集合之间的关系例题习题解答(二)
专题2 集合间的基本关系(解析版)
专题2 集合间的基本关系题组1 集合的包含关系1.已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是()A.P＝QB.P QC.P QD.P∩Q＝∅【答案】B【解析】P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以Q P.2.集合M＝，N＝，则M与N的关系为()A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD. 无法判断【答案】C【解析】M中，x＝＋＝N中，x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N⊆M.3.指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.【答案】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.题组2 子集及其运算4.设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A.A⊆BB.B⊆AC.B∈AD.A＝B【答案】C【解析】∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.5.已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C⊆A，C⊆B，则集合C最多含有________个元素.【答案】3【解析】由题意知C最多含有3个元素：4,5,6.6.已知集合M满足关系{a，b}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，写出所有的集合M.【答案】满足条件的集合M可以是以下集合：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，共8个，题组3 子集个数7.若集合A＝{1,2,3}，若集合B⊆A，则满足条件的集合B有()A. 3个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】C【解析】由集合B⊆A，则B是A的子集，则满足条件的B有23＝8个，故选C.8.若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是()A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个.9.定义集合运算A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}，则集合A◇B的子集个数为()A. 32B. 31C. 30D. 14【答案】A【解析】∵A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}.又∵A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，∴A◇B＝{3,4,5,6,7}，由于集合A◇B中共有5个元素，故集合A◇B的所有子集的个数为25＝32个.故选A.10.已知a为不等于零的实数，那么集合M＝{x|x2－2(a＋1)x＋1＝0，x∈R}的子集的个数为()A. 1B. 2C. 4D. 1或2或4【答案】D【解析】当Δ＝4(a＋1)2－4＞0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以集合M 的元素有两个，则集合M子集的个数为22＝4个；当Δ＝4(a＋1)2－4＝0即a＝－2时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个相等的实数根，所以集合M 的元素有一个，则集合M子集的个数为21＝2个；当Δ＝4(a＋1)2－4＜0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0没有实数根，所以集合M为空集，则集合M 的子集的个数为1个.综上，集合M的子集个数为：1或2或4.故选D.11.已知M＝{a|a≤－2或a≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】由(a－2)(a2－3)＝0，可得a＝2或a＝±，∵a∈M，M＝{a|a≤－2或a≥2}，∴A＝{2}.∴A的子集有：∅，{2}.集合A的子集共有2个.故选B.12.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()A. 6个B. 12个C. 9个D. 5个【答案】A【解析】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，(要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”)，故不含“好元素”的集合共有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6种可能.故选A.13.若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为()A. 15B. 16C. 28D. 25【答案】A【解析】具有伙伴关系的元素组有－1,1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，穷举可知个数共15个.故选A.题组4 真子集及其运算14.已知A＝{x|<－1}，B＝{x|x2－4x－m≥0}，若A B，则实数m的取值范围是()A.m≥0B.m≤－3C. －3≤m≤0D.m≤－3或m≥0【答案】B15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()A.a＜3B.a≤3C.a＞3D.a≥3【答案】D【解析】由A B，结合数轴，得a≥3.16.已知集合A满足{0,1}A{0,1,2,3}，写出满足条件的所有的集合A.【答案】满足条件的集合A即为集合{2,3}的非空真子集，∴集合A有{0,1,2}，{0,1,3}.17.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围.【答案】(1)若A B，由图可知a＞2.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.题组5 真子集个数18.已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是()A. 15B. 16C. 3D. 4【答案】A【解析】根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的真子集有2n－1个，集合A有4个元素，则其真子集个数为24－1＝15，故选A.19.已知集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是()A. 32B. 31C. 16D. 15【答案】D【解析】根据题意，－2＜x－1＜4可化为－1＜x＜5；则集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}＝{x∈N|－1＜x＜5，且x≠1}＝{0,2,3,4}.其子集共24－1＝16－1＝15个.故选D.20.已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的非空真子集的个数为()A. 1B. 2C. 4D. 不确定【答案】B【解析】∵集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}，a为给定的实数，关于方程x2－3x－a2＋2＝0，∵Δ＝(－3)2－4(2－a2)＝4a2＋1＞0，∴方程有两个不同的实根，∴集合M中有两个元素，∴集合M的非空真子集的个数为：22－2＝2，故选B.题组6 集合相等的概念21.已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，G＝{x|x≥1}，则()A.P＝FB.Q＝EC.E＝FD.Q＝G【答案】D【解析】∵P＝{y＝x2＋1}是单元素集，集合中的元素是y＝x2＋1，Q＝{y|y＝x2＋1≥1}＝{y|y≥1}，E＝{x|y＝x2＋1}＝R，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，集合中的元素是点坐标，G＝{x|x≥1}.∴Q＝G.故选D.22.设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系：①A∩C＝空集；②A＝C；③A＝B；④B＝C，其中不正确的共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】集合A是数集，它是二次函数y＝x2－4的自变量组成的集合，即A＝R，集合B也是数集，它是二次函数y＝x2－4的值域，即B＝{y|y≥－4}；而集合C是点集，是二次函数图象上所有点组成的集合.因此②③④都不正确.故选C.23.已知集合M＝{a,2,3＋a}，集合N＝{3,2，a2}.若集合M＝N.则a等于()A. 1B. 3C. 0D. 0或1【答案】C【解析】由M＝N得①或②解①得a∈∅，解②得a＝0，此时M＝{0,2,3}，N＝{0,2,3}，满足M＝N.故选C.24.含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2 009＋b2 009的值为()A. 0B. －1C. 1D. ±1【答案】B【解析】根据题意，对于{a，，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，，1}＝{a2，a＋b,0}，则有a＝0或＝0；又由a≠0，故b＝0；代入集合中.可得{a,1,0}＝{a2，a,0}，必有a2＝1，又由a≠1，则a＝－1；则a2 009＋b2 009＝－1，选B.题组7 空集的性质及运算25.下面四个集合中，表示空集的是()A. {0}B. {x|x2＋1＝0，x∈R}C. {x|x2－1＞0，x∈R}D. {(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}【答案】B【解析】∵方程x2＋1＝0无实数解，∴{x|x2＋1＝0，x∈R}表示空集.故选B.26.在以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，写法正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】②③正确.27.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0化为－3x＋2＝0，解集非空；当a≠0时，要使A是空集，则Δ＝(－3)2－8a＜0，解得a＞.∴使A是空集的a的取值范围是(，＋∞).(2)当a＝0，集合A中有一个元素；当a≠0时，若A中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a＞0，解得a＜.综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是a＝0或a≥.。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习2 集合间的基本关系(解析版)
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题2 集合间的基本关系题型一 判断集合的子集（真子集）个数1．设全集{}2250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】D【解析】由不等式2250x x -≤，解得502x ≤≤，即{}{}2250,0,1,2Q x x x x N =-≤∈=又由P Q ⊆，可得满足条件的集合P 的个数为328=． 故选：D2．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅ 【答案】B【解析】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B3．非空集合P 满足下列两个条件：（1）P ⊊{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，则集合P 个数是__． 【答案】6【解析】根据条件：若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，将集合{1，2，3，4，5}的元素分成三组：3、1和5、2和4． 因为P ⊊{1，2，3，4，5}， 当P 中元素只有一个时，P ＝{3}；当P 中元素只有二个时，P ＝{1，5}或{2，4}； 当P 中元素只有三个时，P ＝{3，1，5}或{3，2，4}； 当P 中元素只有四个时，P ＝{2，4，1，5}；当P 中元素有五个时，P ＝{3，2，4，1，5}不满足题意； 综上所述得：则集合P 个数是：6． 故答案为：6．4．定义集合运算：{}|,,⊗==-∈∈A B z z x y x A y B ，若集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊗的真子集的个数为_____．【答案】7【解析】由题知：{}3,2,1⊗=---A B 所以集合A B ⊗的真子集个数为3217-=. 故答案为：7题型二 判断两个集合的包含关系及参数问题 1．已知集合2|10Ax x ，则下列式子表示正确的有（ ）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】因为2{|10}A x x =-=，{1A ∴=-，1}， 对于①，1A ∈显然正确；对于②，{1}A -∈，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对； 对于③，A ∅⊆，根据空集是任何集合的子集知正确； 对于④，{1，1}A -⊆．根据子集的定义知正确． 故选：C ．2．已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{}3C ．{1,1}-D ．{3,3} 【答案】C【解析】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±， 所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ＜2B ．1≤a ≤2C．1＜a ＜3D ．1≤a ≤3 【答案】B【解析】∵A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ， ∴a ＞0，则B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得1≤a ≤2， 故选：B.4．已知集合{}25A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____. 【答案】3m ≤【解析】依题意得：当B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.5．写出下列每组中集合之间的关系： （1）A ={x |-3≤x <5}，B ={x |-1<x <2}．（2）A ={x |x =2n -1，n ∈N *}，B ={x |x =2n +1，n ∈N *}．（3）A ={x |x 是平行四边形}，B ={x |x 是菱形}，C ={x |x 是四边形}，D ={x |x 是正方形}． （4）A ={x |-1≤x <3，x ∈Z }，B ={x |x =y ，y ∈A }． 【答案】（1）BA ；（2）BA ；（3）DB AC ；（4）B A ．【解析】（1）将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA ；（2）当n ∈N *时，由x =2n -1知x =1，3，5，7，9，…． 由x =2n +1知x =3，5，7，9，…．故A ={1，3，5，7，9，…}，B ={3，5，7，9，…}，因此B A ；（3）由图形的特点可画出Venn 图，如图所示，从而可得DB AC ；（4）依题意可得：A ={-1，0，1，2}，B ={0，1，2}，所以B A ．6．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B xm x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<；（2）2m ≤-；（3）0m ≥． 【解析】（1）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x ⋃=-<<；（2）由A B ⊆知122113m m m m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(],2-∞-；（3）由A B =∅得①若21m m ，即13m ≥时，B =∅符合题意；②若21mm ，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩． 得103m ≤<或m ∈∅，即103m ≤<． 综上知0m ≥题型三 两个集合相等求参数1．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】B【解析】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩，当1a =时，不满足集合元素的互异性， 故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.2．设a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=__________．【答案】2【解析】{}1,,0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，由于b a-有意义，则0a ≠，则有0a b +=，所以，1b a-=-.根据题意有10b a b ba a ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，因此，()112b a -=--=.