高中数学：求函数值域的方法十三种

高中数学：求函数值域的十三种方法
一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性
八、函数单调性法（☆）
九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用
一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y x =+的值域。

【解析】∵0x ≥，∴11x +≥， ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数
x 1
y =
的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0
x 1≠ 显然函数的值域是：
),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112
--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】 求函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，
，当
时， 故函数的值域是：[4，8]
【变式】已知
，求函数
的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配
方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。

显然其顶点横坐
标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图2
【例2】 若函数2
()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t
（2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。

（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数
，其对称轴方程为
，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

图1
图2
图3
①如图1所示，若顶点横坐标在区间
左侧时，有
，此时，当
时，函数取得最小值。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有
，即。

当时，函数取得最小
值。

③如图3所示，若顶点横坐标在区间
右侧时，有
，即。

当
时，函数取得最小值
综上讨论，g(t)=⎪⎩
⎪
⎨⎧<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min
t t t t t x f (2)221(0)
()1(01)22(1)t t g t t t t t ⎧+≤⎪
=<<⎨⎪-+≥⎩
(,0]t ∈-∞时，2
()1g t t =+为减函数
∴
在[3,2]--上，2
()1g t t =+也为减函数
∴
min ()(2)5g t g =-=， max ()(3)10g t g =-=
【例3】 已知2
()22f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值．
【解析】由已知可求对称轴为1x =．
（1）当1t >时，2min max ()()23()(1)2
f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．
（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．
根据对称性，若
2
1
21≤++t t 即1
02t ≤≤
时，2
max ()()23f x f t t t ==-+．
若2121>++t t 即1
12t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+． （3）当11t +<即0t <时，2max ()()23f x f t t t ==-+．
综上，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤
+->+=21,3221,2)(22
max
t t t t t x f
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。

不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。

第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当
时⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=)
)((212)())((2
12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min
如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f
当
时⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪，，如图如图212212910
【例4】 (1) 求2
f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

【解析】(1)二次函数的对称轴方程为x a =-， 当1a 2-<
即1
a 2
>-时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥
即1
a 2
≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。

综上所述：max 12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2
⎧
-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-
⎪⎩。

(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a ，12
>a
即22≤≤-a ，2
-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =- （2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2
a
f x f = （3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2
,)1(a f a a
f a f y 最大
；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2
,122,42,)1(2a a a a
a a y 最大 【例5】 已知二次函数2
f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求实数a 的值。

【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0>与a 0<两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。

若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。

具体解法为： （1）令2a 1f ()32a --
=，得1
a 2
=- 此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22⎡⎤
-∉-⎢⎥⎣⎦
，故12-不合题意；
（2）令f (2)3=，得1
a 2
=
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1
a 2
=符合题意； （3）若3f ()32-
=，得2a 3
=- 此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2
a 3
=-符合题意。

综上，1a 2=
或2a 3
=- 解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。

【变式】 已知函数2
()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

【解析】2
()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈- （1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。

（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+
由814a +=，得3
8
a =
（3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=- 由14a -=，得3a =-
综上知3
8
a =或3a =-
【例6】 已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

【解法1】讨论对称轴中1与,,2
m n
m n +的位置关系。

①若，则max min ()()3()()3f x f n n
f x f m m
==⎧⎨
==⎩
解得
②若12m n
n +≤<，则max min
()(1)3()()3f x f n f x f m m ==⎧⎨
==⎩，无解 ③若12m n
m +≤<，则max min
()(1)3()()3f x f n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解
④若
，则max min ()()3()()3f x f m n
f x f n m
==⎧⎨
==⎩，无解
综上，4,0m n =-=
【解法2】由2
11()(1)22f x x =--+，知113,,26
n n ≤≤，则[,](,1]m n ⊆-∞，
又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max min
()()3()()3f x f n n
f x f m m ==⎧⎨==⎩ 解得4,0m n =-=
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类
讨论，解题过程简洁、明了。

【例7】 求函数35y x x =
--的值域.
【解法1】22)4(122)5)(3(253--+=--+-+-=x x x x x y
显然
]4,2[)4(1222
2∈--+=x y 故函数的值域是：]2,2[∈y
【
解
法
2
】
显
然
3
≤
x
≤
5,
2232sin ([0,])52cos 2
x x π
θθθ
-=∈⇒-=,
352(sin cos )2sin()[2,2]4
y x x π
θθθ=--=+=+∈
三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。

【例1】 求函数1
2
++=
x x y 的值域 【解析】利用恒等变形，得到：1
1
1++
=x y ，容易观察知x ≠-1,y ≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。

