运输规划

( ai bj )
并假设：aij 0, bj 0, cij 0
特征： 1、平衡运输问题 必有可行解，也 必有最优解； 2、运输问题的基 本可行解中应包 括 m+n－1 个基 变量。
表上作业法
步骤：
① 找出初始基本可行解（初始调运方案，一般m+n-1个 数字格），用西北角法、最小元素法；
② 求出各非基变量的检验数，判别是否达到最优解。如 果是停止计算，否则转入下一步，用位势法计算；
4x23 2x24 8x31 4x32 2x33 5x34
x11 x12 x13 x14 9 x21 x22 x23 x24 5
x31 x32 x33 x34 7
约束条件：xx1121
x21 x22
x31 x32
3 8
x13 x23 x33 4 x14 x24 x34 6
1
2
4
3
7
A2
3
1
4
A3
6
3
9
销量 3
6
5
6
最优解的判别
B1
B2
B3
B4
产量
A1
1
2
4
3
7
A2
3
1
-1
4
A3
6
3
9
销量 3
6
5
6
最优解的判别
B1
B2
B3
B4
产量
A1
1
2
4
3
7
A2
3
1
1
-1
4
A3
6
3
9
销量 3
6
5
6
最优解的判别
B1
B2
B3
B4
产量
A1
1
2
4
3
7
A2
3
1
1
-1
4
A3
6
12
3
9
销量 3
所有σij≥0 得到最优解， 最小运费为85元。
表上作业法计算中的问题
① 无穷多最优解：产销平衡的运输问题必定存 最优解。如果非基变量的σij＝0，则该问题有 无穷多最优解。如上例：(1,1)中的检验数是 0， 经过调整，可得到另一个最优解。
② 退化：表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但 有时，在分配运量时则需要同时划去一行和 一 列 ， 这 时 需 要 补 一 个 0 ， 以 保 证 有 (m+n-1) 个数字格。一般可在划去的行和列的任意空 格处加一个0即可。
xij
ai
j1
m
xij
bj
i1
xij 0
m
n
n1
( ai bj bn1 bj )
i1
j 1
j 1
单位运价表中的单位运价为 ci,n1 0
销大于产：同样假设一个产地即可，变化同上。
产销不平衡的运输问题
B1 B2 B3 B4 A1 2 11 3 4 70 A2 10 3 5 9 50 A3 7 8 1 2 70
u1＝0 u2 ＝－1 u3 ＝－5
v1＝2 v2 ＝9 v3 ＝3 v4 ＝10
最优解的判别
c (u +v ) 按σij=cij－(ui+vj) 计算检验数，并以σij≥0 检验，或用(ui+vj) －cij ≤0 检验。
ij
ij
B1 B2 B3 B4
B1 B2 B3 B4
A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
③ 改进当前的基本可行解（确定换入、换出变量），用 闭合回路法调整；
④ 重复②，③，直到找到最优解为止。
求初始方案
例1 某运输资料如下表所示：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10 7 1928 4 7 4 10 5 9 36 56
求初始方案
(1) 西北角法（或左上角法）：
表上作业法计算中的问题
B1 B2 B3 B4 A1 7 8 1 4 3 A2 2 6 3 5 5 A3 1 4 2 7 8
2176
B1 B2 B3 A1 1 2 2 1 A2 3 1 3 2 A3 2 3 1 4
124
21
3
05 5
268
2176
B1 B2 B3
A1 1
1
A2
2
2
A3 0 0 4 4
B2
B3
B4 产量
（＋wenku.baidu.com） 4 （－1）3
7
（－1）1 （＋1）
4
6
3
9
6
5
6
改进的方法
B1
A1
A2
3
A3
销量 3
B2
B3
B4 产量
（＋1） 4 （－1）3 7
（－1）1 （＋1）
4
6
3
9
6
5
6
B1 B2 B3 B4 产量
A1
527
A2 3
14
A3
6
39
销量 3 6 5 6
改进的方法
成本表
B1 B2 B3 B4
6
5
6
最优解的判别
B1
B2
B3
B4
产量
A1
1
2
4
3
7
A2
3
1
1
-1
4
A3
10
6
12
3
9
销量 3
6
5
6
检验数中有负数，说明原方案不是最优解。
最优解的判别
B1
B2
B3
B4
产量
A1
1
2
0
0
7
A2
0
1
0
-1
4
A3
10
0
12
0
9
销量 3
6
5
6
最优解的判别
⑵ 位势法
运输问题的约束条件共有m+n个，其中：m是 产地产量的限制；n是销地销量的限制。
其对偶问题也应有m+n个变量，据此： σij=cij－(ui+vj) ,其中前m个计为ui（i=1,2…,m）, 前n个计为vj （j=1,2…,n） 由单纯形法可知，基变量的σij＝ 0 ∴ cij－(ui+vj) ＝0 因此ui ,vj可以求出。
