高中数学：求函数值域的方法十三种

高中数学：求函数值域的十三种方法

一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性

八、函数单调性法（☆）

九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用

一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】求函数1y x =+的值域。

【解析】∵0x ≥，∴11x +≥， ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数

x 1

y =

的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0

x 1≠ 显然函数的值域是：

),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】 求函数2

25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，

，当

时， 故函数的值域是：[4，8]

【变式】已知

，求函数

的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配

方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐

标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2

【例2】 若函数2

()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t

（2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数

，其对称轴方程为

，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

图1

图2

图3

①如图1所示，若顶点横坐标在区间

左侧时，有

，此时，当

时，函数取得最小值

。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有

，即

。当时，函数取得最小

值

。

③如图3所示，若顶点横坐标在区间

右侧时，有

，即

。当

时，函数取得最小值

综上讨论，g(t)=⎪⎩

⎪

⎨⎧<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min

t t t t t x f (2)221(0)

()1(01)22(1)t t g t t t t t ⎧+≤⎪

=<<⎨⎪-+≥⎩

(,0]t ∈-∞时，2

()1g t t =+为减函数

∴

在[3,2]--上，2

()1g t t =+也为减函数

∴

min ()(2)5g t g =-=， max ()(3)10g t g =-=

【例3】 已知2

()22f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值．

【解析】由已知可求对称轴为1x =．

（1）当1t >时，2min max ()()23()(1)2

f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．

（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．

根据对称性，若

2

1

21≤++t t 即1

02t ≤≤

时，2

max ()()23f x f t t t ==-+．

若2121>++t t 即1

12t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+． （3）当11t +<即0t <时，2max ()()23f x f t t t ==-+．

综上，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤

+->+=21,3221,2)(22

max

t t t t t x f

观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当

时⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=)

)((212)())((2

12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min

如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f