特征函数(Characteristic Function)的性质
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特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤ϕϕt
).0(11|||||)(|ϕϕ==≤≤=E e E Ee t itX itX
2. )()(t t ϕϕ=-.
)()(t Ee e E Ee t itX itX itX ϕϕ====--.
3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则
).()(at e t X ibt
Y
ϕϕ= 4． 若X 的l 阶矩存在，则
.1,|)(0l k EX i t dt
d k
k t k k ≤≤==ϕ
k
k t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dt
d t dt d ======000|)(||)(ϕ. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ⎰
><>∃>∀M
x dx x p t s M ||)(..,0,0εε
⎰∞
∞
=-=-+|)()1(||)()(|x dF e e
t h t itx
ihx
ϕϕ
⎰
∞∞
--≤)(|1|x dF e ihx
⎰⎰
->-+-=M
M
M
x ihx
ihx
x dF e
x dF e
||)(|1|)(|1|
|||2
sin |2)(||1|2
/2
/2
/hx hx
e
e
e e ihx ihx ihx ihx
≤=-=--
x hx
e
e
e
e
ihx ihx ihx ihx ∀≤=-=--,2|2
sin |2)(||1|2
/2
/2
/
⎰
⎰
>-+≤-+M
x M
M
x dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|ϕϕ
⎰-+≤+≤M M
hM x dF hM εε22)(.
取,/M εδ
=则 对
任意实数t ，和),0(δ∈h 有
.3|)()(|εϕϕ≤-+t h t
所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分
).
(2
1
21
00
02
1)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧<-=>==⎰∞+π 证明：
⎰
∞
=
sin )(1
)(dt t
t
a sign a I π
以下证明
⎰
+∞
=0
2
sin π
du u u .
⎰+∞-=0
1ds e u us ⎰
⎰⎰
⎰⎰-+∞+∞-==T
us T
T us
ududs
e ds e u du u
u 0
00
00sin sin sin ⎰
∞
+-++-+=0
2
22)cos sin 11(ds e T
s T T T s s s
⎰
+∞-++-=
22cos sin 2
ds e T
s T T T s s
π
s s T e e T s T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2
222 2
sin lim 0
π
=⎰
∞→T
T du u u 。
Th 4.1.3(逆转定理)
设F(x)和)(t ϕ分别为随机变量X 的分布函数和特征函数，则对F 的任意两个连续点x 1 .)(21 lim )()(2 112⎰---∞→-=-T T itx itx T dt t it e e x F x F ϕπ 证明：记 ⎰---= -T T itx itx T dt t it e e J )(212 1ϕπ ’则 ⎰----=T T itX itx itx T dt e it e e E J 21 21π ⎰------=T T x X it x X it dt it e e E ) () (2121π ⎰----+--=T x X it x X it x X it x X it dt it e e e e E 0) () () ()(221121πdt t t x X t x X E T ⎰---=021)sin()sin(1π )]()([2 1 lim 21x X sign x X sign E J T T ---=∞→. 不妨设x 1 ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<<==><=---212 12 121210)()(x X x x X or x X x X or x X x X sign x X sign . 2 ) 0()(2)0()()()0()]()([2 1 lim 11221221-+--+=--+=+==→∞x F x F x F x F x F x F x X P x X P J T T 若x 1和x 2 是F(x)的连续点，则定理得证. Th （唯一性定理）分布函数有特征函数唯一确定。