注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。

【例2】 求函数1
22+--=x x x
x y 的值域。

【解析】观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有
4
3)21(1
1111122
222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。

所以 ⎝⎛⎥⎦
⎤∈43,0)(x g 故)1,31
⎢⎣⎡-∈y
【变式】求下列函数的值域：
(1) 2
31
--=
x x y (2) 1
1
22+-=x x y .
答案：（１）值域),(),(31
31+∞⋃-∞∈y （２）值域y ∈[-1,1]
四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

【例1】求函数1212x
x
y -=+的值域。

【解析】由1212x x
y -=+解得121x y y -=+， ∵20x
>，∴
101y y ->+， ∴11y -<< ∴函数1212x
x
y -=+的值域为(1,1)y ∈-。

【例2】求函数34
56
x y x +=
+值域。

【解析】由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：33
(,)
(,)55
-∞∞ 【例3】 求函数1
1
+-=x x e e y 的值域。

解答：先证明1
1
+-=x x e e y 有反函数，为此，设21x x <且R x x ∈21,，
0)
1)(1(21111212
1221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e e e e e e e e y y 。

所以y 为减函数，存在反函数。

可以求得其反函数为：x x
y -+-=111
ln 。

此函数的定义域为)1,1(-∈x ，故原函数的
值域为)1,1(-∈y 。

【例4】 求函数])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=
x b a b a bx
a bx
a y 的值域。

【解法1】-1≤x ≤1 a-
b ≤a-bx ≤a+b
b
a a
bx a a b a a +≥
-≥-222 b a a bx a a y b a a ++-≥-+-=≥--212112，b
a b
a y
b a b a -+≤
≤+-
【解法2】（反函数法）：)1(2+-=
y b a b a x
,由-1≤x ≤1得：1)1(21≤+-=≤-y b a b a x ，b
a b
a y
b a b a -+≤≤+-
五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从
而求得原函数的值域，形如2111
2
222
a x
b x
c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

（解析式中含有分式和根式。

）
【例1】求函数2
2
11x x y x
++=+的值域。

【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有
（1）当时， 解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为
【例2】求函数(2)y x x x =+-的值域。

【解析】两边平方整理得：（1）
∵
∴
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x 的方程：
在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]
上，即不能确保方程（1）有实根，由
求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵
代入方程（1） 解得：
即当时， 原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+
-=+--，令]2
,2[sin 1π
πθθ-
∈=-x )4
sin(21cos sin 1π
θθθ+
+=++=y
4
34
4
ππ
θπ
≤
+
≤-
1)4
sin(22≤+≤-
π
θ 原函数的值域为：
【例3】 已知函数222()1
x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

【解析】22
21x ax b
y x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥ 2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。

由于22
2()1
x ax b
f x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y ≤3}
12212213
28234
y y b a b a
b y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-==
=⎩⎪⎩ 【例4】求函数2
21
2+++=
x x x y 的值域。

【解法1】先将此函数化成隐函数的形式得：012)12(2
=-+-+y x y yx ，(1) 这是一个关于x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式
0)12(4)12(2≥---=∆y y y ，解得：21
21≤≤-y 。

故原函数的值域为：],[2121-∈y 。

【解法2】当x ≠-1时 1
1
)1(12
21
2
++
+=
=
+++x x y x x x
由于 当x+1< 0时，21
1
)1(-≤++
+x x ，即)0,[21-∈y 当x+1＞ 0时，21
1
)1(≥++
+x x ，即],0(21∈y 考虑到x=-1时y=0 故原函数的值域为：],[21
21-∈y
【例5】已知函数21
mx n
y x +=
+的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n = 【解析】2
1
mx n
y x +=
+2204y(y n)0y x mx n y m ⇒⋅-+-=⇒∆=--≥ 2244y 0y n m --≤ (1)
由于22
2()1
x ax b f x x ++=+的值域为[－1，4]，故不等式○1的解集为{y|－1≤y ≤4} 122123
4344
y y n m m
m y y +==⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-==
=-⎩⎪⎩ 4m =± 3n = 【例6】求函数22
23
x y x x +=
+-的值域。

【解析】2
(y 1)320y x x y ⋅+---=
○1y=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点；
○220(y 1)4y(3y 2)0y ≠⇒∆=-++≥
21641)0480y y y y R ⎫++≥⎪
⇒∈⎬∆=-<⎪⎭
， 由○1○2得函数的值域为R. 六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，
形如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的
熟悉的基本函数。