故答案为2.3．已知{}2,,2,4,59∈=-+a x R A x x ，{}23,B x ax a =++，{}2(1)3,1C x a x =++-.求：（1）使2B ∈，BA 的 ,a x 的值；（2）使B C =的 ,a x 的值.【答案】（1）2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）1x =-，6=-a 或=3x ，2a =- 【解析】（1）因为2B ∈，所以22++=x ax a 又因为BA ，所以259=3-+x x ，解得2x =或=3x当2x =时，422++=a a ，解得23a =-当=3x 时，932++=a a ，解得74=-a所以，2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）B C =，221(1)33x ax a x a x ⎧++=∴⎨++-=⎩，解得16x a =-⎧⎨=-⎩或32x a =⎧⎨=-⎩所以，1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-.4．由a ，b a，1组成的集合中有3个元素，该集合与由2a ，a+b ，0组成的集合是同一个集合，求20202020a b +的值. 【答案】1【解析】由题意可得集合,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和集合{}2,,0a a b +为相等集合，则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得20110b a a a ba a a ⎧=⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪≠⎪≠⎩联立解得：10a b =-⎧⎨=⎩，所以202020202020(1)01a b +=-+=.5．已知集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，若A B =，求20182019a b +的值．【答案】1【解析】解：因为集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，要使b a有意义，则0a ≠又A B =，由集合相等的充要条件及集合中元素的互异性可得2110a a b a⎧⎪=⎪≠⎨⎪⎪=⎩，即10a b =-⎧⎨=⎩， 即 20182019a b +=20182019(1)01-+=， 故20182019a b +=1.题型四 空集性质及应用1．已知集合{}2|320,A x ax x a =∈-+=∈R R .（1）若集合A 是空集，求a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个集合A 写出来.【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或98a =，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 【解析】解析（1）要使集合A 为空集，则方程2320ax x -+=无实数根， 当0a =时，得23x =不满足题意；则有0980a a ≠⎧⎨∆=-<⎩解得98a >.故a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，方程为320x -+=，解得23x =为一个解满足题意，此时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭； 当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时集合A 中只有一个元素的条件是980a ∆=-=，解得98a =，此时43x =，则得43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.综上可得：0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.2．已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ≥【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x +1=0有且只有一个实根， 当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x =-12， 当a ≠0，此时△=4-4a =0，解得：a =1，此时x =-1， （2）若A 是空集， 则方程ax 2+2x +1=0无解， 此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1. （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥1. 题型五 根据集合相等关系进行计算1．设,R a b ∈，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】D【解析】两个集合相等，则集合中的元素相同，0a ≠ ，所以0a b +=，则1ba=-，那么1b =，和1a =-， 所以2b a -=.故选：D2．已知集合{}13A x =,,，{}21B x =-,. （1）若集合{}14M y =,,，A M =，求x y +的值； （2）是否存在实数x ，使得B A ⊆?若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）19x y +=；（2）不存在实数x ，见解析【解析】（1）由题可知4,3,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以16,3,x y =⎧⎨=⎩所以19x y +=.（2）假设存在实数x 使得B A ⊆， 则23x -=或2x x -=.若23x -=，则1x =-，此时x 没有意义，舍去.若2x x -=，则()()222x x -=，化简得2540x x -+=，解得1x =或4x =（舍），当1x =时，不符合集合中元素的互异性，舍去. 故不存在实数x ，使得B A ⊆. 3．已知关于x 的方程322126x x a x -+-=-与2136x a x a+--=有相同的解集，求a 的值及方程的解集.【答案】1a =，方程的解集为{1} 【解析】解：方程322126x x a x -+-=-化为63(32)62x x x a --=--， 整理，得13152x a =-，解得15213ax -=. 方程2136x a x a+--=化为2(2)()6x a x a +--=, 整理，得336x a =-+，解得2x a =-+.11 / 11 由题意，得152213a a -=-+，解得1a =，所以1x =. 综上，1a =，方程的解集为{1}.4．已知关于x 的方程442313a x x ++=-的解集为A ，关于x 的方程340x a --=的解集为B ，若A B =，求a 的值. 【答案】1a =-【解析】解：由方程442313a x x ++=-，解得4413a x +=+，即4413a A +⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 由方程340x a --=，解得43a x +=，即43a B +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 又A B =，所以444133a a +++=，解得1a =-. 5．若{0,1,2}{1,||,1}a a a a -=--+，求a 的值.【答案】1a =或1a =-.【解析】由题意知，()1当10a -=时，1a =，此时{0,1,2}{0,1,2}-=-符合题意； ()2当11a -=-时，0a =，此时{0,1,0}-不符合集合中元素的互异性，（舍去）； ()3当12a a -=时，1a =-，此时{0,1,2}{2,1,0}--=--，符合题意； 综上可知，1a =或1a =-.。
集合之间的关系含答案
集合之间的关系 课堂例题例1.设,,A B C 是三个集合,若A B ⊆且B C ⊆,试证A C ⊆.例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由.1∅ {|23}x x -<<-;2{|5}x x > {|6}x x >；3{|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}；4{|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z +=∈.例3.求出所有符合条件的集合C1{1,2,3}C ⊆;2{,}C a b ;3{1,2,3}{1,2,3,4,5}C ⊆. 选用例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之..集合之间的关系知识再现1.对于两个集合A 与B ,1如果 ,那么集合A 叫做集合B 的子集,记作________或________,读作 或者_________________；2如果A 是B 的子集并且___________________________________,那么集合A 与集合B 相等,记作 ；3如果A 是B 的子集并且___________________________________,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作____________或______________.2.空集∅是__________________的子集；空集∅是__________________的真子集.基础训练1.1下列写法正确的是A {0}∅B 0∅C {0}∅∈D 0∈∅2下列四个关于空集的命题中：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ⊂∅≠,则.A ≠∅ 其中正确的个数是A0 B1 C2 D32.用恰当的符号填空,,=⊆⊇1{1,3,5} {5,1,3}; 2{|(3)(2)0}x x x -+= 3{|0}3x x x -=+; 3{|2}x x > {|2}x x ≥; 4{|,}2n x x n Z =∈ 1{|,}2x x n n Z =+∈. 3.1已知2{,}{2,2}x y x x =,则x = ,y = .22{1,3,}{1,}x x ⊇,则实数x ∈ . 4.指出下列各集合之间的关系,并用文氏图表示：{|A x x =是平行四边形},{|B x x =是菱形},{|C x x =是矩形},{|D x x =是正方形}5.类比“⊆”、“⊂≠”的定义,请给出符号“⊆”的定义：如果 ,则称集合A 不是集合B 的子集,用符号“A B ⊆”表示,读作“A 不包含于B ”.6.已知集合M 满足{0,1,2,3,4}M ⊆且{0,2,4,8}M ⊆,写出所有符合条件的集合M .7.已知2{1},{|30}A B x x x a ==-+=,①若A B ,求实数a 的值;②是否存在实数a 使得A B =巩固提高8.已知2{0,,}{,,1}b a a b a a+=,求实数,a b . 9.已知集合2{|60}M x x x =+-=,关于y 的方程20ay +=的解集为N ,且N M ⊆,求实数a 的值.选做10. 已知集合1{|,},6P p p n n Z ==+∈ 11{|,},{|,}2326m s Q q q m Z R r r s Z ==-∈==+∈, 判断集合,,P Q R 之间的关系并证明. 温故知新11.用列举法表示“mathematics ”中字母构成的集合;用描述法表示集合{2,2,6,10,14,18,}-.课堂例题答案例1.证：任取x A ∈,因为A B ⊆,所以x B ∈,因为x B ∈且B C ⊆,所以x C ∈,因此A C ⊆ 证毕.例2.,,,=⊇⊆⊆例3.1,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}∅2,{},{}a b ∅3{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,4,5}知识再现答案1.1若集合A 中的任意元素都属于集合B ,,A B B A ⊆⊆,A 包含于B ,B 包含于A2B 是A 的子集,A B =3B 中至少有一个集合不属于A ,AB B A ，2.任何集合；任何非空集合.习题答案1.,A B2.,,,=⊇⊆⊇3.11,12；2{ 4.,D C A D B A 5.集合A 中至少有一个元素不属于集合B6.,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4}∅7.2a =,不存在8.1,0a b =-= 9.2{0,1,}3a ∈-10.P Q R =证明： 613231{|,},{|,},{|,}666n m s P p p n Z Q q q m Z R r r s Z +-+==∈==∈==∈ 任取x P ∈,613(21)266n n x ++-==,所以x Q ∈,因此P Q ⊆；任取x Q ∈,323(1)166m m x --+==,所以x R ∈,因此Q R ⊆； 任取x R ∈,313(1)266s s x ++-==,所以x Q ∈,因此R Q ⊆； 因此P Q R ⊆=在集合Q 中取2m =得23q =,因此23Q ∈,但是26136n +=无整数解,所以23P ∉ 因此P Q R = 证毕 11.{,,,,,,,},{|22,}m a t h e i c s x x k k N =-+∈。
(完整版)集合间的基本关系试题(含答案),推荐文档
一、选择题1．对于集合A ，B ，“A ⊆B ”不成立的含义是( )A ．B 是A 的子集B ．A 中的元素都不是B 的元素C ．A 中至少有一个元素不属于BD ．B 中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A ⊆B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C.2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( )A ．P MB ．M PC ．M ＝PD ．M P [答案] C[解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0∴x 与y 同为负数∴⎩⎨⎧ x ＋y <0xy >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <0y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ⊆C ，B ⊆C ，则集合C 中元素最少有( )A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个[答案] C[解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}，∵A ⊆C ，B ⊆C ，∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素．4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]∵B⊆A，∴x2∈A，又x2≠1∴x2＝3或x2＝x，∴x＝±3或x＝0.故选C.5．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是()A．M P B．P MC．M＝P D．M、P互不包含[答案] D[解析]由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，故选D.6．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}；集合A满足A⊆B，A⊆C.则满足条件的集合A的个数是()A．8 B．2C．4 D．1[答案] C[解析]∵A⊆B，A⊆C，∴集合A中的元素只能由a或b构成．∴这样的集合共有22＝4个．即：A＝∅，或A＝{a}，或A＝{b}或A＝{a，b}．7．设集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，则()A．M＝N B．M NC．M N D．M与N的关系不确定[答案] B[解析]解法1：用列举法，令k＝－2，－1,0,1,2…可得M＝{…－34，－14，14，34，54…}，N＝{…0，14，12，34，1…}，∴M N，故选B.解法2：集合M的元素为：x＝k2＋14＝2k＋14(k∈Z)，集合N的元素为：x＝k4＋1 2＝k＋24(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴M N，故选B.[点评]本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k是任意整数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．8．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是()A．16 B．8C．7 D．4[答案] C[解析]因为0≤x<3，x∈N，∴x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集个数为23－1＝7.9．(09·广东文)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()[答案] B[解析]由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}得，N M，选B.10．如果集合A满足{0,2}A⊆{－1,0,1,2}，则这样的集合A个数为() A．5 B．4C．3 D．2[答案] C[解析] 集合A 里必含有元素0和2，且至少含有－1和1中的一个元素，故A ＝{0,2,1}，{0,2，－1}或{0,2,1，－1}．二、填空题11．设A ＝{正方形}，B ＝{平行四边形}，C ＝{四边形}，D ＝{矩形}，E ＝{多边形}，则A 、B 、C 、D 、E 之间的关系是________．[答案] A D B C E[解析] 由各种图形的定义可得．12．