 点处对应的角度为α，B 点处对应的角度为β，由题意可得3cos 5α=，4sin 5α=，且3πcos cos()4B x βα==+，由两角和的余弦公式可得3π3π3π72cos()cos cos sin sin 44410ααα+=-=-，即B 的横坐标为72．故选B ．【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义及其应用，两角和差正余弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．由题意结合三角函数的定义和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果．25．若,αβ均为锐角，25sin 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β=A ．255B ．525 C 2525D ．25【答案】B【解析】∵α为锐角，252sin α=α＞45°且5cos α=， ∵3sin()5αβ+=，且13225＜ππ2αβ∴+＜＜，∴4cos()5αβ+=-，则cos β=cos[（α+β）−α]=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α45355555525=-⨯+⨯= 故选B ．【名师点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．利用角的等量代换，β=α+β−α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 26．已知324αππ<<，若5sin()4απ+=，则sin(2)4απ-= A ．210-B ．210-C ．210D ．210【答案】C【解析】因为5sin()4απ+=10sin cos αα+=，两边同时平方可得212sin cos 5αα+=，所以3sin 25α=-，因为324αππ<<，所以322αππ<<，所以4cos 25α=-，所以sin(2)4απ-=222cos 2)210αα-=，故选C ．27．已知(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，若cos2tan 1sin2βαβ=-，则A ．2αβπ+=B ．4αβπ+=C ．4αβπ-=D ．22αβπ+=【答案】C【解析】因为222222cos2cos sin 1tan 1tan tan()1sin2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1tan 4ββββββββββββββ--+π====+-+-+--，所以tan tan()4αβπ=+，又(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，所以4αβπ=+，即4αβπ-=，故选C ．28．若ABC △的内角,A B 满足sin 2cos()sin BA B A=+，则tan B 的最大值为 A ．33B ．32 C ．22D ．24【答案】A【解析】在ABC △中，因为sin 0,sin 0A B >>，所以sin 2cos()2cos 0sin BA B C A=+=->，即cos 0C <，所以角C 为钝角，且sin 2sin cos B A C =-，又由sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=-，即cos sin 3sin cos A C A C =-，所以tan 3tan C A =-，所以2tan tan 2tan tan tan()1tan tan 13tan A C AB AC A C A+=-+=-==-+213tan tan A A+3323≤=，当且仅当13tan tan A A =，即3tan A =时等号成立，即tan B 3故选A ．【名师点睛】本题主要靠考查了同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正弦、正切函数的公式，以及基本不等式的运用，其中熟练掌握基本关系式和三角恒等变换的公式，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题．由条件求得cos 0C <，确定C 为钝角，利用诱导公式及三角函数的内角和定理、三角函数恒等变换的公式，化简求得tan 3tan C A =-，代入利用基本不等式即可求解．29．若1sin2,2θ=则2πcos ()4θ+=______________．【答案】14【解析】1sin 22θ=Q ，2π1π1sin 21cos ()[1cos(2)]42224θθθ-+=++==．【名师点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．根据二倍角公式和诱导公式化简即可． 30．若3sin25α=，(,)42αππ∈，则2sin(2)2cos cos 44ααππ++=______________．【答案】0【解析】因为(,)42αππ∈，所以2(,)2απ∈π，所以24cos21sin 25αα=--=-，所以sin(2)4απ++221cos 22cos cos cos 2)242ααααπ+=+ 222342sin2222()0222552αα=++=-+=． 31．函数2()sin(2)sin 23f x x x π=++，(0,)2x π∈的值域为______________．【答案】3(,1]2-【解析】由题可得函数213()sin(2)sin 2sin 2cos 2sin 2322f x x x x x x π=++=-++ 312sin 2sin(2)23x x x π=+=+，因为(0,)2x π∈，所以42333x πππ<+<，所以3sin(2)13x π<+≤，故函数()f x 的值域为3(． 32．已知228x y +=，则x y +的最大值为______________．【答案】4【解析】因为228x y +=，所以设x =2sin ,2cos y αα=，所以x +y =π22(sin cos )4sin()4ααα+=+，所以x +y 的最大值为4．故答案为4．【名师点睛】（1）本题主要考查三角换元和三角恒等变换，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）本题的解题关键是三角换元，设x =22sin ,22cos y αα=，即得x +y =2(sin cos )αα+，再利用辅助角公式化简即得最大值，大大提高了解题效率．33．当函数cos(10)cos(70),(0,180)y x x x =+︒++︒∈︒︒取得最小值时，x =______________．【答案】140︒【解析】cos(10)cos(70)cos(10)cos(1060)y x x x x =+︒++︒=+︒++︒+︒13cos(10)cos(10)10)2x x x =+︒++︒-+︒33cos(10)10)2x x =+︒-+︒ 31030)x =+︒+︒340)x =+︒，∴cos(10)cos(70),(0,180)y x x x =+︒++︒∈︒︒取得最小值时，140x =︒．【名师点睛】本题考查了三角函数的化简，观察两角的关系，熟练掌握三角公式是解题关键．将x +70°拆成（x +10°）+60°使用两角和的正弦公式展开合并化简即可．34．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=．故选B ．【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 55C ．33D ．255【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .(0,),cos 02αααααπ∴⋅=∈∴>Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 36．【2016年高考全国Ⅲ卷理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】方法1：由tan α=sinαcosα=34，cos 2α+sin 2α=1，得{sinα=35cosα=45或{sinα=−35cosα=−45，则sin 2α=2sin αcos α=2425，则cos 2α+2sin 2α=1625+4825=6425．方法2：cos 2α+2sin 2α=2222cos 4sin cos 14tan 64cos sin 1tan 25ααααααα++==++．故选A ．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．37．【2016年高考全国Ⅱ卷理数】若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−725【答案】D 【解析】由题可得2237cos[2()]2cos ()12()144525ααππ-=--=⨯-=-，又cos[2()]cos(2)sin 242αααππ-=-=，所以7sin 225α=-，故选D ． 38．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是______________．【答案】π2【解析】函数2()sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2．【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式、三角函数的最小正周期公式，属于基础题．将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可．39．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α=______________．【答案】75【解析】由题可得11tan()tan 7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．40．【2016年高考浙江卷】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______________，b =______________． 21【解析】22cos sin 22)14x x x π+=++，所以2, 1.A b == 【名师点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照sin()Αx ωϕ+可得Α和b 的值．41．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=______________．【答案】−12【解析】因为sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，所以(1−sinα)2+(−cosα)2=1，∴sinα=12，cosβ=12，所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12×12−cos 2α=14−1+sin 2α=14−1+14=−12．42．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】函数23()sin 34f x x x =-(π[0,]2x ∈)的最大值是______________．【答案】1 【解析】由题可得222313()1cos 3cos 3(cos )144f x x x x x x =--=-++=-+，因为π[0,]2x ∈，所以cos [0,1]x ∈，当3cos x =时，函数()f x 取得最大值1．【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．43．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=______________．【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos αβ=-=（或22cos cos βα=-=），所以2227cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-．【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z ．44．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan()4αα=-+，则πsin(2)4α+的值是______________．【答案】210【解析】由tan tan tan (1tan )2πtan 1tan 13tan()41tan αααααααα-===-+++-，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=或1tan 3α=-． πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444ααα+=+ 2222222sin cos cos sin (sin 2cos 2)()22sin cos αααααααα+-=+=+ 2222tan 1tan ()tan 1ααα+-=+，当tan 2α=时，上式22222122()22110⨯+-==+ 当1tan 3α=-时，上式22112()1()2233[]1210()13⨯-+--==-+ 综上，π2sin(2)4α+=．【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题．由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可．。

2020年高三文科数学考前大题强化练七附答案详析

a
．
x
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）如果方程 f (x) m 有两个不相等的解 x1 , x2 ，且 x1 x2 ，证明： f x1 x2
0．
2
2
请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
5000 元的概率．
（2）把购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的中年人称为 “高收入人群 ”，根据已知条件完成
列联表，并据此判断能否有 95%的把握认为 “高收入人群 ”与性别有关？
22
参考公式： K 2
参考附表：
n(ad bc)2
，其中 n
(a b)(c d)(a c)(b d)
abc d
【解析】（ 1）该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于
5000 元的频数为
80 50 10 90 60 30 320 ，∴该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于
5000 元的概率为：
320 16
P
．
500 25
（2）根据频数分布表得：高收入人群中女性有
140 人，男性有 180 人，非高收入人群中女性有 60 人，
2 2 ，故△ PMN 面积的最小值为 8．
（2）如果方程 f (x) m 有两个不相等的解 x1 , x2 ，且 x1 x2 ，证明： f x1 x2
0．
2
【解析】（ 1） f ( x)
2 1 2a x
a x2
2x 2 (1 2a) x a x2
(x
a)(2 x x2
1) ( x

2020届河南省大联考高三阶段性测试(七)数学(理)试题(解析版)