当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

【例1】
求函数2y x =
【解析】令t =0t ≥），则2
12
t x -=，
∴22151()24y t t t =-++=--+∵当12t =，即38x =时，max 5
4
y =，无最小值。

∴函数2y x =+5
(,]4
-∞。

【例2】求函数)10x 2(1x log 2
y 35
x ≤≤-+=-的值域。

【解析】令1x log y ,2
y 325
x 1-==- 则21y ,y 在[2，10]上都是增函数
所以21y y y +=在[2，10]上是增函数
当x=2时，
8112log 2y 33min =
-+=-
当x=10时，339log 2y 35
max =+=
故所求函数的值域为：⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡33,81 【例3】求函数1x 1x y --+=的值域。

【解析】原函数可化为：
1x 1x 2y -++=
令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数
所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值2
22
=
显然0y >，故原函数的值域为]2,0(
【例4】求函数2
)1x (12x y +-++=的值域。

【解析】因0)1x (12
≥+- 即1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+
∴
1cos sin cos 11cos y 2
+β+β=β-++β= 1
)4sin(2+π+β=
∵
π≤π+
β≤π≤β≤45
40,0
2
11)4sin(201)4
sin(22+≤+π
+β≤∴≤π+β≤-
∴ 故所求函数的值域为]21,0[+
【例5】求函数
1x 2x x x y 24
3++-=的值域。

【解析】原函数可变形为：
22
2
x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯= 可令β=tg x ，则有β=+-β=+2
222cos x 1x 1,2sin x 1x 2
β
-=β⨯β-=∴4sin 41
2cos 2sin 21y
当
82k π-π=
β时，
41y max =
当
82k π+π=
β时，41
y min -=
而此时βtan 有意义。

故所求函数的值域为⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡-41,41
【例6】求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域。

【解析】)1x )(cos 1x (sin y ++=
1x cos x sin x cos x sin +++=
令t x cos x sin =+，则)
1t (21
x cos x sin 2-=
2
2)1t (21
1t )1t (21y +=++-=
由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 可得：
2t 22≤≤ ∴当2t =时，
223y max +=
，当
22t =时，22
43y +
= 故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡++223
,2243。

【例7】 求函数2
x 54x y -++=的值域。

【解析】由0x 52
≥-，可得5|x |≤
故可令],0[,cos 5x π∈ββ=
4
)4sin(10sin 54cos 5y +π
+β=β++β= ∵π≤β≤0 4544
π
≤
π+β≤π∴ 当4/π=β时，104y max += 当π=β时，54y min -=
故所求函数的值域为：]104,54[+-
【例8】求函数21)45)(125(22++-+-=x x x x y 的值域。

【解析】令4925452
2-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=+-=x x x t ，则49-≥t 。

()()542182182
2++=++=++=t t t t t y ，
当49-≥t 时，161854492
min =+⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=y ，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥1618|y y
【例9】求函数x x y --=12的值域。

【解析】令x t -=1，则21t x -=，0≥t ，()21212
2++-=--=t t t y
当0≥t 时，102012
max =⨯--=t
所以值域为]1,(-∞。

【例10】．求函数23102--+=x x x y 的值域。

【解析】由23102--+=x x x y =()2
52--+x x ，
令θcos 25=-x ，
因为()1cos 10cos 220522
2
≤≤-⇒≥-⇒≥--θθx ，],0[πθ∈，
则()2
52--x =θsin 2，
于是：54sin 25cos 2sin 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=
πθθθy ，]45,4[4πππθ∈+，
14sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+≤-
πθ，所以：725≤≤-y 。

七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

【例1】 求函数221
1
x y x -=+的值域。

【解析】由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得
2(1)(1)y x y -=-+， ∵1y ≠，∴21
1
y x y +=-
-（x R ∈，1y ≠）， ∴101
y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数221
1x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<
【例2】求函数
1e 1
e y x
x +-=的值域。

【解析】由原函数式可得：
1y 1y e x -+=
∵0e x > ∴0
1y 1
y >-+ 解得：
1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(- 【例3】求函数
3x sin x
cos y -=
的值域。

【解析】由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：
y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即
1y y 3)x (x sin 2+=
β+
∵R x ∈ ∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即
1
1
y y 312
≤+≤
- 解得：
42
y 42≤≤-
故函数的值域为⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡-42,42
【例4】 x
x y cos 24sin 3--=
【解法1】2
4143)sin(y
y x +-=
-φ，14143)sin(2
≤+-=
-y
y x φ，
解得331331+≤≤-
y 即函数值域为：]3
31,331[+-∈y 【解法2】y 看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线，其斜率取值
范围就是x x
y cos 24sin 3--=
聚会取值范围．设y=k(x-4)+3 代入椭圆方程1422=+y x
得
0)82416(4)43(8)14(2
22=+-+-++k k kx k x k ，由Δ＝0得答案． 【例5】 已知a>0，x 1,x 2是方程ax 2+bx-a 2
=0的二个实根，并且|x 1|+|x 2|=2,求 a 的取值范围以及b 的最大值 。