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则集合M 与集合P 的关系为________．[答案] M P[解析] P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈N *}∵a ∈N * ∴a －2≥－1，且a －2∈Z ，即a －2∈{－1,0,1,2，…}，而M ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈N *}，∴M P .13．用适当的符号填空．(∈，∉，⊆，⊇，，，＝) a ________{b ，a }；a ________{(a ，b )}；{a ，b ，c }________{a ，b }；{2,4}________{2,3,4}；∅________{a }．[答案] ∈，∉，，， *14.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝a ＋16，a ∈Z ， B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }．则集合A ，B ，C 满足的关系是________(用⊆，，＝，∈，∉，⃘中的符号连接A ，B ，C )．[答案] A B ＝C[解析] 由b 2－13＝c 2＋16得b ＝c ＋1，∴对任意c ∈Z 有b ＝c ＋1∈Z .对任意b ∈Z ，有c ＝b －1∈Z ，∴B ＝C ，又当c ＝2a 时，有c 2＋16＝a ＋16，a ∈Z .∴A C .也可以用列举法观察它们之间的关系．15．(09·北京文)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．[答案] 6[解析] 由题意，要使k 为非“孤立元”，则对k ∈A 有k －1∈A .∴k 最小取2.k －1∈A ，k ∈A ，又A 中共有三个元素，要使另一元素非“孤立元”，则其必为k ＋1.所以这三个元素为相邻的三个数．∴共有6个这样的集合．三、解答题16．已知A ＝{x ∈R |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x ∈R |a ≤x ＜a ＋4}，若AB ，求实数a 的取值范围．[解析] 如图∵A B ，∴a ＋4≤－1或者a ＞5.即a ≤－5或a ＞5.17．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a 4}，∵A ⊇B ，∴－a 4≤－1，即a ≥4，所以a 的取值范围是a ≥4.18．A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，a 、x ∈R ，求：(1)使A ＝{2,3,4}的x 的值；(2)使2∈B ，B A 成立的a 、x 的值；(3)使B ＝C 成立的a 、x 的值．[解析] (1)∵A ＝{2,3,4} ∴x 2－5x ＋9＝3解得x ＝2或3(2)若2∈B ，则x 2＋ax ＋a ＝2又B A ，所以x 2－5x ＋9＝3得x ＝2或3，将x ＝2或3分别代入x 2＋ax ＋a＝2中得a ＝－23或－74(3)若B ＝C ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ＝1①x 2＋(a ＋1)x －3＝3② ①－②得：x ＝a ＋5 代入①解得a ＝－2或－6此时x ＝3或－1.*19.已知集合A ＝{2,4,6,8,9}，B ＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集，若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C .[解析] 由题设条件知C ⊆{0,2,4,6,7}，C ⊆{3,4,5,7,10}，∴C ⊆{4,7}，∵C ≠∅，∴C ＝{4}，{7}或{4,7}．。
新高考数学复习考点知识提升专题训练2---集合间的基本关系
新高考数学复习考点知识提升专题训练（二） 集合间的基本关系(一)基础落实1．下列说法正确的是( ) A ．Q ⊆Z B ．N ∈R C ．N ⊆QD ．Z ⊆N *解析：选C N 表示自然数集，N *表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为Z ⊆Q ，N ⊆R ，N ⊆Q ，N *⊆Z ，所以A 、B 、D 错误，C 正确，故选C.2．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪yx＝1，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝BD ．A ⊆B解析：选B ∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴BA .3．下列集合中，是集合{1,2}的真子集的是( ) A ．{1,2} B ．∅ C ．{∅}D ．{1,2,3}解析：选B 由题意得：集合{1,2}的真子集为∅，{1}，{2}，故选B. 4．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则有( ) A ．∅⊆A B ．－2∈A C ．{0,2}⊆AD ．A ⊆{y |y <3}解析：选ACD 由于空集是任何集合的子集，故A 正确，因为A ＝{0,2}，所以C 、D 正确，B 错误．故选A 、C 、D.5．已知集合M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．6个解析：选D ∵M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，∴M 可能为∅，{4}，{7}，{8}，{4,7}，{7,8}，共6个，故选D.6．集合A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集的个数是________．解析：∵A ＝{x ∈N |1≤x <4}＝{1,2,3}，∴A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集为：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．答案：77．已知∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤148．若集合A ＝{x ∈N |x 2<24}，B ＝{a }，B ⊆A ，则a 的最大值为________． 解析：因为自然数集中只有x ＝0,1,2,3,4满足x 2<24，所以A ＝{x ∈N |x 2<24}＝{0,1,2,3,4}，又因为B ＝{a }⊆A ，所以a ∈{0,1,2,3,4}，a 的最大值为4. 答案：49．写出下列每对集合之间的关系： (1)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5}； (2)C ＝{x |x 2＝1}，D ＝{x ||x |＝1}； (3)E ＝{x |x <3}，F ＝{x |－1<x ≤2}；(4)G ＝{x |x 是对角线相等且互相平分的四边形}，H ＝{x |x 是有一个内角为直角的平行四边形}． 解：(1)因为B 的每个元素都属于A ，而4∈A 且4∉B ，所以B A .(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C＝D.(3)在数轴上表示出集合E和F，如图所示：由图可知F E.(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H.反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G.综上可知，G＝H.10．集合A＝{x|x－4＝0}，集合B＝{x|x2－2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A⊆B，求实数a的值．解：A＝{4}，因为A⊆B，故4∈B，所以16－8(a＋1)＋a2－1＝0，整理得a2－8a＋7＝0，解得a＝1或a＝7.(二)综合应用1．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．{m|m＞3} B．{m|m≥3}C．{m|m＜3} D．{m|m≤3}解析：选B因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.2．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A BD ．A B解析：选D 对于集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }， 当k ＝2m (m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ，m ∈Z }， 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ＋3，m ∈Z }， 又B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，即A B .3．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z 的真子集个数是________． 解析：因为当x ＝－3时，2x ＋1＝－1∈Z ；当x ＝－2时，2x ＋1＝－2∈Z ；当x ＝0时，2x ＋1＝2∈Z ；当x ＝1时，2x ＋1＝1∈Z ，所以满足集合A ＝{－3，－2,0,1}， 真子集个数为24－1＝15. 答案：154．已知集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，若B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}，则所有满足要求的集合A 的各个元素之和为________．解析：∵集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}， ∴集合A 是两个集合的子集，集合B ，C 的公共元素是1,2,3，∴满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24.答案：245．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，存在非空集合C，使C中每个元素加上2就变成了A的一个子集且C中每个元素减去2就变成了B的一个子集，你能确定出集合C的个数是多少吗？解：假设存在满足条件的集合C，则C≠∅，将A中元素都减2，B中元素都加2，则C⊆{0,2,4,6,7}且C⊆{3,4,5,7,10}，由于两个集合的共同元素构成的集合为{4,7}，故非空集合C是{4,7}的子集，即C＝{4,7}或{4}或{7}．故这样的集合有3个．(三)创新发展1．设A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，请写出一个满足B⊆C⊆A的集合C＝________.解析：∵A＝{1,2,3,4}，若B⊆C⊆A，∴C＝{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2}或{1,2,3,4}，答案：{1,2,3}(答案不唯一)2．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B，若存在，求出对应的a的值；若不存在，说明理由．(2)若A⊆B成立，列举出对应的实数对(a，b)构成的集合．解：(1)不存在满足题意的实数a .理由如下： ∵A ＝{a －4，a ＋4}，若对于任意实数b 都有A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝1，方程组均无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)知，若A ⊆B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.∴(a ，b )构成的集合为{(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)}．。
1.1.2集合间的基本关系附答案教师版
1.1.2集合间的基本关系一、单选题1．集合A={x∈N|-1＜x＜4}的真子集个数为（）A．8B．15C．16D．17【答案】B【解析】【解答】由题意，集合={∈U−1<<4}={0,1,2,3}，所以集合的真子集的个数为24−1=15个.故答案为：B.【分析】求得集合={0,1,2,3}，根据集合真子集个数的计算方法，即可求解. 2．设，∈，集合={1,+s V，={0,,V，若=，则−=（）A．2B．−1C．1D．−2【答案】A【解析】【解答】由已知，≠0，故+=0，则=−1，所以=−1,=1.故答案为：A【分析】由已知集合相等=列式，得到=−1,=1，即可求出b-a的值.3．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9【答案】C【解析】【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．【分析】依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．4．若集合={∈b−1<<2}，则A的真子集个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【解答】因为集合={∈b−1<<2}，所有集合={0,1}，所以A的真子集个数为：22−2=3。
故答案为：C【分析】利用集合A的定义求出集合A，再利用真子集的定义，从而求出集合A的真子集的个数。
5．下列各组两个集合A和B表示同一集合的是（）A．={V,={3.141 59}B．={2,3},={(2,3)}C．={1,3,V,={s1,|−3|}D．={U−1<≤1,∈V,={1}【答案】C【解析】【解答】A选项中集合A中的元素为无理数，而B中的元素为有理数，故≠HB选项中集合A中的元素为实数，而B中的元素为有序数对，故≠HD选项中集合A中的元素为0,1，而B中的元素为1，故≠.故答案为:C.【分析】两个集合相等,必须是两个集合的元素完全相同才行,观察各选项中两个集合的元素是不是完全相同得到正确选项.6．已知集合={∈∗|0≤<2}，则集合的子集的个数为（）A．2B．3C．4D．8【答案】A【解析】【解答】={∈∗|0≤<2}={1}，则集合的子集的个数为2.故选：A.【分析】根据已知条件，求出={1}，再根据子集的含义得出答案.7．已知集合P={-1，0，1，2}，Q={-1，0，1}，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】集合P={-1，0，1，2}，Q={-1，0，1}，可知集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P．【分析】根据P和Q中的元素，判断两集合的关系即可.8．下列各组中的两个集合和表示同一集合的是（）A．={V,={3.1415926}B．={0,1},={(0,1)}C．={∈U2=1},={0,1}D．={∈∗|−1<≤1},={1}【答案】D【解析】【解答】A选项，集合中元素为无理数，中元素为有理数，故≠；B选项，集合中元素为实数，中元素为有序数对，故≠；C选项，集合中元素为-1，1，中元素为0，1，故≠.故答案为:D.【分析】两个集合是同一集合必须所有元素完全相同才行.9．已知集合A＝{x∈Z|x2＋x－2＜0}，则集合A的一个真子集为()A．{x|－2＜x＜0}B．{x|0＜x＜2}C．{0}D．{Ø}【答案】C【解析】【解答】解不等式得－2＜x＜1因为x∈Z所以x=-1，0所以集合A的真子集为，{−1}，{0}，{−1，0}故答案为：C【分析】计算出集合A，结合子集的写法，即可得出答案。
集合间的关系练习题及答案
