薛定谔方程及其简单应用
1-4-薛定谔方程应用举例
第一讲第讲主要内容振动和波动量子力学的诞生量子力学的基本原理薛定谔方程应用举例1薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子2薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子6一维无限深势阱中粒子能级有如下特点：维无限深势阱中粒子能级有如下特点：z能级量子化。
量子力学的普遍规律，束缚态（E <V 0）能级量离子化（离散的，非连续的）。
量子化能量的值要取决于束缚势能的具体情况。
值得指出的是，束缚粒子存在量子化这一事实，可简单和直接的由满足薛定谔方程的波函数应用边界条件就得到了。
z粒子的最低能级，这与经典粒子不同。
这是微观粒子波性的表静的波是有意的从02/2221≠=ma E πh 这是微观粒子波动性的表现，静止的波是没有意义的。
从不确定度关系也可以给予粗略的说明。
211zE ∝n ,能级分布是不均匀的。
CdSe量子点的吸收边和发射峰显著依赖尺寸大小。
可应用于：•生物标记•LED照明•平板显示•太阳能电池12薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子13扫描隧道显微镜20薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子21谐振子能量本征值ωh ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21n E n ( n = 0,1,2, … )m ω=βz为系统的本征角频率z束缚态，能级量子化。
图1.12 线性谐振子的势能曲线及本征值最低几条能级上的谐振子能量本征函数：122α谐本)(x n ψ)(x n ψ)2exp()(4/10x x απψ−=)21exp(2)(224/11x x x ααπαψ−=1exp(1212222x x x ααα−−=)2p()(2)(4/12πψ29)21exp()132(3)(22224/13x x x x αααπαψ−−=2⏐ψn (x )⏐图1.16 n =10时线性谐振子的几率密度z 实线表示量子谐振子位置概率分布，虚线为经典谐振子的概率分布。
薛定谔方程及其在量子物理中的应用
薛定谔方程及其在量子物理中的应用量子物理是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
在量子物理中，薛定谔方程是一个非常重要的数学工具，它被用来描述量子系统的演化和态函数的变化。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理以及它在量子物理中的应用。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，它是一种描述量子系统的波动方程。
薛定谔方程的基本形式为：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数，t是时间，ψ是系统的波函数，Ĥ是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程是一个偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化规律。
薛定谔方程的解决了经典物理学无法解释的一系列现象，例如电子在原子中的行为、粒子的干涉和衍射等。
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学对象，它包含了粒子的位置、动量和能量等信息。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数，从而了解系统的性质和行为。
薛定谔方程在量子物理中的应用非常广泛。
首先，它被用来解释原子和分子的结构。
根据薛定谔方程，我们可以计算出原子和分子的能级和波函数，从而推导出它们的光谱特性和化学性质。
此外，薛定谔方程还被用来研究固体材料的电子结构和导电性质，为材料科学和电子器件的设计提供了理论基础。
其次，薛定谔方程在粒子物理学中也有重要应用。
量子场论是描述基本粒子的理论框架，其中的场满足薛定谔方程。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到场的模式和激发态，从而计算出粒子的质量、自旋和相互作用等性质。
薛定谔方程还被用来研究粒子的散射和衰变等过程，为粒子物理实验的解释提供了理论依据。
此外，薛定谔方程还在量子计算和量子通信等领域有着重要应用。
量子计算利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以实现比经典计算更高效的算法。
薛定谔方程提供了描述量子比特演化的数学工具，为量子计算的设计和优化提供了理论基础。
量子通信利用量子纠缠的特性，可以实现更安全和更快速的通信方式。
薛定谔方程被用来描述量子纠缠的产生和传输，为量子通信技术的发展提供了理论支持。
薛定谔方程的应用
n 1,2,3...0 x a
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中完 全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。
5
2 、方程解的物理意义
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是 波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端 来回反射,必定形成德布罗意驻波。
2) 最低能量 (零点能) ——波动性
22
E1 2ma2 0
9