2020届河南省大联考高三阶段性测试（七）数学（理）试题一、单选题1．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．16B ．48C ．96D ．128【答案】B【解析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==；第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 2．函数()()2cos ln1f x x x x =⋅+-在[1,1]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()()f x f x -=-可排除选项C 、D ；再由(1)0f <可排除选项A. 【详解】因为()()2cos()ln()1f x x x x =-=-⋅-+)2cos ln1x x x ⋅+22cos cos ln(1)()1x x x x f x x x=⋅=-+=-+-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos1ln(21)0f =⋅-<，排除A. 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.3．已知集合20x A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =<，则A B =（） A ．{}0x x < B ．{}3x x <C ．{}23x x << D ．{}230x x x <<<或【答案】D 【解析】【详解】【命题意图】本题考查不等式的解法以及集合运算．因为{}02A x x x =或，{}3B x x =<，所以{}230A B x x x ⋂=<<<或． 4．若复数()1ni +为实数，则正整数n 的最小值为（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】【详解】【命题意图】本题考查复数的运算．因为()212i i +=，()()42124i i +==-，所以正整数n 的最小值为4．5．已知双曲线()2221016x y b b-=>的渐近线方程为34yx ，则该双曲线的焦距为（） A ．4 B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】【详解】【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质．设双曲线222116x y b -=的半焦距为c ，由双曲线222116x yb-=的渐近线方程为34yx ，可得344b =，所以3b =，5c =．所以双曲线的焦距为10． 6．下图是某市2014年到2020年贫困户的户数y （单位：万户）与时间t 的条形图（时间t 的取值1，2，…，7依次对应2014年至2020年）.若y 关于t 的线性回归方程为0.5y t a =-+，则a =（）A ．2.2B ．4.2C ．6.2D ．6.4【答案】C 【解析】【详解】本题考查线性回归方程. 依题意，得12747t +++==， 5.6 5.2 4.8 4.4 3.4 3.3 2.74.27y ++++++==，所以4.20.54a =-⨯+，所以 6.2a =.7．若x ，y 满足约束条件25,22,7,x y y x x -≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．21B ．16C ．13D ．11【答案】B【解析】【详解】【命题意图】本题考查线性规划．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,7,x y x -=⎧⎨=⎩解得()7,9A ．观察可知，当直线y x z =-+过点()7,9A 时，z 有最大值16．8．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”.若齐国与长安相距3000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行.良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，则良马和驽马第几日相遇（） A ．第10日 B ．第11日C ．第12日D ．第60日【答案】A 【解析】【详解】本题考查等差数列的性质以及数学文化. 依题意，可知良马第()*n n ∈N 日行程为()155********nan n =+-=+，同理，可得驽马第()*n n ∈N日行程为1022n b n =-，令()()1130002n n a a n b b n +++=，整理可得2506000n n +-=，所以10n =. 9．已知函数()()23sin cos 12sin 2f x x x x =+-，则有关函数()f x 的说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 3【答案】B 【解析】【详解】【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质．由题可知()13sin 2cos2sin 2223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．令2,3x k k ππ+=∈Z ，可得126x k ππ=-．当6x π=时，2233x ππ+=，故函数()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线6x π=对称，故A ，C 错误．函数()f x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确．函数()f x 的最大值为1，故D 错误．10．已知ABC 内接于半径为3的圆，2BC =，A 为圆上的动点，则BC BA ⋅的取值范围是（） A ．[]4,4- B ．[]8,9-C ．[]4,8-D ．[]0,12【答案】C 【解析】【详解】本题考查平面向量的数量积.以BC 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0B -，()1,0C .设(),A x y ，则[]3,3x ∈-，所以()2,0BC =，()1,BA x y =+，所以()[]214,8BC BA x ⋅=+∈-.11．已知点P 为抛物线()2:20C y px p =>上异于原点O 的动点，F 为C 的焦点.若2PM MF =，则直线OM 的斜率的取值范围是（）A ．330,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ B ．33⎡⎢⎣⎦ C ．2222⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦D ．2,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】【详解】本题考查直线与抛物线的综合问题.设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，显然00y ≠，由题意,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2001112,3333633y p y OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭，可得020023263OM y k y p y ppy p ==++.当00y >时，2OM k ≤=，当00y <时，00222OM k y p p y =-≥=---，故0,22OM k ⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦. 12．若函数()ln 2xf x x x ae =-在1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．20,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21,e e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．42,e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【详解】本题考查利用导数研究函数极值.由题意()1ln 2xf x x ae '=+-，令()0f x '=，可得1ln 2xx a e +=.函数()f x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个极值点，则需()0f x '=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2x x a e +=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，也等价于直线2y a =与1ln x xy e +=的图象在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有两个交点.令()1ln x x g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=.令()11ln h x x x =--，可得()h x 在区间1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上为减函数，且()10h =.所以当11x e <<时，()0h x >，故()0g x '>，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，当1x e <<时，()0h x <，故()0g x '<，()g x 在()1,e 上为减函数，所以()()max 11eg x g ==.又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e 2e e g =，所以212e a e e <<，所以e 11e 2e a <<.二、填空题13．若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.【答案】【解析】【详解】本题考查圆台的几何特征.设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，根据轴截面可知tan 6R r h π-=，即2h =h =14．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为_________. 【答案】1172【解析】【详解】本题考查概率的计算.甲恰好比乙多击中目标1次分为甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，其概率23223212123333111112112111223223323372P C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⋅⎝. 15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=，且12S =，则20192020a a +=_________.【答案】4或0 【解析】【详解】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列的性质.设等比数列{}n a 的公比为q ，由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即3412n n n n a a a a +++++=+，所以()21212n n n n a a q a a +++++⋅=+.若120n n a a +++=，则1q =-，此时()121n n a -=⨯-；若120n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =.所以20192020224a a +=+=或者20192020220a a +=-=.16．已知大、小两个球外切，且两球与一个正四面体的三条侧棱都相切，记大球、小球的半径分别为R ，r ，则Rr的值为________. 【答案】23+ 【解析】【详解】本题考查空间几何体与球的相切问题.如图所示，设正四面体棱长为a ，大球球心、小球球心分别为1O ，2O .取底面BCD 的中心为E ，连接AE ，BE .可知1O ，2O 都在正四面体的高AE 上.因为大球与三条侧棱都相切，作1O G AB ⊥，易知1R O G =.又因为小球与三条侧棱相切，且与大球外切，作2O H AB ⊥，则2r O H =.因为233323a a BE =⋅=，AB a ，所以3sin 3BAE ∠=.所以13AO R =，23AO r =.又1212AO AO O O =+，所以33r r R R ++=，所以3142323231R r ++===+-.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭. （1）求A ；（2）若3a =2c =，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2）23【解析】【详解】（1）由3cos sin 3b a C C ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭，及正弦定理得3sin sin cos sin B A C C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 又()sin sin B A C =+，所以3sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C +=+，即3cos sin sin sin A C A C =. 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠. 所以tan 3A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）由（1）知，3A π=.由余弦定理得22221412cos 224b c a b A bc b+-+-===. 所以2280b b --=. 所以4b =.所以ABC 的面积113sin 422322S bc A ==⨯⨯⨯=. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，36AB DC ==，2BM MP =.（1）求证：//CM 平面PAD ；（2）若AD DC ⊥，PD PC ⊥且PD PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，1AD =，求直线CM 与平面PAB 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）45︒. 【解析】【详解】（1）如图，取线段PA 的靠近P 的三等分点为N ，连接DN ，NM . 则12PN PM NA MB ==，所以MN AB 且13MN AB =. 又DC AB ∥且13DC AB =, 所以四边形MNDC 为平行四边形. 所以DN CM ∥.又DN ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，所以CM ∥平面PAD .（2）如图，取CD 中点为O ，连接OP ，过O 作OE AD 交AB 于E .因为平面PCD ⊥平面ABCD ，OP DC ⊥，由面面垂直的性质定理可知，OP ⊥平面ABCD .所以直线OP ，OC ，OE 两两垂直，以O 为原点，分别以射线OE ，OC ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,1,0A -，()1,5,0B ，()0,0,1P ，()0,1,0C .所以2122,,3333CM CB BM CB BP ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，()0,6,0AB =，()1,1,1AP =-. 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则60,0,0.0y m AB x y z m AP ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎩取1x =，得()1,0,1m =. 所以2cos ,CM m CM m CM m⋅〈〉==所以直线CM 与平面PAB 所成的角为45°. 19．某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．【答案】（1）见解析（2）需要，见解析【解析】（1）由零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ；（2）由题可得不合格率为250,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 【详解】（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为250, 若不检查,损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-；若检查,成本为10n ,由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2()102005E Y n n -=->,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且13AFO π∠=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当1211k k k =-时，直线MN 过定点. 【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）在1Rt AFO ∆中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标. 【详解】（1）在1Rt AFO ∆中，OA b =，11OF c ==，1AF a ==，13AFO π∠=，16OAF π∠=，1122a AF OF ∴===，b ∴==因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()2224384120k x kmx m +++-=，且122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，1211k k k =-，1212k k k k∴=+，1212=，∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得()()(()2212122130kk x x k m x x m -+-++-+=，化简得((23m m -=，3m ≠，(3m ∴=-，m ∴=+，直线:3MN y kx =++MN 过定点3⎛- ⎝. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>.（1）证明：函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x ex a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x ae-在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()f x '在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<，则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<. 令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（）. 函数1()x af x ex a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在极坐标系Ox 中，曲线C2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标；（2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.【答案】（1）22:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()22sin 2ρρθ+=，再由222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；（2）求得MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为()222sin ρρθ=-，即()22sin 2ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=，所以，曲线C 的直角坐标方程为22:12x C y +=.将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由（1）得MA MB ==，89MA MB ∴⋅=，易知AB 的垂直平分线EF的参数方程为232132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C的普通方程得2340233t --=，483392ME MF -∴⋅==，因此，MA MB ME MF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值.【答案】（1）[1,)+∞；（2）49．【解析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值．【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++，∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立，∴+a b 的最小值是49．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

2020届高三数学小题狂练七

2020届高三数学小题狂练七姓名得分1．若集合{1,1}M =-，11{|242x N x x +=<<∈Z}，，则M N =I . 2．已知cos ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩则41()()33f f +-的值为 . 3．已知()(1)(21)(31)(1)f x x x x x nx =+++⋅⋅⋅+，求=')0(f .4．设O 是ABC ∆内部一点，且2OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r ，则AOB ∆与AOC ∆的面积之比为 .5．已知函数2()log 3f x x x =⋅+，直线l 与函数()f x 图象相切于点(1,)A m ，则直线l 的方程的一般式为 .6．扇形OAB 半径为2，圆心角60AOB ∠=︒，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为 .7．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 . 8．已知ABC ∆的面积等于3，1BC =，3π=∠B ，则tan C 的值为 . 9．如果圆2244100x y x y +---=上至少有三个点到直线l ：0ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是 .10．若函数)(x f 是定义在（0,+∞）上的增函数，且对一切0x >，0y >满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 .11．若直线6x π=是函数sin cos y a x b x =+图像的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 .12．已知正实数x ，y 满足111x y +=，则9411y x x y +--的最小值为 .答案1．{1}-2．23．14．1∶25．(ln 2)3ln 210x y -+-=6．3（CD CO OD =+u u u r u u u r u u u r ）7．(4,2)-8．-9．5[,]1212ππ10．(0,2)11．150°（(0)()3f f π=） 12．25：令10m x=>，10n y =>，则1m n +=，于是 9411y x x y +--49449911m n m n m n n m++=+=+--25≥。

2020-2021学年最新高考总复习数学（理）高三第七次模拟试题及答案解析

2020-2021学年最新⾼考总复习数学（理）⾼三第七次模拟试题及答案解析最新级⾼三第七次模拟考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页．满分150分．考试⽤时120分钟．答题前，请务必将班级、姓名和考试号填写（或填涂）在答题卡的规定位置．注意事项：１. 第Ⅰ卷每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号，答案写在试卷上的⽆效．２. 第Ⅱ卷必须⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔作答，答案必须写在答题卡各题⽬的指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使⽤涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案⽆效．第Ⅰ卷（选择题共50分）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合要求的．1、已知集合{|21}xA x =>,{|1}B x x =<,则A B =I ( ) A ．{|01}x x << B ．{|0}x x >C ．{|1}x x >D ．{|1}x x <2. 复数=-+i i123（） A ．i 2521+ B ．i 2521- C ．i 2521+- D ．i 521--3. 某⼏何体的三视图如图所⽰，其俯视图是由⼀个半圆与其直径组成的图形，则此⼏何体的体积是（） A ．20π3 B ．6πC ．10π3 D ．16π3 4.设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（）①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②()f x 的图象关于点(,0)4π对称；③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到⼀个偶函数的图象；④()f x 的最⼩正周期为π，且在[0,]6π上为增函数．A. ①③ B .②④ C. ①③④D .③5. 甲⼄两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所⽰，1x ，2x 分别表⽰甲⼄两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表⽰甲⼄两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（） A ．1212,x x s s >< B ． 1212,x x s s == C ．1212,x x s s =6.函数cos ln xy x=的图象是（） 3275538712455698210⼄甲7.若在231(3)2nx x -的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最⼩值时的常数项为（） A ．1352- B ． 135- C ．1352 D ．1358．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ?，若边1MF 的中点在双曲线上，则此双曲线的离⼼率是 ( )A ．423+ B.31- C.312+ D.31+ 9.已知实数y x ,满⾜??≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y z 的取值范围是（）A ． ]31,1[- B.)1,21[-C.]31,21[-D. ),21[+∞- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()() 0.30.333a f =?，()()log 3log 3b f ππ=?，3311log log 99c f ?=，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是（）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第II 卷（⾮选择题共100分）⼆、填空题：本⼤题共5⼩题，每⼩题5分，共25分． 11．若等⽐数列}{n a 的⾸项是32，且dx x a )21(414+?=，则公⽐等于． 12．执⾏右边的程序框图，输出的结果是．13．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o，点E 为线段CD 上的任意⼀点，则AE BD ?u u u r u u u r的最⼤值为．14. 已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为)(1x f -,且有，8)()(11=?--b f a f 若0>a 且0>b ，则ba 41+的最⼩值为．15. 给出下列四个命题：①命题“2,13x R x x ?∈+>”的否定是“2,13x R x x ?∈+≤”；② “2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；③设圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为1212(,0),(,0),(0,),(0,)A x B x C y D y ，则12120x x y y -=；④关于x 的不等式13x x m ++-≥的解集为R ，则4m ≤. 其中所有真命题的序号是.三、解答题：本⼤题共6⼩题，共75分．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤． 16（本题满分12分）已知函数n m x f ?=)(,且(sin cos ,3cos )m x x x ωωω=+u r, (cos sin ,2sin )n x x x ωωω=-r ,其中0>ω,若函数)(x f 相邻两对称轴的距离⼤于等于2π.（1）求ω的取值范围；（2）在锐⾓三⾓形ABC ?中，c b a ,,分别是⾓C B A ,,的对边，当ω最⼤时，1)(=A f ，且3=a ，求b +c 的取值范围．17（本题满分12分）为增强市民的节能环保意识,某市⾯向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直⽅图如图所⽰,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.(I)求图中x 的值并根据频率分布直⽅图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的⼈数;(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采⽤分层抽样的⽅法抽取20名参加中⼼⼴场的宣传活动,再从这20名中采⽤简单随机抽样⽅法选取3名志愿者担任主要负责⼈.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的⼈数为X ,求X 的分布列及数学期望. 18（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底⾯ABCD 是菱形，ο60=∠ABC ，2==PC AB ,2==PD PA ．（I ）求证：ABCD PAD 平⾯平⾯⊥；（II ）求⼆⾯⾓A PC B --的余弦值．19. （本题满分12分）数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x nx -<的解集中正整数的个数，111()12n n n f n a a a n=++++++…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7()112f n ≤<． 20（本题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离⼼率为21，长轴12A A ,短轴12B B ,四边形1122A B A B 的⾯积为43．（1）求椭圆的⽅程；（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于P Q 、,直线12,A P A Q M 与交于12AQ A P N 与交于．(i) 证明：MN x ⊥轴，并求直线MN 的⽅程；（ii ）证明：以MN 为直径的圆过右焦点F ．21（本题满分14分）已知函数()()ln 1x f x x +=．（1）当0x >时，求证： ()22f x x >+；（2）当10x x >-≠且时，()11kxf x x+<+恒成⽴，求实数k 的值．三、解答题16、解析：（1）x x x x n m x f ωωωωcos sin 32sin cos)(22+-=?= )62sin(22sin 32cos πωωω+=+=x x x ……………………2分22π≥T Θπ≥∴T 10≤<∴ω…………………………4分（2）当ω最⼤时，即1=ω，此时)62sin(2)(π+=x x f ……………………5分1)(=A f Θ1)62sin(2=+∴πA 3π=∴A …………………………7分由正弦定理得23sin 3sin sin sin ====πC c B b A a B b sin 2=∴,C c sin 2=B C b c sin 2sin 2+=+∴B C B B sin 3cos 3sin 2)32sin(2+=+-=π)6sin(32π+=B …………………………9分B在锐⾓三⾓形ABC ?中,<<<<2020ππC B 即<-<<<232020πππB B 得26ππ<<B …………10分3263πππ<+<∴B 1)6sin(23≤+<∴πB 32)6sin(323≤+<∴πB c b +∴的取值范围为]32,3(…………………………12分17、解:(I)∵⼩矩形的⾯积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70,06.0570.01=-=∴x ………………2分500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的⼈数为150500506.0=??(⼈). …………4分(II)⽤分层抽样的⽅法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的⼈有12名, “年龄不低于35岁”的⼈有8名. ……………………6分故X 的可能取值为0,1,2,3,()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P , ()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P , ………………10分故X 所以5739529512850?+?+?+?=EX 18、解：（1）取AD 的中点O ，连接,PO CO 0,60PA PD ABCD ABC =∠=为菱形， ,ABC ACD ??都是正三⾓形,PO AD CO AD ⊥⊥------------2分 POC ∠是⼆⾯⾓P AD C --的平⾯⾓21,PA PD AD AC CD PO =====∴=Q 222PC PO OC PO OC =+∴⊥，090AOD ∠= 所以，PAD ABCD ⊥⾯平⾯-------------------5分（2）建系 {,,}OC OD OP u u u r u u u r u u u r,所以 ()())()0,1,0,0,1,0,,0,0,1A D C P - ()()(0,2,0,1,0CP BC AD CA ====-u u u r u u u r u u u r u u u r设平⾯APC 的法向量为()1,,n x y z =u r()1301,3,330x z n x y ?-+=??=-?--=??u r……………………8分设平⾯BPC 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2301,0,320x z n y ?-+=??=?=??u ur ,-------------------------------------------10分设⼆⾯⾓A PC B --的⼤⼩为θ，1227cos |cos ,|27n n θ=<>==u r u u r -----12分（3）111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++ (111)1n n n n<+++=1442443项………………………………9分由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++ 故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=……………………………………11分综上可知7()112f n ≤<……………………12分 20、解（1）22133,24b b e a =∴==Q 即11224323A B A B S ab ==------------------------------------2分2,3a b ==，椭圆⽅程为22143x y +=----------------------3分同理可得:4N x =,MN x ⊥轴，直线MN 的⽅程为4x =………………10分 (ii)1212664, ,4,22y y M N x x ?++()()()()121212123636992233y y y y FM FN x x my my ?=+=+++++u u u u r u u u r()212221212222229363634999639393434369909182736y y m m m m y y m y y m m m m m m -?+=+=+--+++++++?=-=--++………………12分 FM FN ⊥,以MN 为直径的圆过定点F .……………………13分21、解：（1）0x >， ()()22ln 122x f x x x x >?+>++--------------1分()()()()()()222214ln 1'021212x x g x x g x x x x x x =+-∴=-=>+++++-------3分 ()g x 递增，所以()()00g x g >=，所以()2ln 12xx x +>+-------------------4分（2）当10x -<<不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<++->+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-，因为110,011,11x x x -<<<+<∴>+ 若1212k k ≤≤即，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h <=()h x ↓，()()00h x h >=----------------------------------------------7分若21k >，存在()01,0x ∈-，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()0,0x x ∈，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >= ()h x ↑，()()00h x h <=这与()()21ln 1x x x kx ++->⽭盾-------------9分当0x >不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<++-<+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-，10,11,011x x x >+>∴<<+若1212k k ≥≥即，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h <=，所以不等式成⽴---------------------------12分若21k <，存在()00,x ∈+∞，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()00,x x ∈，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h >= ()h x ↑，()()00h x h >=这与()()21ln 1x x x kx ++-<⽭盾综上所述：()()111110,;0,1212kx kx x f x k x f x k x x ++-<<<≥>2k =----------------------14分。

