特征函数(Characteristic Function)的性质
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
特征函数随机过程
P ( X > 2 ) = 5 / 16
8
8
2、特征函数与矩的关系
( jux ) n C X ( ju ) = E{e juX } = ∫ f X ( x )(1 + jux + L + + L) dx −∞ n! ( ju ) n mn = 1 + jum1 + L
Y = aX + b （a,b is constant） 则：
CY ( ju ) = e jbu C X (au )
7：相互独立的随机变量之和的特征函数是各特征函数之乘积，即
n
n
Y = ∑ Xi
i =1
CY ( ju ) = ∏ C X i ( ju )
i =1
4
4
例1、设X为(0,1)分布随机变量，其概率分布为：
随机变量的特征函数
1
1
1、特征函数(Characteristic function)定义 随机变量X的特征函数定义为：
∞
C X ( ju ) = E (e
juX
)=∫
−∞
f X ( x)e jux dx
若X为离散型随机变量，则有：
C X ( ju ) = E (e juX ) = ∑ e juxk P{ X = xk }
C X ( ju ) = cos 2 u
求随机变量的分布。 解、（1）由题可得
1 ju Φ X ( ju ) = ( e + e − ju ) 2
由特征函数的定义可知
P( X = 1) = 1 / 2 P( X = −1) = 1 / 2
1.5 特征函数
第一章概率论基础1.1 概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3 随机变量的函数1.4 数字特征与条件数学期望1.5 特征函数1.6 典型分布1.7 随机变量的仿真与实验1.5 特征函数(Characteristic Function)特征函数、矩发生函数和概率发生函数在分析随机变量和向量的各种问题中有着非常重要的意义，特别是在分析独立随机变量、向量和的概率与矩特性时，应用它们是十分方便的。
在分析特征函数、矩发生函数和概率发生函数时，我们特别强调了变换分析技术。
由此建立了傅立叶变换、Z变换等分析随机信号与系统的概率、矩特性的关系式，从而形成随机信号概率与矩特性的变换分析理论与技术。
一、特征函数及概率密度函数的傅立叶变换定义1.2随机变量，其特征函数定义为式中，v 为确定的实变量。
1.5 特征函数X ()[]j v X X v E e Φ=()X v Φ1.5 特征函数若随机变量的概率密度函数为，则其特征函数为:c.r.v .d.r.v . X )(x f ()()jvxX v f x e dxΔ+∞−∞Φ=∫1()ikjvxX i i v p e Δ=Φ=∑定理1.4随机变量X 的概率密度函数与其特征函数之间是一对傅立叶变换，或式中，表示傅立叶变换对。
()()X f x v ←⎯→Φ−F ()()X f x v −←⎯→ΦF ←⎯→F随机变量概率密度函数与特征函数关系()f x()X vΦ()j xf x e dx ω−+∞jvx dx+∞举例例:随机变量的特征函数为,求其概率密度函数。
X ()jv v pe q Φ=+)(x f 。
01()X [0],[1]()()(1)jv jv jv v pe q qe pe P X q P X p f x q x p x δδΦ=+=+∴====∴=+−∵随机变量有 解法1：举例-续解法2：()()()(1)()()(1)v f x q x p x x x f x q x p x δδδδΦ=++→−=+−此题亦可直接对进行反傅立叶变化得：将右端，有q p)(x f 0 1例1.20求二项分布Binomial的特征函数。
第七章特征函数
第七章 特征函数7.1 特征函数的定义及基本性质定义1：设X 为维实随机向量，称为n Xit TEe t =)(ϕX 的特征函数(characteristicfunction )。
一些常见分布的特征函数。
例1：，则其c.f.为),(~p n B X .1,)()(p q pe q t n it −=+=ϕ例2：X 服从参数为λ的Poisson 分布，则其c.f.为 ).1(exp )(−=it e t λϕ例3：，则其c.f.为),(~2σµN X .)(2221t t i e t σµϕ−=特征函数基本性质：1) 1)0(=ϕ；2) （有界）n R t t ∈∀≤,1)(ϕ 3) （共轭对称）；_______)()(t t −=ϕϕ4) （非负定）对任意给定正整数，任意t 和任意复数m n m R t t ∈L 21,m αααL 21,，0≥)(11−∑∑==m l mk k l k l t t ααϕ；5) )(t ϕ为n R 上的连续函数。
证明：4) 0)(2111)(11≥==−∑∑∑===−==ml Xit l ml mk k l X t t i ml mk k l k l TlTk l Ee E Ee t t αααααϕ∑∑。
定理1：（Bocher ）n R 上的函数)(t ϕ是某个随机变量的特征函数当且仅当)(t ϕ连续非负定且1)0(=ϕ。
定理2：（增量不等式）设)(t ϕ是X 的特征函数，则对任意t 有n R h ∈,[])(Re 12)()(2h t h t ϕϕϕ−≤−+由此)(t ϕ在n R 上一致连续。
证明：[][]∫∫−=−=−++dP ee dP ee t h t Xih Xit Xit Xh t i T T T T 1)()()(ϕϕ，由Schwarz 不等式[])(Re 121)()(222h dP edP et h t Xih Xit T T ϕϕϕ−=−≤−+∫∫。
论特征函数的性质及应用
论特征函数的性质及应用在一般的数学研究当中，经常会遇到随机变量这个重要的内容.随机变量的规律是根据随机变量的分布函数来统计的，在使用的过程中有时会出现分布密度或者是分布函数使用不便等问题，例如，在实际的操作过程中用卷积求分布密度和独立随机变量过于复杂和烦琐.本文主要对特征函数的定义以及性质进行分析，利用定义和性质来对特征函数使用方法进行更便捷的介绍.对特征函数的性质做进一步的分析，在基本定义和性质的引导下，对其应用进行探讨分析.一、特征函数的定义设X是一个随机变量，称φ（t）=Ε（eitX），∞<t> +∞，</t>为X的特征函数.因为|eitX|=1，所以Ε（eitX）总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量X的分布列为pk=P（X=xk），k=1，2，3，…，则X的特征函数为φ（t）=∑+∞k=1eitxkpk，∞<t> +∞. </t>当连续随机变量X的密度函数为p（x），则X的特征函数为1/ 6φ（t）=∫+∞∞eitxkp（x）dx，∞<t> +∞. </t>其实在特征函数里，随机变量是一个很重要的方法，在分布函数和密度函数里，特征函数是很好的补充和加强，从某种程度上来说，特征函数的应用要更加广泛一些，让证明推理的过程简洁化，这样一个工具可以用来证明中心极限定理，而且非常有分量.结合上面的叙述我们可以得出这样的结论，就是在学习的时候，除了要把分布函数的知识掌握到位，还要了解特征函数，在解决问题过程中实现两者的互补，在互相促进当中将问题解决.二、特征函数的主要性质特征函数主要具有以下几个基本性质：如果两个随机的变量拥有统一的特征函数，那么它们就会具有相同的概率分布；相反，假设两个随机的变量拥有一样的概率分布，那么它们的特征函数很显然也相同.因此，我们可以得出独立随机变量和的特征函数其实就相当于每个随机变量特征函数的乘积.主要性质：两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.利用归纳法，不难把上述性质推广到n个独立随机变量的场合，若ξ1，ξ2，…，ξn是n个相互独立的随机变量，相应的特征函数为Φ1（t），Φ2（t），…，Φn（t），则ξ=∑ni=1ξi的特征函数为Φ（t）=∏ni=1Φi（t）.由于这个性质，独立随机变量和的特征函数可以方便地用各2/ 6个特征函数相乘来求得，对于独立和分布函数来说，必须要进行复杂的运算才能计算出来.相对来说，特征函数在进行问题处理的时候就？缘帽冉戏奖？.在概率论的古典问题中，占据重要位置的就是独立和问题，解决这些问题主要是依靠引进特征函数.特征函数里最重要的知识点就是概率论，其不仅可以研究随机现象的统计规律性，还可以很客观地描述分布函数变量的统计规律.在探讨随机变量的时候引入分布函数，这就像在随机现象与数学分析之间搭建了一座桥梁，数学分析这个工具需要通过特征函数引进才能更好地进入到随机现象的研究领域，而特征函数在这种情况之下就会得到飞速的发展，以便于解决实际的各种现象问题.