n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方 势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
E
En1
En
(2n 1)
2 2
2ma 2
(2n 1)E1
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽 很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子 性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的;
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
0
a
x
阱内: （0＜x＜a) U x 0
阱外: (x<0 & x>a) U x
薛定谔方程可以解释的生活中的问题
薛定谔方程（Schrödinger equation）是量子力学中的基本方程之一，它描述了微观粒子的运动和行为。
虽然其理论极其复杂，但薛定谔方程却可以被用来解释生活中许多奇妙的现象和问题。
本文将围绕薛定谔方程可以解释的生活中的问题展开讨论，以帮助读者更好地理解这一基础物理理论在日常生活中的应用。
一、量子隧穿效应薛定谔方程首次揭示了量子隧穿效应（quantum tunneling effect），即微观粒子可以在经典力学下无法穿越的势垒的情况下通过反常的方式穿越而无需克服这一势垒。
这一效应在生活中有很多应用，例如：1. 在隧道二极管中，量子隧穿效应使电子得以“穿越”势垒，从而帮助二极管正常工作；2. 核聚变反应中，负电子穿越核力垒，帮助实现核聚变；3. 化学反应中的“反常”速率，有时是由于量子隧穿效应引起的。
二、量子纠缠薛定谔方程还描述了量子纠缠现象，即使两个空间分隔较远的粒子，它们的状态仍然会同时发生变化，这种现象被爱因斯坦称为“一种鬼魅的行为”。
量子纠缠的出现在生活中也有许多实际应用：1. 量子计算机中，利用量子纠缠可以实现超越经典计算机的运算速度和处理能力；2. 量子密钥分发技术中的安全传输，依赖于量子纠缠的特性来保证信息的安全传输；3. 量子纠缠还被应用于实现远距离的量子通信，实现了远距离的量子纠缠态转移。
三、量子力学与生活除了上面提到的具体现象外，薛定谔方程的一些概念和原理也对我们日常生活产生了深远的影响：1. 不确定性原理：薛定谔方程提出了不确定性原理，即无法同时准确地确定微观粒子的位置和动量，这一概念改变了人们对于现实世界的理解，并且在科学研究和生活中也有很多应用；2. 双缝实验：薛定谔方程对光子和电子的双缝干涉实验提出了解释，这一实验揭示了微粒子的波粒二象性，为光学技术和电子技术的发展做出了重要贡献；3. 量子力学的数学形式和基本原理也为信息技术、纳米技术、光学技术等领域的发展提供了理论基础。
薛定谔方程及其在量子力学中的应用
薛定谔方程及其在量子力学中的应用量子力学是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程是量子力学的基石之一，它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是描述微观粒子的波函数随时间演化的数学方程。
薛定谔方程的形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数（ħ=h/2π，h为普朗克常数），Ψ是波函数，t是时间，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V是势能。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化，通过求解薛定谔方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而了解微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。
首先，它可以用来描述粒子的定态和非定态。
定态是指粒子的能量和其他性质都是确定的状态，非定态是指粒子的能量和其他性质都不是确定的状态。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的定态波函数，从而得到粒子的能量和其他性质。
而非定态波函数则描述了粒子的能量和其他性质在不同状态之间的转变。
其次，薛定谔方程还可以用来解释粒子的波粒二象性。
根据薛定谔方程，波函数Ψ可以表示粒子的概率幅，即波函数的模的平方|Ψ|²表示在某个位置上找到粒子的概率。
这就是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性又具有波动性。
薛定谔方程还可以用来解释量子力学中的量子纠缠现象。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在着一种特殊的关系，它们的状态是相互依赖的，无论它们之间的距离有多远。
薛定谔方程可以描述量子纠缠现象，通过求解薛定谔方程，我们可以得到纠缠态的波函数，从而了解量子纠缠的本质和特性。
此外，薛定谔方程还可以应用于量子力学中的量子力学力学中的研究。
量子力学力学是一种研究微观粒子运动规律的方法，它可以通过求解薛定谔方程得到粒子的运动轨迹和动力学性质。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子的波函数随时间演化的规律。
薛定谔方程在力学系统中的应用
薛定谔方程在力学系统中的应用薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了微观粒子的运动和性质。
尽管最初是为了描述原子和分子的行为而提出的，但薛定谔方程在力学系统中的应用也是非常广泛的。
