第八章-相量法PPT课件
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电路 相量法ppt课件
20
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正 弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”， 是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦 量。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t) 2U cos(wt ) U U
例1. 已知 i 141.4cos(314t 30o )A
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I 12
8. 3 正弦量的相量表示
一、复数及运算
1. 复数A表示形式： F=a+jb
j 1
Im
Im
b
F
b
F
|F|
O
a Re
O
a Re
F a jb
F | F |
I
1 T
T 0
I
2 m
cos
2
(
wt
) dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
T cos2( wt
) dt
T 1 cos 2(wt
) dt 1 t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
Im2
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
或
a | F | cos
b | F | sin
a
a Re
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) 加减法可用图解法。
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正 弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”， 是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦 量。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t) 2U cos(wt ) U U
例1. 已知 i 141.4cos(314t 30o )A
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I 12
8. 3 正弦量的相量表示
一、复数及运算
1. 复数A表示形式： F=a+jb
j 1
Im
Im
b
F
b
F
|F|
O
a Re
O
a Re
F a jb
F | F |
I
1 T
T 0
I
2 m
cos
2
(
wt
) dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
T cos2( wt
) dt
T 1 cos 2(wt
) dt 1 t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
Im2
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
或
a | F | cos
b | F | sin
a
a Re
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) 加减法可用图解法。
第八章相量法
ρ = a2 + b2
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
第八章 相量法(Phasor method
k =1
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
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由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
8、相量法
1. >0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u
u, i
u
0
i
2. <0， i 领先(超前) u， 或u 落后(滞后) i
t
u i
3. = 0， u与i同相：
4. = ( 180o ) ， u与i反相： u, i
u, i
0
t
u i
i 0
u
t
5. = 90°，u与i 正交 u, i u i 0
1.代数式化成极坐标式 例如： 3 + j 4 = 5 /53.13º 按键步骤 3 a 4 b 2ndF a (rθ)显示模5，b显示角53.13º
2.极坐标式化成代数式
例如： 5 /53.1º 3+ j4 =
按键步骤： 5 a 53.13 b 2ndF b(→xy) 显示实部3，b 显示虑部
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在 正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
