第十章 统计与概率10-1第一节 随机抽样

3．(理)计数原理
考查重点是：
①两个基本原理的应用
②有限制条件的排列、组合应用问题
③二项式定理及其应用．
从题型上看，主要以选择、填空题形式出现， 题小而灵活，其涉及的思想与方法有较高的 区分度．对二项式定理的考查，仍会集中在 用通项公式求特定项或与系数有关的问题


4．(理)离散型随机变量及其概率分布是高 考的重点必考内容，一般都要考一个大题． 以离散型随机变量的分布列、期望与方差、 几何分布、二项分布、正态分布、独立重复 试验为主，考查基本概念及有关概率的计 算．命题形式三种题型都可能考查，大题会 与其它章节结合，考查综合应用所学知识分 析、解决问题能力．


[例1] 某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额．采取如下 方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如 15号，然后按序往后将65号，115号，165 号，„，发票上的销售额组成一个调查样 本．这种抽取样本的方法是( ) A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．其它方式的抽 样


●课程标准
一、统计
1．随机抽样
(1)能从现实生活或其它学科中提出具有一
定价值的统计问题．

(2)结合具体的实际问题情境，理解随机抽
样的必要性和重要性．

(3)在参与解决统计问题的过程中，学会用
简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过



2．用样本估计总体 (1)通过实例体会分布的意义和作用，在表 示样本数据的过程中，学会列频率分布表、 画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图， 体会它们各自的特点． (2)通过实例理解样本数据标准差的意义和 作用，学会计算数据标准差． (3)能根据实际问题的需求合理地选取样本， 从样本数据中提取基本的数字特征(如平均 数、标准差)，并作出合理的解释．


(3)常用的简单随机抽样方法 ①抽签法 先将总体中的所有N个个体编号，并把号码 写在形状、大小相同的号签上，然后将这些 号签放在同一个容器里，搅拌均匀．抽签时， 每次从中抽出1个号签，连续抽取n次，就得 到一个容量为n的样本． 抽签法的优点是简单易行．缺点是当总体的 容量非常大时，费时、费力又不方便．况且， 如果号签搅拌得不均匀，可能导致抽样的不 公平．

第三步：获取样本号码．随机确定一个读数 方向，读数的方向可以向右，也可以向左、 向上、向下等，重复的号码跳过．



4．系统抽样 (1)定义：当总体元素个数很大时，可将总 体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定 的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需 要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，也 称作等距抽样． (2)系统抽样的步骤： ①编号．采用随机的方式将总体中的个体编 号．


3．变量的相关性 (1)通过收集现实问题中两个有关联变量的 数据作出散点图，并利用散点图直观认识变 量间的相关关系． (2)经历用不同估算方法描述两个变量线性 相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回 归方程．



4．统计案例 通过典型案例，学习下列一些常见的统计方 法，并能初步应用这些方法解决一些实际问 题． (1)通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关 吗？”等)的探究，了解独立性检验(只要求 2×2列联表)的基本思想、方法及初步应 用． (2)通过对典型案例(如“质量控制”“新药 是否有效”等)的探究，了解实际推断原理 和假设检验的基本思想、方法及初步应用．


2．概率这一部分复习时，古典概型要把试 验的等可能基本事件和某事件所含的基本事 件，互斥事件、对立事件、事件的运算等基 本概念作为重点，几何概型要把构造基本事 件所在的线、面、体作为重点，恰当选取典 型例习题作为载体巩固掌握基础知识和基本 方法． 3．(理)注意排列、组合、二项式定理内容 的特殊性和思维方式的独特性，狠抓两个基 本原理，合理建立数学模型，恰当进行转化， 及时归纳总结．


解析：上述抽样方法是将发票平均分成若干 组，每组50张．从第一组中抽出了15号，以 后各组抽15＋50n(n为自然数)号．符合系统 抽样的特点．故选C. 答案：C




四、随机变量及其分布(理) (1)在对具体问题的分析中，理解取有限值 的离散型随机变量及其分布列的概念，认识 分布列对于刻画随机现象的重要性． (2)通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布 及其导出过程，并能进行简单的应用． (3)在具体情境中，了解条件概率和两个事 件相互独立的概念，理解n次独立重复试验 的模型及二项分布，并能解决一些简单的实 际问题．



(2)分层抽样的步骤 ①分层； ②按比例确定每层抽取个体的个数； ③各层抽样(方法可以不同)； ④汇合成样本． (3)分层抽样的优点 分层抽样充分利用了己知信息，充分考虑了 保持样本结构与总体结构的一致性．使样本 具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可 以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此 分层抽样在实践中有着非常广泛的应用．
N ②分段．先确定分段的间隔k.当 (N为总体中的个体 n N N 数，n为样本容量)是整数时，k＝ ；当 不是整数时，通 n n 过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数 N′ N′能被n整除，这时k＝ . n

③确定起始个体编号．在第1段用简单随机 抽样确定起始的个体编号S.

④按照事先确定的规则抽取样本．通常是将 S加上间隔k，得到第2个个体编号S＋k，再 将(S＋k)加上k，得到第3个个体编号S＋2k， 这样继续下去，获得容量为n的样本．其样 本编号依次是：S，S＋k，S＋2k，„，S ＋(n－1)k.