吉林省吉林市2020届高三第七次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

鹰隼三朝展羽翼蛟龙一跃上九天2016—2017学年下学期高三年级本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1 •答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2•选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3•请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4 •作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5 •保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷(选择题60分)一、选择题(本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只.有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上).(1) 已知R 是实数集，集合A={x|22x* > 16}, B ={x|(x—1)(x —3) £0}，则(e R A)“B =(A)(1, 2) (B) [1, 2](C) (1, 3) ( D) (1,弓)bj + a(2) 已知i是虚数单位，复数(a , b R)的共轭复数为1 2i，则a b^i -1(A) 4 ( B) 2(C) -2 (D) -41(3) 已知命题p: -，x^ R , sinx0 ■ cosx。

= 3 ；命题q：函数f (x) = x2-(」)x有一个零点，则2 下列命题为真命题的是(A) p q (B) p q(C)飞(D) p 厂q)(4) 已知直线a , b 分别在两个不同的平面：•，1内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面:- 和平面1相交”的(B) 必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件(5) 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾(注:个月计)共入510贯”，则该人7月营收贯数为(B ) 30(A )充分不必要条件 (C )充要条件从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱)5月与10月营收之和95贯，全年(按12(A ) 15(C) 45 (D) 70(A) 2 2(B) 2.3(C) 2、6 (D)(8)某公司对其生产的72件产品随机编成1至72号，现采用系统抽样的方法(等距抽样) 从中抽取9件产品进行检验，若53是抽到的一个产品的编号，则下列号码中不是抽到的样本编号为(A) 5 (B) 21(C) 69 (D) 487兀 cos()= 12 (A )壬26(C) 卩26x -y < 1(10)若实数x, y 满足x_2y ・2 > 0,且目标函数z 二x-ay 只在点(4 , 3)处取得最大值,2x y > 2则a 的取值范围为(9)已知角的顶点在原点，始边与 6x 轴正半轴重合，终边过点 P(_5 , 12)，则742(B) -——26 (D) 17 226(A )(」:,0)U(1 ,:：) (B ) (1,：：) (C ) (0,1)(D )(」:,1)「 — I I 2 2(11)若圆D : x y -4x *3=0与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线 E 的一条渐近线相切，则双曲线E 的离心率为4 (A)-或 43 (O 213(D ) 2(12)已知函数 f(x) = j |2 一11，X w 1(Ilog ?%—1)|, x>1,若方程f (x) =t 有四个不同的实数根 1 1a ,b ,c ,d ,且 a ::: b ::: c ：. d ，则 a b --的取值范围为c d(A )(」：，1] (B ) [1, 2017) (C ) (-：：，1)(D ) (1, 2017)第n 卷(非选择题，共 90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题- 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答•二、填空题(本大题包括 4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). (13 )从2 , 3, 8, 9中任取两个不同的数字，分别记为 a , b ,则log a b 为整数的概率是(14 )已知函数log 2(5「x) , x 4 f(x) * 丿，则f(9)二. _f (x「2) , x > 4(15 )已知向量 a , b满足| a匸2 , a _ (b 2a)，向量a在向量b方向上的投影为-1，则| a b | =三、解答题(本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(17) (本小题满分12分)数列｛a n｝的前n项和S n满足S n = 2a n〜，且印，a3 1，成等差数列.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(H)设b n = na n ,求数列｛b n｝的前n项和.(18) (本小题满分12分)2016年11月，第^一届中国(珠海)国际航空航天博览会开幕式当天，歼-20的首次亮相给观众留下了极深的印象•某参赛国展示了最新研制的两种型号的无人机，先从参观人员中随机抽取100人对这两种型号的无人机进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格.由统计信息可知，甲型号无人机被评为优秀的频率为-、良好的频率为2 ;乙型号无人5 5机被评为优秀的频率为—，且被评为良好的频率是合格的频率的5倍.10(I)求这100人中对乙型号无人机评为优秀和良好的总人数；(n)如果从这100人中按对甲型号无人机的评价等级用分层抽样的方法抽取5人，然后从其他对乙型号无人机评优秀、良好的人员中各选取1人进行座谈会，会后从这7人中随机抽取2人进行现场操作体验活动，求进行现场操作体验活动的2人都为“评优秀”的概率.(16 )若 f (x) =asin x bcosx ,且f(「十一x)，则直线ax by 0的倾斜角(19) (本小题满分12分)已知P是四边形ABCD所在平面外一点，PA二PB二PD ,在四边形ABCD中AB =AD，AB _ AD , O是BD的中点•(I)求证：PD _AC；(H)若E是PD的中点，求平面EAC将四棱锥P — ABCD分成两部分的体积之比•D(20) (本小题满分12分)1 2已知函数f(x)=lnx——x +x2(I)设G(x^f(x) lnx，求G(x)的单调增区间;(n)证明：k ：：:1时，存在X ) 1,当x.二(1, x o )时，恒有(21) (本小题满分12分) (I)求椭圆C 的方程;(n )若点M , N 是椭圆C 上的两个动点，匕,k 2分别为直线OM , ON 的斜率且1k*2,试探究△ OMN 的面积是否为定值，并说明理由. 4请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程一！x = -1 + J 2 —a cosa 在平面直角坐标系中，已知曲线 C 的参数方程为 (〉为参数，y =1 +J 2_a si n ota ：：：2 ).(I)当a =-2时，若曲线C 上存在A , B 两点关于点M (0 , 2)成中心对称，求直线AB 的直角坐标方程；(n)在以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为「sin(r ^0的直线l 与曲线C 相交于P , Q 两点，若| PQ 尸4，求实数a 的值. 4(23) (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数 f(x) =|2x-a| |2x 3| , g(x) =|2x-3| 2.1(X )—2 k(x —1).=1(a b 0)经过点(1, C 的离心率已知椭圆(I)解不等式|g(x)|：：：5；(n)若对任意x< R，都存在x< R，使得f(x J=g(X2)成立，求实数a的取值范围.吉大附中高中部2016-2017学年下学期高三年级第七次模拟考试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.题号123456789101112答案D A B A C C C D B D B C（12）如图，做出的图像:则由f⑷叮®可得|Z-1H2<1|> 即一］］，整理得「.一..由均值不等式可得一F+J「,因为厂：匸，所以等号不成立，所以.1，即—-J.由二—士可得- - I：,I 1 1 1即-I ，整理得•- 丨，所以- - ■，故选c d c dC.、填空题：本大题共4小题，每小题5 分.(14):（15） .-J-；(16)（16）解析：由已知得「匸-厂Ga图象的一条对称轴，则，因为.，「J ,所以■ ■■- ，贝y 、，所以直线3 2□ t? 3I的斜率为-二-b2 -2胃，故倾斜角一..三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）解析：（1）由题意，:-匚［，则当…二；时，「一」_ 两式相减得「叽（曲2），所以］，又；一' ;、成等差数列，所以「匕- A!,解得j :，所以数列:;:是以-为首项，_为公比的等比数列，所以12分（18）解析：（1）因为对乙型号无人机被评为优秀的频率为，故乙型号无人机被评为103良好和合格的频率为一.设乙型号无人机被评为合格的频率为..，则被评为良好的频率为10:■:，解得，—...... 2分19所以乙型号无人机被评为优秀和良好的频率为—,所以这|丨丨人中乙型号无人机被评为优10秀和良好的总人数为20n）甲型号无人机评优秀的频率为T，良好的频率为二，及分层抽样的性质可知，其中有:人评优秀，分别记为，|. - , '. 人评良好，分别记为［■：”.记选取的对乙型号无人机评优秀、良好的一人分别为. I：1，则从这人中随机抽取一人,不同的结果为・丨•・•，丨-•…••丨共］丨种...... 8分记“进行现场操作体验活动的-人都评优秀”为事件［，则事件二'包含的结果为共［种.则"］上.12分（19）解析：（1）因为.是丄的中点，所以匸「丨尺，因为所以. —. '；」，又因为门—J.H所以二二「―所以.—匸匸匕二，即「.」「•因为，所以-平面K L-,所以汇.」心. ……6分(□)由(I)知，—平面所以平面可匸I平面.过！;作厂「:.于厂则；「平面.4 J因为■为」丄的中点, 所以「一―所以..... 8分所以^一 |所以,_，L I.……12分(20)解析：(I) 一：- …- ■■ ■: •从而22 x-2 -1 —2,r I令：/| -.1 ：-1'得一 _ ； . ，所以函数「丨的单调增区间为［I：. ……6分(n)证明：当.匚寸］时，令 ~ - / ■. - ' -.</ - |；_,<■ ■ - |/.- ,2 2 2则有''■ '■■■1■,由门-」得一「+」-< :_，解得X X■衬巴u 」」+&_册+ 4厲 2 32..... 8分从而存在】，当r"■ ■ '■:时，/I」故「- ■•在上单调递增，从而当厂■-:时，儿；• 5 *丨，即-.--A〔丄Jj……12分r1(21)解析：(I)—…- ……4分4 7(n)当直线仁」的斜率不存在时，「—「，- 「，易得［J.；1的面积为I.Jj Jj当工」；的斜率存在时，设直线工"的方程为1 - ■J.「兰泌_1由片-，得(l + 4k3)x J+ 8fo+4(t3-'1) = 0.y=kx+t设H.' ■■■ ■■:，则「：［是方程—肿厂卜：亡-忙'-I：- I的两个根. 所以一一一-1：且一 \ 勺 21 + 4卩 71 + 4/f2 _4^则:.....:可得二11,故-.此时-I:.■.< I .\t\丫 +妒请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程消去参数，得丫 + ］：‘圆心坐标为 '.I ：.因为曲线「上存在.■:. L.两点关于点小［］「［成中心对称，所以_：：. ：1卜 2-1 . 3卩7——7 1，得,一 - J ，所以直线血的倾斜角为 •，U - 4所以直线.,；育的直角坐标方程为.「- .(x+l)3+(y-l)z =2-a ，圆心 \ ' ■ I ： ■半径为又直线.的极坐标方程可化为 L. -n. r- ...r*. .1 ,得直线的普通方程为： + .-」所以—「;一” 卜=:、；=■.10分（23）（本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲解析：（I ）〔U(n)由题得? ；_c -.又「阳7:— »一匚则|匚」F ；,解得：-二或：-二，故实数「的取值范围为--/.I-' f, 所以由“ _ --- ---- ,冠禺 4，又点「到直线的距离r ;- IN 冷昭小少「仆弓府而丐笔嶼+41）(1+4*7T i_.综上可知‘的面积为定值】.12分解析：（1）由题意，得曲线 c 的参数方程为弋x = A + 2COSOJrE 为参数)，j = I+ 2sino:则由-I.,（n ）消去曲线 /参数方程的参数得……10分。