I1 I2 I3
相量
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自 变量分析电路。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为 自变量分析电路。 相量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析, 属于频域分析。
正弦电流电路相量分析法过程示意如图
正弦电 流电路
×
建立含微积分 的电路方程 (时域分析过程)
XC
0(直 流), X C , 隔 直 作 用 ;
, X C 0, 旁 路 作 用 ;
(3) 由于容抗的存在使电流超前(lead)电压90°。
四、受控源(Controlled Source)：
电路08 相量法(课堂PPT)
N
线性
w1
w2
N
线性
w非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
§ 8. 4 电路定律的相量形式
一. 基尔霍夫定律的相量形式
i(t)0 u(t)0
I 0 U 0
二. 电路元件的相量关系
u Ri
u Ldi dt
u
1 C
i
U=w L I
相位关系
相量模型
u 超前 i 90° U
I
相量图
感抗
U=w L I XL= U/I =w L= 2 f L， 单位: 欧
感抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力；
错误的写法
wL u i
w
L
U I
(2) 感抗和频率成正比。
XL
w0(直流 ),XL0, 短路 ;
w, XL, 开路 ;
7.196j6.46 49.6 74.1 9oV
u ( t ) u 1 ( t ) u 2 ( t ) 9 . 6 2 s 7 3 itn 1 4 . 9 o ( ) 4 1 V
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳 态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
U2
U
U1
41.9
d
t
U RI
U jwLI
U 1 I
jwC
1. 电阻
i(t)
+ uR(t) -
已i知 (t)2Isiw n ty ()
wy 则 u R (t) R (t) i2 R sI itn )(
R 相量形式：
I Iy UR RIy
第8章 相量法
第八章第八章 相量法简介相量法简介—— 求解“正弦稳态电路”的专用方法制作：西安理工大学 王馨梅课件符号： ★ 重要* 大纲之外的知识扩展M ultisim 演示全响应 = = = 稳态分量 ++ 暂态分量问题：何谓“正弦稳态电路”呢？“换路”事件）时刻开关闭合（即发生，且电源，，例：已知0V 2cos 10)(A 3)0(H 2L 1R S ====Ω=+t t t u i L Ae4.2)762cos(43.2)(0.5 tL t t i −+−=解析解为：列一阶微分方程，求得*注1：当为正弦或直流激励时，强制分量恰是电路的稳态分量。
*注2：强制分量——即非齐次微分方程的特解，它的形式由系统的外部输入激励决定。
∴当电源是正弦激励时，如果换路事件发生已久，则： 解≈正弦形式的稳态解简称“正弦稳态解”全响应= = = 稳态分量 ++ 暂态分量第8章 相量法相量法相量法复习复数8.1复习正弦量8.2相量法的基础8.3电路定律的相量形式8.4本章内容重点理解“正弦量运算量运算”之间的映射关系。
§8-1 复数（complex number）§8-1 复数（complex number）§8-28-2 正弦量正弦量（ sinusoidal quantity ）§8-2 正弦量（ sinusoidal quantity ）§8-3 8-3 相量法基础相量法基础§8-3 8-3 相量法基础相量法基础§8-4 8-4 相量形式的电路定律相量形式的电路定律§8-4 8-4 相量形式的电路定律相量形式的电路定律2H。
电路分析课件第八章相量法
KVL：任意时刻，任一回路，U=0
三、受控源的相量形式
i1
I1
R
正弦电流
i 1 电路时：
R
1I1
本章小结：
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示， RLC元件用阻抗、感抗、容抗表示，画出电路的相 量模型，利用KCL、KVL和欧姆定律的相量形式写 出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此， 应用相量法应熟练掌握:
∴ i =46.2 2cos(314t–27º)A j I1
+1 I
相量图
I2
注意：
在分析正弦交流电路时字母的写法：
i — 瞬时值 I — 有效值 Im — 最大值 I — 有效值相量 Im— 最大值相量
三、不同频率的正弦量不能用相量法运算。
相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相 位的信息，不包含频率的信息，即：在运用相量 法分析正弦量时，默认为同频率。
将 I (或 U)定义为电流i (或电压u) 的相量，它含有 正弦量的振幅和相位的信息。
注意：
有一个正弦量便可以得到一个相量； 有一个相量也可以写出对应的正弦