本文将讨论薛定谔方程在力学系统中的几个重要应用。
首先，薛定谔方程可以用来描述粒子在势能场中的运动。
势能场是由各种力场（如引力场、电磁场等）引起的，粒子在其中受到力的作用。
薛定谔方程给出了粒子的波函数随时间的演化规律，通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在势能场中的波函数和能级。
这些信息可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量，从而揭示粒子在势能场中的运动规律。
其次，薛定谔方程还可以用来描述多粒子系统的行为。
在许多实际问题中，粒子之间相互作用是不可忽略的，而薛定谔方程可以很好地描述这种相互作用。
对于含有多个粒子的系统，薛定谔方程是一个多体问题，需要求解多个粒子的波函数。
通过求解多体薛定谔方程，可以得到多粒子系统的波函数和能级，从而揭示多粒子系统的性质和行为。
此外，薛定谔方程还可以用来描述凝聚态物质中的电子行为。
凝聚态物质是由大量原子或分子组成的物质，如固体和液体。
在凝聚态物质中，电子之间的相互作用非常强烈，因此需要使用量子力学来描述其行为。
薛定谔方程可以用来描述凝聚态物质中的电子的波函数和能级，从而揭示凝聚态物质的性质和行为。
例如，通过求解薛定谔方程，可以得到电子在晶格中的能带结构，从而解释导体、绝缘体和半导体等材料的电导性质。
最后，薛定谔方程还可以用来描述量子力学中的量子隧穿现象。
量子隧穿是指粒子在势垒中以概率的形式穿越势垒的现象。
在经典力学中，粒子在势垒中必须具有足够的能量才能穿越势垒，而在量子力学中，由于波粒二象性的存在，粒子具有一定的概率穿越势垒。
薛定谔方程可以用来计算粒子在势垒中的波函数，从而揭示量子隧穿的行为。
量子隧穿在许多领域中都有重要的应用，如核反应、扫描隧道显微镜等。
综上所述，薛定谔方程在力学系统中具有非常重要的应用。
薛定谔方程及其简单应用
薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学 形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。
薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响， 不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物 学相结合，形成了现代分子生物学。
H
2
引入薛定谔方程的想法是：我们先假定自由粒子的波动是平面波，则微分方程的最基 本的形式可以由平面波引入，再由有势能存在的情况下作相应的修正得出薛定谔方程。 它的正确性是由其结果能够解释已知的实验事实，并且能够推断出尚未发现的实验现 象来验证的。
(0)0,(a)0
H
18
代入方程，得：
(0 )A si0 nB c0 o0 s
(a ) A sik) n a B (co k) a s0(
由此可得：
B0
Asikna0
若取A=0，则=0，表示粒子不在势阱出现，这违反粒子在势阱内运动的已知条件，
所以，有： sikna0即： kan, (n1,2,3 )
H
24
经典理论中，处于无限深方势阱中粒子
的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制， 各处概率相等。
| |2
n4
随着能级的升高，几率密度的峰值增多，
当
时，粒子在势阱内各处出现的概率
n 相等，量子力学的结果过渡到经典力学的情
况。
n3 n2
0
a/2
n1 a
从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运 动。。
75.5neV
当n>>1时，能量相对间隔
En En
21 nn
当
n 时
E E 量子化不显著。
n
n
薛定谔方程一般表达式
薛定谔方程一般表达式
目录
1.薛定谔方程的定义和一般表达式
2.薛定谔方程的适用条件
3.薛定谔方程在物理学中的重要性
4.薛定谔方程的实际应用
正文
薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了一个微观粒子的运动状态。
它是由奥地利物理学家薛定谔在 1926 年提出的，对于量子力学的发展起到了重要的作用。
薛定谔方程的一般表达式为：i(Ψ/t) = HΨ，其中 i 是虚数单位，是约化普朗克常数，Ψ是波函数，t 是时间，H 是哈密顿算子。
这个方程描述了一个量子系统在时间演化下的状态变化，是量子力学基本方程之一。
薛定谔方程的适用条件是：系统的哈密顿量 H 是时间独立的，这意
味着系统在演化过程中能量是守恒的。
此外，薛定谔方程仅适用于量子体系，不适用于经典物理体系。
薛定谔方程在物理学中的重要性体现在它对于量子力学的发展起到
了关键作用。
它提供了一种描述微观粒子运动状态的方法，使得人们可以更好地理解原子、分子等微观世界的现象。
此外，薛定谔方程在实际应用中也有着广泛的应用，例如在量子计算、量子通信、量子力学基础研究等领域都有重要的应用价值。
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薛定谔方程
Acos(
2m
E
x
)
B
sin(
2m
E
x)
这样得到的解为:
( x) Acos(
2m E
x
)
B sin(
2m E
x
)
代入边界条件得：
(0) Acos(0) B sin(0) 0, A 0
(l) B sin(
2m
E
l
)
0,
B
0,
sin(
2m
E
l
)
0
得 能 量 及 波 函 数 ：2m E
0)要求 2mEx必须是实数。
解的结论:
(i) Ex 必须是正数，既 0∞之间的 任何值，即自由粒子的能谱是连续 的而不是分立的。
(ii)粒子在x轴上任何位置出现的几率
相等, 即:ρ=*=A*A=常数,因
此 x的位置完全不确定。