2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(七)解析版

ADC 60 ， AA1 AC .
（1）证明： A, D,C1, B1 四点共面，且 A1C DC1 ；（2）若 AD 1，点 M 是 BC 上一点，求四棱锥 C ADC1B1 的体积，并判断点 M 到平面 ADC1B1 的距
离是否为定值？请说明理由. （1）证明：因为 ABC A1B1C1 为直三棱柱，
输出 42，选 B.
10.下列叙述中正确的是（）
A.函数
f
(x)

x2

2 x2
2
的最小值是 2
2 2
B.“ 0 m 4 ”是“ mx2 mx 1 00 ”的充要条件
C.若命题 p : x R, x 2 x 1 0 ，则 p : x0 R, x02 x0 1 0 D.“已知 x, y R ，若 xy 1 ，则 x, y 都不大于 1”的逆否命题是真命题
4 ，选 A.
8.已知函数
(lo13ga
x，0 a)x
x 1 1，x
1
在区间
(0,
)
上是减函数，则实数
a
的
取值范围是（）
A.

0,
1 3

B.

1 3
,
2 3

C.

1 3
,1
D. (0,1)
解析：由
y

loga
x
在
0
，

上单调递减，得
由
S4
10S2
，得
a1(1 q4 ) 1 q
10
a1(1 q2 ) 1 q
，1
q2
10

2020年高考数学(理)复习【三角恒等变换】小题精练卷附答案解析

，且
3cos2α＝cos
π＋α 4
，则
sin2α的值为(
)
A. 1 B．－17C.17 D．－ 1
18
18 18
18
答案：B
解析：∵3cos2α＝cos
π＋α 4
，
∴3(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝ 22(cosα－sinα)．
∵α∈
π2，π
，∴cosα－sinα≠0，∴cosα＋sinα＝
2020 年高考数学（理）复习【三角恒等变换】小题精练卷
刷题增分练⑮
一、选择题
1．[2018·全国卷Ⅲ]若 sinα＝13，则 cos2α＝(
)
A.8
B.7 C．－7
D．－8
9
9
9
9
答案：B
解析：∵sinα＝1，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2× 3
1 3
2＝7.故选 9
B.
2．[2019·成都诊断]已知α为第二象限角，且 sin2α＝－24，则 cosα－sinα的值为( ) 25
刷题课时增分练⑮ 一、选择题
3
1．[2019·贵阳监测]sin415°－cos415°＝( )
A.1
B．－1C. 3
2
22
答案：D
D．－ 3 2
解析：sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－ 3. 2
3sin2x，则当 2
x∈
0，2π 3
时，函数
f(x)的最大值减去最小值等于________．
答案：2
解析：f(x)＝sinx－2

2020届高考冲刺数学(文)“小题精练”含详细解答(共30份)

2020届高三数学（文）“小题速练”113. 14. 15. 16.1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,22. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+3. 已知12,e e 均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．256. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．949. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．2020届高三数学（文）“小题速练”1（答案解析）1.已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =I A ．∅ B ．{}2,1 C ．(){}2,1 D ．(){}1,2【答案】D ．【解析】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2．2.已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z = A ．34i ± B ．34i ±+ C ．43i ± D ．43i ±+【答案】A ．【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3.已知12,e e均为单位向量，若12-=e e 1e 与2e 的夹角为 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】C ．【解析】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4.函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为 A ．()0,1 B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B ．【解析】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2758-=1308-＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．5.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【答案】C ．【解析】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =． 6.若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【答案】D ．【解析】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-．所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7.已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8.已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．94【答案】B ．【解析】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得 AB =122y y ++=917244+=．9.某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描 C ．乙丁可能两门课都相同 D ．这四个人里恰有2个人选素描【答案】C ．【解析】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【答案】B ．【解析】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11.已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】A ．【解析】()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x ()min g x =．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=，或()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022********2000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为．【答案】4．【解析】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4． 14.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ．【答案】12．【解析】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()222343262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19．16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．【答案】12π．【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则1152O A BC ==，所以2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D △中，OD =，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π．ABC1OO EDP2020届高三数学（文）“小题速练”2题号123456789101112答案13. 14. 15. 16.一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2=-x}，N={x|lg x=0}，则M∪N=（）A. {−1,0}B. {−1,0，1}C. {0,1}D. {−1,1}2.已知i为虚数单位，若复数z=(1+i)21−i，则|z|=（）A. 2B. 1C. √2D. √33.已知曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为3x+y=0，则曲线的离心率为（）A. 2B. 2√3C. 3D. √104.下列函数中是偶函数，且在区间（0，+∞）上为单调增函数的是（）A. y=lnx2B. y=e x−e−xC. y=cosxD. y=x3+x5.已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是（）A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6.已知向量a⃗=(1，2)，b⃗ =(1，x)，若|a⃗−b⃗ |=a⃗⋅b⃗ ，则x=（）A. −3B. 13C. 3 D. 13或−37.从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，这个两位数是奇数的概率为（）A. 49B. 12C. 59D. 138.如图，小正方形方格边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 2π3B. 3π2C. π2D. 2π9.执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A. 36B. −36C. 45D. −4510.已知函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，ω＞0，A＜0）的部分图象如图所示，则A=（）A. −2B. −3C. −2√2D. −√6)，11.定义域为R的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），且在区间[0，1]上单调递减．设a=f(152 b=f（2+√2），c=f（8），则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. c>b>aC. b>c>aD. c>a>b12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，则直线C1N与l的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=x2+ln x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14.已知实数x，y满足{x+y≤3x−y≤0x−1≥0，则z=yx−1的最小值是______．15.已知抛物线y2=2px（p＞0），直线y=x-2与抛物线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点P（2，-2），则p=______．16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=√3ab+c2，AB=1，则AC+√3BC的最大值是______．2020届高三数学（文）“小题速练”2（答案解析）1.【答案】B【解析】∵集合M={x|x2=-x}={0，-1}，N={x|lgx=0}={1}，∴M∪N={-1，0，1}．2.【答案】C【解析】解：复数z====i-1，则|z|==．3.【答案】D【解析】∵曲线的一条渐近线方程为3x+y=0，∴b=3a，∴c==a，∴e==．故选：D．4.【答案】A【解析】A．函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=ln（-x）2=lnx2=f（x），则f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=2lnx为增函数，满足条件．B．f（-x）=e-x-e x=-（e x-e-x）=-f（x），则函数为奇函数，不满足条件．C．y=cosx在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．D．f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），函数为奇函数，不满足条件．5.【答案】D【解析】在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，在A中，甲的成绩的平均数为：=（5+6×2+7×2+8×2+9×2+10）=7.5，乙的成绩的平均数为：=（6+7×3+8×2+9×3+10×1）=8，∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A正确；在B中，甲的成绩的中位数为：，乙的成绩的中位数为：=8.5，∴甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B正确；在C中，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对分散，∴甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故B正确．在D中，甲的成绩的极差为：10-5=5，乙的成绩的极差为：10-6=4，∴甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D不正确．6.【答案】B【解析】向量，若，可得：，（x）．，解得x=-3（舍去）或x=．故选：B．7.【答案】A【解析】从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n=3×3=9，这个两位数是奇数包含的基本事件个数m=2×2=4，∴这个两位数是奇数的概率为p=．8.【答案】D【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，如图：V=π•12×4=2π，故选：D．由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，即可求出几何体的体积．9.【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=-1，n=2满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=3，n=3满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-6，n=4满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=10，n=5满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-15，n=6满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=21，n=7满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-28，n=8满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=36，n=9此时，不满足条件4n2≥2n，退出循环，输出S的值为36．10.【答案】C【解析】由图象可得T=-==•，解得ω=3．可得：f（x）=Acos（3x+φ），由于点（，0）在函数图象上，可得Acos（3×+φ）=0，解得：3×+φ=kπ+，即：φ=kπ-，k∈Z，又由于点（，-2）在函数图象上，可得Acos（3×+kπ-）=-2，k∈Z，可得：Acos（+kπ）=-2，k∈Z，解得：A=-2，或2（舍去）．11.【答案】D【解析】∵偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），∴f（x+1）=-f（-x）=-f（x），即f（x+2）=-f（x+1）=f（x），则f（x）为周期为2的周期函数，则c=f（8）=f（0），b=f（2+）=f（）=f（-）=f（2-），=f（8-）=f（-）=f（），∵0＜＜2-，且f（x）在区间[0，1]上单调递减．∴f（0）＞f（）＞f（2-），即c＞a＞b12.【答案】B【解析】∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，设AM∩CN=O，连结OP，∴C1N∥OP，∵OP⊂平面AMP，C1N⊄平面AMP，∴C1N∥平面APM，∵平面AMP与平面BNC1的交线为l，∴直线C1N与l的位置是平行．故选：B．13.【答案】3x-y-2=0【解析】f′（x）=2x+；故f′（1）=2+1=3；故函数f（x）=x2+lnx的图象在点A （1，1）处的切线方程为：y-1=3（x-1）；即3x-y-2=0；14.【答案】3【解析】作出实数x，y满足对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得（，），则AD的斜率k==3，即的最小值为：3，故答案为：3．15.【答案】1【解析】y2=2px（p＞0）和直线y=x-2联立，可得x2-（4+2p）x+4=0，△=（4+2p）2-16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=4+2p，x1x2=4，线段AB为直径的圆过点P（2，-2），可得AP⊥BP，即有•=-1，即为=-1，可得x1x2=-[x1x2+4-2（x1+x2）]，化为-4=8-2（4+2p），解得p=1．检验判别式大于0成立．16.【答案】2√7【解析】由a2+b2=ab+c2可得=，得cosC=，又0＜C＜π，∴C=，根据正弦定理可得==，∴AC=2sinB，BC=2sinA，∴AC+BC=2sinB+2sinA=2sin（-A）+2sinA=cosA+3sinA=2sin （A+φ）≤=2．2020届高三数学（文）“小题速练”313. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2020届高三理科数学大题精练 14套含答案