【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集. ()(2)空集是任何一个集合的真子集. ()(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ()(4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ()分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则xA时也必有xB.2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,即a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.真子集:、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.3.(1)下列命题正确的是()A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为()①{1}∈{0,1,2}②{1,-3}={-3,1}③{0,1,2}{1,0,2}④∈{0,1,2}⑤∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是()A.aMB.aMC.{a}∈MD.{a}M分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.①应是{1}{0,1,2},④应是{0,1,2},⑤应是{0}.故错误的有①④⑤.(3)M={x|3<x<4},a=π.因3<a<4,故a是M的一个元素.{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}M.答案：(1)C(2)C(3)D4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.解：(1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的,即A=B. (2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},又x=4n=2·2n,在x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n 中,2n 只能是偶数.故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成,则有BA.点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.5.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足QP,求a 所取的一切值.解：因P={x|x2+x-6=0}={2,-3},当a=0时,Q={x|ax+1=0}=,QP 成立.又当a ≠0时,Q={x|ax+1=0}={a 1-},要QP 成立,则有a 1-=2或a 1-=-3,a=21-或a=31. 综上所述,a=0或a=21-或a=31. 点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q 为空集的情况,而当Q=时,满足QP.6.已知集合A={x ∈R|x2-3x+4=0},B={x ∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使APB,求满足条件的集合P.解：由A={x ∈R|x2-3x+4=0}=,B={x ∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4},由A PB 知集合P 非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P 为{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P 的元素,而做到这点,必须明确A 、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.7.设A={0,1},B={x|xA},则A 与B 应具有何种关系？解：因A={0,1},B={x|xA},故x 为,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B 中一元素.故A ∈B.点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.8.集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},(1)若BA,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.解：(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=满足BA.当m+1≤2m-1即m ≥2时,要使BA 成立,需⎩⎨⎧>+-≥+51,121m m m 可得2≤m ≤3.综上所得实数m 的取值范围m ≤3. (2)当x ∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以,A 的非空真子集个数为2上标8-2=254.(3)∵x ∈R,且A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立. 则①若B ≠即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;②若B ≠,则要满足条件有:⎩⎨⎧>+-≤+51,121m m m 或⎩⎨⎧-<--≤+212,121m m m 解之,得m>4. 综上有m<2或m>4.点评：此问题解决要注意：不应忽略;找A 中的元素;分类讨论思想的运用.。
集合间的基本关系(经典练习及答案详解)
集合间的基本关系1．(2020年福建高一期中)现有四个判断：2⊆{1,2}；∅∈{0}；{ 5 }⊆Q ；∅{0}．其中正确的个数是( )A ．2B ．1C ．4D ．3 【答案】B 【解析】元素与集合之间不能用包含关系，故2⊆{1,2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈”，故∅∈{0}错误；因为 5 ∉Q ，所以{5}⊆Q 错误；空集是任何非空集合的真子集，故∅{0}正确．故选B ．2．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅【答案】B 【解析】因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤3，a ＋2≥5.所以3≤a ≤4. 3．(2021年北京期末)下列正确表示集合M ＝{x |x 2－x ＝0}和N ＝{－1,0,1}关系的Venn 图是( )A BC D 【答案】D 【解析】由x 2－x ＝0，解得x ＝0或1，所以M N .故选D ．4．(2020年铜仁高一期中)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ，则集合B 的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】D 【解析】根据题意，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ＝{－1,0,1,4}，有4个元素，其子集有24＝16个．故选D ．5．(2021年昆明期中)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,2,4}；②{0,2,4}⊆{4,2,0}；③∅⊆{0,2,4}；④∅＝{0}；⑤{0,2}＝{(0,2)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,2,4}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,2}是含有两个元素0与2的集合，而{(0,2)}是以有序数组(0,2)为元素的单元素集合，所以{0,2}与{(0,2)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③正确．6．用符号“∈”或“⊆”填空：若A＝{2,4,6}，则4______A，{2,6}______A．【答案】∈⊆【解析】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A，因为2∈A,6∈A，所以{2,6}⊆A．故答案为∈，⊆.7．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．【答案】6【解析】集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．【答案】m≥3【解析】将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.9．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求a的值．解：因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2.B级——能力提升练10．(多选)图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则()A．A为小说B．B为文学作品C ．C 为散文D ．D 为叙事散文【答案】AB 【解析】由Venn 图可得A B ，C D B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．11．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ＝BC ．A BD ．A B【答案】D 【解析】对于x ＝3k (k ∈Z )，当k ＝2m (m ∈Z )时，x ＝6m (m ∈Z )；当k ＝2m －1(m ∈Z )时，x ＝6m －3(m ∈Z )．由此可知A B ．12．(2020年太原高一期中)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，若A ⊆B ，则a －b ＝( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ．0【答案】C 【解析】因为集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，且A ⊆B ，易知a ≠0且b ≠0.当 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝－b 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝2；当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－b 2，b ＝a 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝－2.综上所求，a －b ＝2或－2.故选C ．13．(2020年宁波高一期中)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |y ＝12x ＋3∈Z ，则列举法表示集合A ＝________，集合A 的真子集有________个．【答案】{0,1,3,9} 15 【解析】因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ y ＝12x ＋3∈Z ，所以列举法表示集合A ＝{0,1,3,9}，集合A 的真子集有24－1＝15个．故答案为{0,1,3,9},15.14．(2020年安康高一期中)定义集合运算：A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊗B 的真子集的个数为________．【答案】7 【解析】因为A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，所以集合A ⊗B ＝{2,3,4}，所以集合A ⊗B 的真子集的个数为23－1＝7.15．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若A B ，由图可知a >2.故a 的取值范围为{a |a >2}．(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.故a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．C 级——探究创新练16．已知集合P ＝{x |x 2－3x ＋b ＝0}，Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}．(1)若b ＝4，是否存在集合M 使得PM ⊆Q ？若存在，求出所有符合题意的集合M ，若不存在，请说明理由；(2)P 能否成为Q 的一个子集？若能，求出b 的值或取值范围，若不能，请说明理由． 解：(1)因为集合Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{x |(x ＋1)(x ＋4)(x －1)＝0}＝{－1,1，－4}， 当b ＝4时，集合P ＝∅，再由 P M ⊆Q 可得，M 是Q 的非空子集，共有 23－1＝7 个，分别为{－1}，{1}，{－4}，{－1,1}，{－1,4}，{1,4}，{－1，1，－4}．(2)因为P ⊆Q ，对于方程x 2－3x ＋b ＝0，当P ＝∅，Δ＝9－4b ＜0时，有b ＞94. 当P ≠∅，Δ＝9－4b ≥0时，方程x 2－3x ＋b ＝0有实数根，且实数根是－1,1，－4中的数， 若－1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－4，此时P ＝{－1,4}，不满足P ⊆Q ，故舍去；若1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝2，此时P ＝{1,2}，不满足P ⊆Q ，故舍去； 若－4是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－28，此时P ＝{－4,7}，不满足P ⊆Q ，故舍去．综上可得，实数b 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ⎪⎪b ＞94.。
集合之间的关系例题习题解答(二)
例题3讲解
例题3：已知集合P={x/x＜-1或x＞4} , Q={x/a+1≤x≤2a-1},若Q⊊P，求a的取值。 解： ①当Q=Ø 时，显然有Q⊊P， 此时有a+1＞2a-1 解得：a ＜2. a+1≤ 2a-1 a+1 ≤2a-1 ②当Q≠Ø 时，需 或 2a-1 ＜-1
a+1 ＞4
解得：a ＞3
所以，若Q⊊P，则a的取值是： a ＜2或a ＞3
例题4、含三个实数的集合可表示为｛a，b/a， 1}，也可以表示为｛a2，a+b，0}，则 a2010+b2010的值是？ 解：因为b/a成立，则a不为0，则b/a为0，则b 为0。 若a的平方=a则a=1或a=0(舍) 若a的平方=1 则a=-1或a=1 所以a的集合为{-1 ，1} 所以原式为1
例题5、含有三个实数的集合可表示为{a，ba， 1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2009+b2009 的值为（ ）A．0；B．-1；C．1； D．±1 解：根据题意，对于{a，ba，1}，有a≠1，a≠0； 又有{a，ba，1}={a2，a+b，0}， 则有a=0或ba=0； 又由a≠0；故b=0； 代入集合中．可得{a，1，0}={a2，a，0}， 必有a2=1，又由a≠1，则a=-1； 则a2009+b2009=-1，选B．
例题6、已知集合A={x/x＜-1或x＞2},B={x+k＜ 0},若B⊆A，则实数k的取值范围是（ ）。 解：A={x/x<-1, 或 x>2}, A为两个区间 B={x/ x<-k}， B为一个区间 B⊆A, 则只能是x<-k位于区间x<-1内， 即- k≤-1, 得k≥1
专题02 集合的基本关系(解析版)
提升训练1.2 集合的基本关系一、选择题1．下列关系正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集；正确本题正确选项：2．已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a =（ ） A ．0 B ．0或1 C ．2 D ．0或1或2【答案】B 【解析】由B A ⊆，可知{0,2}B =或{1,2}B =，所以0a =或1.故选：B 3．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 集合．为自然数集，在A 中，，正确；在B 中，，正确； 在C 中，，正确；在D 中，不是的子集，故D 错误． 故选：D ． 4．_____ 横线上可以填入的符号有（ ）A ．只有B ．只有C．与都可以D．与都不可以【答案】C【解析】，或．故选：C．5．已知集合，且，则可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴，即故选：A6．已知集合，则M的非空子集的个数是（）A．15 B．16 C．7 D．8【答案】C【解析】,所以的非空子集为共7个，故选C.7．下列写法正确的是（）A．B．0C．D．【答案】A【解析】是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，集合与集合间是包含关系，集合与元素间是属于符号. 故答案为:A.8．已知集合A={x|x＞l}，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】集合，中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误； 中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确；中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误； 故选：．9．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；对于②，由空集是任何集合的子集知正确；对于③，根据集合间的关系知不正确；对于④，由于集合的元素具有无序性知正确。
集合间的基本关系练习
集合间的基本关系练习引言本文档旨在帮助读者巩固和练集合间的基本关系。
集合是数学中重要的基础概念，理解和掌握集合间的关系对于研究和解决数学问题至关重要。
通过一系列简单的练，读者将有机会深入研究并熟练运用集合间的基本关系。
练1：集合的相等关系题目：在以下集合中，判断哪些集合是相等的。
：在以下集合中，判断哪些集合是相等的。
1. A = {1, 2, 3, 4, 5}2. B = {5, 4, 3, 2, 1}3. C = {1, 2, 3}4. D = {2, 3, 4, 5, 6}解答：：- A和B是相等的，因为它们包含相同的元素。
- A和C不相等，因为它们的元素数量不同。
- A和D不相等，因为它们有不同的元素。
练2：集合的包含关系题目：根据给定的集合关系，判断哪些集合是包含关系。
：根据给定的集合关系，判断哪些集合是包含关系。
1. A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {1, 2, 3}2. C = {a, b, c}，D = {a, b, c, d, e}解答：：- A包含B，因为集合B的所有元素都包含在集合A中。
- C和D没有包含关系，因为它们有不同的元素。
练3：集合的交集和并集关系题目：给定以下集合，求它们的交集和并集。
：给定以下集合，求它们的交集和并集。
1. A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {4, 5, 6, 7}2. C = {a, b, c, d}，D = {c, d, e, f}解答：：- 集合A和B的交集为{4, 5}，并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
- 集合C和D的交集为{c, d}，并集为{a, b, c, d, e, f}。
总结本文档通过练习集合的相等关系、包含关系以及交集和并集关系，帮助读者巩固和练习集合间的基本关系。