对于特征函数来说，主要是建立在分布函数的基础上，通过分析分布函数来得出相应的随机变量问题，包括其性质以及数字特征等，但是针对那些个性化的问题来说，如果只是依靠分布函数与密度函数是远远不够的.而特征函数就可以去解决那些小众的问题、个性化的问题，毕竟分布函数跟特征函数都是唯一的存在，其过程也比较简单.在概率论中，研究随机变量的时候，特征函数是一种常见的工具，主要是由其特性决定的，每个随机变量都存在特征函数.在概率发展过程中，独立随机变量的地位显得比较重要，要得出独立随机变量的和，就要把它的分布函数计算出来，独立随3/ 6机变量的结果来自于各个随机变量分布律的卷积，在计算的时候并不简单.与此相比，独立随机变量，包括特征函数等，都是它的各被加项的特征函数的乘積，这样的计算难度不大.因此，当特征函数引进之后，古典极限问题就能得到有效的解决.三、特征函数的主要应用众所周知，对于特征函数来说，其实际背景比较广泛，在生产与科学实验中，通过特征函数可以描述很多的随机变量概率.例如，同一个生物体的各种指标、体重和身高等；某一个区域内一年的降水量是多少，与同期进行比较；假设生产条件不会发生变化，产品的一些长度、宽度等指标等.通常情况下，假如很多独立随机因素影响到一个量的情况下，就可以认定这个量具有特征函数.站在理论的角度来论述，特征函数的性质比较良好，运用特征函数可以近似一些概率的分布，像种子的质量，同一个物体的测量误差等.1.分布律与特征函数之间存在一一对应关系.因此，当求出了随机变量的特征函数，便可知其分布律，由特征函数的某些性质，可以推出分布律的某些性质.不仅如此，在分布律的某种收敛意义下的极限分布与特征函数之间也存在着对应关系.因此，由特征函数的极限函数有时可以推知极限分布律，从而推知随机变量序列的极限分布.2.特征函数是一种有界连续函数，比分布函数及分布律更易4/ 6于应用分析的工具.3.独立随机变量，特别是独立随机变量和以及有关的问题在概率的发展中具有重要的地位，要研究独立随机变量和，就要求出它的分布函数，而独立随机变量和的分布律是各随机变量分布律的卷积，计算起来很复杂，但独立随机变量和的特征函数等于它的各被加项的特征函数的乘积，计算和研究都很方便.这就是为什么古典极限问题能在引进特征函数之后很快得到解决的原因.四、特征函数与分布函数的一一对应我们在前文分析了特征函数的含义，对于随机变量来说，其特征函数主要是由分布函数来确定，与之相反，也能够证明由特征函数可唯一地确定它的分布函数，在这样的基础上，特征函数变成了一种数学工具，通过这个数学工具刻画随机变量统计规律，通过特征函数来得出分布函数，就是我们所说的“逆转公式”，也可以叫作勒维定理.勒维定理（逆转公式）：设随机变量ξ的分布函数为F（x），特征函数为Φ（t），又x1与x2是F（x）的任意两个连续点（∞<x1> <x2> +∞），则有</x2> </x1>F（x2）-F（x1）=limT→∞12π∫T-Te-itx1-e-itx2itΦ（t）dt.其中，当t=0时，按连续性延拓定义：e-itx1-e-itx2it=x2-x1.5/ 6唯一性定理：随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定.五、结论随机变量的分布函数完全描述了随机变量的统计规律性，在有些问题上，如果用分布函数来解决并不容易，因此我们把Fourier变换引入概率中，进而产生了特征函数，利用特征函数与分布函数一一对应的关系，可以简化许多随机变量的研究工作.特征函数既能完全确定分布函数，又在处理独立随机变量和的分布及计算数字特征等方面比分布函数更为方便，这使得有必要进一步讨论特征函数的相关性质及其应用.特征函数虽不如分布函数直观，却有着更好的分析性质，而且能够完全决定分布函数，与分布函数存在一一对应关系.在许多方面，用特征函数比用分布函数做随机变量的研究工具更方便.6/ 6。
特征函数(Characteristic Function)的性质.
特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤ϕϕt).0(11|||||)(|ϕϕ==≤≤=E e E Ee t itX itX2. )()(t t ϕϕ=-.)()(t Ee e E Ee t itX itX itX ϕϕ====--.3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则).()(at e t X ibtYϕϕ= 4． 若X 的l 阶矩存在，则.1,|)(0l k EX i t dtd kk t k k ≤≤==ϕkk t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dtd t dt d ======000|)(||)(ϕ. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ⎰><>∃>∀Mx dx x p t s M ||)(..,0,0εε⎰∞∞=-=-+|)()1(||)()(|x dF e e t h t itx ihx ϕϕ ⎰∞∞--≤)(|1|x dF e ihx⎰⎰->-+-=MMMx i h xi h xx dF ex dF e||)(|1|)(|1||||2sin |2)(||1|2/2/2/hx hxeee e ihx ihx ihx ihx≤=-=--x hxeeeeihx ihx ihx ihx ∀≤=-=--,2|2sin |2)(||1|2/2/2/⎰⎰>-+≤-+Mx MMx dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|ϕϕ⎰-+≤+≤MMhM x dF hM εε22)(.取,/M εδ=则 对任意实数t ，和),0(δ∈h 有.3|)()(|εϕϕ≤-+t h t所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分).(21210021)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>==⎰∞+π 证明：⎰∞=sin )(1)(dt tta sign a I π以下证明⎰+∞=02sin πdu u u .⎰+∞-=01ds e u us ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞-==Tus TT usududse ds e u du uu 00000sin sin sin ⎰∞+-++-+=0222)cos sin 11(ds e Ts T T T s s s⎰+∞-++-=22cos sin 2ds e Ts T T T s sπs s T e e Ts T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2222 2sin lim 0π=⎰∞→TT du u u 。
§1-4 特征函数
三、多元特征函数
多元特征函数的 性质
设随机向量(X1, …,Xn)的各个分量相互独立， 则
X ,, X (t1,, tn ) X (t1 ) X (tn )
1 n 1 n
二．特征函数的性质
二、特征函数的性质
特征函数的 性质
（1）有界性
X (t ) X (0) 1
（2）线性变换
aX b (t ) eibt X (at)
二、特征函数的性质
特征函数的 性质
（3）特征函数与原点矩的关系
（k） k k ( 0 ) i E ( X ) X
（k） E ( X k ) i k X (0)
1 n lim P {| X i μ | ε} 1 n n i 1
或
1 n lim P {| X i μ | ε} 0 n n i 1
二、特征函数的性质
例 题8
运用特征函数证明： Lindeberg – Levy 中心极限定理。
回顾：Lindeberg – Levy 中心极限定 理
（4）离散型随机变量 X 的特征函数为
(t ) E{eitX } pk eitx
k k
k
(costxk ) pk i (sin txk ) pk
k
一、特征函数的概念
(t ) E{eitX } pk eitx
k k
k
例 题1
(costxk ) pk i (sin txk ) pk
（2） X1 ,, X n (t1， ， tn ) ei(t1x1 tn xn ) dFX1 ,, X n ( x1 ,, xn )
特征函数(Characteristic Function)的性质