量。两者是一一对应的关系，决不
是相等的关系。
u=220 2 cos(314t+45º)V
U=220 45ºV u U
I=50 –30ºA 一一对应 i =50 2 cos(ωt–30º)A i I
U 相量形式电路图
相量关系既反映了u、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。
I U 相量图
2、电感
iL
u
若：i = 2 Icos(ωt+ψi )
则：u=L
di dt
=–
2 IωLsin(ωt+ψi )
相量法
15
1.正弦量的相量表示 设正弦电流 i 2 I cos(wt y i ) 复常数 构造复指数函数： F (t ) 2 Ie j(wt y i ) 2 Ie jy i e jwt +j 2Icos(wt y i ) j 2Isin( wt y i ) w
wt
Im
yi
O
+1
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 )
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 )
j 300 (105 0 ) 135 0
i2 (t ) 3 cos( 100 t 150 0 )
e jwt ) Re( 2U e jwt ) u u1 u2 Re( 2U 1 2 e jwt 2U e jwt ) Re( 2 (U U )e jwt ) Re( 2U 1 2 1 2
U U U 1 2
相量加减运算：用代数式计算。
F1 F2 1 2
F1 F2 F1 e j1 F2 e j 2 F1 F2 e j(1 2 )
模相乘 角相加
F1 | F1 | θ1 | F1 | e jθ1 | F1 | j( θ1θ2 ) e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | |F1| θ1 θ2 |F2|
Im I ，I m 2 I 2
13
同理，正弦电压有效值与最大值的关系：
Um U ，U m 2U 2
正弦电流、电压也可以表示为：
i 2I cos(wt y i )，u 2U cos(wt y u )
1.正弦量的相量表示 设正弦电流 i 2 I cos(wt y i ) 复常数 构造复指数函数： F (t ) 2 Ie j(wt y i ) 2 Ie jy i e jwt +j 2Icos(wt y i ) j 2Isin( wt y i ) w
wt
Im
yi
O
+1
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 )
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 )
j 300 (105 0 ) 135 0
i2 (t ) 3 cos( 100 t 150 0 )
e jwt ) Re( 2U e jwt ) u u1 u2 Re( 2U 1 2 e jwt 2U e jwt ) Re( 2 (U U )e jwt ) Re( 2U 1 2 1 2
U U U 1 2
相量加减运算：用代数式计算。
F1 F2 1 2
F1 F2 F1 e j1 F2 e j 2 F1 F2 e j(1 2 )
模相乘 角相加
F1 | F1 | θ1 | F1 | e jθ1 | F1 | j( θ1θ2 ) e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | |F1| θ1 θ2 |F2|
Im I ，I m 2 I 2
13
同理，正弦电压有效值与最大值的关系：
Um U ，U m 2U 2
正弦电流、电压也可以表示为：
i 2I cos(wt y i )，u 2U cos(wt y u )
第八章相量法.ppt
第八章
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
第八章-相量法PPT课件
若两个复数相等 F1 = F2
则必须是 |F1| = |F2|，q1=q2
或是 a1 = a2， jb1= jb2
30.01.2021
.
5
复数乘、除的图解
+j
F=F1F2
q2
|F2|F1
F1
F2 q=q1+q2
q1 q2
o
+1
+j
F1
F1
|F2| q2
F=
F1 F2
F2
o
q1 q2 q=q1-q2 +1
.
Im1 = Im1 fi1
.
则
i2 = Im2 cos(wt+.fi2) .
i=i1+ i2
Im = Im1+
. Im2 = Im2 fi2
Im2 这是叠加性质
相量也具有比例性质： k i1
. k Im1
由叠加性质和比例性质可知
k1 i1± k2 i2 ±···
.
.
(k1I1 ± k2 I2 ±···)
F=| F |(cosq + jsinq ) a=| F |cosq，b=| F |sinq
(3)指数和极坐标形式 根据欧拉公式
e jq =cosq +jsinq
得指数形式： F = | F | e jq 或写成极坐标形式：
| F | = a2 + b2
q = arctg
b a
F=|F| q
30.01.2021
i
fi1
①相位角(wt+fi)： 随时
间变化的角度, 单位：
-p
o