通过解答题目，读者能够更好地理解和应用这些概念，为进一步的数学学习奠定基础。
高考数学专项： 集合间的基本关系(讲义)解析版
1.2集合间的基本关系1.子集一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集，记作 A B B A 或.读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”).2.真子集如果集合B A ,但存在元素A x B x 且,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作BA或A B，读作“A 真含于B 或（B 真包含A ）”3.集合相等如果集合A 是集合B 的子集 B A ,且集合B 是集合A 的子集 A B ,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A =B .4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5.集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234n例1．已知集合 |05,A x x 且 N x ，则集合A 的子集的个数为（）A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】D【分析】先求出集合A 中元素的个数，再利用含有n 个元素的集合的子集个数为2n ，即可求出结果.【详解】因为 |05,A x x 且 N 0,1,2,3,4x ，可知，集合A 中含有5个元素，所以集合A 的子集个数为5232 .故选：D.变式1-1．集合 1，3，7的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．3D ．5【答案】B【分析】根据公式，直接求真子集个数.【详解】集合 1,3,7中有3个元素，所以集合的真子集个数为3217 个.故选：B变式1-2．已知集合 0,1,2,3A ，则含有元素0的A 的子集个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A 的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A 的子集有 0， 0,1， 0,2， 0,3， 0,1,2， 0,1,3， 0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A 的子集个数为8.故选：D.变式1-3．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B例2．符合 ,a b A ,,,a b c d 的集合的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由 ,a b A ,,,a b c d ，设 ,A a b B ，B ,c d ，故B 有3个.故选：A.变式2-1．已知集合M 满足 2,31,2,3,4,5M ，那么这样的集合M 的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C.【详解】因为 2,31,2,3,4,5M ，所以集合M 可以为： 2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，故选：C.变式2-2．满足条件 1,2,3,41,2,3,4,5,6M 的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合M 的个数即为{}5,6的子集个数，求解即可.【详解】因为 1,2,3,41,2,3,4,5,6M ，所以集合M 的个数即为{}5,6的子集个数.因为集合{}5,6的子集个数为224 ，所以满足条件的集合M 的个数是4.故选:D.例3．写出集合 3,5,8的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合 3,5,8的所有子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8,3,5,8 ；集合 3,5,8的所有真子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8 .变式3-1．写出下列集合的所有子集：(1) 1；(2) 1,2；(3) 1,2,3．【答案】(1),{1} ；(2),{1},{2},{1,2} ；(3),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}.【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.（1）解：由题得所有子集有,{1} ..（2）解：由题得所有子集有,{1},{2},{1,2}. （3）解：由题得所有子集有,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}. 变式3-2．设集合 N|22A x x ，列出集合A 的子集.【答案】A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 【分析】先由条件确定集合A 的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由 N|22A x x 化简可得 0,1,2A ，所以A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 变式3-3．求集合2{|20}A x x x 的子集和真子集.【答案】子集是 1212 ，，，，，真子集是12 ，，【分析】根据二次方程的解法可得 1,2A ，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合2|201,2A x x x ，集合 12A ，的子集是 1212 ，，，，，共4个；集合 12A ，的真子集是 12 ，，，共3个.例4．已知集合21,21A a a a ，且2A ；(1)求实数a ；(2)写出A 的所有真子集.【答案】(1)3a (2) ，{2} ，{2}【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；（2）根据真子集的定义写出A 的所有真子集即可.【详解】（1）因为2A ，所以12a 或2212a a ，当12a ，即1a 时，2212a a 不满足集合元素的互异性；当2212a a 时，解得1a （不满足集合元素互异性舍去）或3，所以当3a 时12a ，{2,2}A ，综上实数3a .（2）由（1）得{2,2}A ，所以A 的所有真子集为 ，{2} ，{2}.变式4-1．已知集合22,25A a a a ，且3A .（1）求a ；（2）写出集合A 的所有子集.【答案】（1）32a ；（2） ，72， 3 ，7,32.【解析】（1）由3A ，求得1a 或32a ，结合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合7,32A，根据集合子集的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，集合22,25A a a a ，且3A ，可得32a 或2325a a ，解得1a 或32a ，当1a 时，22325a a ，集合A 不满足互异性，所以1a 舍去；当32a 时，经检验，符合题意，故32a .（2）由（1）知集合7,32A，所以集合A 的子集是 ，72， 3 ，7,32.【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.变式4-2．已知集合23,25,0A a a a ，且3A .(1)求实数a 的取值的集合M ；(2)写出（1）中集合M 的所有子集.【答案】(1)31,2M；(2), 1, 3,2 31,2【分析】（1）利用3A 可求出a ，再验证合理性，进一步确定a 值；（2）利用子集的概念作答即可【详解】（1）因为3A ，且23,25,0A a a a ，所以33a 或2253a a ，解得=0a 或1a 或32a ，当=0a 时，2250a a ，集合中出现两个0，故舍去；当1a 时，}4,,{30A ，符合题意；当32a 时，9,3,02A，符合题意；∴实数a 的取值的集合31,2M（2）因为31,2M ，所以集合M 的子集有：, 1, 3,2 31,2例5．已知 ,,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C 求A ．【答案】 2或【分析】,A B A C ，则A B C ∩，可得集合A ．【详解】 1,2,3,5,0,2,4,8B C ，则 2B C ，则 2A 或A ．变式5-1．已知集合M 满足关系 ,,,,,a b M a b c d e ，写出所有的集合M ．【答案】答案见解析【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可【详解】满足条件的集合M 可以是以下集合： ,a b ， ,,a b c ， ,.a b d ， ,,a b e ， ,,,a b c d ，,,,a b c e ， ,,,a b d e ， ,,,,a b c d e ，共8个例6．设22}-}320-20{|{|A x x x B x x ax ，，B A ．(1)写出集合A 的所有子集；(2)若B 为非空集合，求a 的值．【答案】(1) }1212{ ，，，，；(2)3【分析】（1）求解2320x x -即可得{1,2}A ；（2）由B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，分别将元素代入2-20x ax 解出a 即可.【详解】（1）由2320x x -解得1x 或2x ，则{1,2}A ，故集合A 的子集为： 121,2 ，，，；（2）B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，由1x 或2x 代入2-20x ax 可得3a ，故a 的值为3.变式6-1．已知2560A x x x ， 6B x ax ，若B A ，求实数a 所构成的集合C ，并写出C 的所有非空真子集．【答案】答案见解析．【分析】求出集合A ，根据包含关系确定集合B ，再由非空真子集定义写出结论．【详解】由已知{2,3}A ，0a 时，B A ，B 时，{2}B 时，26a ，3a {3} B 时，36a ，2a ，综上{0,2,3}C ，C 的所有非空真子集有{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．变式6-2．已知{|15},{|1},R A x x B x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a ，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．变式6-3．已知2560A x x x ，20B x x px q ，B A ，且B 不是空集，（1）求集合B 的所有可能情况；（2）求p 、q 的值.【答案】（1） 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）1236p q 或21p q 或56p q .【解析】（1）解出集合A ，根据B A 且B 可得出所有可能的集合B ；（2）根据（1）中集合B 所有可能的情况，结合韦达定理可求得p 、q 的值.【详解】（1）25606,1A x x x ∵，B A 且B ，则 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）若 6B ，由韦达定理可得2266p q ，解得1236p q ；若 1B ，由韦达定理可得2211p q，解得21p q ；若 6,1B ，由韦达定理可得 6161p q，解得56p q .综上所述，1236p q 或21p q 或56p q .变式6-4．已知集合 1,2,3A ．(1)若M 是A 的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M ；(2)若 30B x ax ，且B A ，求实数a 的取值集合．【答案】(1) 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；(2)30,1,,32.【分析】（1）根据集合包含关系和3M 可直接得到结果；（2）分别在0a 和0a 两种情况下，根据B A 构造方程可求得结果.（1）M A ∵，3M ， M 可能的集合为： 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；（2）当0a 时，B ，满足B A ；当0a 时，3a B；若B A ，则31a 或32a 或33a ，解得：3a 或32a或1a ；综上所述：实数a 的取值集合为30,1,,32.例7．判断下列每对集合之间的关系：(1) 2,N A x x k k ， 4,N B y y m m ；(2) 1,2,3,4C ，D ={x x 是12的约数}；(3) 32,N E x x x ， 1,2,3,4,5F .【答案】(1)B A(2)C D (3)EF【分析】（1）分析A ，B 集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D ，即得解；（3）列举法表示集合E ，即得解(1)由题意，任取4y m B ，有2(2),2y m m N ，故y A Î且6,6A B ，故B A(2)由于D ={x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12} 故C D(3)由于 32,N E x x x {|5,}{1,2,3,4}x x x N 故EF 变式7-1．指出下列各组集合A 与B 之间的关系：1 1,1A ，Z B ；2 1,0,1A ，210B x x ；3 1,3,5,15A ， B x x 是15的正约数 ；4*N A ，B N ．【答案】 1A B Ü； 2B A Ü； 3A B ； 4A B Ü.【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.【详解】解： 11B ，1B ，但集合B 中的某些元素不属于集合A .所以A B Ü.2由 210B x x ，可求得 1,1B .又由 1,0,1A ，可知B A Ü.3由集合 B x x 是15的正约数 ，可求得 1,3,5,15B ，由于 1,3,5,15A ，则A B .4因为集合A 表示正整数集，集合B 表示自然数集，所以A B Ü.变式7-2．如图，试说明集合A ，B ，C 之间有什么包含关系．【答案】A B C【分析】由图可得答案.【详解】由图可得AB C 故答案为：A B C变式7-3．已知集合 31,A x x m m Z ，集合 32,B x x m m Z ，试证明A B ．【答案】证明见解析【分析】证明A B 且B A ，即得证.【详解】证明：设a A ，则存在1m Z ，使得 1131312a m m ，因为1m Z ，所以11m Z ，因此 1312a m B ，故A B ．设b B ，则存在2m Z ，使得 2232311b m m ，因为2m Z ，所以21m Z ，因此 2311b m A ，故B A ．综上，A B ．变式7-4．指出下列各组中的两个集合A 与B 的关系．（1） 05,N A a a a ， 0123,,,,5,4B ；（2）102,A ，sin 30s90,co B ；（3）{|A x x 是等腰三角形}，{|B x x 是等边三角形}；（4） 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ．【答案】（1）A B ；（2）A B ；（3）B A ；（4）A B ．【分析】（1）求出集合A 与集合B 比较即可求解；（2）求出集合B 与集合A 比较即可求解；（3）根据包含关系的定义即可判断；（4）出集合A 与集合B 中的元素即可求解；【详解】（1）因为 05,N 0,1,2,3,4A a a a ， 0123,,,,5,4B ，所以A B ；（2）因为1,1s ,2in 30cos9002B A ，所以A B ；（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以B 中的元素都在A 中，A 中有元素不在B 中，所以B A ；（4）因为 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ，所以集合A 与集合B 中的元素都是全体奇数，所以A B .变式7-5．已知集合{|,}2k A x x kZ ，{|,}2B x x n n Ζ.(1)分别判断元素2 ，20212与集合A ，B 的关系；(2)判断集合A 与集合B 的关系并说明理由.【答案】(1)2A ，2B ，20212A ，20212B ；(2)B A Ü，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在,Z k n 使2 ，20212属于集合A ，B 即可.（2）法一：由（1）结论，并判断x B 是否有x A ，即知A 与B 的关系；法二：A ={x |x 是2 的整数倍}，B ={x |x 是2的奇数倍}，即知A 与B 的关系；【详解】（1）法一：令22k，得4k Z ，故2A ；令22n ，得52n Z ，故2B .同理，令202122k ，得2021k Z ，故20212A ；令202122n ，得1010n Z ，故20212B .法二：由题意得：{|,}2k A x x kZ ，(21){|,}2n B x x n Ζ又422，故2A ，2B ；20212A ，(210101)2B .（2）法一：由（1）得：2A ，2B ，故A B ；又x B ，00(21)22n x n，由0n Z ，得021k n Z ，故x A ，所以x B ，都有x A ，即B A ，又A B ，所以B A.法二：由题意得{|,}2k A x x kZ ={x |x 是2 的整数倍}，(21){|,}2n B x x n Ζ={x |x 是2的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B 是集合A 的真子集，即B A.例8．