特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤ϕϕt).0(11|||||)(|ϕϕ==≤≤=E e E Ee t itX itX2. )()(t t ϕϕ=-.)()(t Ee e E Ee t itX itX itX ϕϕ====--.3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则).()(at e t X ibtYϕϕ= 4． 若X 的l 阶矩存在，则.1,|)(0l k EX i t dtd kk t k k ≤≤==ϕkk t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dtd t dt d ======000|)(||)(ϕ. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ⎰><>∃>∀Mx dx x p t s M ||)(..,0,0εε⎰∞∞=-=-+|)()1(||)()(|x dF e et h t itxihxϕϕ⎰∞∞--≤)(|1|x dF e ihx⎰⎰->-+-=MMMx i h xi h xx dF ex dF e||)(|1|)(|1||||2sin |2)(||1|2/2/2/hx hxeee e ihx ihx ihx ihx≤=-=--x hxeeeeihx ihx ihx ihx ∀≤=-=--,2|2sin |2)(||1|2/2/2/⎰⎰>-+≤-+Mx MMx dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|ϕϕ⎰-+≤+≤M MhM x dF hM εε22)(.取,/M εδ=则 对任意实数t ，和),0(δ∈h 有.3|)()(|εϕϕ≤-+t h t所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分).(212100021)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>==⎰∞+π 证明：⎰∞=sin )(1)(dt tta sign a I π以下证明⎰+∞=02sin πdu u u .⎰+∞-=01ds e u us ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞-==Tus TT usududse ds e u du uu 00000sin sin sin ⎰∞+-++-+=0222)cos sin 11(ds e Ts T T T s s s⎰+∞-++-=22cos sin 2ds e Ts T T T s sπs s T e e T s T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2222 2sin lim 0π=⎰∞→TT du u u 。
特征函数的性质及应用
特征函数的性质及其应用摘 要：本文讨论了特征函数概念，特征函数的若干性质并进一步探讨特征函数在 各个方面的应用以及它们的证明过程。
关键词：特征函数；随机变量Some properties of characteristic functionand its applicationClass3, 2008, Department of Mathematics XueEndeAbstract : This paper discusses the concept of characteristic function characteristicfunction, some properties and further explore the characteristic functionVarious aspects of the application as well as their process of proofKeywords : The characteristic function of random variables;1引言特征函数在概率统计领域中是研究极限定理的强有力的工具，虽然它的作用不像分布函数那样明显，但是它却有着很好的分析性质。
广大数学工作者对此也进行了深入的探讨，得到了特征函数的一些性质以及在各个方面中的应用等一系列成果。
它不是单一的学科，与其它学科也有着重要的联系，特别是在物理学上各种热力学关系都以特征函数为基础，所以它在热力学中占有很重要的地位。
鉴于此，我们有必要进一步讨论特征函数的相关性质。
本文将主要针对特征函数的性质和应用进行分开讨论。
2特征函数的定义及性质为了讨论方便，先给出特征函数的概念2.1基本概念 我们称(),()it t Ee t ξϕ=-∞<<+∞是ξ的特征函数.（其中令ξ是任一随机变量）上面介绍了特征函数的概念，接下来讨论一下特征函数的一些性质.2.2特征函数的性质 性质1 令1,ξ2ξ的特征函数分别为12(),(),t t ϕϕ且1ξ与2ξ相互独立，那么12ξξ+的特征函数为12()()()t t t ϕϕϕ=.证明 设1,ξ2ξ是两个相互独立的随机变量，则1,ξ2ξ的特征函数1212(),()it it t Ee t Ee ξξϕϕ==中的1it e ξ与2it e ξ也相互独立.由数学期望的性质可得121212()12()()()(),it it it it it t Ee E e e Ee Ee t t ξξξξξξϕϕϕ+==⋅=⋅=故性质1得证.性质2 令随机变量ξ存在有n 阶矩，那么ξ的特征函数()t ϕ可以微分n 次，且若,k n ≤则(0).k k k i E ϕξ=证明 ().k k itx k k itxkd e i x e x dt=≤根据假定(),k x dF x +∞-∞<∞⎰故下式中在积分号下对t 求导n 次，于是对0k n ≤≤，有()()()kk k itx k k it t i x e p x dx i E e ξϕξ+∞-∞==⎰令t=0，即(0)()k k k i E ϕξ=.性质3 若()t ϕ是特征函数，则（1）()t ϕ-，（2）2(),t ϕ（3）[]()()nt n N ϕ+∈也是特征函数.证明 （1）若()t ϕ是随机变量ξ的特征函数，那么()t ϕ-可以看作是随机变量（ξ-）的特征函数.（2）若1ξ与2ξ独立同分布，其特征函数为()t ϕ，那么2()()()t t t ϕϕϕ=-是随机变量12ξξ-的特征函数.（3）若12,,,m ξξξ 独立同分布，其特征函数为()t ϕ，那么[]()nt ϕ是随机变量12m ξξξ+++ 的特征函数.性质4（唯一性）随机变量ξ的分布函数()F x 仅由特征函数()t ϕ决定. 证明 设x 是任取的()F x 的连续点.令z 设在F 的连续点趋近-∞，则有1()lim lim()2itz itxA Az A e e F x t dt itϕπ---→-∞→∞-=⎰. 根据分布函数左连续，并且F 的连续点在直线上稠密， 即对每个(,)x ∈-∞+∞有F 的连续点,m x x <m x x <. 从而F 由其连续点上的值唯一确定.性质5 当且仅当()iat t e ϕ=时，函数()t ϕ与1()t ϕ都是一个特征函数. 证明 若()t ϕ与1()t ϕ都是特征函数，设随机变量1ξ与2ξ相互独立，且1ξ与2ξ的特征函数分别是()t ϕ和1()t ϕ.因为12ξξ+的特征函数为1()1()t t ϕϕ=，所以12(0)1P ξξ+==. 故有[]21121211()()(,)()()()()()F x P x P x x P x P x P x P x F x ξξξξξξξ=<=<<-=<<-=<<=.因此必存在常数a ,使得0()1x aF x x a≤⎧=⎨≥⎩所以ξ服从单点分布()1,P a ξ==即()iat t e ϕ=.反过来，若()iat t e ϕ=，则1()iat e t ϕ-=也是特征函数. 所以当且仅当()iat t e ϕ=时，()t ϕ与1()t ϕ都是特征函数. 性质6 设a b ηξ=+（,a b 是任意常数），记η在Y Z =时条件特征函数为()k t ϕ，则()()ibt k k t e at ϕϕ=.证明()()()()()it a b itb itb itb k k t E e Y k E e Y k e e at ξξϕϕ+=/==/==. 3 特征函数的应用 3.1在证明极限定理的应用定理 1 （辛钦大数定律）设1,2,ξξ 是一列独立分布的随机变量，且数学期望存在(1,2,)i E a i ξ== ，则对任意的0ε>，有11n pi i a n ξ=−−→∑. 证明 因为1,2,ξξ 具有一样的分布，所以它们也有一样的特征函数.我们把这个特征函数记为()t ϕ，又由于i E a ξ=存在，从而特征函数()t ϕ有展开式()(0)(0)t t ϕϕϕ'=++ο()再由独立性知11n i i n ξ=∑的特征函数为()1m mt t t ia n n n ϕ⎡⎤⎡⎤=++ο()⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.