考研数学线性代数强化习题相似与相似对角化
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模块九相似与相似对角化
Ⅰ经典习题
一．相似矩阵
1、下列矩阵中，A和B相似的是（）
（A）
201200
000,001
000000
A B
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
==
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（B）
120211
231,120
015102
A B
-
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
==
⎪ ⎪
⎪ ⎪
-
⎝⎭⎝⎭
（C）
201203
000,000
000000
A B
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
==
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭（D）
200100
020,030
003003
A B
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
==
⎪ ⎪
⎪ ⎪
--
⎝⎭⎝⎭
2、设,A B均为n阶矩阵，A可逆且，则下列命题中
①②A22③④11
正确的有（）个.
（A）1（B）2（C）3（D）4二．相似对角化的条件
3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（）
（A）
101
023
135
-
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-⎝⎭
（B）
100
320
211
-⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
（C ）101202303-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝
⎭ （D ）223023001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭ 4、已知三阶矩阵A 的特征值为0,1±，则下列结论中不正确的是（ ） （A ）矩阵A 是不可逆的
（B ）矩阵A 的主对角元素之和为0 （C ）11-和所对应的特征向量正交 （D ）0Ax =的基础解系由一个向量构成
5、设A B n 为、阶方阵，且对,||||E A E B λλλ∀-=-有，则（ ） （A ）||||E A E B λλ+=+ （B ）A B 与相似
（C ）A B 与合同 （D ）A B 、同时可相似对角化或不可相似对角化
6、设A 为n 阶方阵，满足2
A A =，证明：（1）()()r A E r A n
-+=；（2）矩阵A 可以相
似对角化.
7、设A 为三阶方阵，123,,ααα为三维线性无关列向量组，且有123A ααα=+，
231312,A A αααααα=+=+.
（1）求A 的全部特征值； （2）A 是否可对角化？
8、已知三阶矩阵A 的特征值为0,1,2，设3
2
2,()B A A r B =-=则（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）不能确定
三．相似对角化中P 与Λ的计算
9、已知1
12
000
60,00
6P AP α-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
是矩阵A 属于特征值2λ=的特征向量，23,αα是矩阵A 属于特征值6λ=的特征向量，那么矩阵P 不能是（ ） （A ）()123,,ααα- （B ）()12323,,2ααααα+- （C ）
()132,,ααα （D ）()12123,,ααααα+-
10、已知
(1,2,3)
i i A i i αα==，其中
123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)T T T
ααα==-=--，求
A =.
11、已知矩阵20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与20000001B y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
相似: （1）求x 与y ；（2）求一个满足1
P AP B -=的可逆矩阵P
12、设矩阵
3221423A k
k -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
.问当k 为何值时,存在可逆矩阵P ,使得1
P AP -为对角矩阵?
并求出P 和相应的对角矩阵.
13、设矩阵
1114335A x y -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦,已知A 有三个线性无关的特征向量,2λ=是A 的二重特征值.试求可逆矩阵P ,使得1
P AP -为对角矩阵. 14、设矩阵A 与B 相似,其中
20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
.
（1）求x 和y 的值; （2）求可逆矩阵P ,使1
P AP B -=.
四．n
A 的计算
15、已知A 、B 为三阶矩阵，满足0AB B +=，11001110a B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，齐次方程组0AX =有非
零解010⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，（1）求a 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1
P AP -为对角矩阵；
（3）求秩(A E)R +；（4）计算行列式A E -；（5）求100
(A E)+
五．对实对称矩阵性质的考查
16、设A n 为阶实对称矩阵，则( ) （A ）A n 的个特征向量两两正交
（B ）A n 的个特征向量组成单位正交向量组