rad 或 (o)
fi
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
【电子电路课件】第八章 相量法
def
1 T
∫
T
0
i 2 ( t )dt
有效值也称均 有效值也称均方根值 (root-mean-square，简记为 rms。) ， 。
电压有效值： 电压有效值：
U=
def
1 T
∫
T
0
u 2 ( t )dt
2011-5-28
信息科学与工程学院
6
2. 正弦电流、电压的有效值： 正弦电流、电压的有效值： 设 i(t)=Imsin(ω t + ψ )
•
U
ψu
ψi
I
•
2011-5-28
信息科学与工程学院
13
相量运算： 四. 相量运算： 1、 同频率正弦量相加减： 、 同频率正弦量相加减：
u1 ( t ) = 2 U 1 sin(ωt + ψ 1 ) = Im( 2 U 1 e jω t ) u2 ( t ) = 2 U 2 sin(ωt + ψ 2 ) = Im( 2 U 2 e jω t )
2011-5-28 信息科学与工程学院 15
例：u1 ( t ) = 6 2sin( 314t + 30 ) V
u2 ( t ) = 4 2sin( 314t + 60o ) V
ɺ U 1 = 6∠ 30o V ɺ U 2 = 4∠60o V
ɺ ɺ ɺ U = U 1 + U 2 = 6∠ 30 + 4∠ 60 = 5.196 + j 3 + 2 + j 3.464 = 7.196 + j 6.464 = 9.67∠ 41.9 o V
∴ u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) = 9.67 2sin( 314t + 41.9 o ) V
1 T
∫
T
0
i 2 ( t )dt
有效值也称均 有效值也称均方根值 (root-mean-square，简记为 rms。) ， 。
电压有效值： 电压有效值：
U=
def
1 T
∫
T
0
u 2 ( t )dt
2011-5-28
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6
2. 正弦电流、电压的有效值： 正弦电流、电压的有效值： 设 i(t)=Imsin(ω t + ψ )
•
U
ψu
ψi
I
•
2011-5-28
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13
相量运算： 四. 相量运算： 1、 同频率正弦量相加减： 、 同频率正弦量相加减：
u1 ( t ) = 2 U 1 sin(ωt + ψ 1 ) = Im( 2 U 1 e jω t ) u2 ( t ) = 2 U 2 sin(ωt + ψ 2 ) = Im( 2 U 2 e jω t )
2011-5-28 信息科学与工程学院 15
例：u1 ( t ) = 6 2sin( 314t + 30 ) V
u2 ( t ) = 4 2sin( 314t + 60o ) V
ɺ U 1 = 6∠ 30o V ɺ U 2 = 4∠60o V
ɺ ɺ ɺ U = U 1 + U 2 = 6∠ 30 + 4∠ 60 = 5.196 + j 3 + 2 + j 3.464 = 7.196 + j 6.464 = 9.67∠ 41.9 o V
∴ u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) = 9.67 2sin( 314t + 41.9 o ) V
第8章电路邱关源课件PPT
i = i1 + i2= Re 2 I&1e jωt + Re 2 I&2 e jωt
jω t 1 2
] [ ] & +I & + L)e ] = Re [ 2 I &e ] = Re [ 2 ( I
jω t
[
&=I & +I & +L I 1 2
相 量 法
电 路 例8-2 设两个同频率正弦电压分别为
F2 = −7.07 + j 7.07 F1 + F2 = (3 − j 4) + (−7.07 + j 7.07) = −4.07 + j 3.07 3.07 = 143o arg( F1 + F2 ) = arctan − 4.07
F1 + F2 = (−4.07) 2 + 3.07 2 = 5.1
相 量 法
电 路 正弦量的有效值 在相同时间内, 在相同时间内,正弦电流 正弦电流 i 对电阻R所做的功 == 直流电流I 在R 所做的功, 所做的功, I 就称为正弦 就称为正弦电流 正弦电流i 的有效值。 的有效值。
1 T
∫
T
0
i Rdt = I R
2 2
1 T
∫
T
0
i 2 dt = I 2
或
& =U & +U & = 200∠10o + 300∠ − 30o U s1 s2
= 197 + j17.4 + 259.8 − j150 = 456.8 − j132.6 = 475.8∠ − 16.2o
u = 475.8 sin( ωt − 16.2o )
电路理论 第八章PPT课件
|F1| |F2|
θ1 θ2
模相除 角相减
复数若用代数式进行，要注意 j2 =－1
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例1
5 4 7 1 0 2 5 ?