没有，请说明理由
(2) 当 AB ⊥ CD 时，点 P，Q 在什么位置时， PQ 取得最小值？解： (1) 设 A( x1, y1 ) ， B ( x2, y2 ) ， P ( x0, −1) ，
则 x12 = 4 y1 ， x22 = 4 y2 ，
10 读万卷书行万里路
抛物线的方程可变形为 y = 1 x2 ，则 y' = x ，
uuur
∴ CA = （1，﹣2，0）， CS = （0，﹣1，1）， CB = （1，0，0），
ur 设平面 ASC 的法向量 m = （x，y，z），
则
mv mv
⋅ ⋅
uuuv CuuAuv CS
= =
x −
− y
2 +
y z
= =
0 0
，取
y＝1，得
ur m
=
（2，1，1），
r 设平面 BSC 的法向量 n = （x，y，z），
解： (1) 由饼图得： a = 1− (6% + 9% + 27% +12% +14% + 3%) = 29% ． (2) 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的 100 名学生每天平
均使用手机的平均时间在第 4 组．
7 读万卷书行万里路
旗开得胜
(3)Q样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机
旗开得胜
20．过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦已
知抛物线为 x2 = 4 y ，点 P，Q 在直线 l：y = −1上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为 AB，
CD

2020届高三数学(文)“小题精练”7

与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
学史上，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：(7 7)8 (61)8 ， (7 6)8 (52)8 ， (7 5)8 (43)8，，则八进制下 (6 5)8 等于（）
A. (36)8
【答案】A
B. (37)8
C. (40)8
D. (41)8
A. 10
B. 12
C. 8
【答案】B
6.公比不为1的等比数列{an} 中，若 a1a5 aman ，则 mn 不．可．能．为（）
D. 9
A. 5
【答案】B
B. 6
C. 8
D. 9
1
x y 2 0,
7.已知二元一次不等式组
x
y
2
0
表示的平面区域为 D ，命题 p ：点 (0,1) 在区域 D 内；命题 q：点 (1,1) 在
x 2y 2 0
区域 D 内. 则下列命题中，真命题是（）
A. p q
B. p (q)
C. (p) q
D. (p) (q)
8.已知
ABC
中，
AB
4,
AC
3
，
A
3
，
BC
的中点为
M
，则
AM
AB
等于（
）
15
A.
2
B. 11
C. 12
D. 15
9.已知圆 C
: x2
y2
10 y 21 0
3.已知平面内一条直线 l 及平面，则“ l ”是“ ”的（）
A. 充分必要条件

2020届全国高考三卷模拟试卷数学(理)试题(七)解析版

初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是，有人要去某关口，路程为 378 里，第一
天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则
此人第四天走的路程（单位：里）为（）
A.192
B.48
C.24
D.6
解析：记每天走的里程数为 an
，易知 an
所以，有 99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系
19.（12 分）如图所示的几何体中，ABC A1B1C1 为直三棱柱，四边形 ABCD 为平行四边行，CD 2 AD ， ADC 60 .
（1）若 AA1 AC ，证明： A, D,C1, B1 四点共面，且 A1C DC1 ；
（2）若 AD 1,CC1 AC ，二面角 A1 C1D A 的余弦值为
4
解：（1）在△ ABC 中，由 cos A 6 ，得 sin A 3
3
3
由 sin B 3 cos C 得 sin( A C) 3 cos C ， sin Acos C cos Asin C 3 cos C ，
3 cos C 6 sin C 3 cos C ， 6 sin C 2 3 cos C ， tan C 2 .
6.某地环保部门召集 5 家企业的负责人座谈，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上随
机安排 3 位负责人发言，则发言的 3 人来自 3 家不同企业的概率为（）
1
2
3
4
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
解析：发言的 3
人来自
3
家不同企业的概率为 P
C63
C22C41 C63

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷(浙江专用)(解析版)

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷（浙江专用）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a R ∈,复数122,12z ai z i =+=-，若12z z 为纯虚数，则a 的值为（） A ．0B ．1C ．3D ．5 【答案】B 【解析】由()()122(12)222(4)2241212(12)555ai i z ai a a i a a i z i i i +++-++-+====+--+，因为复数是纯虚数，所以1a =满足题意，故选B.2．函数()233sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（） A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为43π的偶函数【答案】A 【解析】()2323sin 3cos 323f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，3T π=，为偶函数.故选A. 3．已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（）A ．{}1AB ⋂=B ．R A B A ⋂=ðC ．()(]R 0,1A B ⋂=ð D ．A B =R U 【答案】B【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或ð 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ð ；R A B ⋃≠；故选B.4．点()1,1M 到抛物线22y ax =准线的距离为2，则a 的值为（） A ．1 B ．1或3 C ．18或124- D ．14-或112【答案】C 【解析】依题意可知0a ≠，抛物线的标准方程为212x y a= 当0a <时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a =-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得124a =-.当0a >时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a =-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得18a =.所以a 的值为18或124-.故选C. 5．若x y ，满足约束条件0300x y x y x m +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩,且2z x y =-的最大值为9．则实数m 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】画出可域如下图，其中x=m 是一条动直线，由于已知max 2x-9y =（），所以当29x y -=经过可行域某个顶点（或边界）时取到最大值，此时点A(3,-3)，所以m=3,选D.6．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A ．40B ．36C ．32D ．20 【答案】A【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种.故答案为A. 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为（） A ．-3B ．-5C ．-6D ．-9【答案】D【解析】由112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥可知12,3m m a a +==，设等差数列{}n a 的公差为d ，则1d =，∵0m S =，∴12m a a =-=-，则3n a n =-，(5)2n n n S -=，2(5)2n n n nS -=,设2(5)(),02x x f x x -=>，23'()5,02f x x x x =->，∴()f x 的极小值点为103x =，∵n Z ∈，且(3)9f =-，(4)8f =-，∴min ()9f n =-，故选D.8．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【答案】D【解析】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以()()(),1E p D p p ξξ==-,随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-,所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则()()()()1121E p p p p p p η=-+-=-,()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--, 当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确,故选D.9．在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上（包含端点），且2AC =，则()PB PD PA +⋅u u u v u u u v u u u v 有（） A ．最大值为12，没有最小值 B ．最小值为12-，没有最大值 C ．最小值为12-，最大值为4 D ．最小值为4-，最大值为12 【答案】C 【解析】如图：2PB PD PO +=u u u r u u u r u u u r 所以2PB PD PA PO PA +⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）,（1）当点P 在AO 上,设||[0,1]PO a =∈u u u r ,()22(1)PB PD PA PO PA a a +⋅=⋅=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当12a =时,有最小值12-;（2）当点P 在CO 上,设||[0,1]PO a =∈u u u r ,()22(1)PB PD PA PO PA a a +⋅=⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当1a =时,有最大值4;综上()PB PD PA +⋅u u u r u u u r u u u r 有最小值为12-,最大值为4.故选C. 10．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若存在过1F 的直线分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得221∠=∠BAF BF F ，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．(1,23]+B ．(1,25]+C ．(3,23]+D ．(3,25]+【答案】D 【解析】在2BAF V 和21BF F V 中，由221221,BAF BF F ABF F BF ∠=∠∠=∠,可得221BAF BF F V V ∽, 即有221212BF F A BA k BF BF F F ===,即为112212,2AB BF AF kBF BF kBF AF k c =-=⎧⎪=⎨⎪=⋅⎩ 121111222(1)21a BF BF a BF kBF a k BF a BF k-=-=∴-=∴=-Q ，， . 2112112211,,2BF AF kBF AF BF kBF AF a BF k BF -=∴=-∴-=-Q ,()222211a k c a k k ∴⋅-=--21,3a k e c a∴=<∴>-.1122()12,,253a a c a BF a BF c a e c a c a -⎛⎫-==≥+∴≤+ ⎪--⎝⎭故选D. 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷学业水平训练7

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷学业水平训练一、填空题1．不等式x ＋2y －6<0表示的平面区域在直线x ＋2y －6＝0的①左下方；②左上方；③右上方；④右下方，其中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)解析：将原点(0，0)代入x ＋2y －6得0＋2×0－6<0，而原点在直线x ＋2y －6＝0的左下方，故不等式x ＋2y －6<0表示的平面区域在直线x ＋2y －6＝0的左下方．答案：①2．不等式x －2y ≥0表示的平面区域是________．(填序号)解析：取测试点(1，0)，排除①③；由边界线x －2y ＝0可排除②，故填④.答案：④表示的平面区域内的0≥1－y 2＋x 3式则在不等，⎝⎛⎭⎫0，12C ，)1，1(B ，)0，0(A 已知点．3点是________．解析：注意点C 在边界上，亦满足题意．答案：B ，C4．若点(－2，m )在直线2x －3y ＋6＝0的下方区域，则实数m 的取值范围为________．由，表示2＋x 23<y 所以直线的下方区域可用不等式，2＋x 23＝y 将直线方程写成析：解.23＝2＋)2－(×23<m 即，2＋x 23<y 满足)m ，2－(题意 )23，∞－(答案： 5．已知点(1，1)和(－1，2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，则n 的取值范围是________．解析：∵(1，1)与(－1，2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，∴(1＋1＋n )(－1＋2＋n )>0，即(n ＋2)(n ＋1)>0， ∴n <－2或n >－1.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．________为表示的平面区域的面积⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x≤3，y≥0不等式组．6解析：画出不等式组表示的平面区域，它是一个三角形截去一角，容易求得其面积为.10341034答案：7．如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组表示为________．解析：边界所在的直线方程为y ＝－2，x ＝0，2x －y ＋2＝0，.⎩⎪⎨⎪⎧x≤0y>－22x －y ＋2≥0根据平面区域与边界的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x≤0y>－22x －y ＋2≥0答案：二、解答题．所表示的平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0x ＞2y y≥0画出不等式组．8 解：先画出直线2x ＋y －4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取直线2x ＋y －4＝0左下方的区域内的点(0，0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x ＋y －4≤0表示直线2x ＋y －4＝0及其左下方的区域．同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x ＞2y 表示直线x ＝2y 右下方的区域，不等式y ≥0表示x 轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示． 9．某工厂制造A 型电子装置45台，B 型电子装置55台，需用薄钢板为每台装置配一个外壳．已知薄钢板的面积有两种规格：甲种可做A ，B 两型电子装置外壳分别为3个和5个；乙种可做A ，B 两型电子装置外壳各6个．请用平面区域表示甲、乙两种薄钢板张数的取值范围．解：由题意可列表如下，设用甲种钢板x 张，乙种钢板⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y≥45，5x ＋6y≥55，x ，y ∈N.则其平面区域如图阴影部分所示． [高考水平训练]一、填空题 1．当直线ax ＋y ＋b ＝0从两点P (1，1)，Q (2，1)之间通过时，则实数a ，b 满足的关系式为________．解析：∵直线ax ＋y ＋b ＝0从P ，Q 两点间通过，∴P ，Q 两点分居直线l ：ax ＋y ＋b ＝0的两侧，∴(a ＋1＋b )(2a ＋1＋b )<0，即(a ＋b ＋1)(2a ＋b ＋1)<0，这就是实数a ，b 所满足的关系式．答案：(a ＋b ＋1)(2a ＋b ＋1)＜043＋kx ＝y 所表示的平面区域被直线⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4若不等式组)扬州质检·(．2分为面积相等的两部分，则k 的值是________．，1(A 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4由.ABC △不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分解析：1)，又B (0，4)，，⎝⎛⎭⎫0，43C .C 的顶点ABC △恰过43＋kx ＝y 从而可知直线＝BCD △S 则由，D 的交点为4＝y ＋x 3与43＋kx ＝y 设 12.73＝k ∴.52＝D y ，12＝D x ∴，的中点B 、A 为D ，知ABC △S 73答案：二、解答题3．某市政府准备投资1200万元筹办一所．经调查，班级数量以20至30个班为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元和58万元．将办学规模(初、高中班的班级数量)在直角坐标系中表示出来．解：设初中x 个班，高中y 个班，此时办学所需资金为(28x ＋58y )万元，市政府准备投资1200万元，则28x ＋58y ≤1200，班级数量是非负整数，且要满足20≤x ＋y ≤30，⎩⎪⎨⎪⎧28x ＋58y≤1200，x ＋y≥20，x ＋y≤30，x ，y ∈N.即满足所以，办学规模应是图中阴影部分的整数点所表示的规模．.Q 表示的平面区域是⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0，x ＋y≥0，x≤4，已知不等式组．4 (1)求Q 的面积S ；(2)若点M (t ，1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值的集合．解：(1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝4，由 A (4，－4)； ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＝4，由解得B (4，12)；．)4，4－(C 解得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＋y ＝0，由于是可得AB ＝16，AB 边上的高d ＝8.64.＝8×16×12＝S ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧t≥－7，t≥－1，t≤4，t ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧t －1＋8≥0，t ＋1≥0，t≤4，t ∈Z ，由已知得)2( 4.，3，2，1，0，1－＝t 得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t≤4，t ∈Z ，亦即故整数t 的取值的集合是{－1，0，1，2，3，4}．。