对任意t 有lim ()lim 1m miat n n t t t ia e n n n ϕ→∞→∞⎡⎤⎡⎤=++ο()=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.已知iate 是退化分布的特征函数，对应的分布函数为()I x a -.根据连续性定理11ni i n ξ=∑的分布函数弱收敛于()F x ，因为a 是常数，则有11n pi i a n ξ=−−→∑.定理2 （林德贝格——勒维定理）若1,2,ξξ 是一列独立同分布的随机变量，且22,(0)1,2,k k E a D k ξξσσ==>=则有22lim )nt kxn nap x e dt ξ--∞→+∞-≤=∑.证明 设k a ξ-的特征函数()t ϕ1nknk naξ=-=∑nϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又因为2()0,(),k k E a D a ξξσ-=-=所以2(0)0,(0)ϕϕσ'''==-.于是特征函数()t ϕ的展开式222221()(0)(0)(0)()1()22t t t t t t ϕϕϕϕσ'''=+++ο=-+ο.从而对任意固定的t有221().2nnt t nn ϕ⎡⎤⎡⎤=-+ο⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 而22t e-是(0,1)N 分布的特征函数，从而定理得证.3.2在计算数字特征上的应用.例 求2(,)N μσ分布的数学期望与方差. 解 根据2(,)N μσ分布的函数222(),t i tt eσμϕ=再由性质2(0)kkikE ϕξ=知2222(0),(0)iE i i E ξϕμξϕμσ'''====--. 因此222,()E D E E ξμξξξσ==-=. 3.3在证明函数的随机变量和分布中的应用.利用归纳法：我们可以把性质1进行推广到n 个独立随机变量的场合，令12,,,nξξξ 为n 个相互独立的随机变量，它们所对应的特征函数为12(),(),,(),n t t t ϕϕϕ 则1n i i ξξ==∑的特征函数为1()().ni i t t ϕϕ==∑例 设(1,2,,)i i n ξ= 为n 个相互独立的随机变量，且它们服从2(,)i N μσ分布的正态随机变量，试求1nii ξξ==∑的分布.解 由i ξ得分布为2(,)i N μσ，所以它们对应的特征函数为22().2i i ti t t eμσϕ=我们根据特征函数的性质1()()ni i t t ϕϕ==∑可知ξ的特征函数12222111()()()22n i i i i t nn i ti i i i i tt t Eeet μμσϕϕσ=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦==∑===+∑∑. 而它却是211(,)n ni ii i N μσ==∑∑分布的特征函数.从而根据分布函数与特征函数的一一对应关系即可知ξ服从211(,)nni ii i N μσ==∑∑分布.例 设随机变量12,,,n X X X 相互独立且分别服从为(1)k k m λ≤≤的普哇松分布，求1.nk K Y X ==∑解 对于任何一个k ，k X 服从参数为λ的普哇松分布，从而我们知道它的特征函数为1()(1)1()()nit k k n e k K t t eλϕϕ=-=∑==∑，而()t ϕ是参数为1nkK λ=∑的普哇松分布的特征函数，从而可知Y 服从参数为1nkK λ=∑的普哇松分布.。
《概率论与数理统计课件》 特征函数
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
高斯分布特征函数
高斯分布特征函数摘要：1.高斯分布概述2.高斯分布的特征函数定义3.高斯分布特征函数的性质4.高斯分布特征函数的应用正文：一、高斯分布概述高斯分布，又称正态分布，是一种常见的概率分布。
它具有一个对称的钟形曲线，其分布的均值（μ）和标准差（σ）决定了分布的形状。
高斯分布的概率密度函数具有一个唯一的峰值，这意味着在分布的均值附近，数据点出现的概率最高。
二、高斯分布的特征函数定义高斯分布的特征函数（Characteristic Function，简称CF）是描述高斯分布概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）的傅里叶变换。
对于一个随机变量X 服从高斯分布，其特征函数可以表示为：Φ(t) = P(X ≤t) = Φ(-t) = 1 -Φ(t)其中，Φ(t) 表示X 小于等于t 的概率。
三、高斯分布特征函数的性质1.奇偶性：高斯分布的特征函数是奇函数，即Φ(-t) = 1 - Φ(t)。
2.递增性：在负无穷到正无穷的区间内，特征函数Φ(t) 是递增的。
3.极限：当t 趋于负无穷时，Φ(t) 趋于0；当t 趋于正无穷时，Φ(t) 趋于1。
四、高斯分布特征函数的应用高斯分布特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用，例如：1.求解高斯分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）：Φ(t) = F(t) - F(-t)，其中F(t) 表示X 小于等于t 的累积概率。
2.求解高斯分布的概率密度函数：f(x) = Φ"(x) * √(2πσ^2)，其中Φ"(x) 表示特征函数的导数。
3.求解高斯分布的矩生成函数（Moment Generating Function，简称MGF）：M(t) = E[e^tX] = Φ(-t) + μt + 1/2 * σ^2 * t^2 + o(t^3)，其中E[·] 表示期望。
(完整word版)特征函数(CharacteristicFunction)地性质
特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤ϕϕt).0(11|||||)(|ϕϕ==≤≤=E e E Ee t itX itX2. )()(t t ϕϕ=-.)()(t Ee e E Ee t itXitX itX ϕϕ====--. 3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则).()(at e t X ibt Yϕϕ= 4． 若X 的l 阶矩存在，则.1,|)(0l k EX i t dtd kk t k k ≤≤==ϕkk t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dtd t dt d ======000|)(||)(ϕ. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ⎰><>∃>∀Mx dx x p t s M ||)(..,0,0εε⎰∞∞=-=-+|)()1(||)()(|x dF e et h titxihxϕϕ⎰∞∞--≤)(|1|x dF e ihx⎰⎰->-+-=MMMx ihxihxx dF ex dF e||)(|1|)(|1||||2sin |2)(||1|2/2/2/hx hxeee e ihx ihx ihx ihx≤=-=--x hxeeeeihx ihx ihx ihx ∀≤=-=--,2|2sin |2)(||1|2/2/2/⎰⎰>-+≤-+Mx MMx dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|ϕϕ⎰-+≤+≤M MhM x dF hM εε22)(.取,/M εδ=则 对任意实数t ，和),0(δ∈h 有.3|)()(|εϕϕ≤-+t h t所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分).(212100021)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>==⎰∞+π 证明：⎰∞=sin )(1)(dt tta sign a I π以下证明⎰+∞=02sin πdu u u .⎰+∞-=01ds e u us ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞-==Tus TT usududse ds e u du uu 00000sin sin sin ⎰∞+-++-+=0222)cos sin 11(ds e Ts T T T s s s⎰+∞-++-=22cos sin 2ds e Ts T T T s sπs s T e e T s T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2222 2sin lim 0π=⎰∞→TT du u u 。
二元正态分布的特征函数