a | F | cos
b |F|sin
解 原 式 ( 3 . 4 1 j 3 . 6 5 7 ) ( 9 . 0 6 3 j 4 . 2 2 6 )
返回 上页 下页
正弦电流电路 所有的激励和响应均为同频率正弦量的稳态(线性)电
路称为正弦稳态电路，简称正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
i2(t)1 j s05 iπ 1 n4 0 (π2 0 π t 1 3 05π ) 4较时应满足
(3)i2( uut1i2 ) (2 (t( tj )j t) )1 11 3 c 3 3 c0 0 c c0 000 o o 0 o 1 (o 1 1 2 (ss 1 s 01 (s 0 0 π π (0 π 0 π t0 t0 (t5 )0 t( 0 )5 0 1 0 3 1 1 0 41 003 )05 0 0 0)5 0 2 )0 ) 不5能0 同 函 号5 0 w比数 。频1较、率相同、w位符同2差
3.复数乘除的几何意义 旋转因子
F1F2
Im
F1
Im
2
F1 | F2 |
F1 / | F2 | 2F1 / F 2
F1
2 F2
0 1
Re
F1F2F1 F212
2 F2
0 1
Re
F1 | F1 | F2 | F2 |
大学电路第8章 相量法 ppt
3
对于电感和电容， 对于电感和电容，有： iC C duC iC = C _ 根据KCL、KVL建 + dt 根据KCL、KVL建 uC 立方程：微分方程。 L iL diL 立方程：微分方程。 uL = L _ dt + u
L
所以求解电路的正弦稳态响应，在数学上即是求非齐 所以求解电路的正弦稳态响应， 次微分方程的特解。 次微分方程的特解。 本章研究问题和方法： 本章研究问题和方法： 电路组成: 电路组成: R、L、C 电源激励：正弦量 电源激励： 方 法：相量法
例：将以下代数形式化为指数形式
A = 3 + j4 1
5e
5e
j 53.1o
− j 53.1o
A2 = 3 − j4
A3 = −3 + j4 A3 = −3 − j4
3. 复数的运算
5e
j 126.9 o
5e 5e
− j 126.9 o
(1) 加减运算——采用代数形式 加减运算——采用代数形式 若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 +jb +jb A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) =(a )+j(b
5
二. 正弦量的瞬时值表示式（以正弦电流为例） 正弦量的瞬时值表示式（以正弦电流为例）
瞬时值：即每一瞬间的值 。 用小写字母i(t)、i表示。 用小写字母i(t)、 表示。 瞬时值：
1. 瞬时值函数式 i(t) = I m cos(ω t + ψ i ) 2. 瞬时值的波形
i
a +
i
R u
b _
注：此处正弦量采用余弦函数形式
i = 2 I cos(ω t +ψ i )
对于电感和电容， 对于电感和电容，有： iC C duC iC = C _ 根据KCL、KVL建 + dt 根据KCL、KVL建 uC 立方程：微分方程。 L iL diL 立方程：微分方程。 uL = L _ dt + u
L
所以求解电路的正弦稳态响应，在数学上即是求非齐 所以求解电路的正弦稳态响应， 次微分方程的特解。 次微分方程的特解。 本章研究问题和方法： 本章研究问题和方法： 电路组成: 电路组成: R、L、C 电源激励：正弦量 电源激励： 方 法：相量法
例：将以下代数形式化为指数形式
A = 3 + j4 1
5e
5e
j 53.1o
− j 53.1o
A2 = 3 − j4
A3 = −3 + j4 A3 = −3 − j4
3. 复数的运算
5e
j 126.9 o
5e 5e
− j 126.9 o
(1) 加减运算——采用代数形式 加减运算——采用代数形式 若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 +jb +jb A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) =(a )+j(b
5
二. 正弦量的瞬时值表示式（以正弦电流为例） 正弦量的瞬时值表示式（以正弦电流为例）
瞬时值：即每一瞬间的值 。 用小写字母i(t)、i表示。 用小写字母i(t)、 表示。 瞬时值：
1. 瞬时值函数式 i(t) = I m cos(ω t + ψ i ) 2. 瞬时值的波形
i
a +
i
R u
b _
注：此处正弦量采用余弦函数形式
i = 2 I cos(ω t +ψ i )
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wT=2p
频率f ：正弦量每秒钟变 周期T：正弦量变化一
化的周波数，单位是Hz。 个周期所需要的时间。
在工程中，常用频率区分 电路：音频、高频、甚高 频、特高频等等。
w、 f、T 之间的关系
w =2pf
f
=
1
T
T= 1 f
30.01.2021
.