2020届高三数学小题狂练试题含答案(共40份)

2020届高三数学小题狂练一姓名得分1．已知2{230}A x x x =--≤，{}B x x a =<，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 .2．已知2()|log |f x x =，则=+)23()43(f f .3．若平面向量b 与向量a =(1,2)-的夹角是180o，且|b |=b = .4．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若αβ⊥，l β⊥，则l ∥α； ②若l α⊥，l ∥β，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若αβ⊥，α∥γ，则βγ⊥. 其中正确命题的序号是 .5．设函数()24xf x x =--，0x 是()f x 的一个正数零点，且0(,1)x a a ∈+，其中a ∈N ，则a = .6．已知α为第二象限的角，且53sin =α，则=+)4cos(πα . 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，3=a ，1=b ，则=c .8．已知函数()cos f x x x =，则'()3f π=_________.9．已知等差数列{n a }中，0n a ≠，若m ∈N ，1m >，2110m m m a a a -+-+=，2138m S -=，则m = .10．若关于x 的方程10kx +=有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是 .11．设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且2)1(->f ，mm f 3)2(-=，则m 的取值范围是 . 12．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 .答案 1．(3,)+∞ 2．1 3．(3,6)- 4．②④ 5．26． 7．28．12 9．10 10．1[,0)2-11．)3,0()1,(⋃--∞ 12．352020届高三数学小题狂练二姓名得分1．已知复数z 满足(2－i)z =5，则z = .2．已知向量24()，a =，11()，b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 . 3．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为_________.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则方程()1f x =的解集是 .5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -= .6．若三条直线320x y -+=，230x y ++=，0mx y +=不能构成三角形，则m 的值构成的集合是 .7．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 . 8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 .9．已知(1)(1)()sin 33x x f x ππ++=，则(1)(2)(2015)f f f +++=L .10．数列{}n a 中，11a =，1411++=+n n n a a a = .11．已知点G 是ABC ∆的重心，若120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u rg ，则||AG u u u r 的最小值是 .12．双曲线221x y n-=（1n >）的两焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F ∆的面积为 .答案1．2＋i 2．3- 3．294．{2,－12}5．326．{3-，1-，2} 7．7 8．4 9．010．1276411．23：1()3AG AB AC =+u u ur u u u r u u u r12．1：12PF PF +=1212S PF PF =g ，平方减2020届高三数学小题狂练三姓名得分1．若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值是 . 2．抛物线2y ax =（a 为非零常数）的准线方程为 .3．设函数()log a f x x =（0a >，1a ≠）满足(9)2f =，则(9)af 的值是 . 4．曲线C ：()sin xf x x e =+在0x =处的切线方程为 .5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3S ，9S ，6S 成等差数列，则数列{}n a 的公比q 为 .6．若a ，b≤m 的最小值是 .7．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点(1,1)A ，点M 是椭圆上的任意一点，则2MA MF +的最小值为 . 8．设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，则xy 的最小值为 . 9．若直线l 与圆224x y +=相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且12122x x y y +=，则AB = .10．小张、小李、小王三位同学在足球场上做传球训练，规定：持球的任何一人必须将球传给另两位同学中的一人．开始时球在小王脚下，传球4次后，则球仍然回到小王脚下的概率为 .11．已知()f x =||2x x a x -+，若()f x 在R 上恒为增函数，则a 的取值范围是 .12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在准线上，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =g ，则该双曲线的离心率等于 .答案 1．38 2．14y a=- 3．64．210x y -+=5．2-67．38． 16（去分母）9．2（2OA OB ⋅=u u u r u u u r ，3AOB π∠=）10．38（树状图，616）11．[2,2]-（x a ≥：0x a ≤；x a <：0x a ≥）12（由射影公式得222()a m c c c =+2222c a =+，222()a n c c c=-22b =，代入222216m n a b =）或（2ab h c=，中线PO c =，2222()a h c c =-）2020届高三数学小题狂练四姓名得分1．若集合2{5,log (3)}A a =+，集合{,}B a b =，{2}A B =I ，则A B U = . 2．若复数2(56)(3)i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m = . 3．若10≤≤x ，且21y x -≥，则2z x y =+的最小值为 .4．若函数32()f x ax x x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是 . 5．在等差数列{}n a 中，638a a a =+，则前9项之和9S = . 6．已知ABC ∆中，2a =，b =45A =︒，则B 等于 .7．曲线sin cos y t x x =+在0=x 处的切线方程为1+=x y ，则=t . 8．曲线C1+=上的点到原点的距离的最小值为_________.9．已知直线l 的倾斜角为︒120，与圆M ：0222=-+y y x 交于P ，Q 两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r（O 为原点），则l 在x 轴上的截距为 .10．如图，在ABC ∆中，1tan 22C =，0AH BC ⋅=u u u r u u ur ，0)(=+⋅CB CA AB ，则过点C 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为 .11．在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤，且对任意的正整数k ，该数列中恰有21k -个k ，则2015a 的值等于 .12．已知函数()f x 满足(2016)1f =，)1(-x f 为奇函数，)1(+x f 为偶函数，则(4)f 的值等于 .BACH答案1．{1，2，5} 2．2 3．1 4．1[,)3+∞ 5．0 6．60°或120° 7．1 8．429y b =+ 10．2 11．4512．1-：(1)(1)f x f x -=---，(1)(1)f x f x -=+，于是()(2)f x f x =---，(2)()f x f x -=，所以(2)(2)f x f x -=---，进而得周期为82020届高三数学小题狂练五姓名得分1．已知向量(1,3)m →=，(2,1)n a a →=-，若→→⊥n m ，则a = .2．已知7-，1a ，2a ，1-四个实数成等差数列，4-，1b ，2b ，3b ，1-五个实数成等比数列，则212b a a -= . 3．正方体的内切球与其外接球的体积之比为 .4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y +=下方的概率是 .5．若直线10x my ++=与线段AB 有公共点，其中(2,3)A -，(3,2)B ，则实数m 的取值范围是 .6．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，则双曲线22221y x a b-=的离心率为 .7．设x ，y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += .8．已知向量a r 与b r 的夹角为120o，||3a =r ，||a b +=r r ||b r = .9．在ABC ∆中，3sin 4cos 6A B +=，3cos 4sin 1A B +=，则C ∠等于 . 10．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 .11．函数()f x 对于任意x 满足()(2)1f x f x +=，且(1)5f =-，则((5))f f = . 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，定义在R 上的奇函数()g x 的图象过点(1,1)-且()(1)g x f x =-，则(2015)(2016)f f +=__________.答案 1．3 2．1-3．1∶ 4．165．1[2,]3-6 7．4 8．4 9．6π（若6A B π+=，1sin 2A <，4cos 4B ≤）10．22(2)(2)2x y -+-= 11．15-：1(1)5f -=-12．1-（由()(1)g x f x -=--得()(1)g x f x -=+，故(1)(1)f x f x --=+，于是(4)()f x f x +=，所以(1)(0)(0)(1)f f g g -+=+）2020届高三数学小题狂练六姓名得分1．设集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合=N M I . 2．已知∈x R ，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-121，[]120=，则使[]x -=13成立的x 的取值范围是 .3．定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)2(=f ，且)2()()2(f x f x f +=+，则(1)f = .4．已知ααcos sin 2=，则ααα2cos 12sin 2cos ++的值等于 . 5．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m = .6．若向量a v ，b v满足||a =v ||1b =v ，()1a a b +=v v vg ，则向量a v ，b v 夹角大小为 .7．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为 . 8．化简tan 70cos10tan 702cos 40-oo o o o= . 9．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，若当x ∈[1,1]-时均有1()2f x <，则实数a 的范围是 .10．已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 和为n S ，若以(,)n n a S 为坐标的点在曲线1(1)2y x x =+上，则数列{}n a 的通项公式为 . 11．已知02x π<<，且t 是大于0的常数，1()sin 1sin tf x x x=+-的最小值为9，则t = . 12．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，如果3(1)lg2f =，(2)lg15f =，则(15)f = .答案 1．}2,0{ 2．[4,5) 3．21 4．3 5．2 6．135︒ 7．128．29．1(,1)(1,2)2U 讨论最大值 10．n a n = 11．412．1（(3)()f x f x +=-）2020届高三数学小题狂练七姓名得分1．若集合{1,1}M =-，11{|242x N x x +=<<∈Z}，，则M N =I . 2．已知cos ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩则41()()33f f +-的值为 .3．已知()(1)(21)(31)(1)f x x x x x nx =+++⋅⋅⋅+，求=')0(f .4．设O 是ABC ∆内部一点，且2OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r，则AOB ∆与AOC ∆的面积之比为 .5．已知函数2()log 3f x x x =⋅+，直线l 与函数()f x 图象相切于点(1,)A m ，则直线l 的方程的一般式为 .6．扇形OAB 半径为2，圆心角60AOB ∠=︒，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为 .7．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 .8．已知ABC ∆的面积等于3，1BC =，3π=∠B ，则tan C 的值为 .9．如果圆2244100x y x y +---=上至少有三个点到直线l ：0ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是 .10．若函数)(x f 是定义在（0,+∞）上的增函数，且对一切0x >，0y >满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 .11．若直线6x π=是函数sin cos y a x b x =+图像的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 . 12．已知正实数x ，y 满足111x y +=，则9411y xx y +--的最小值为 .答案 1．{1}- 2．2 3．1 4．1∶25．(ln 2)3ln 210x y -+-=6．3（CD CO OD =+u u u r u u u r u u u r）7．(4,2)-8．- 9．5[,]1212ππ10．(0,2)11．150°（(0)()3f f π=）12．25：令10m x=>，10n y =>，则1m n +=，于是9411y x x y +--49449911m n m nm n n m++=+=+--25≥2020届高三数学小题狂练八姓名得分1．复数z 满足方程(2)z z i =+，则z = .2．设集合{|}M x x m =≤，{|2}xN y y -==，若M N ⋂≠∅，则实数m 的取值范围是 .3．若函数2()2x x af x a+=-是奇函数，则a = .4．抛物线24x y =上一点A 的横坐标为2，则点A 与抛物线焦点的距离为 . 5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“大于2的点数出现”，事件B 表示“大于2的奇数点出现”，则一次试验中，事件A B +发生概率为 .6．过点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则l 的方程为 . 7．若ABC ∆的三条边长2a =，3b =，4c =，则C ab B ca A bc cos 2cos 2cos 2++的值为 .8．已知函数)(x f 的导数()(1)()f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取到极大值，则常数a 的取值范围是 .9．已知二次函数2()f x ax bx c =++，且不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞+∞U ，若)(x f 的最大值小于2，则a 的取值范围是 .10．在OAB ∆中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，若AP mOA nOB =+u u u v u u u v u u u v（m ，n ∈R ），则n m -= .11．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，n T 为等差数列{}n b 的前n 项的和，若n m S T =2(1)n m m +，则510a b =_________.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，当[02]x ∈,时，tan [01),()(1)[12],x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈⎩,,,,则(5)6f π--=__________.答案 1．1i -+ 2．(0,)+∞ 3．1± 4．2 5．326．4y =或34130x y +-= 7．29 8．(1,0)- 9．(2,0)-10．1：连MN ，相似 11．920（59101921929a Sb T =） 12．3（()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-+，∴()(4)f x f x =-+((4))f x =--+，周期为4，(5)(1)(1)()tan 66666f f f f πππππ--=--=+===）2020届高三数学小题狂练九姓名得分1．函数()sin(2)f x x π=+的最小正周期是 .2．若直线210x ay +-=与01)1(=+--ay x a 平行，则a 的值为 . 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 .4．函数20.5()log (65)f x x x =-+的单调减区间是 .5．已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，则tan()4πα+值为 . 6．某人有甲、乙两只电子密码箱，欲存放三份不同的重要文件，则此人使用同一密码箱存放这三份重要文件的概率是 . 7．函数sin()cos()66y x x ππ=++的图象离原点最近的对称轴方程为 .8．在等比数列{}n a 中，0n a >，且211a a =-，439a a =-，则45a a += .9．若3213()32f x x x ax =-+在[1,4]-上是减函数，则实数a 的取值范围是 .10．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||b =r a b +=r r，则||a b -=r r .11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .12．对于任意两个实数a ，b ，定义运算“⊗”如下：,,,.a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数2()[(6)(215)]f x x x x =⊗-⊗+的最大值为_________.答案 1．22．123．1(0,)8-4．),5(+∞5．17 6．147．12x π=8．27 9．(,4]-∞- 10．2 11．36π 12．92020届高三数学小题狂练十姓名得分1．方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 . 2．已知复数i z24-=（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 .3．曲线x x f ln )(=在e x =处的切线方程为 .4．随机向一个正三角形内丢一粒豆子，则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 . 5．若双曲线122=-y x 右支上一点(,)A m n 到直线x y =的距离为2，则m n += .6．函数5x y x a+=-在(1,)-+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 7．ABC ∆中，AP 为BC 边上的中线，||3AB =u u u r ，2-=⋅，则||AC =u u u r.8．直线AB 过抛物线2y x =的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .9．设数列{}n a 的通项为210n a n =-（n ∈N *），则=+++||...||||1521a a a . 10．已知函数()cos f x x =（(,3)2x ππ∈），若方程a x f =)(有三个不同的实根，且三根从小到大依次构成等比数列，则a 的值为 .11．若函数()f x 满足(2)()1f x f x +=-+，且(1)2007f =-，则(2015)f = . 12．对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ= .答案1．11x = 2．(2,6) 3．0x ey -=4 5．126．(5,1]--7 8．549．130 10．21-（三根：α，2πα-，2πα+） 11．2008：(2)()1f x f x +=-+，(4)(2)1f x f x +=-++，4T =，(3)(1)1f f =-+ 12．8204：1+1+2(23-22)+3(24-23)+…+9(210-29)+10=1*21+2*22+3*23+…+9*29+102020届高三数学小题狂练十一姓名得分1．设集合1{|0}2M x x =-<，{}210N x x =+>，则M N =I . 2．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是 .3．过点(1,0)且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 . 4．若椭圆221x my +=（01m <<，则它的长轴长为 . 5．从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为 .6．已知复数11z i =-，2||3z =，那么||21z z -的最大值是 . 7．若函数213ln1xy x x+=+-的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m += . 8．设1232,2,()log (1),3,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()2f x >的解集为 . 9．若()sin()1f x A x ωϕ=++（0ω>，||<πϕ）对任意实数t ，都有ππ()()33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = .10．已知在同一平面上的三个单位向量a r ，b r ，c r，它们两两之间的夹角均为120o ，且 |1ka b c ++>r r r｜，则实数k 的取值范围是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =uu r uu u r，则直线AB 的斜率为 .12．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b m =（m ∈N *），则这样的三角形共有个（用m 表示）．答案1．11{|}22x x -<<2．133．4340x y --= 4．4 5．526．3+ 7．68．),10()2,1(+∞Y 9．1-10．{|0k k <或2}k >11．BH l ⊥，抛物线定义得sin 0.5BCH =，故倾斜角为60︒或120︒） 12．(1)2m m +（a m c ≤≤，则m c a m ≤<+，1a =时1个，…，a m =时m 个）2020届高三数学小题狂练十二姓名得分1．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z = .2．A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .3．底面边长为2的正四棱锥的体积为 .4．若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 .5．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 .6．数列{}n a 中，12a =，21a =，11112-++=n n n a a a （2n ≥，n ∈N ），则其通项公式为n a = .7．已知双曲线C 与椭圆221925y x +=有相同的焦点，它们离心率之和为145，则C 的标准方程是 .8．已知二次函数f x ()满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，则m n +的值等于 .9．已知函数()cos f x x ω=（0ω>）在区间π[0]4, 上是单调函数，且3π()08f =，则ω= . 10．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 cm2.11．设椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 .12．在ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r= .答案1．1i-2．803．4 345．1 96．2 n7．221 412y x-=8．1（1n≤）9．43或410．26π（补形）1112．7 2 -2020届高三数学小题狂练十三姓名得分1．函数2()12sin f x x =-的最小正周期为 .2．若函数()log (01)a f x x a =<<在闭区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = .3．函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为21,1[-]，则a b -的最大值和最小值之和为 .4．函数32()267f x x x =-+的单调减区间是 . 5．若2(3),6,()log ,6,f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则(1)f -的值为 .6．设等差数列{}n a 的公差0d ≠，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = .7．在直角坐标系xOy 中，i r ，j r分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角ABC ∆中，AB i j =+u u u r r r ，2AC i m j =+u u u r r r，则实数m = .8．若函数2()x f x x a=+（0a >）在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为 . 9．若不等式1,0ax x a >-⎧⎨+>⎩的解集是空集，则实数a 的取值范围是 .10．已知两圆1C ：22210240x y x y +-+-=，2C ：222280x y x y +++-=，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且2BC FB =u u u r u u u r，12AF =，则p 的值为 .12．