已知集合240A x x ax ， 1,4B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【答案】{44aa ∣或5}a 【分析】根据题意分A 和A 讨论，在A 时分集合A 为单元素集和双元素集两种讨论即可.【详解】由题意知A B ∵，若A ，则2440a ，解得44a ，若A ，2160a ，解得4a 或4 ，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，此时{2}A ，不合题意，舍去，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，{2}A ，不合题意，舍去，当0 ，即2160a ，解得4a 或4a <-，则由题意知{1,4}A ，则1,4为方程240x ax 两根，根据韦达定理得145a ，综上所述a 的范围是{44aa ∣或5}a .变式8-1．已知集合 2|260,|20M x x x N x ax ，且N M ，求实数a 的值.【答案】40,,13【分析】根据题意分0a 与0a ，结合N M ，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为N M ，当0a 时，N ，符合题意；当0a 时，2N a，而 23|260,22M x x x ，所以232a 或22a ，解得43a 或1a .所以a 的取值为40,,13变式8-2．已知集合22|10,|20A x x B x x ax b ，若B ，且A B ，求实数,a b 的值．【答案】11a b 或11a b 或01a b 【分析】先求得集合A ，然后根据A B 进行分类讨论，由此求得,a b 的值.【详解】210x -=，解得1x 或=1x ，所以 1,1A ，依题意B ，且A B ，22440,a b a b .①当 1B 时，1(1)21(1)a b ，∴11a b；②当 1B 时，11211a b ，∴11a b；③当 1,1B 时，11211a b ，∴01a b．综合得11a b 或11a b 或01a b ．变式8-3．若集合 2|60A x x x ，{|10}B x mx ，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m 或12m 或0m 【分析】分0m 和0m 两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】2|603,2A x x x ，当0m 时，B A ，当0m 时，1{|10}B x mx m，因为B A ，所以13m 或12m，所以13m 或12，综上所述，13m 或12m 或0m .变式8-4．已知集合 2|560A x x x ，2|50B x x x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】6a 或254a .【分析】由题意，求得 2,3A ，再根据B A ，结合韦达定理分B 和B 两种情况讨论即可求出答案．【详解】由2|560A x x x ，则 2,3A .2|50B x x x a ∵，B 为方程250x x a 的解集.①若B ，则B A ，2B 或 3B 或 2,3B ，当 2B 时250x x a 有两个相等实根，即12122,45x x x x 不合题意，同理3B ，当 2,3B 时，235,236,a 符合题意；②若,B 则Δ2540a ，即254a ，综上所述，实数a 的取值范围为6a 或25.4a变式8-5．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a ，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .变式8-6．已知m 为实数，210A x x m x m ， 10B x mx ．(1)当A B 时，求m 的取值集合；(2)当B A 时，求m 的取值集合.【答案】(1)1(2)0,1 【分析】（1）分1m 、1m 两种情况讨论，求出集合A ，根据A B 可得出关于m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）分1m 、0m 、1m 且0m 三种情况，求出集合A 、B ，根据BA 可得出关于m的等式，即可解得实数m 的值.【详解】（1）解：因为 211x m x m x x m ，所以当1m 时， 1A ，当1m 时， 1,A m ．又A B ，所以1m ，此时 1B ，满足A B ．所以当A B 时，m 的取值集合为 1．（2）解：当1m 时， 1A B ，BA 不成立；当0m 时， 1,0A ，B ，B A 成立；当1m 且0m 时，1B m ， 1,A m ，由B A ，得1 m m，所以1m ．综上，m 的取值集合为 0,1 ．变式8-7．已知集合2320A x x x ，集合 10B x mx .(1)求A ；(2)若B A ，求实数m 的取值集合.【答案】(1)1,2A (2)10,,12【分析】（1）解A 中的一元二次方程即可；（2）分B 和B ，即分0m 和0m 讨论即可.【详解】（1）2320x x ，解得1x 或2，故 1,2A .（2）①当B 时，0m 符合；②当B 即0m 时，则1B m，由B A 可得11m 或2，解得12m 或1综上m 的取值集合为10,,12.变式8-8．设集合2{|320}A x x x ， 2{|10}B x x m x m .(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A 求实数m 的值.【答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2.【详解】（1）解法一：因为 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，又B 中只有一个元素，故1m .解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程 2 10x m x m 有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ，所以m ＝1.（2）由2320x x ，解得=1x 或2x ，由 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.例9．已知集合 22A x x ， 21C x a x a ，若C A ，求a 的取值范围．【分析】分C 和C 两种情况讨论，当C 时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当C 时，21a a ，解得1a ，当C 时，因为C A ，则212212a a a a，解得11a ，综上1a .变式9-1．已知R,{|17},{|23}U A x x B x a x a ，若B A ，求满足条件的a 的取值范围．【答案】,31,2 【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当B 时，满足B A ，此时，有23a a ，解得：3a ；当B 时，要使B A ，只需231237a a a a，解得：12a .所以实数a 的取值范围为 ,31,2 .变式9-2．已知集合24}|A x x｛，{|23}B x a x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】4,3【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.【详解】因为B A ，所以分B 和B 两种情况：①当B 时，则23a a ，解得：1a ，②当B 时，则232234a a a a ，解得：413a ，综上，实数a 的取值范围为4,3．变式9-3．设集合 116,11A x x B x m x m .(1)当x Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B A ，求m 的取值范围.(2)1,4 【分析】（1）由题得 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 即可解决.（2）根据B A 得，1512m m 即可解决.【详解】（1）由题知， 25A x x ，当x Z 时， 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 共8个元素，A 的非空真子集的个数为822254 个；（2）由题知， 116,11A x x B x m x m 显然11m m ，因为B A ，所以1512m m，解得14m ，所以实数m 的取值范围是 1,4 .变式9-4．已知集合 |4228A x k k ， |B x k x k ，(1)若A B ，求实数k 的取值范围；(2)若B A ，求实数k 的取值范围.【答案】(1)4k (2)8k 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为A B ，①当A 时：4228k k ，即3k 符合题意；②当A 时，42282842k k k k k k，34k ，综上所述：4k .（2）因为B A ，①当B 时，A ，4228k k k k ，解得0 3k k，无解，②当B 时，2842k k k k k k 或2842k k k k k k，888k k k 或，，综上所述：8k .变式9-5．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}．(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3](2)[3,4](3)m【分析】（1）根据B ⊆A 分B 或 两种情况进行解答即可；（2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m 的范围；（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m 的范围．（1）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，由B ⊆A 得21512121m m m m或B ，即21512121m m m m或m +1＞2m ﹣1，解得2≤m ≤3或m ＜2，所以实数m 的取值范围是(,3] ；（2）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ⊆B 得62215621m m m m，解得3≤m ≤4，所以实数m 的取值范围是[3，4]；（3）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ＝B 得62215m m ，无解，所以实数m ．变式9-6．设全集U R ，集合 |15A x x ，集合 |212B x a x a ，其中a R ．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围【答案】(1) 2,a ；(2) ,1a ．【分析】（1）根据A B .（2）根据B A ，分B 与B 进行讨论，列出不等式，即可得到结果.（1）因为A B ，所以21121252a a a a a，即a 的取值范围是 2,a ；（2）因为B A ，若B ，则11223a a a ；若B ，则125212111312213a aa a aa a a，综上所述： ,1a ．。
集合间的关系(精炼)(解析版)
1.2 集合间的关系【题组一 集合关系的判断】1．（2020·浙江高一课时练习）下列关系中，正确的个数是（ ）. ①{}00∈；②∅ {0}，；③{}(){}0,10,1⊆；④(){}(){},,a b b a =.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故正确； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故∅ {0}，故正确； 对于③，集合{}0,1中的元素为0，1，集合(){}0,1中的元素为()0,1，故错误；对于④，集合(){},a b 中的元素为(),a b ，集合(){},b a 中的元素为(),b a ，故错误.故选：B2．（2020·浙江高一课时练习）设,x y ∈R ，{(,)|}A x y y x ==，(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是________. 【答案】B A【解析】由集合{(,)|}A x y y x ==可得集合A 中元素代表直线y x =上所有的点，由(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，∵1y x =可化为(0)y x x =≠，可得集合B 中元素代表y x =上除去(0,0)点的两条射线，则可得集合B 是集合A 的真子集，即B A.故答案为：B A. 3．（2020·浙江高一单元测试）已知集合1A={x|x=(21),}9k k Z +∈，41B={x|x=,}99k k Z ±∈，则集合A ，B 之间的关系为________． 【答案】A=B【解析】对于集合A ，k=2n 时，()14141,999n x n n Z =+=+∈ ， 当k=2n -1时，()141421,999n x n n Z =-+=-∈ 即集合A=41,99n x x n Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭ ,由B=41,99k x x k Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭可知A=B ，故填：A=B. 【题组二 （真）子集的个数】1．（2020·湖南天元株洲二中高二月考（文））下列集合中，是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是（ ） A ．{}2,5 B ．()6+∞， C ．()0,5 D ．()1,5【答案】D【解析】(0,5)A =, 真子集就是比A 范围小的集合;故选D2．（2020·湖南雁峰衡阳市八中高一月考）集合{}2x x <的真子集可以是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),2-∞ C ．(]0,2 D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】因为{}2|2x x ∉<，则可排除A,C ；由(){},22x x -∞=<，可排除B ；故选:D.3．（2020·全国高三月考（文））已知集合{|(1)(3)0}A x x x =-+≤，则下列集合中是集合A 的真子集．．．的是（ ）A ．1{|}3x x ≤≤-B ．{|13}x x -≤≤C ．{0,1,2,3}D ．{2,0,1}-【答案】D【解析】因为{|(1)(3)0}{|31}A x x x x x =-+≤=-≤≤，由集合的子集和真子集的概念知选项D 正确.故选：D.4．（2019·全国高三二模（文））集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．7个【答案】B【解析】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ．5．（2020·陕西新城西安中学高三一模（文））已知集合M 满足{}1,2M ⊆ {}1,2,3,4，则集合M 的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由于集合M 满足{}1,2M ⊆ {}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能.故选：B6．（2020·全国高一月考）若集合{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，则满足A M B ⊆⊆的集合M 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】集合{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，则满足A M B ⊆⊆的集合M 有：{}1,2、{}0,1,2、{}1,2,3、{}1,2,4、{}0,1,2,3、{}0,1,2,4、{}1,2,3,4、{}0,1,2,3,4，共8个.故选：D. 【点睛】本题考查集合子集的列举，属于基础题.7．（2019·五华云南师大附中高三月考（文））已知集合41M x x N x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，，则M 的非空子集的个数是（ ） A ．15 B ．16C ．7D ．8【答案】C【解析】{}1,2,3M =,所以M 的非空子集为{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3共7个，故选C.8．（2020·浙江高一课时练习）已知A ⊆{0,1,2,3}，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有（ ） A ．11个 B ．12个C ．15个D ．16个【答案】B【解析】根据题意，分A 中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合A 数目，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，A 中至少有一个奇数，包含两种情况，A 中有1个奇数或2个奇数，若A 中含1个奇数，有C 21×22=8， A 中含2个奇数：C 22×22=4，由分类计数原理可得．共有8+4=12种情况；故选B ． 【题组三 集合相等与空集】1．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．{}3,2M =，{}2,3N =C ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D ．{}1,2M =，(){}1,2N =【答案】B【解析】对于A 选项，点()3,2和点()2,3不是同一个点，则M N ；对于B 选项，集合M 和N 中的元素相同，则MN ；对于C 选项，集合M 为点集，集合N 为数集，则M N ； 对于D 选项，集合M 为数集，集合N 为点集，则M N .