13
(3) 相位角、初相角fi (要素之三)
反映正弦量的计时起 点，常用角度表示。
相量形式。
难点
1. 正弦量与相量之间的联系和区别； 2. 元件电压相量和电流相量的关系。主要是相位关系
是学习第 9~12 章的基础，必须 熟练掌握相量法的解析运算。
30.01.2021
.
2
§8-1 复数
1. 复数的表示形式 (1)代数形式 F=a+jb
Re[F]=a， Im[F]=b (2) 三角形式
i
fi1
①相位角(wt+fi)： 随时
间变化的角度, 单位：
-p
o
rad 或 (o)
fi
i
fi
i1 i
p o 2p
wt
3p
② t=0时刻的相位角fi
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
+j
Aejq
qA
qa
+1
o
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
A j
=
-jA，等于把
A顺
时针旋转90o。
30.01.2021
.
7
§8-2 正弦量
电路中按正弦规律变 化的电压或电流，统 称正弦量。
研究正弦电路的意义 是正弦交流电有很多 优点，使它应用广泛。 例如：
①可以根据需要，利用 变压器方便地把正弦 电压升高或降低；
30.01.2021
②电机、变压器等电气设 备，在正弦交流电下具 有较好的性能；
③正弦量对时间的导数、 积分、几个同频率正弦 量的加减，其结果仍是 同频率的正弦量，这不 仅使电路的分析计算变 得简单，而且其结果还 可以推广到非正弦周期 电流电路中。
i = Imcos(wt + fi) = 2 I cos(wt + fi)
(1)振幅Im、有效值I (要素之一) 正弦量变化过程中所能达到的最大幅度 ； 在放大器参数中有时用峰-峰值表达。
i Im
峰-峰值2Im
-p o
wt
p 2p 3p
-Im 正弦量的波形
30.01.2021
.
10
关于有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量 其平均效应，工程上采用有效值来表示。
乘： F1 的模被放 大|F2|倍，辐角逆
时针旋转q2 。
除： F1 的模被缩小 |F2|倍，辐角顺时
针旋转q2 。
30.01.2021
.
6
3. 旋转因子ejq
旋转因子 ejq =1∠q是一个模 等于1，辐角为q的复数。
任意一个复数A=|A|ejqa乘以 ejq ，等于把A逆时针旋转q 角度，而模|A|保持不变。
用指数或极坐标形式最好
设 F1= | F1 | e jq 1 ， F2 = | F2 | e jq 2
则 F=F1 F2 = | F1 | | F2 | e j(q1+q 2)
或 F = |F1 | |F2 | q1+q2
F = F1 = |F1 | F2 |F2 |
q1-q2
乘(除)法运算满足模相乘(除)，辐角相加(减)。
第八章 相量法
内容提要
1.正弦量及其三要素、相位差的概念；
2.相量法的概念及其性质；
3.电路定律和元件VCR的相量形式。
. Im= 5∠45o A
45o
. Um= 100∠0o V
. Z = U.m =20∠-45o W
Im
30.01.2021
.
1
重点
1.正弦量和相量之间的关系； 2.正弦量的相量差和有效值的概念； 3. R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式； 4.电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的
.
8
正弦量的时域表达式有两种形式
i = Imcos(wt+fi) i = Imsin(wt+fi)
也称为瞬时值表达式 分析时不可混用，以免发生相位错误。
采用的形式以教材为准：
i = Imcos(wt+fi) u = Umcos(wt+fu)
30.01.2021
.