从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点1F ，2F 的视角为直角，1AF 的延长线交椭圆于B ，且2AF AB =，则椭圆的离心率为__________.答案 1．π2．43．2π 4．[0,2]5．3 6．4 7．0或2-81-讨论a 9．(,1]-∞-10．5)1()2(22=-++y x （圆心在公共弦上，3λ=-）11．6：作AH Ox ⊥，30AFH ∠=︒，12sin 30622A p px =+︒=+，12cos 30A y =︒=12269-不扣分）：2AF m =，2BF =，24m a +=，故(4m a =-，12AF a m =-，22212(2)AF AF c +=2020届高三数学小题狂练十四姓名得分1．设集合{0,}P m =，2{|250,}Q x x x x Z =-<∈，若P Q ≠∅I ，则m 的值等于 .2．若函数sin3xy π=（0x t ≤≤）的值域为[1,1]-，则正整数t 的最小值是 .3．若函数23xy t =⨯+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围是 .4．已知()y f x =是奇函数，当0x <时，2()f x x ax =+，且(2)6f =，则a = . 5．A 是圆O 上一定点，在圆O 上其它位置任取一点B ，连接AB ，则AB 的长度不小于圆O 半径长度的概率为 .6．若数列}{n a 满足12,01,1,1,n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =，则2015a = .7．已知两点(2,0)A -，(0,2)B ，点C 是圆0222=-+x y x 上任意一点，则ABC ∆面积的最小值是 .8．已知1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ，且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .9．已知函数()f x ，()g x 满足(5)5f =，3)5('=f ，(5)4g =，1)5('=g ，则函数()2()f x yg x +=的图象在5x =处的切线方程为 .10．若存在[1,3]a ∈，使得不等式2(2)20ax a x +-->成立，则实数x 的取值范围是 .11．若实数a ，b 满足410ab a b --+=（1a >），则(1)(2)a b ++的最小值为 . 12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1⋅=c a ，1⋅=c b，||=c 正实数t ，1||t t++c a b 的最小值为 .答案1．1或2 2．53．(,2]-∞- 4．55．23 6．377．3-8．59．51630x y -+= 10．{|x 1x <-或23x >}补 11．27（消a ）12．2020届高三数学小题狂练十五姓名得分1．复数13i z =+，21i z =+，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第___ ___象限. 2．函数224x x y -=的值域是 .3．等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -= . 4．若不等式1420xx a +-->在[2,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为 .5．函数3sin(2)([0,])6y x x ππ=+∈的单调减区间是 .6．若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则这条直线在y 轴上的截距是 .7．若3()2f x x ax =--在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且sin cos cos A B Ca b c==，则A ∠= .9．实数x ，y 满足350x y --=，[1,3]x ∈，则2yx -的取值范围是 . 10．若33,0,()0,xx a x f x x a -+-<⎧=⎨≥⎩（0a >且1a ≠）是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是 . 11．已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += .12．已知点O 在ABC ∆内部，且有24OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OAB ∆与OBC ∆的面积之比为 .答案1．四 2．(0,4] 3．24 4．(,8)-∞ 5．2[,]63ππ6．1 7．(,3]-∞ 8．90o9．(,2][4,)-∞+∞U 10．2(0,]311．212．4∶1（OA OB BA =+u u u r u u u r u u u r ，1477OC OB BC BO BA BC =+⇒=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，平行四边形，相似三角形）2020届高三数学小题狂练十六姓名得分1．设复数112z i =-，2x x i =+（x ∈R ），若12z z 为实数，则x = . 2．双曲线过点P，且渐近线方程为y x =，则此双曲线的方程为 . 3．已知212cos2sin=+θθ，则cos 2θ= . 4．若关于x 的方程3sin 4cos 21x x m +=-有解，则实数m 的取值范围是 . 5．与圆22(3)(1)2x y -++=相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线共有________条.6．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r，||1a =r ，||2b =r ，且a r ⊥c r ，则a r 与b r 的夹角大小是 .7．在数列}{n a 中，21=a ，其前n 项和为n S ，若数列{}nS n是公差为2的等差数列，则}{n a 的通项公式为 .8．若函数2()lg 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是 .9．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =．若在区间[1,3]-内，方程()1f x kx k =++有4个实数解，则实数k 的取值范围是 .10．已知(,)P x y 满足约束条件30,10,10,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，(3,4)A ，则||cos OP AOP ⋅∠u u u r的最大值是 .11．抛物线C ：2y x =上两点M ，N 满足12MN MP =u u u u r u u u r，若(0,2)OP =-u u u r ，则||MN u u u u r = . 12．若0x y >>323xy y +-的最小值为 .答案 1．12-2．2212x y -=3．81-4．[2,3]- 5．3 6．120o7．42n a n =-8． 9．1(,0)3- 10．115：1(34)5x y +11(,)N m n ，(2,22)M m n +）12．10（4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x≥+，再求导）2020届高三数学小题狂练十七姓名得分1．集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =I ，则A B =U .2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是 . 3．若(1,1)a ∈-，则方程20x x a -+=有实根的概率等于 . 4．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 .5．若方程02)1(22=-+++a x a x 有一根比1大，另一根比1-小，则a 的取值范围是 .6．若函数()sin()f x x ωφ=+对任意的实数x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则)3(πf 的值等于 .7．若锐角α，β满足4)tan 31)(tan 31(=++βα，则βα+= . 8．设曲线3233+-=x x y 上任一点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .9．已知1F ，2F 为椭圆2212x y +=的两个焦点，过1F 作倾斜角为4π的弦AB ，则2F AB ∆的面积为 .10．已知()f x 为奇函数，且(31)f x +是周期为3的周期函数，(3)2f =，则(60)f 的值等于 .11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e ，且12||||PF e PF =，则e 的最大值为 . 12．已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n 为正整数），且26a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.答案1．{1，2，3} 2．2 3．584．)0,1[- 5．)0,1(- 6．1±7．3π 8．),32[)2,0[πππY9．4310．()f x 周期为9，(60)(3)f f =- 11．21+（2em m a -=，2em m c +≥，相除得11e e e +≥-） 12．22n n -（由1111n n n n a a n a a +++-=-+得)2(11111≥---=++n n n a n a n n ，令na b n n =，则)2(1111≥---=+n n b n n b n n ，故)1(111---=+n n n b n b n n ，…，1211223⨯-=b b ，累加得)1)(12(1++=+n n a n ，)3(22≥-=n n n a n ．又11a =，26a =也满足n n a n -=22，故对n ∈N *都有n n a n -=22）2020届高三数学小题狂练十八姓名得分1．已知全集2{2,4,1}U a a =-+，集合{1,2}A a =+，若}7{=A C U ，则实数a 的值等于 .2．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则该双曲线的准线方程是 .3．在数列{}n a 中，已知17a =-，25a =，且满足22n n a a +=+（n ∈N *），则12318a a a a ++++L = .4．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin = . 5．将3OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u r写成AM xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r 时，x y += .6．当228x x -<时，函数252x x y x --=+的最小值是 .7．若直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是 .8．已知函数()y f x =满足(3)(3)f x f x -=+，且有n 个零点1x ，2x ，…，n x （n ∈N *），则12n x x x +++L = .9．过抛物线24y x =的焦点F 作斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），若AF FB λ=u u u r u u u r (1)λ>，则λ= .10．若{|2}xx kx >=R ，则实数k 的取值范围是 .11．已知函数2()1f x x =-，()g x x =-，令{}()max (),()F x f x g x =（max 表示最大值），则()F x 的最小值是 .12．已知00(,)x y 是直线2x y a +=-与圆2222x y a a +=++的公共点，则00x y 的取值范围是 .答案 1．32．x = 3．1264 5．2- 6．3-7．12- 8．3n9．3+21y y -） 10．[0,ln 2)e （21log ln 2e =）1112．(,1][16,)-∞+∞U （自编：由d r ≤得a 的取值范围是6a ≤-或0a ≥，再用222000000()2x y x y x y +=++得00252ax y -=）2020届高三数学小题狂练十九姓名得分1．设a 是实数，且211ii a +++是纯虚数，则=a . 2．已知0a >，0b <，),(a b m ∈且0≠m ，则m1的取值范围是 .3．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=与直线(3)250m x y -+-=垂直的充要条件是 .4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（气球保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 . 5．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是R ，则m 的取值范围是 .6．已知α，β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α的值等于 . 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=（n =1，2，3，…），则410log S = .8．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 .9．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为E ，左准线与两渐近线的交点分别为A ，B 两点，若60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率e 等于 . 10．函数)sin()(θ+=x x f （||2πθ<）满足对任意x ∈R 都有)6()6(x f x f --=+ππ，则θ= .11．在△ABC 中，AB =2BC =，CA =BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，AB c =u u u r r，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r .12．过抛物线214y x =准线上任一点作该抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点__________.答案 1．1-2．),1()1,(+∞⋃-∞ab 3．3m =或2m =-4．22a π 5．[0,4] 6．1 7．9 8．0 9．210．6π-11．6-12．(0,1)（解法1：(,1)a -，2240i i x ax --=，122x x a +=，2222121212()248x x x x x x a +=+-=+，于是MN中点为22(,)2a a +，21122122MN y y x x a k x x -+===-，直线MN ：12ay x =+，过定点(0,1)．解法2：(,1)a -，1111()2y y x x x -=-，1111122y x a y --=-，11220ax y -+=．同理可得22220ax y -+=．故直线MN 方程为220ax y -+=，过(0,1)）2020届高三数学小题狂练二十姓名得分1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = .2．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小为 .3．设a 为常数，若函数1()2ax f x x +=+在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 .5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 .6．若1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有个.8．设P ，Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14+AC u u ur ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +，312121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 .12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时，()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________.DCQ BAP答案1．(0,1) 2．60︒ 3．),21(+∞4．),3[]1,(+∞--∞Y 5．(3,1)-- 6．)23,2[- 7．5（||[0,2]x ∈） 8．459．610．16（8xy x y =++，8xy ≥+16xy ≥）11．242（EF DE ⊥，EF ∥AC ，∴AC DE ⊥．又AC BD ⊥，∴AC ⊥平面ABD ．∵1BC =，∴2AB AC AD ===，3162V =24=）12．0.5（2T =，(0.5)(0.5)(1.5)0.5f f f =-==）2020届高三数学小题狂练二十一姓名得分1．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = . 2．抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则点M 的横坐标x = . 3．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则5()()log F x f x x =-的零点的个数为 .4．若(2,1)a =-v与(,2)b t =-v 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为 .5．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(1)-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 6．设α为锐角，54)6sin(=+πα，则)32sin(πα+的值等于 . 7．已知0a >，且1a ≠，函数,0,()(14)2,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，则a 的取值范围是 .8．已知a b >，1a b ⋅=，则22a b a b+-的最小值是 .9．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a ，1b ，且115a b +=，1a ，1b ∈N *，则数列{}nb a （n ∈N *）前10项的和等于 .10．设椭圆1C 和双曲线2C 具有公共焦点1F ，2F ，其离心率分别为1e ，2e ，P 为1C 和2C 的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 . 11．设22log 1()log 1x f x x -=+，12()(2)1f x f x +=（12x >），则12()f x x 的最小值为_______.12．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若()3n na f =（n ∈N *），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =________.答案 1．134()2n -⋅2．2 3．44．(1,4)(4,)-+∞U 5．[1,2]6．2524（若3cos()65πα+=-，cos [cos()]066ππαα=+-<；或45<3πα<）7．11(,]428．222()2a b a b +=-+）9．85（11n a a n =+-，11n b b n =+-，113n b n a a b n =+-=+）10．2（2224m n c +=，12m n a +=，2||2m n a -=，后二式平方相加得22122e e --+=）11．23（21222122log 1log (2)11log 1log (2)1x x x x --+=++，化简得22214log log 1x x =-．于是212212221214log ()log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以21212212212log ()122()1log ()1log ()13x x f x x x x x x -==-≥++（12x >））12．232n n -（33(1)(1)(1)n n S S n n n --=-+-+，311S ⨯=，3n S =232n n-）2020届高三数学小题狂练二十二姓名得分1．函数20.5log (2)y x x =-的单调减区间是 .2．已知函数()sin cos f x a x x =+，且()4f x π-()4f x π=+，则a 的值为 .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为 .4．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 .5．若函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，则()f x 在[2,2]-上的最小值为 .6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 等于 . 7．规定一种运算：,,,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 .8．已知当x ∈R 时，函数)(x f y =满足1(2.1)(1.1)3f x f x +=++，且1)1(=f ，则)100(f 的值为 .9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1(1)2f =，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f .10．双曲线222015x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为其右支上一点，且12124A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠的大小为 .11．已知3450a b c ++=r r r r ，且||||||1a b c ===r r r，则()a b c ⋅+=r r r .12．已知α，β均为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值是 .答案1．(2,)+∞ 2．1（取4x π=）3．(1,2)± 4．2π 5．37- 6．2- 7．]22,1[- 8．349．2.5（(12)(1)(2)f f f -+=-+，故(2)1f =，(3) 1.5f =，(5)(3)1f f =+）10．12π（tan y x a α=+，tan 5y x a α=-，由222015x y -=得tan tan51αα=，于是得cos60α=）11．35-（534c a b -=+r r r ，435b a c -=+r r r ，两式分别平方得0a b =r r g，35a c =-r r g ）12αβ+也为锐角，tan()αβ+存在．由cos()sin sin[()]αββαββ+=+-展开得tan()2tan αββ+=．从而有tan tan[()]ααββ=+-2tan 41tan ββ=≤+）2020届高三数学小题狂练二十三姓名得分1．若直线30x ay ++=的倾斜角为120︒，则a 的值是 .2．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且(1)1f -=，则1()2f -的值等于 .3．不等式02||2<--x x 的解集是 .4．在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R = . 5．函数xx y tan 31tan 3+-=的单调减区间是 .6．在坐标平面内，已知由不等式组|2|,||y x y x a≥-⎧⎨≤-+⎩所确定的区域的面积为52，则a 的值等于 .7．若函数3()log ()(0a f x x ax a =->且1)a ≠在区间1(,0)3-内单调递增，则实数a 的取值范围是 .8．已知数列{}n a 中，12a =，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，则n a = .9．已知函数1,1,|1|()11,x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++的值等于 .10．已知函数()f x 在[2,)+∞单调递增，且对任意实数x 恒有(2)(2)f x f x +=-，若22(12)(12)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 .11．设非零向量a r ，b r 满足||1b =r ，a r 与b a -r r 的夹角为120︒，则||a r的最大值为 .12．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，都有1()(2)1()f x f x f x -+=+，又1(1)2f =，1(2)4f =，则(2015)(2016)f f += .答案1．32．1-3．(2,2)- 4．325．5(,)66k k ππππ-+（k ∈R ） 6．37．1[,1)38．)1(4+n n9．510．(2,0)-（12|2||2|X X -<-）11ABC ∆中，CA b =u u u r r ，CB a =u u u r r ，BA b a =-u u u r r r ，60ABC ∠=︒，||sin 601a ︒≤r ，||a ≤r ）12．1415（令1=x ，则1(1)1(3)1(1)3f f f -==+，令2=x ，则1(2)3(4)1(2)5f f f -==+，)(n f 以4为周期，所以1314(3)(4)3515f f +=+=）2020届高三数学小题狂练二十四姓名得分1．设230.0310x y -==，则11xy ---的值为 .2．已知函数()f x 对任意的x ∈R 都有11()()222f x f x ++-=成立，则127()()()888f f f +++L 的值为 . 3．设直线0=++C By Ax 与圆422=+y x 相交于M ，N 两点，若222A B C +=，0C ≠，则OM ·ON （O 为坐标原点）的值等于 . 4．若222xy ax y ≤+对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈恒成立，则实数a 的范围是 .5．设数列{}n a 的通项公式为3n a n n λ=+（n ∈N *），若123n a a a a <<<<<L L ，则实数λ的取值范围是 . 6．若()2sin()f x ax =在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则实数a 的范围是 .7．若等比数列{}n a 满足354321=++++a a a a a ，且122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值等于 .8．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，若a ，b ，c 成等差数列，4sin 5B =，且ABC ∆的面积为32，则b = . 9．已知函数21,0,()(1),0,x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .10．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 的左、右焦点，P 是C 左支上的一点，若2218||PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是 .11．已知1()41()xf x f x +=-，正实数1x ，2x 满足12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为 .12．已知实数x ，y 满足x y ，则x y +的最大值为 .。