最优解的判别
成本表
B1 B2 B3 B4
A1
3 10 u1
A1
3 10 u1
A2 1
8 u2
A3
4
5 u3
v1 v2 v3 v4
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4 A1 3 9 3 10 0 A2 1 7 1 8 －2 A3 －2 4 －2 5 －5
3 9 3 10
经检验
B1 B2 B3 B4 A1 00 2 0 0 A2 0 2 1 0 A3 9 0 12 0
xij 0 (i 1.2.3, j 1.2.3.4)
运输问题的数学模型
数学模型的一般形式 已知资料如下：
单销
B 产 量
产地
1
A1
c11
Am cm1 销 量 b1
产
Bn 量
c1n a1 cmn am
bn
运输问题的数学模型
当产销平衡时，其模型如下：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
20 30 40 60
B1 B2 B3 B4 B5 A1 2 11 3 4 0 70 A2 10 3 5 9 0 50 A3 7 8 1 2 0 70
20 30 40 60 40
用最小元素法 求初始方案
B1 B2 B3 B4 B5
A1 20
30 20 70
A2
30
20 50
A3
40 30
70
20 30 40 60 40
3
10
7
43
A2 1
9
2
8
4
3
1
A3 7
4
10
6
5
9
3
销量 3
6
56
总的运输费用＝（3×1）＋（6×4） ＋（4×3）＋（1×2）＋（3×10）＋（3×5）＝86元
最优解的判别
⑴ 闭合回路法
σij≥0 （因为目标函数要求最小化） 表格中有调运量的地方为基变量，空格处 为非基变量。基变量的检验数σij＝0，非基变量 的检验数σij≥0。 σij< 0 表示运费减少， σij> 0 表示运费增加。
运输规划
运输规划的数学模型 表上作业法
产销不平衡的运输问题
运输问题的数学模型
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
2 9 10 2 13 42 84 25 38 46
产量
9 5 7
运输问题的数学模型
设xij为运量
目标函数：min Z 2x11 9x12 10x13 7x14 x21 3x22
xij ai xij bj
(
ai
bj )
xij
0
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
(
ai
bj )
xij
0
当产小于销时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
xij
0
A2 1
2
u2
A3
4
5 u3
v1 v2 v3 v4
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4 A1 2 9 3 10 0 A2 1 8 2 9 －1 A3 －3 4 －2 5 －5
2 9 3 10
u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令： u1＝0
－
A1 2 9 3 10 A2 1 8 2 9
A3 －3 4 -2 5
σij
＝
B1 B2 B3 B4 A1 1 2 0 0 A2 0 1 0 －1 A3 10 0 12 0
表中还有负数， 说明还未得到最 优解，应继续调 整。
改进的方法
闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 接上例：
B1
A1
A2
3
A3 销量 3
最优解的判别
B1
B2
B3
B4
③
A1 1（＋1）
①
A2
3（－1）
③
(－1) 4
3
②
（＋1）1
产量 7 4
A3
6
3
9
销量 3
6
5
6
计算如下：空格处（ A1 B1 ）＝ (1×3)＋｛ (－1)×3 ｝＋(1×2)＋｛ (－1)×1 ｝＝1 此数即为该空格处的检验数。
最优解的判别
B1
B2
B3
B4
产量
A1
34
22
36
3656 0656 0256 0056 0036 0000
740000 444200 999990
3400 0220 0036
总的运费＝(3×3)＋(4×11)＋(2×9)＋ (2×2)＋(3×10)＋(6×5)＝135元
求初始方案
(2) 最小元素法：
B1
B2
B3
B4 产量
A1 3
11
124
产销不平衡的运输问题
产大于销：模型
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj )
方法是先将原问题变成平衡问题，需假设一个 销地(Bn+1 )(实际上考虑产地的存量)，
产销不平衡的运输问题
模型为：
min Z
cij xij
n1