二元正态分布的特征函数二元正态分布的特征函数（characteristic function）是一种数学工具，用于描述随机变量的分布。
对于二元正态分布，其特征函数为：φ(t) = exp(-0.5 * Σ * t^2 + i * µ * t)其中，Σ是协方差矩阵，µ是均值向量，t是一个实数，i是虚数单位（i^2 = -1）。
特征函数有许多有用的性质，例如它可以用来计算某个随机变量的概率密度函数（probability density function，PDF）。
对于二元正态分布，可以使用以下公式计算PDF：f(x) = (1 / (2π)^(k/2) * det(Σ)^(1/2)) * exp(-1/2 * (x - µ)^T * Σ^(-1) * (x - µ))其中，k是随机变量的维数，det(Σ)是协方差矩阵Σ的行列式。
了解了二元正态分布的特征函数，你就可以用它来研究这种分布的性质，例如它的数学期望（mathematical expectation）、方差（variance）、协方差（covariance）等。
在更深入地了解二元正态分布之前，这里有几点需要注意的事项：1.二元正态分布是一种连续分布，因此在计算概率时需要使用积分而不是求和。
2.二元正态分布的均值向量µ和协方差矩阵Σ是关键参数，它们决定了二元正态分布的形状和大小。
3.当µ = 0且Σ = I（I是单位矩阵）时，二元正态分布称为标准正态分布。
这种分布的PDF为：f(x) = (1 / (2π)^(k/2)) * exp(-1/2 * x^T * x)4.如果你对二元正态分布的参数（例如均值向量µ和协方差矩阵Σ）进行了变换，那么二元正态分布的形状和大小也会发生变化。
例如，如果将所有数据乘上一个缩放系数c，那么二元正态分布的形状和大小就会变成原来的c倍。
二元正态分布的一些其他性质：数学期望：二元正态分布的数学期望（即均值向量µ）是其中所有数据点的平均值。
概率分布的特征函数
概率分布的特征函数概率分布的特征函数（characteristic function）是一个重要的数学工具，它在概率论和统计学中被广泛应用。
概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为概率分布的随机变量的期望值的指数函数的复合函数。
在这篇文章中，我们将深入探讨概率分布的特征函数的各种特性和应用。
一、定义和性质概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为：$$\varphi_X(t) = E(e^{itX}),\quad t\in \mathbb{R},$$其中$X$是一个随机变量，$i$是虚数单位，$t$也是一个实数。
注意到上式中的$e^{itX}$是一个复数，其模长为1，因此特征函数是一个复合函数，其在实数轴（$t\in \mathbb{R}$）上的定义域是唯一的。
接下来，我们将探讨概率分布的特征函数的若干重要性质：1.特征函数的连续性。
如果随机变量$X$有一个概率密度函数$f_X(x)$，那么$\varphi_X(t)$对于所有的$t\in \mathbb{R}$都是连续的函数。
2.特征函数的对称性。
对于任意的$t\in \mathbb{R}$，都有$\varphi_X(-t) =\overline{\varphi_X(t)}$，其中$\overline{z}$表示$z$的共轭复数。
3.特征函数的独特性。
一个概率分布的特征函数唯一地决定了这个概率分布，换句话说，没有两个不同的概率分布可以具有相同的特征函数。
4.特征函数的归一性。
对于任意的$t = 0$，都有$\varphi_X(0) = E(e^{i0X}) = E(1) = 1$。
5.特征函数的反演公式。
如果特征函数$\varphi_X(t)$存在一个连续导函数$\varphi_X'(t)$，并且对于所有的$t\in \mathbb{R}$，都有$$ \lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u {\varphi_X(t+iy) - \varphi_X(t-iy) \over 2iy} e^{-ity} dy = f_X(t), $$那么随机变量$X$的概率密度函数$f_X(x)$可以表示为：其中$-\infty < x < \infty$。
特征函数与矩母函数
特征函数与矩母函数特征函数和矩母函数是概率论和数理统计中常用的工具，用于描述随机变量的性质和分布。
它们在统计推断、参数估计、假设检验等方面发挥着重要作用。
本文将详细解释特征函数和矩母函数的定义、用途和工作方式，并给出一些实际应用的例子。
1. 特征函数（Characteristic Function）1.1 定义特征函数是一个复数值函数，对于一个随机变量X，其特征函数定义为：ϕX(t)=E[e itX]其中，t是实数，i是虚数单位。
1.2 用途特征函数可以完整地描述一个随机变量的分布性质。
它包含了所有阶的矩信息，并且唯一地确定了随机变量的分布。
通过特征函数可以计算出随机变量的均值、方差、偏度、峰度等统计量。
1.3 工作方式给定一个随机变量X，我们可以通过求解期望来计算其特征函数。
首先，我们将复指数项展开为正弦和余弦项：e itX=cos(tX)+isin(tX)然后，取期望得到特征函数：ϕX(t)=E[cos(tX)]+iE[sin(tX)]特征函数的实部和虚部分别是随机变量的余弦和正弦分布的特征函数。
2. 矩母函数（Moment Generating Function）2.1 定义矩母函数是一个实数值函数，对于一个随机变量X，其矩母函数定义为：M X(t)=E[e tX]2.2 用途矩母函数同样可以用于描述随机变量的性质和分布。
通过矩母函数可以计算出随机变量的矩信息，如均值、方差、偏度、峰度等统计量。
2.3 工作方式与特征函数类似，我们可以通过求解期望来计算随机变量的矩母函数。
将指数项展开为幂级数：e tX=∑(tX)n n!∞n=0然后取期望得到矩母函数：M X(t)=E[∑(tX)n n!∞n=0]=∑t n E[X n]n!∞n=0矩母函数的n阶导数在t=0处的值等于随机变量的n阶原点矩。
3. 特征函数与矩母函数的关系特征函数和矩母函数之间存在着紧密的联系。
通过特征函数可以推导出矩母函数，反之亦然。
特征函数
it n
= k = ) • Poisson分布的特征函数 P ( X
λk
k!
e−λ
ϕ (t ) = e
λ ( e it −1)
• 均匀分布的特征函数
it
X ~ U [0,1]
n
e −1 ϕ (t ) = it
一些特殊分布的特征函数：
• 指数分布的特征函数 f ( x ) = e
θ
1
− x
θ
ϕ (t ) = (1 − iθ t )
性质4: 设 r.v. ξ 的n阶矩存在，则 ξ 的特征 函数可微分n次，且对任意 k ≤ n ，有
ϕ
即
(k )
(0) = i
ϕ
k
Εξ
k
Εξ =
k
(k )
(0)
i
k
特征函数的定理
定理1 逆转公式.
设分布函数F(x)的特征函数为g(t)，又x1,x2是 F(x)的两个连续点，则
1 F ( x1 ) − F ( x2 ) = lim T →∞ 2π e −itx1 − e −itx2 ∫−T it g (t )dt
这里ϕ（t） 表示ϕ (t )的共轭
性质2: η = aξ + b 的特征函数，
ibt ( ) ϕ η t = e ϕ ξ (at )
性质3: 设
ξ1 , ξ 2 的特征函数分别为 ϕ1 (t ), ϕ 2 (t )
，
又 ξ1 , ξ 2 相互独立，则 η = ξ1 + ξ 2 的特征函数为
ϕη (t ) = ϕ1 (t )ϕ 2 (t )
= eitx cos(tx) + i sin(tx) (1) 欧拉公式：
(2) 复数的共轭： a + bi =a − bi (3) 复数的模：
第4.5节特征函数
1）当（ ξ 1 , ξ 2 ）为离散型随机变量时
f ( t1 , t 2 ) =
∑e
r ,s
i ( t 1 x1 r + t s x 2 s )
P { ξ 1 = x1 r , ξ 2 = x 2 s }
2)当 ( ξ 1 , ξ 2 ) 为连续型随机变量时
f ( t1 , t 2 ) =
n
(6) 性质6
设η = aξ + b, 这里a , b为常数，则fη ( t ) = e
这是因为
i bt
fξ (at ).
fη ( t ) = E (ei tη ) = E (ei t ( aξ + b ) ) = ei tb E (ei taξ ) = ei tb fξ (at )
三、逆转公式与唯一性定理
iµ t −
σ2 2 t 2
二、性质
(1) 性质1
f (0) = 1
| f ( t ) |≤ f (0)
f ( −t ) = f ( t )
(2) 性质2 特征函数在(-∞,∞)上一致连续.