故选：B.2．已知集合2{0,1,}=A a ，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于（ ） A ．-1或3 B ．0或-1C ．3D ．-1【答案】C【解析】由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合.故选C.3．已知,a b R R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】∵{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，又0a ≠，00b b a ∴=⇒=，2{,0,1}{,,0}a a a ∴=，211a a =⇒=±当1,0a b ==时，,,1{1,0,1}b a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，不符合集合元素的互异性，故舍去； 当1,0a b =-=时，{1,0,1}{1,1,0}-=-，符合题意.∴201920201a b +=-.故选：B4．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2【答案】A【解析】由题意得()(){}{}|10,1,B x x x a a R a =--=∈=，因为A B =，所以2a =. 故选：A5．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(),2-∞ 【解析】{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，121k k ∴+>-，解得2k <.因此，实数k 的取值范围是(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【题组四 已知集合关系求参数】1．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B. 2．（2020·浙江高一单元测试）若{}2{1,4,},1,A x B x ==且B A ⊆，则x =（ ）． A ．2± B ．2±或0C ．2±或1或0D ．2±或±1或0【答案】B【解析】因为B A ⊆，所以24x =或2x x =，所以2x =±、1或0． 根据集合中元素的互异性得2x =±或0.故选：B3．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）设集合{}{}|32,|2121A x x B x k x k =-≤≤=-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是____________． 【答案】1|12k k ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】：依题意可得13211{{1121222k k k k k ≥--≤-⇒⇒-≤≤+≤≤．4．（2020·天津市第五中学高二期中）已知集合{}2|20,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，1【答案】D【解析】集合A 有且仅有两个子集,即为∅和集合A 本身,故集合A 中的元素只有一个,即方程220ax x a ++=只有一个解,当0a =时, 原方程为20x =,即0x =,符合题意； 当0a ≠时，令22240a ∆=-=,1a ∴=± 综上,1a =-，0a =或1a =可符合题意故选D5．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（文））已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____． 【答案】(],3-∞【解析】根据题意得：当 B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.故答案为：(],3-∞.6．（2020·全国高一）{}223|0 A x x x =--=，{}|1B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合M =______________【答案】11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】∵B A ⊆，{}{}22|1,330 A x x x =--=-=若0a =，则B =∅，满足题意， 当0a ≠，{}1|1B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，，∴11a =-或13a=， ∴1a =-或13a =∴B A ⊆∴综上所述11,0,3M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为：11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.7．（2020·全国高一）若集合A 满足{}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有_______个. 【答案】15 【解析】因为{}12,,1,2,3,4,6,12x y x N y N x **⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭， {}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭， 所以集合A 中含有1,3这两个元素，那么集合A 的个数就相当于集合{}2,4,6,12的真子集个数，即42115-=个.故答案为：158．（2020·浙江高一课时练习）已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =<<=<，是否存在实数a ，使得A B ⊆.若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】存在；0a =或2a ≥或2a ≤-.【解析】∵{}|11B x x =-<<，而集合A 与a 的取值范围有关. ①当0a =时，A =∅，显然A B ⊆.②当0a >时，12A x x a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， ∵A B ⊆，如图1所示，∴11,21,aa⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴2a ≥.③当0a <时，21A xx a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图2所示，∴11,21,aa⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴2a -.综上可知，所求实数a 的取值范围为0a =或2a ≥或2a ≤-.9．（2020·浙江高一单元测试）设集合A {x |a 1x 2a,a R}=-<<∈，不等式2x 2x 80--<的解集为B ．()1当a 0=时，求集合A ，B ；()2当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2. 【解析】（1）当0a =时，{}10A x x =-<<2280x x --< {}24B x x ⇒=-<<（2）若A B ⊆，则有：①当A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-时，符合题意，②当A ≠∅，即21a a >-，即1a >-时，有1224a a -≥-⎧⎨≤⎩ 12a a ≥-⎧⇒⎨≤⎩解得：12a -<≤ 综合①②得：2a ≤10（2020·全国高一课时练习）若关于x 的方程2210x x m +-+=的解集为空集，试判断关于x 的方程2121x mx m ++=的解集情况．【答案】两个不等的实数根【解析】∵方程2210x x m +-+=的解集为空集， ∴此方程的判别式2241(1)0m ∆=-⨯⨯-+<， 解得0m <．而方程2121x mx m ++=的根的判别式2241(121)484m m m m '∆=-⨯⨯-=-+．∵0m <，∴20,480m m >->． ∴24840m m -+>，即0'∆>，∴方程2121++=有两个不等的实数根，x mx m即方程的解集中含有两个元素．。
集合间的基本关系试题(含答案)
集合间的基本关系试题(含答案)1.“A⊆B”不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，因此选C。
2.根据xy>0知x与y同号，又x＋y<0，因此x与y同为负数，等价于M＝P，因此选C。
3.A＝{－1,1}，B＝{0,1,2,3}，A⊆C，B⊆C，因此集合C中必含有A与B的所有元素－1,0,1,2,3，故C中至少有5个元素，因此选C。
4.由于B⊆A，因此x2∈A，又x2≠1，因此x2＝3或x2＝x，因此x＝±3或x＝0，因此满足条件的实数x的个数是3，因此选C。
5.由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，因此选D。
6.由于A⊆B，A⊆C，因此集合A中的元素只能由a或b构成，因此这样的集合共有22＝4个，即A＝∅，或A＝{a}，或A＝{b}或A＝{a，b}，因此选C。
7.M＝{x|x＝2k+4，k∈Z}，N＝{x|x＝4k+2，k∈Z}，因为2k+4=2(k+2)和4k+2=2(2k+1)都是偶数，因此M和N都是偶数的集合，但M和N不相等，因为M中的元素都比N中的元素大2，因此选B。
1b，b∈Z}，则A与B的交集为________．答案]空集或∅解析]A的元素形如x＝a＋6a∈Z，而B的元素形如x＝231b，b∈Z，所以A与B的交集为空集或∅．15．集合A＝{x|2x＋1＜5}，B＝{x|x2－3x＋2≥0}，则A∩B＝________．答案][1,2)解析]2x＋1＜5得x＜2，x2－3x＋2≥0得x≤1或x≥2，故A∩B＝[1,2)．16．集合A＝{x|x2－5x＋6＜0}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩B＝________．答案][1,2)∪(3,＋∞)解析]x2－5x＋6＜0得x∈(2,3)，2x－1≥0得x≥12故A∩B＝[1,2)∪(3,＋∞)．17．集合A＝{x|2x＋1＜5}，B＝{x|x2－3x＋2≥0}，则A∪B＝________．答案](-∞,1]∪[2,+∞)解析]2x＋1＜5得x＜2，x2－3x＋2≥0得x≤1或x≥2，故A∪B＝(-∞,1]∪[2,+∞)．18．集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A×B＝________．答案]{(x，y)|x＜2，y＞1}解析]A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}＝{(x，y)|x＜2，y＞1}．16.已知 $A=\{x\in R|x5\}$，$B=\{x\in R|a\leq x<a+4\}$，求 $A,B$ 的关系并求实数 $a$ 的取值范围。
1.2 集合间的基本关系(原卷版附答案) (2).pdf
非空集合 S {x |1 m„ x„ 1 m} ,所以1 m„ 1 m , 2m… 0 ,所以 m… 0 , 若 S 是 P 的子集,
1 m„ 2 故 1 m…10 ,
m… 0
解得 0 m 3 ．
13．（2019 秋•临汾期末）已知集合 A {a , a 1} , B {2 , y} , C {x |1 x 1 4} ． （1）若 A B ,求 y 的值； （2）若 A C ,求 a 的取值范围． 【分析】（1）若 a 2 ,则 A {1 , 2} ,若 a 1 2 ,则 a 3 , A {2 , 3} ,由此能求出 y 的值． （2）由 C {x |1 x 1 4} {x | 2 x 5} ,集合 A {a , a 1} , A C ,列出不等式组能求出 a 的取值范围． 【解答】解：（1）若 a 2 ,则 A {1 , 2} , y 1． 若 a 1 2 ,则 a 3 , A {2 , 3} , y 3 ．
( )
A． ( ,1]
B． [1 , )
C． ( , 1]
D．[1 , )
3．（2019 秋•龙凤区校级月考）设集合 A {x | ax2 ax 1 0} 若 A 为空集,则实数 a 的取值范围是 ( )
A． (4, 0)
B． (4 , 0]
C．[4 , 0)
D．[4 , 0]
4．（多选）（2019 秋•市中区校级月考）给出下列关系,其中正确的选项是 ( )
5．（2019
秋•桥东区校级月考）已知集合
A
1
,
a
,
2
,
B
{b
,
ba
,
1}
,若
集合关系练习题及答案
集合关系练习题及答案集合关系是数学中的一个重要概念，它涉及到集合之间的包含、相等、子集等关系。
以下是一些集合关系的练习题及答案，供同学们学习和练习。
# 练习题1：判断下列集合之间的关系设集合 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，C = {1, 2, 3, 4}。
1. A 是否是 B 的子集？2. B 是否是 A 的子集？3. C 是否是 A 的子集？4. A 和 B 是否相等？# 答案1：1. A 不是 B 的子集，因为 A 中的元素 1 和 2 不在 B 中。
2. B 不是 A 的子集，因为 B 中的元素 4 和 5 不在 A 中。
3. C 是 A 的子集，因为 A 中的所有元素都在 C 中。
4. A 和 B 不相等，因为它们包含不同的元素。
# 练习题2：求集合的交集和并集设集合 D = {1, 2, 5}，E = {2, 3, 5, 7}。
1. 求 D 和 E 的交集。
2. 求 D 和 E 的并集。
# 答案2：1. D 和 E 的交集是 {2, 5}，因为这两个元素同时出现在 D 和 E 中。
2. D 和 E 的并集是 {1, 2, 3, 5, 7}，包含了 D 和 E 中的所有元素。
# 练习题3：使用韦恩图表示集合关系使用韦恩图表示以下集合的关系：集合 F = {1, 3, 5, 7}，G = {2, 4, 6, 8}，H = {3, 4, 5, 6}。
# 答案3：韦恩图是一种图形化表示集合之间关系的工具。
在这个例子中，F、G和 H 没有共同元素，因此它们的韦恩图将显示三个不相交的集合。
# 练习题4：求集合的补集设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，I = {2, 4, 6, 8}。
1. 求 I 在 U 中的补集。
2. 如果 J = {1, 3, 5, 7, 9}，求 J 在 U 中的补集。
# 答案4：1. I 在 U 中的补集是 {1, 3, 5, 7, 9}，因为这些元素在 U 中但不在 I 中。
第1章 1.1.2 集合间的基本关系(解析版)
第1章 1.1.2 集合间的基本关系一．选择题1．已知集合{|6A x x =<且*}x N ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A 【解析】集合{|6A x x =<且*}{1x N ∈=，2，3，4，5}，故A 的子集个数为5232=，非空真子集个数为30．故选A ．2．集合{|22}A x Z x =∈-<<的子集个数为A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】{|22}{1A x Z x =∈-<<=-，0，1}， ∴集合A 的子集个数为328=个，故选D ．3．已知集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，若A B ⊆，则实数m 的值为A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B 【解析】集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，A B ⊆，0m ∴=， 故实数m 的值为0．故选B ．4．设集合{|21M x x k ==+，}k Z ∈，{|2N x x k ==+，}k Z ∈，则A ．M NB ．M N =C ．N MD ．M N =∅【答案】A 【解析】集合{|21M x x k ==+，}{k Z ∈=奇数}，{|2N x x k ==+，}{k Z ∈=整数}，M N ∴．故选A ．5．设a ，b R ∈，集合{1，a b +，}{0a =，b a ，}b ，则b a -= A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】C 【解析】根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=， 又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-， ∴1b a=-， 1b =；故1a =-，1b =，则2b a -=，故选C ．6．已知集合22{(,)|3A x y x y =+，x N ∈，}y Z ∈，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】x N ∈， 0x ∴=时，1y =-，0，11x =时，1y =-，0，11x >时，不存在实数解x∴共有6种故选D ．7．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈，则集合B 所含元素个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 【解析】集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈， {(1,2)B ∴=，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)}， ∴集合B 所含元素个数为10．故选D ．8．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ∅，则A ≠∅．其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若A ∅，则A ≠∅，故④正确．