【解析】由韦达定理知：x 1x 2
=-a<0,故两根必一正一负， ｜x 1
|+|x 2
|=2
从而|x 1-x 2|=2
由韦达定理知：4=|x 1-x 2|2=(b 2+4a 3)/a 2
从而4a 2-4a 3=b 2≥0 即4a 2(1-a) ≥ 0
即a ≤1,注意到a>0，从而a 的取值范围是0< a ≤1
从而 27
16
)322(2)22(2)1(4322=
-++⋅≤-⋅⋅⋅=-=a a a a a a a a b 即b 的最大值为
9
3
4，当且仅当a=2/3时“＝”成立。

八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

【例1】求函数y x =
【解析】∵当x 增大时，12x -随x 的增大而减少，x 的增大而增大，
∴函数y x =-1
(,]2
-∞上是增函数。

∴1122y ≤-=，∴函数y x =1(,]2
-∞。

【例2】求函数x
x y 1
+
=在区间()+∞∈,0x 上的值域。

【解析】任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则
()()()()
2
12121211x x x x x x x f x f --=
-，因为210x x <<，所以：0,02121><-x x x x ，
当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；
当1021<<<x x 时，0121<-x x ，则()()21x f x f <；而当1=x 时，2min =y 于是：函数x
x y 1
+
=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。

【例4】求函数()x x x f -++=11的值域。

【解析】因为110
10
1≤≤-⇒⎩⎨
⎧≥-≥+x x x ，而x +1与x -1在定义域内的单调性不一致。

现构造相关函数
()x x x g --+=11，易知)(x g 在定义域内单调增。

()21max ==g g ，()21min -=-=g g ，
()2≤⇒x g ，()202≤≤x g ，
又()()422
=+x g x f
，所以：()422
≤≤
x f
，()22≤≤x f 。

【例5】求函数368y x x =+--的值域。

【解析】此题可以看作v u y +=和63+=
x u ，x v --=8的复合函数，显然函数63+=x u 为单调递增
函数，易验证x v --=8亦是单调递增函数，故函数x x y --+=863也是单调递增函数。

而此函数的定
义域为]8,2[-。

当2-=x 时，y 取得最小值10-。

当8=x 时，y 取得最大值30。

故而原函数的值域为]30,10[-。

九. 图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可
求出其值域。

【例1】求函数|3||5|y x x =++-的值域。

【解析】∵22|3||5|822x y x x x -+⎧⎪
=++-=⎨⎪-⎩
(3)(35)(5)x x x <--≤<≥，
∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示，
由图像知：函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞
【例2】求函数2
2)8x ()2x (y ++-=的值域。

【解析】原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。

由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞
【例3】求函数5x 4x 13x 6x y 2
2++++-=的值域。

【解析】原函数可变形为：
85-3o
y
x
2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=
上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，
43)12()23(|AB |y 2
2min =+++==， 故所求函数的值域为],43[+∞
十、 基本不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征
解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

【例1】求下列函数的值域：(1) 3k y x x =++(k>0);(2) 221y x =+
【解析】(1)若x>0时，则3++
=x
k
x y k x k x 2332+=+⋅≥,等号仅当x=k/x ，即k x =时成立；
若x<0时，则3++
=x
k
x y k x k x 233)(2-=+-⋅--≤,等号仅当-x=-k/x ，即k x -=时成立；
故，
),23[]23,(+∞+⋃--∞∈k k y
(2)
解法一：1
22
2++=
x x y =21
112
2≥++
+=x x ，故),2[+∞∈y
解法二：令12+=x t
,则)1(1
≥+
=t t
t y ．即方程01)(2=+-=ty t t f 在[1,+∞)上有解． 所以121=t t ．从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0,1)内，从而f(1)≤0,即y ≥2.
【例2】若14<<-x ，求2
22
22-+-x x x 的最小值
【解析】
])
1(1
)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-⋅=-+-x x x x x x x x x
∵14<<-x ∴3)1(0<--<x 3
1
)1(1>-->
∞+x
从而2])1(1)1([≥--+
--x x 1])
1(1
)1([21-≤--+---x x ，
当且仅当)
1(1
)1(--=
--x x ，即x=-2时”=”成立
即1)2
22
2(
min 2-=-+-x x x 【例3】求函数)0(,3
22
>+
=x x
x y 的最小值 【解析】333222362
32932323232323232==⋅⋅≥++=+
=x x x x x x x x y 当且仅当x x 2322
=即263
=x 时3min 362
3
=y
【例4】求y=
x x sin 4cos 1+
(x ∈)2
,0(π
)的最小值。