证明
∞ −∞ ∞
≤ ∫ | e itx || (e ihx −1) | dF ( x ) = ∫ | (e −1) | dF ( x ) = ∫
1 = lim T j →∞ (2 π) n j =1,Ln
∫ ∫
−T1
T1
T2
−T2
L∫
Tn
−Tn
∏
k =1
n
e
− i t k ak
−e i tk
− i t k bk
⋅ f ( t1 , t 2 ,L , t n )d t1 d t 2 L d t n
特征函数及其应用
特征函数及其应用1 引言在概率论和数理统计中，我们学习了特征函数，发现了它可以更高级、优越、方便的表示出一般的随机变量的统计规律．是研究随机变量的重要工具．本文将向大家详细的阐述特征函数的基本概念，性质以及特征函数的应用和一些相关定理的证明．2 特征函数2.1 特征函数的定义设ξ是定义在样本空间上的随机变量．称ξ的复值函数it eξ=cos ()t ξ+i sin ()t ξ的数学期望E ()it e ξ=E ()()cos t ξ+i E ()()sin t ξ t -∞<<+∞其中，i =ξ的特征函数，记为()t ϕ．特征函数()t ϕ一般为实变量t 的复值函数，它对一切t 有定义．事实上，当ξ是连续型随机变量时，对(),t ∀∈-∞+∞，总有()()1itx e dF x dF x +∞+∞-∞-∞==⎰⎰若ξ为离散型随机变量，则1kitx k kep =∑因此，任一随机变量ξ，必有特征函数存在．2.2 特征函数的性质()1 有界性：()()()01,,t t ϕϕ≤=∀∈-∞+∞ ()2 一致连续性：()t ϕ在(),-∞+∞上一致连续 ()3 非负定[]()1181P 性：对1n ∀>个实数1t ，，n t 及复数1z ，，n z ，总有()0s rs r rstt z z ϕ-≥∑∑()4 ()t ϕ-=()t ϕ，这里()t ϕ表示()t ϕ的共轭()5 若a b ηξ=+，a ，b ，为常数，则()t ηϕ=ibt e ()at ξϕ⋅()6 设12,ξξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅2.3 特征函数与矩的关系在以前的学习中，我们发现求随机变量的各阶矩往往需要作繁难的求无穷级数和或无穷积分的计算，有时应用一定的技巧方可计算出结果．现在我们有了特征函数这一优越的工具后，可以通过对特征函数()t ϕ求导的方法来计算随机变量的矩．设随机变量ξ有l 阶矩存在，则ξ的特征函数()t ϕ可微分l 次，且对k l ≤，有()()0k k k i E ϕξ=设ξ有密度函数()p x ，则()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰由于ξ的l 阶矩存在，即有()lx p x dx +∞-∞<∞⎰从而()itx e p x dx +∞-∞⎰可以在积分号下对t 求导l 次，于是对0k l ≤≤，有()()k t ϕ=()()k k itx k k it i x e p x dx i E e ξξ+∞-∞=⎰令0t =即得()()0k k k i E ϕξ=当ξ是离散型随机变量时，证明也是类似的．由这个性质，在求ξ的各阶矩（如果他们存在的话），只要对ξ的特征函数求导即可．而从定义出发是要计算积分的，大家都知道，求导一般总是要比求积分简单的多，所以可以这样说：特征函数提供了一条求各阶矩的捷径[]()2175176P -．2.4 几种常见分布的特征函数()1 单点分布 设ξ服从单点分布，即()1P c ξ==，则()()()it itc itc t E e e P c e ξϕξ==⋅==()2 两点分布 设()~1,B p ξ，即 ()1P p ξ==，()01P p q ξ==-=，则()01it it it t e q e p q pe ϕ⋅⋅=⋅+⋅=+()3 二项分布 设()k k n k n P k p q C ξ-==，0k n ≤≤，则()t ϕ=0nikt k k n k n k e p q C -=∑()nitpe q=+()4 普哇松分布 设ξ为普哇松分布，即()!kP k e k λλξ-==，0k =，1，2则()t ϕ=0!itkikte k ee e e k λλλλ∞--==⋅∑()5 均匀分布 设ξ在[]0,1上均匀分布，即()011,0,x p x ≤≤⎧=⎨⎩其它则()t ϕ=()1itx itx e p x dx e dx +∞-∞=⎰⎰1it e it-=()6 指数分布 设ξ服从参数为λ的指数分布，即 ()0,0,x x e p x x λλ->⎧=⎨≤⎩故()t ϕ=itx x e e dx λλ∞-⎰由数学分析知道 220sin x ttxe dx t λλ∞-=+⎰22cos x txe dx tλλλ∞-=+⎰由此可得()t ϕ=11it λ-⎛⎫- ⎪⎝⎭()7 正态分布 设ξ服从()2,N μσ分布，把()2,N μσ分布的密度函数代入()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰中，即有()t ϕ=()222x itx edx μσ--+∞-∞⎰222t i t eσμ-=22it zit edz σσ∞---∞-⎰222t i t e σμ-=其中22it zit edz σσ∞---∞-⎰=是利用复变函数中的围道积分求得的．例1 求()2,Nμσ分布的数学期望和方差解 已知()2,Nμσ分布的特征函数为()t ϕ=222t i t eσμ-于是由()()0k k k i E ϕξ= 有()0iE i ξϕμ'==()22220i E ξϕμσ''==--由此即得()222,E D E E ξμξξξσ==-=从这里我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差，要比从定义去证更方便[]()31P ．2.5 特征函数与分布函数的关系逆转公[]()2177P 式 设随机变量ξ的分布函数为()F x ，特征函数为()t ϕ，又1x 与2x 为()F x 的任意两个连续点，则有()()()12121lim2itx itx TT T e e F x F x t dt it ϕπ---→∞--=⎰其中，当0t =时，按连续性延拓定义1221itx itx e e x x it---=- 由特征函数的定义可知，随机变量的分布函数唯一的确定了它的特征函数．反过来，由唯一性定理可知特征函数可以唯一地确定它的分布函数．从而由特征函数来确定分布函数的式子也常常称为“逆转公式”．唯一性定[]()2178P 理 随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定．3 特征函数的应用3.1 特征函数在求独立随机变量和的分布上的应用设1ξ，2ξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅因为1ξ与2ξ相互独立，由以前的知识我们知道1it e ξ与2it eξ也相互独立，于是由数学期望的性质即得()t ϕ=()12it Ee ξξ+()12it it E e e ξξ=⋅12it it EeEe ξξ=⋅()()12t t ϕϕ=⋅利用归纳法，不难把上述性质推广到n 个独立随机变量的场合，若1ξ，2ξ，n ξ是n 个相互独立的随机变量，相应的特征函数为()1t ϕ，()2t ϕ，…，()n t ϕ 则ξ1ni i ξ==∑的特征函数为()t ϕ=()1ni i t ϕ=∏例2 设jξ(1j =，2，)n 是n 个相互独立的，且服从()2,j j N a σ分布的正态随机变量，试求ξ1nj j ξ==∑的分布．解 已知j ξ的分布为()2,j j N a σ，故相应的特征函数为()222j j t ia t j t eσϕ-=由特征函数的性质()t ϕ=()1nj j t ϕ=∏ 可知ξ的特征函数为()t ϕ=()1n j j t ϕ=∏2222111221nnj j j j j j t i a t t nia t j eeσσ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∑∑==∏而这是211,n n j j j j N a σ==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑分布的特征函数，由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从211,n n j j j j N a σ==⎛⎫⎪⎝⎭∑∑分布．这正是我们所熟知的可加性，这里用特征函数作为工具证明了这个可加性．3.2 在普哇松分布收敛于正态分布上的应用连续性定[]()2205P 理 分布函数列(){}n F x 弱收敛于分布函数()F x 的充要条件是相应的特征函数列(){}nx ϕ收敛于()F x 的特征函数()t ϕ．例3 若λξ是服从参数为λ的普哇松分布的随机变量，证明：22lim t xP x e dt λ--∞→∞⎫<=⎪⎭证明 已知λξ的特征函数为()x λϕ()1it e eλ-=，故λη= 的特征函数为()1g t e eλλλϕ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭==对于任意的t ，有2112!t o λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，λ→∞于是221122t t eo λλλ⎛⎫⎛⎫--=-+⋅→- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，λ→∞ 从而对任意的点列n λ→∞，有()22lim n n t g t eλλ-→∞=但是22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理即知有22limntxP x e dtλξλ--∞→∞⎛⎫-<=⎪⎪⎭成立，因为nλ是可以任意选取的，这就意味着22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭成立．