故选B ．9．已知集合{2A =-，3，1}，集合{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m 的取值集合为A ．{1}B ．C ．{1，1}-D ． 【答案】C【解析】{2A =-，3，1}，{3B =，2}m ， 若B A ⊆，则21m =1m ∴=或1m =-实数m 的取值集合为{1，1}-故选C ．10．满足{1}{1X ⊆⊂，2，3，4，5}的集合X 有A ．15个B ．16个C ．18个D ．31个【答案】A 【解析】根据子集的定义，可得集合X 必定含有1这个元素，可能含有2、3、4、5，但不能是{1，2，3，4，5}．因此，满足条件的集合X 有：42115-=个． 故选A ．二．填空题11．已知集合{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈，则集合B 的子集个数为 ．【答案】16【解析】{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈， {0B ∴=，4，6，9}．所以集合B 中的子集个数为4216=个．故答案为：16．12．已知集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<，若B A ⊆，则m 的取值范围为 ．【答案】(-∞，1]【解析】集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<， 若B A ⊆，则A 集合应含有集合B 的所有元素， 讨论B 集合：（1）当B =∅时，m m -，即：0m ，（2）当B ≠∅时，则由数形结合可知：需B 集合的端点a 满足： ①m m -<，②1m --，③3m ，三个条件同时成立． 解得：01m <综上由（1）（2）可得实数m 的取值范围为：1m 即：(-∞，1]故答案为：(-∞，1]13．设集合{1A =-，}a ，{2B =，}b ，若A B =，则a b += ．【答案】1【解析】根据已知条件得：2a =，1b =-，1a b ∴+=； 故答案为：1．14．设{1M =，2，3，⋯，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素的个数最多是 ．【答案】1870【解析】199515133=⨯．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个， 这些数均符合要求．在所有15的倍数的数中，215的倍数有8个，这些数又可以取出，这样共取出了1870个．即||1870A ．又{k ，15}(9k k =，10，11，⋯，133)中的两个元素不能同时取出， 故||199513381870A -+=．故答案为：1870．15．设集合{|32}A x x =-，{|2121}B x k x k =-+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】112k - 【解析】2121k k -+恒成立，B ∴≠∅， 因为A B ⊇，∴213212k k --⎧⎨+⎩， 解得112k - 故答案为：112k-． 三．解答题16．（1）已知集合2{|310A x ax x =-+=，}a R ∈，若A 中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）集合2{|650}A x x x =-+<，{|3243}C x a x a =-<<-，若C A ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）0a =或94a =；（2）2a【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程2310ax x -+=有且只有一个实根当0a =时方程为一元一次方程，满足条件 当0a ≠，此时△940a =-=，解得：94a =0a ∴=或94a =； （2）2{|650}{|15}A x x x x x =-+<=<<， C A ⊆，当C =∅时，3243a a ->-，解得1a <；当C ≠∅时∴321435a a -⎧⎨-⎩ 解得：2a .17．已知集合2{|40}A x x =-=，集合{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】{1，1-，0}【解析】2402x x -=⇒=±，则{2A =，2}-， 若B A ⊆，则B 可能的情况有B =∅，{2}B =或{2}B =-， 若B =∅，20ax -=无解，此时0a =，若{2}B =，20ax -=的解为2x =，有220a -=，解可得1a =，若{2}B =-，20ax -=的解为2x =-，有220a --=，解可得1a =-，综合可得a 的值为1，1-，0；则实数a 的取值集合为{1，1-，0}．18．已知集合2{|3100}A x x x =--．（Ⅰ）若{|621}B x m x m =--，A B ⊆，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）[3，4]；（Ⅱ）(-∞，3]．【解析】集合2{|3100}{|25}A x x x x x =--=-， （Ⅰ）A B ⊆，∴62215m m --⎧⎨-⎩，解得：34m ，∴实数m的取值范围为：[3，4]；（Ⅱ）B A⊆，①当B=∅时，121m m+>-，即2m<，②当B≠∅时，12112215m mmm+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩，解得：23m，综上所述，实数m的取值范围为：(-∞，3]．。
1 1.2 集合间的基本关系 纯答案
1．2集合间的基本关系答案答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√答案：D解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B.解析：选B.A，D选项各有一个元素，C项中有无穷多个元素，x2＋1＝0无实数解，故选B.解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1，即a＝－2.答案：－2集合间关系的判断【解】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A≠⊂B.(3)正方形是特殊的矩形，故A≠⊂B.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N≠⊂M.1．解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N≠⊂M，其对应的Venn图如选项B所示．2．解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A≠⊂C；(3){2}≠⊂C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)≠⊂(3)≠⊂(4)∈子集、真子集的个数问题【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.(3)由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为：23－2＝6.【答案】 (1)B (2)C (3)B(变条件)解：当C 中含有两个元素时，C 为{2，3}；当C 中含有三个元素时，C 为{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，5}；当C 中含有四个元素时，C 为{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}；当C 中含有五个元素时，C 为{2，3，1，4，5}；所以满足条件的集合C 为{2，3}，{2，3，1}{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}，{2，3，1，4，5}．解析：若A 中含有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A 中含有两个奇数，则A ＝{1，3}．答案：5由集合间的包含关系求参数【解析】 由于B ⊆A ，结合数轴分析可知，m ≤4，又m >1，所以1<m ≤4.【答案】 1<m ≤41．解：若m ≤1，则B ＝∅，满足B ⊆A .若m >1，则由例题解析可知1<m ≤4.综上可知m ≤4.2．解：因为B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m <2.综上得m ≥－1.3．解：因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1，3，1}，B ＝{3，1}满足B ⊆A .所以m 的值为1.已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ≠⊂A ，求m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}．因为B ≠⊂A ，所以B ＝{－3}或B ＝{2}或B ＝∅.当B ＝{－3}时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13. 当B ＝{2}时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12. 当B ＝∅时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．解析：选D.空集有唯一一个子集，就是其本身，故A ，C 错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B 错误；由子集的概念知D 正确．2．解析：选D.集合A 是能被3整除的整数组成的集合，集合B 是能被6整除的整数组成的集合，所以B ≠⊂A .3．解析：选B.依题意a ∈M ，且M ≠⊂{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个)．4．解析：由题意得1－2a ＝3或1－2a ＝a ，解得a ＝－1或a ＝13. 当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，符合条件．当a ＝13时， A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合条件． 所以a 的值为－1或13. 答案：－1或13[A 基础达标]1．解析：选D.由B ⊆A 和集合元素的互异性可知，X 可以取的值为1，2，6.2．解析：选B.根据题意，集合A ＝{x |x 2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：对于①3∈A ，3是集合A 的元素，正确；②{－3}∈A ，{－3}是集合，有{－3}⊆A ，错误；③∅⊆A ，空集是任何集合的子集，正确；④{3，－3}⊆A ，任何集合都是其本身的子集，正确；共有3个正确．3．解析：选C.方程x 2－3x －a 2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a 2>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M 有2个元素，所以集合M 有22＝4个子集．4．解析：选C.因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以M ≠⊂N .故选C.5．解析：选D.由题意，当Q 为空集时，a ＝0，符合题意；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，得a ＝1或a ＝－1.所以a 的值为0，1或－1.6．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P7．解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a ≤14. 答案：a ≤148．解析：集合A ，B 在数轴上表示如图，由A ≠⊂B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．答案：a ≤－19．解：(1)用列举法表示集合B ＝{1}，故B ≠⊂A .(2)因为Q 中n ∈Z ，所以n －1∈Z ，Q 与P 都表示偶数集，所以P ＝Q .(3)因为A ＝{x |x －3>2}＝{x |x >5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥52， 所以利用数轴判断A ，B 的关系．如图所示，A ≠⊂B .(4)因为A ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，所以A ＝B .10．解：(1)若a ＝2，则A ＝{1，2}，所以y ＝1.若a －1＝2，则a ＝3，A ＝{2，3}，所以y ＝3，综上，y 的值为1或3.(2)因为C ＝{x |2<x <5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2<a <5，2<a －1<5.所以3<a <5. [B 能力提升]11．解析：选D.因为x ⊆A ，所以B ＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A ＝{0，1}是集合B 中的元素，所以A ∈B ，故选D.12．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围．解：集合A 在数轴上表示如图．要使A ⊇B ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素，即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m 4≤－2， 即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8.13．解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3.综上可知，当m ≤3时，B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ∈R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立， 所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1＜－2， 解得m ＞4.综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立．[C 拓展探究]14．解：由题意知C ⊆{0，2，4，6，7}，C ⊆{3，4，5，7，10}，所以C ⊆{4，7}．又因为C ≠∅，所以C ＝{4}，{7}或{4，7}．答案：{4}，{7}或{4，7}。
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例题1讲解
例题1：求集合A={a,b,c}的所有子集和真子集。 解：A的子集有：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、 {b,c}、{a,b,c} A的真子集有： Ø 、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、 {b,c} 结论：集合A中的元素的个数为n，则它的子 集的个数为2n个，真子集的个数为2n-1个， 非空真子集的个数为2n-2个。
例题6、已知集合A={x/x＜-1或x＞2},B={x+k＜ 0},若B⊆A，则实数k的取值范围是（ ）。 解：A={x/x<-1, 或 x>2}, A为两个区间 B={x/ x<-k}， B为一个区间 B⊆A, 则只能是x<-k位于区间x<-1内， 即- k≤-1, 得k≥1
当堂练习：学案P13/4 作业：学案P14/A组
集合之间的关系（二）
例题讲解及练习
知 识 点
◆设集合A中的元素的个数为n，则它的子集的个数 为2n个，真子集的个数为2n-1个，非空真子集的个 数为2n-2个。 ◆集合与元素之间的关系：“∈属于”、“∉不属于”。 ◆集合与集合之间的关系：“⊇包含”、“包含于⊆”、 “⊋真包含”、“⊊真包含于”、“ ⊄不包含”。
例题2讲解
例题2：满足条件{1，2，3}⊊M⊆{1,2,3，4,5,6} 的集合M的个数是多少？ 解法一：列出满足条件的集合{1,2,3,4}、 {1,2,3,5}、{1,2,3,6}、{1,2,3,4,5}、 {1,2,3,4,6}、{1,2，3，5,6}、{1,2,3,4,5,6} 所有满足条件的M有7个。 解法二：分析题意可知集合M中一定有元素1,2,3， 很定含有元素4,5,6中的一个或两个或三个。 要求M的个数，实际是求集合{4,5,6}的非空子 集，即23-1=7.
例题5、含有三个实数的集合可表示为{a，ba， 1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2009+b2009 的，对于{a，ba，1}，有a≠1，a≠0； 又有{a，ba，1}={a2，a+b，0}， 则有a=0或ba=0； 又由a≠0；故b=0； 代入集合中．可得{a，1，0}={a2，a，0}， 必有a2=1，又由a≠1，则a=-1； 则a2009+b2009=-1，选B．
所以，若Q⊊P，则a的取值是： a ＜2或a ＞3
例题4、含三个实数的集合可表示为｛a，b/a， 1}，也可以表示为｛a2，a+b，0}，则 a2010+b2010的值是？ 解：因为b/a成立，则a不为0，则b/a为0，则b 为0。 若a的平方=a则a=1或a=0(舍) 若a的平方=1 则a=-1或a=1 所以a的集合为{-1 ，1} 所以原式为1
例题3讲解
例题3：已知集合P={x/x＜-1或x＞4} , Q={x/a+1≤x≤2a-1},若Q⊊P，求a的取值。 解： ①当Q=Ø 时，显然有Q⊊P， 此时有a+1＞2a-1 解得：a ＜2. a+1≤ 2a-1 a+1 ≤2a-1 ②当Q≠Ø 时，需 或 2a-1 ＜-1
a+1 ＞4
解得：a ＞3