3．简单随机抽样
百度文库

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中不
放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每
次抽取时，总体内的各个个体被抽到的机会
都相等，称这种抽样方法为简单随机抽样．

(2)简单随机抽样的特点如下：
①它要求被抽取样本的总体中个体数有限．
②它是从总体中逐个地进行抽取．
③它是一种不放回抽样．


2．概率在高考中所占比重不大，但属必考 内容．题型主要是选择与填空题，具有一定 灵活性、机敏性和综合性．应用性强，试题 常以现实生活、社会热点等为载体着重考查 等可能事件、互斥事件、对立事件及事件间 的关系． 概率一般不单独命制大题，若在大题中考查， 常与随机抽样，样本的数字特征，数列，解 析几何，函数、方程与不等式，线性规划等 知识结合．只要依据其它知识列出等可能事 件，其概率即得，难度不大．

(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加
法公式．

(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算
公式，会用列举法计算一些随机事件所含的
基本事件数及事件发生的概率．

三、计数原理(理)
1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步 乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选 择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解 决一些简单的实际问题． 2．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用 计数原理推导排列数公式、组合数公式，并 能解决简单的实际问题．


●备考指南 1．统计知识的复习，重点应放在理清基本 概念、方法．特别是分层抽样、频率分布直 方图与样本平均数、样本方差的基础知识一 定要熟练． 重点把握以下几类问题：①简单随机抽样、 分层抽样与系统抽样的注意事项、步骤．② 用样本估计总体的解答题，围绕方差、标准 差的选择、填空题．③变量间的相关关系和 线性回归方法的应用问题．④注意加强算法 与统计、概率结合命题的训练．


要狠抓不同题型的归类对比训练，如排列应 用题中的，①某元素排在某位上；②某元素 不排在某位上；③某几个元素排在一起；④ 某几个元素不得相邻；⑤某几个元素顺序一 定等． 4．(理)随机变量及其分布列是高考必考内 容，应将每一种概率分布和条件概率的特点 弄清，熟练地将实际问题转化为概率问题， 各种概率分布的公式要一一加以落实，要特 别重视实际问题中随机变量取值的意义、范 围及随机事件之间的关系的辨析．


(3)通过对典型案例(如“昆虫分类”等)的探 究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初 步应用． (4)通过对典型案例(如“人的体重与身高的 关系”等)的探究，了解回归的基本思想、 方法及其初步应用．

二、概率

(1)在具体情境中，了解随机事件发生的不
确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的
意义以及频率与概率的区别．

6．三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点
简单随 机抽 样
从总体中逐 个抽取
相互联 适用范围 系 总体中的 个体 数较 少 在起始 部分 抽样 时采 用简 单随
系统抽 样
将总体均匀 分成几部 分，按事 抽样过程 先确定的 中每个 规则在各 个体被
总体中的 个体 数较 多


误区警示 1．抽样时不能抽取方便样本． 2．用随机数表抽样时，由于编号时位数不 一致，导致抽样的不均匀． 3．系统抽样时，当总体个数N不能被样本 容量整除时，剔除多余个体，必须随机抽 样．

5．分层抽样
(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组 成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个 个体分成互不交叉的层，然后按照各层在总 体中所占的比例，从各层独立地抽取一定数 量的个体合在一起作为样本，这种抽样的方 法叫做分层抽样．
分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与

层之间有明显区别，而层内个体间差异较小， 每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总



(4)在解决统计问题的过程中，进一步体会 用样本估计总体的思想，会用样本的频率分 布估计总体分布，会用样本的基本数字特征 估计总体的基本数字特征；初步体会样本频 率分布和数字特征的随机性． (5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总 体的思想，解决一些简单的实际问题；能通 过对数据的分析为合理的决策提供一些依据， 认识统计的作用，体会统计思维与确定性思 维的差异． (6)初步形成对数据处理过程进行评价的意 识．


(4)通过实例，理解取有限值的离散型随机 变量的均值、方差的概念，能计算简单离散 型随机变量的均值、方差，并能解决一些实 际问题． (5)通过实际问题，借助直观(如实际问题的 直方图)，认识正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义．

●命题趋势 1．新课标将统计内容列入必修课程，对统 计的思想、方法比原统编教材加强了要 求．高考对这一部分命题的分量和难度基本 稳定．主要以填空、选择题为主，考查基本 概念与基本计算，若出大题，一般以频率分 布直方图与其它知识(如概率、算法框图、 数列、线性规划等)结合，难度一般不大．



重点难点 重点：各种随机抽样方法的定义、特点及适 用范围． 难点：理解随机抽样的必要性和重要性及抽 样方法的合理性．


知识归纳 1．总体、个体、样本 把所考察对象的某一数值指标的全体构成的 集合看成总体，构成总体的每一个元素为个 体．从总体中随机抽取若干个个体构成的集 合叫做总体的一个样本． 2．随机抽样 抽样时保持每一个个体都可能被抽到，每一 个个体被抽到的机会是均等的，满足这样条 件的抽样是随机抽样．

一、统计思想 我们生活在一个数字化时代，时刻都在和数 据打交道，了解产品的合格率、农作物的产 量、商品的销售量、自然资源、社会资源、 就业率等等数据都要通过调查收集数据获 得．如何在减少人力、物力资源浪费的前提 下，获得可靠的数据成为统计中的首要问题， 统计就是研究如何收集整理、分析数据的一 门学科，随机抽样研究如何抽取样本，使样 本数量少，且具有好的代表性．用样本估计 总体研究的是怎样处理获得的数据，才能使 样本更好地反映总体的信息．



②随机数表法 a．随机数表：随机数表是由0,1,2，„，9 这10个数字组成的数表，并且表中的每一位 置出现各个数字的可能性相同． b．用随机数表抽样的步骤：第一步：将总 体中的个体编号．为了保证抽取样本有很好 的代表性，编号时位数要相同． 第二步：选定开始的数字．为了保证所选定 数字的随机性，应在面对随机数表之前就指 出开始数字的纵横位置．