即“普哇松分布收敛与正态分布”．3.3在证明辛钦大数定律上的应用若1ξ，2ξ…是独立同分布随机变量序列，且(iE a iξ==1，2，)则11npiianξ=−−→∑，n→∞证明因为1ξ，2ξ…有相同的分布，所以也有相同的特征函数，记这个特征函数为()tϕ，又因为iEξ存在，从而特征函数()tϕ有展开式()()0tϕϕ=+ϕ'()()0t o t+()1iat o t=++再由独立性知11niinξ=∑的特征函数为1n nt t tia on n nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦对任意取定的t，有lim lim1n niatn nt t tia o en n nϕ→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦已知iate是退化分布的特征函数，相应的分布函数为()1,0,x aF xx a>⎧=⎨≤⎩由连续性定理知11niinξ=∑的分布函数弱收敛于()F x，因a是常数，则有11n pi i a n ξ=−−→∑ 故辛钦大数定律成立．3.4 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为()01P p <<，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则22lim t xn P x e dt --∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭要证明这个式子我们只需证明下面的这个式子，因为它是下面的式子的一个特例，证明了下面的式子，也就证明了它．若1ξ，2ξ，…是一列独立同分布的随机变量， 且 k E a ξ=，()220k D ξσσ=>，k =1，2，…则有22lim n t k xn na P x e dt ξ--∞→∞⎛⎫- ⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑证明 设k a ξ-的特征函数为()t ϕ，则nknk naξ=-=∑的特征函数为nϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为()0k E a ξ-=，()2k D a ξσ-=，所以ϕ'()00=，ϕ''()20σ=-于是特征函数()t ϕ有展开式()()0t ϕϕ=+ϕ'()0t +ϕ''()()2202t o t +()222112t o tσ=-+从而对任意固定的t，有2212nnt ton nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦22te-−−→，n→∞而22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理知22limntkxnnaP x e dtξ--∞→∞⎛⎫-⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑成立，证毕．我们知道在22limtxnP x e dt--∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭中nμ是服从二项分布()k k n kn nP k p qCμ-==，0k n≤≤的随机变量，如上3.2中称22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭为“普哇松分布收敛与正态分布”，我们把上面证明的式子常常称为“二项分布收敛于正态分布”．[]()2210211P-通过上文的讨论，我们加深了对特征函数的认识，对于特征函数的应用也有了大概的了解，而随着理论和实践的不断发展，对特征函数的研究也将会不断深化．。
《概率论与数理统计》45 特征函数(37P)
E(eit ) E(eitg( ) )
e itg (
x)
dF
(
x)
由此可以引出：
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x),则称
f (t ) E(eit )
eitx
dF
(
x
)
为的特征函数(characteristic function)
由于 | eitx || cos tx i sin tx | 1,因而此积分是绝 对收敛的，因而对一切t都有意义.
k 1 j1
n
n
{
ei(tk
t
j
)
x
d
F
(
x)}k
j
k 1 j1
n
n
{ei(tk t j ) x k j }d F ( x)
k 1 j1
n
(
n
eitk x k )(
eit j x j ) d F ( x)
k 1
j 1
n
2
eitk x k
d F(x) 0
k 1
此性质为特征函数的非负定性.
2. 定义
定义 4.5.1 如果与都是概率空间 (,F,P)上的 实值随机变量，则称=+i的复随机变量.
复随机变量=+i的数学期望为E()=E()+iE()
复随机变量 1, 2 ,
,
相互独立，则
n
E( 1 2 n ) E( 1 )E( 2 ) E( n )
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
x2
sin tx e 2
1
x2
t cos tx e 2 d x tf (t)
4. 常见分布的特征函数
证明狄利克雷函数在0处不连续
证明狄利克雷函数在0处不连续狄利克雷函数(Dirichlet function)，也称为特征函数(characteristic function)，是一个在实数轴上定义的函数，它在有理数上取值为1，在无理数上取值为0。
我们可以证明狄利克雷函数在0处不连续。
首先，我们考虑0的一个任意邻域(-ε,ε)，其中ε是一个正实数。
我们想要证明，存在δ>0，使得对于所有0<，x，<δ，狄利克雷函数f(x)的取值均为1、也就是说，在(-δ,δ)这个开区间上，f(x)始终取值为1假设存在这样的δ>0，使得对于所有0<，x，<δ，f(x)的取值均为1、那么我们可以构造一个数列{x_n}，其中x_n是一个有理数，并且满足0<，x_n，<δ。
由于有理数是稠密的，我们可以找到无穷多个这样的有理数。
然而，根据狄利克雷函数的定义，对于有理数x，f(x)的取值为1、因此，对于我们构造的任意一个有理数x_n，f(x_n)的取值都是1现在我们来看无理数的情况。
由于狄利克雷函数f(x)在无理数上取值为0，我们可以构造一个数列{y_n}，其中y_n是一个无理数，并且满足0<，y_n，<δ。
由于无理数也是稠密的，我们同样可以找到无穷多个这样的无理数。
然而，对于我们构造的任意一个无理数y_n，f(y_n)的取值为0。
这与我们之前假设的存在一个δ使得对于所有0<，x，<δ，f(x)的取值均为1相矛盾。
因此，我们可以得出结论，不存在一个δ使得对于所有0<，x，<δ，f(x)的取值均为1、也就是说，狄利克雷函数在0处不连续。
综上所述，狄利克雷函数在0处不连续。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤ϕϕt).0(11|||||)(|ϕϕ==≤≤=E e E Ee t itX itX2. )()(t t ϕϕ=-.)()(t Ee e E Ee t itX itX itX ϕϕ====--.3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则).()(at e t X ibtYϕϕ= 4． 若X 的l 阶矩存在，则.1,|)(0l k EX i t dtd kk t k k ≤≤==ϕkk t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dtd t dt d ======000|)(||)(ϕ. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ⎰><>∃>∀Mx dx x p t s M ||)(..,0,0εε⎰∞∞=-=-+|)()1(||)()(|x dF e et h t itxihxϕϕ⎰∞∞--≤)(|1|x dF e ihx⎰⎰->-+-=MMMx ihxihxx dF ex dF e||)(|1|)(|1||||2sin |2)(||1|2/2/2/hx hxeee e ihx ihx ihx ihx≤=-=--x hxeeeeihx ihx ihx ihx ∀≤=-=--,2|2sin |2)(||1|2/2/2/⎰⎰>-+≤-+Mx MMx dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|ϕϕ⎰-+≤+≤M MhM x dF hM εε22)(.取,/M εδ=则 对任意实数t ，和),0(δ∈h 有.3|)()(|εϕϕ≤-+t h t所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分).(212100021)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>==⎰∞+π 证明：⎰∞=sin )(1)(dt tta sign a I π以下证明⎰+∞=02sin πdu u u .⎰+∞-=01ds e u us ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞-==Tus TT usududse ds e u du uu 00000sin sin sin ⎰∞+-++-+=0222)cos sin 11(ds e Ts T T T s s s⎰+∞-++-=22cos sin 2ds e Ts T T T s sπs s T e e T s T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2222 2sin lim 0π=⎰∞→TT du u u 。