2020届高三数学小题狂练十七含答案

2020届高三数学小题狂练十七姓名得分1．集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =I ，则A B =U .2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是 . 3．若(1,1)a ∈-，则方程20x x a -+=有实根的概率等于 . 4．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 .5．若方程02)1(22=-+++a x a x 有一根比1大，另一根比1-小，则a 的取值范围是 .6．若函数()sin()f x x ωφ=+对任意的实数x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则)3(πf 的值等于 .7．若锐角α，β满足4)tan 31)(tan 31(=++βα，则βα+= . 8．设曲线3233+-=x x y 上任一点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .9．已知1F ，2F 为椭圆2212x y +=的两个焦点，过1F 作倾斜角为4π的弦AB ，则2F AB ∆的面积为 .10．已知()f x 为奇函数，且(31)f x +是周期为3的周期函数，(3)2f =，则(60)f 的值等于 .11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e ，且12||||PF e PF =，则e 的最大值为 . 12．已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n 为正整数），且26a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.答案1．{1，2，3} 2．2 3．584．)0,1[- 5．)0,1(- 6．1±7．3π 8．),32[)2,0[πππY9．4310．()f x 周期为9，(60)(3)f f =- 11．21+（2em m a -=，2em m c +≥，相除得11e e e +≥-） 12．22n n -（由1111n n n n a a n a a +++-=-+得)2(11111≥---=++n n n a n a n n ，令na b n n =，则)2(1111≥---=+n n b n n b n n ，故)1(111---=+n n n b n b n n ，…，1211223⨯-=b b ，累加得)1)(12(1++=+n n a n ，)3(22≥-=n n n a n ．又11a =，26a =也满足n n a n -=22，故对n ∈N *都有n n a n -=22）。

2020年高三理科数学考前大题强化七附答案详析

uuur uuur AD AE 知， AE AD 0 ，即 xD x0 8 0 .
uuur x0 , 2 2 ， AD
xD , 2 2 ，再由
由于 x0 y0 0 ，故 xD
8 ，因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，所以点
8 G ,0 .
x0
x0
kQG
故直线 QG 的斜率
y0 8
x0 x0
x0 y0
3 b sin A
3
4
b sin A 4
过 C 作 CD AB 于 D ，则由 CD b sin A 4 ， BD a cos B 3
在 Rt BCD 中， a BC BD 2 CD 2 5
1
1
（ 2）由面积公式得 S
AB CD 2
2 AB 4 10 得 AB
5，
3 又 a cos B 3 ，得 cosB ，
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 Q x0, y0 x0 y0 0 为椭圆 C 上一点，过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E ，取点 A 0, 2 2 ，
连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D ，点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，作直线 QG ，问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由 .
ab
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 Q x0, y0 x0 y0 0 为椭圆 C 上一点，过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E ，取点 A 0, 2 2 ，连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D ，点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，作直线 QG ，问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由 .

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2020届高三数学小题狂练七
姓名得分
1．若集合{1,1}M =-，11{|
242x N x x +=<<∈Z}，，则M N =I . 2．已知cos ,0,()(1)1,0,
x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩则41()()33f f +-的值为 . 3．已知()(1)(21)(31)(1)f x x x x x nx =+++⋅⋅⋅+，求=')0(f .
4．设O 是ABC ∆内部一点，且2OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r ，则AOB ∆与AOC ∆的面积之比
为 .
5．已知函数2()log 3f x x x =⋅+，直线l 与函数()f x 图象相切于点(1,)A m ，则直线l 的方程的一般式为 .
6．扇形OAB 半径为2，圆心角60AOB ∠=︒，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为 .
7．已知0x >，0y >，且
211x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 . 8．已知ABC ∆的面积等于3，1BC =，3π=
∠B ，则tan C 的值为 . 9．如果圆2244100x y x y +---=上至少有三个点到直线l ：0ax by +=的距离为
l 的倾斜角的取值范围是 .
10．若函数)(x f 是定义在（0,+∞）上的增函数，且对一切0x >，0y >满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 .
11．若直线6x π
=是函数sin cos y a x b x =+图像的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的
倾斜角为 .
12．已知正实数x ，y 满足111x y +=，则9411
y x x y +--的最小值为 .
答案
1．{1}-
2．2
3．1
4．1∶2
5．(ln 2)3ln 210x y -+-=
6．3（CD CO OD =+u u u r u u u r u u u r ）
7．(4,2)-
8．-
9．5[,]1212ππ
10．(0,2)
11．150°（(0)()3
f f π
=） 12．25：令10m x
=>，10n y =>，则1m n +=，于是 9411y x x y +--49449911m n m n m n n m
++=+=+--25≥。