【解析】y>0,y 2=(sec x+4csc x)2= sec 2 x+16csc 2 x+ 8sec xcsc x
=(tan 2x+1)+16(cot 2x+1)+8⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+x
x x x sin cos sin
cos 2
2 =17+(tan 2x+4cot x+4cot x)+ (16cot 2 x+ 4tan x+4tan x)
323233tan 4tan 4cot 163cot 4cot 4tan 3)16(1x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅++≥
=()
3
3161+
当且仅当⎩⎨⎧====x x x x x x tan 4tan 4cot 16cot 4cot 4tan 22即⎩⎨⎧==1
cot 44
tan 3
3x x （这是两个相同的方程）, 即当x=arctan 34∈)2
,
0(π
时，“=”成立（达到最小值）。

【例5】若函数y=f(X)的值域为]3,21[,则函数)(1)()(x f x f x F +
=的值域是 ]3
10
,2[ 。

解析：f(x)>0, 2)(1)()(≥+
=x f x f x F ,并且当f(x)=1时等号成立。

而t t t g 1)(+=在t ∈]1,2
1
[时单调递减, t t t g 1)(+=在t ∈[1，3]时单调递增。

从而
t t t g 1)(+
=在区间]1,21
[上的值域为]25,2[)]21(),1([=g g ;t t t g 1)(+=在区间[1,3]上的值域为[g(1),g(3)]=[2,10/3].综合知F(x)的值域为]3
10
,2[
【例6】求函数2
3
x y x +=
+的值域。

【解析】令
，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
十一、利用向量不等式
性质1 若
，则
当且仅当时等式成立
性质2 ，当且仅当a ，
同向平行时右边等式成立，a ，反向平行时左边等式成立。

性质3 ，当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。

类型（1）
型（
同号）
【例1】 求函数5110y x x =-+-的最大值。

【解析】构造向量
由性质1，得
当且仅当
，即
时，
解2：显然1≤x ≤2219sin 3sin ([0,])109(1sin )3cos 4x x π
θθθθθ-==∈⇒-=-=
15sin 3cos 326)y θθθϕ=+=+(其中1
arctan 5
ϕ=)
min (sin())min{sin ,sin()}{}22262626
ππϕθϕϕθϕϕϕ≤+≤+⇒+=+==
max (sin())sin 12πθϕ+== 所以3≤15sin 3cos 326sin()326y θθθϕ=+=+≤即
类型（2）型
【例2】 求函数2
3109y x x =-+-的最大值。

【解析】原函数可变为
取
且
构造向量
由性质1，得
从而
当且仅当
，即时， 类型（3）型（）
【例3】求函数224(3x)9y x =++-+的最小值。

【解析】构造向量
由性质2，得
当且仅当a 与b 同向平行时等式成立 所以（此时
）
类型（4）其它类型 【例4】 设x 1（i ＝1，2，……，2003）为正实数，且1120152015x x x +++=，试求
12232014201520151y x x x x x x x x =++++
++++的最小值。

【解析】构造向量 由性质3，得
即
【例5】 已知
，求的最小值。

【解析】构造向量
从而
由性质3，得
当且仅当a=b=c=1/2时“＝”成立。

所以
十二、一一映射法
原理：因为)0c (d cx b ax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。

故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

【例1】求函数1x 2x
31y +-=的值域。

【解析】∵定义域为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧->-<21x 21x |x 或 由
1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-= 故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-= 解得
23y 23y ->-<或 故函数的值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∞-,2323, 十三、多种方法综合运用
【例1】求函数3x 2
x y ++=的值域。

【解析】令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2+=+
（1）当0t >时，21t 1t 11t t y 2≤+=+=
，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所以
21y 0≤< （2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣
⎡21,0 注：先换元，后用不等式法
【例2】 求函数424
32x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域。

【解析】4
234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-= 2222x 1x x 1x 1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 令2tan x β=，则β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1
β=+sin 21x 1x 2
1sin 21sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴ 161741sin 2
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-β-= ∴当41sin =β时，
1617y max = 当1sin -=β时，2y min -= 此时2tan β都存在，故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-1617,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用βsin 的有界性。