Th 4.1.3(逆转定理)设F(x)和)(t ϕ分别为随机变量X 的分布函数和特征函数，则对F 的任意两个连续点x 1<x 2，有.)(21lim)()(2112⎰---∞→-=-TTitx itx T dt t ite e x F x F ϕπ证明：记 ⎰---=-TT itx itx T dt t it e e J )(2121ϕπ’则⎰----=T T itXitx itx T dt e ite e E J 2121π⎰------=TTx X it x X it dt ite eE )()(2121π⎰----+--=Tx X it x X it x X it x X it dtit e e e e E 0)()()()(221121πdt tt x X t x X E T ⎰---=021)sin()sin(1π )]()([21lim 21x X sign x X sign E J T T ---=∞→. 不妨设x 1<x 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧<<==><=---21212121210)()(xX x x X or x X x X or x X x X sign x X sign.2)0()(2)0()()()0()]()([21lim 11221221-+--+=--+=+==→∞x F x F x F x F x F x F x X P x X P J T T 若x 1和x 2 是F(x)的连续点，则定理得证.Th （唯一性定理）分布函数有特征函数唯一确定。
证明：将分布函数的连续点集记为)(F C ，设)(t ϕ是)(x F 的特征函数.当)(,1F C x x ∈时，由反演公式.)(21lim)()(2112⎰---→∞-=-TT itx itx T dt t it e e x F x F ϕπ令1x 在)(F C 中趋于∞-，则有对)(2F C x ∈∀，)(2x F 由)(t ϕ唯一确定。
当)(F C x ∉时，可令2x 在)(F C 中单调减的趋于x ，由)(x F 的右连续性可知，)(x F 由)(t ϕ唯一确定。
Th. 若特征函数)(t ϕ绝对可积，即⎰∞∞-∞<dt t |)(|ϕ则其对应的分布函数)(x F 为连续型，且密度函数为.)(21)(⎰∞∞--=dt e t x p itx ϕπ证明：对R a ∈∀，令a b n ↓，根据反演公式有⎰∞∞--≤-+-≤dt t a b a b F n n |)(|22)0F(F(a))(0ϕπ由定理条件可知，2)0F(F(a))(-+-a b F n 单调减的趋于0，而根据)(x F 的右连续性可知)()(a F b F n →，故有).0()(,02)0F(F(a))(-==-+-a F a F a a F 即亦即)(x F 处处连续。
对0,≠∆∈∀x R x ，根据反演公式得⎰∞∞-∆+--∆-=∆-∆+dt t x it e e x x F x x F x x it itx )(21)()()(ϕπ令0→∆x 得到)()()(x p xx F x x F →∆-∆+；itxx x it itx e x it e e -∆+--→∆-)( 所以，.)(21)(⎰∞∞--=dt e t x p itxϕπ二．多元特征函数 若n 维随机变量T n X X X ),...,(1=的分布函数为),...,,(21n x x x F ，则定义其特征函数为⎰⎰∞∞-∞∞-∑===),...,(...)(11n x t iXit x x dF eEet nk kk T ϕ其中，.),...,,(21T n t t t t =也称为是随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特征函数.Th1. 由随机向量T n X X X),...,(1=的联合特征函数可求出任意个子向量的边缘特征函数.例如).0,...,,(),();0,...,0,()(2121,11211t t t t t t X XX ϕϕϕϕ==性质：;),...,(),...,(;1)0(|),...,(|111n n n t t t t f t t ϕϕϕ=--=≤0,...,011...1`11111|),...,(......==+-∂∂∂∑==n n nnj jn t t n nk k k k k k nk t t t t iX EX ϕ 反演公式nn c c nj jb it a itc c c c n n dt dt t t it e eb X a b X a P jj jj n nn ...),...,(...)2(1...),...,(1112n 111111lim lim ϕπ⎰∏⎰-=---∞→∞→-=≤<≤<Th2. 随机变量X 和Y 相互独立的充要条件为)()(),(2121,t t t t Y X Y X ϕϕϕ=三．n 元正态分布随机向量,),...,(1T n X X =X 定义,),...,(1T n EX EX EX =T EX X EX X E X ))(()cov(--=1. 设),1,0(~,,...,1N iid X X n 则其联合密度为nnn n n R x x x x x x x f ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=),...,(,)...(21ex p )2(1),...,(1222212/1πEX=0,cov(X)=I n 密度函数又可写成}21ex p{)2(1)(2/Ix x x f Tn -=π称之为标准n 元正态分布。
Def 如果A 是n 阶非奇异阵，μ是n 维实向量，而随机变量X 服从n 元标准正态分布，则将随机变量μ+=AX Y所服从的分布成为n 元正态分布.易证：0)cov(,>==TAA Y EY μ.记,T AA =∑用记号 ),(~∑μN Y 表示Y 服从参数是∑,μ的正态分布.TH, n元正态分布),(∑μN 的概率密度为)}()(21ex p{||)2(1)(12/12/μμπ-∑--∑=-x x x f T n .Th. n 元正态分布),(∑μN 的特征函数为n TTR t t t t i t ∈∀∑-=},21exp{)(μϕ证明：首先，对服从标准多元正态分布的随机向量X,其特征函数为};21exp{}21exp{)(}exp{)(121t t t t X it E t T n j j nj j X Ti -=-===∑∏==ϕϕ根据多元正态分布的定义，存在矩阵A ，使得T AA =∑，故所求特征函数为}.21exp{}21exp{)()(t t it t AA t eEeeEet TTT T it AXit it AX it T T T ∑-=-===T +μϕμμμTh. n 元正态分布 ),(∑μN 的任一k 维的边缘分布都是k 元正态分布，其中n k <≤1. 证明：,),...,,(),,(~21Ti i i k n k X X X X N X=∑μ kX的特征函数可以通过在X 的特征函数中令},...,,{,021k j j i i i t t ∉∀=得到.有令},...,{,0;),...,(11k j Xit n X i i j t Eet t T ∉∀==ϕ.),...,(,),()0,...,,...,0,,0(11T i i X X is i X k k kT ki t t s s Eet t ===其中ϕϕ又根据}21exp{)(t t it t TTX ∑-=μϕ，得到.,...,,...,,),...,(},21exp{)(11****1列形成的矩阵行和第的第是其中k k T i i T TX i i i i s s is s k k ∑∑=∑-=μμμμϕ另外，还可以证明多元正态分布的各种形式的条件分布还是正态分布.Th 设),(~,...,,21∑μn n N X X X ，则它们相互独立的充要条件是它们两两互不相关.证明：必要性是显然的.下证充分性.若n X X X ,...,,21两两互不相关，则,,0),cov(j i X X j i ≠∀=即},...,,{2211nn diag σσσ=∑，所以∏∏∑=-=-==nkk X nkkk k k k k k kk k Tn t t t i t t i t t k ).(}21exp{}21exp{),...,(2121ϕσμσμϕ由多元特征函数的性质可知n X X X ,...,,21相互独立.Th 对于n 维正态随机向量),(~),(21∑=μN X X XT TT，对∑和μ作相应的分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2221121121，μμμ 则),,(~),,(~22211111∑∑μμN X N X 且.01221=∑相互独立的充要条件是和X XTh 多元正态分布经过任意的线性变换后依然服从多元正态分布.X C Y N X n m m n ⨯=∑),,(~μ即若,则).,(~T mn C C C N Y ∑μ推论：.,I),N(~X Y ,0),,(~.12/-12/-1分量相互独立的即则Y N X μμ∑∑=>∑∑).,(~),,(~.222I A N AX Y A I N X σμσμ=是正交阵，则Th ).,(~,),(~1a a a N X a R a N X TT T n n ∑∈∀⇔∑⨯μμ。