9
1. 正弦量的三要素（以电流为例）
若两个复数相等 F1 = F2
则必须是 |F1| = |F2|，q1=q2
或是 a1 = a2， jb1= jb2
30.01.2021
.
5
复数乘、除的图解
+j
F=F1F2Leabharlann q2|F2|F1F1
F2 q=q1+q2
q1 q2
o
+1
+j
F1
F1
|F2| q2
F=
F1 F2
F2
o
q1 q2 q=q1-q2 +1
U = 220V ， 则其最大值为Um≈311V。
30.01.2021
.
11
需要注意的是
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内 流经同一电阻 R 产生的热效应来确定：
T
I2RT = i2R dt
0
I def
1 T
T
i2 dt
0
把 i=Imcos(wt+yi) 代入上式计算可以得到：
正弦量的有效值与振幅之间的关系：Im= 2 I
同理可得：Um= 2 U 若一交流电压有效值为
F=| F |(cosq + jsinq ) a=| F |cosq，b=| F |sinq
(3)指数和极坐标形式 根据欧拉公式
e jq =cosq +jsinq
得指数形式： F = | F | e jq 或写成极坐标形式：
| F | = a2 + b2
q = arctg
b a
F=|F| q
30.01.2021
.
3
(4) 矢量形式
+j
a
F
q
+1
o
b
复数加、减的图解
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
2. 复数的运算
(1)加减
用代数形式最好
F2
设 F1=a1+jb1 F2=a2+jb2
则 F1±F2 =(a1±a2)+j (b1±b2)
30.01.2021
.
+j F=F1-F2
F1
F
o
+1
-F2
4
(2) 乘除
区分电压、电流的瞬时值 i、u ，振幅 Im、Um
和有效值 I、U 的符号。 另外注意IM(Imax)。
30.01.2021
.
12
(2) 角频率w、频率f、周期T (要素之二)
反映正弦量变化 快慢的参数。
角频率w
=
d dt
(wt+fi)
-p
正弦量单位时间内
变化的电角度。
i
T
o
p
2p
wt
2p 3p
频率f ：正弦量每秒钟变 周期T：正弦量变化一
化的周波数，单位是Hz。 个周期所需要的时间。
在工程中，常用频率区分 电路：音频、高频、甚高 频、特高频等等。
w、 f、T 之间的关系
w =2pf
f
=
1
T
T= 1 f
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.
13
(3) 相位角、初相角fi (要素之三)
反映正弦量的计时起 点，常用角度表示。
相量形式。
难点
1. 正弦量与相量之间的联系和区别； 2. 元件电压相量和电流相量的关系。主要是相位关系
是学习第 9~12 章的基础，必须 熟练掌握相量法的解析运算。
30.01.2021
.
2
§8-1 复数
1. 复数的表示形式 (1)代数形式 F=a+jb
Re[F]=a， Im[F]=b (2) 三角形式
i
fi1
①相位角(wt+fi)： 随时
间变化的角度, 单位：
-p
o
rad 或 (o)
fi
i
fi
i1 i
p o 2p
wt
3p
② t=0时刻的相位角fi
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
+j
Aejq
qA
qa
+1
o
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
A j
=
-jA，等于把
A顺
时针旋转90o。
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.
7
§8-2 正弦量
电路中按正弦规律变 化的电压或电流，统 称正弦量。
研究正弦电路的意义 是正弦交流电有很多 优点，使它应用广泛。 例如：
①可以根据需要，利用 变压器方便地把正弦 电压升高或降低；
30.01.2021
②电机、变压器等电气设 备，在正弦交流电下具 有较好的性能；
③正弦量对时间的导数、 积分、几个同频率正弦 量的加减，其结果仍是 同频率的正弦量，这不 仅使电路的分析计算变 得简单，而且其结果还 可以推广到非正弦周期 电流电路中。
i = Imcos(wt + fi) = 2 I cos(wt + fi)
(1)振幅Im、有效值I (要素之一) 正弦量变化过程中所能达到的最大幅度 ； 在放大器参数中有时用峰-峰值表达。
i Im
峰-峰值2Im
-p o
wt
p 2p 3p
-Im 正弦量的波形
30.01.2021
.
10
关于有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量 其平均效应，工程上采用有效值来表示。
乘： F1 的模被放 大|F2|倍，辐角逆
时针旋转q2 。
除： F1 的模被缩小 |F2|倍，辐角顺时
针旋转q2 。
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3. 旋转因子ejq
旋转因子 ejq =1∠q是一个模 等于1，辐角为q的复数。
任意一个复数A=|A|ejqa乘以 ejq ，等于把A逆时针旋转q 角度，而模|A|保持不变。
用指数或极坐标形式最好
设 F1= | F1 | e jq 1 ， F2 = | F2 | e jq 2
则 F=F1 F2 = | F1 | | F2 | e j(q1+q 2)
或 F = |F1 | |F2 | q1+q2
F = F1 = |F1 | F2 |F2 |
q1-q2
乘(除)法运算满足模相乘(除)，辐角相加(减)。
第八章 相量法
内容提要
1.正弦量及其三要素、相位差的概念；
2.相量法的概念及其性质；
3.电路定律和元件VCR的相量形式。
. Im= 5∠45o A
45o
. Um= 100∠0o V
. Z = U.m =20∠-45o W
Im
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.
1
重点
1.正弦量和相量之间的关系； 2.正弦量的相量差和有效值的概念； 3. R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式； 4.电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的
.
8
正弦量的时域表达式有两种形式
i = Imcos(wt+fi) i = Imsin(wt+fi)
也称为瞬时值表达式 分析时不可混用，以免发生相位错误。
采用的形式以教材为准：
i = Imcos(wt+fi) u = Umcos(wt+fu)
30.01.2021
.
9
1. 正弦量的三要素（以电流为例）
若两个复数相等 F1 = F2
则必须是 |F1| = |F2|，q1=q2
或是 a1 = a2， jb1= jb2
30.01.2021
.
5
复数乘、除的图解
+j
F=F1F2Leabharlann q2|F2|F1F1
F2 q=q1+q2
q1 q2
o
+1
+j
F1
F1
|F2| q2
F=
F1 F2
F2
o
q1 q2 q=q1-q2 +1
U = 220V ， 则其最大值为Um≈311V。
30.01.2021
.
11
需要注意的是
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内 流经同一电阻 R 产生的热效应来确定：
T
I2RT = i2R dt
0
I def
1 T
T
i2 dt
0
把 i=Imcos(wt+yi) 代入上式计算可以得到：
正弦量的有效值与振幅之间的关系：Im= 2 I
同理可得：Um= 2 U 若一交流电压有效值为
F=| F |(cosq + jsinq ) a=| F |cosq，b=| F |sinq
(3)指数和极坐标形式 根据欧拉公式
e jq =cosq +jsinq
得指数形式： F = | F | e jq 或写成极坐标形式：
| F | = a2 + b2
q = arctg
b a
F=|F| q
30.01.2021
.
3
(4) 矢量形式
+j
a
F
q
+1
o
b
复数加、减的图解
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
2. 复数的运算
(1)加减
用代数形式最好
F2
设 F1=a1+jb1 F2=a2+jb2
则 F1±F2 =(a1±a2)+j (b1±b2)
30.01.2021
.
+j F=F1-F2
F1
F
o
+1
-F2
4
(2) 乘除
区分电压、电流的瞬时值 i、u ，振幅 Im、Um
和有效值 I、U 的符号。 另外注意IM(Imax)。
30.01.2021
.
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(2) 角频率w、频率f、周期T (要素之二)
反映正弦量变化 快慢的参数。
角频率w
=
d dt
(wt+fi)
-p
正弦量单位时间内
变化的电角度。
i
T
o
p
2p
wt
2p 3p