三、势阱中的粒子
1.一维无限势阱
在区间I和III, Schroedinger方程为:
2.定态Schrödinger方程
The Time-Independent Schrödinger Equation
假定: V与时间无关, 即: V=V(x,y,z)
且 (x,y,z,t) = f(t) (x,y,z)
(1.2)
Ψ df (t) ,
t dt
2Ψ x 2
f
(
t
)
d 2
dx2
,
2Ψ y2
22 Βιβλιοθήκη 22 y 22 z 2
为拉普拉斯算符
Ψ 2 2Ψ VΨ
(1.1)
i t 2m
上式中: ħ = h/2π; = (x,y,z,t) 为波
薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为和性质。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，被广泛应用于原子物理、分子物理、凝聚态物理等领域。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理以及其在量子力学研究和实际应用中的重要性。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的波动性质的基本方程。
它的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的演化规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而计算出粒子的能量、动量、位置等物理量。
薛定谔方程的解可以用波函数表示，波函数的模的平方表示了粒子存在于不同位置的概率。
波函数的具体形式取决于体系的边界条件和势能场。
对于自由粒子，波函数可以用平面波表示；对于束缚态，波函数则由边界条件和势能场决定。
薛定谔方程的解可以通过数值计算或近似方法求得。
薛定谔方程在量子力学的研究中起着重要的作用。
它可以用来描述原子和分子的电子结构，解释化学反应的机理，预测材料的性质等。
在原子物理中，薛定谔方程被用来计算原子的能级和光谱线；在分子物理中，薛定谔方程可以用来研究分子的振动和转动；在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来描述电子在晶体中的行为和导电性质。
除了用于研究基本粒子和物质的性质，薛定谔方程还被应用于量子计算和量子通信等领域。
量子计算是一种基于量子力学原理的新型计算方法，利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以在某些情况下比传统计算方法更高效。
薛定谔方程提供了描述量子比特（qubit）行为的数学工具，为量子计算的实现提供了理论基础。
此外，薛定谔方程还被应用于量子力学中的一些基本现象的研究，如量子隧穿效应、量子干涉和量子纠缠等。
这些现象在实验室中已经得到了验证，并且在量子信息科学和量子技术的发展中发挥着重要作用。
总之，薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的波动性质。
薛定谔方程及其应用
y ( x , t ) = A cos 2π (ν t −
x
λ
)
电磁波
E ( x , t ) = E 0 cos 2π (νt − )
x
λ
经典波为实 经典波为实函数
H ( x , t ) = H 0 cos 2π (ν t − )
7
例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a 作一维运动的粒子被束缚在 的范围内，已知其波函数为： 的范围内，已知其波函数为：
Ψ ( x ) = A sin
πx
a
求：(1)常数 ；(2)粒子在 到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 常数A； 粒子在0到 区域内出现的概率； 粒子在何 常数 粒子在 区域内出现的概率 处出现的概率最大？ 处出现的概率最大？ 解：(1)由归一化条件 由归一化条件
求二阶偏导： 对 x 求二阶偏导：
i − ( Et − px ) ℏ
i = − EΨ ( x , t ) ① ℏ
Ψ ( x , t ) = Ae
i − ( Et − px ) ℏ
i ∂Ψ ( x , t ) i = pΨ0 e = pΨ( x , t ) ℏ ℏ ∂x i 2 2 − ( Et − px ) ∂ Ψ ( x , t ) ip 2 p ℏ = ( ) Ψ 0e = − 2 Ψ( x , t ) ② 2 ∂x ℏ ℏ
1 ∂f ( t ) 1 ℏ2 2 iℏ [− = ∇ ϕ ( r ) + U ( r )ϕ ( r )] = E ϕ ( r ) 2m f ( t ) ∂t
d 2π 2πx 2 sin Ψ = =0 dx a a 即当 2πx = kπ , k = 0,±1,±2, ⋯ a
薛定谔方程在化学中的应用
薛定谔方程是一个重要的物理学理论，它描述了原子和分子中电子的运动。
在化学中，薛定谔方程可用于解释许多化学现象，包括：1 原子吸收光谱：原子吸收光谱是利用薛定谔方程来研究原子的结构和性质的一种方法。
原子吸收光谱是通过向原子送入电磁辐射，然后观察原子是否吸收光谱中的某些波长的光来研究原子结构的。
2 化学反应速率：薛定谔方程可用于解释化学反应速率的变化。
例如，当反应物分子的能级较高时，反应速率较快，因为电子越容易被转移到产物分子中。
3 化学平衡：薛定谔方程可用于解释化学平衡的原理。
在平衡反应中，反应物和产物的能级相差较小，因此反应物和产物之间的转化速率相差较小。
4 化学结构：薛定谔方程可以用来解释化学分子的结构，例如，它可以解释为什么某些分子的电子密度分布的方式是如此的不同。
总的来说，薛定谔方程是化学研究中的一个重要理论工具，它对于更多的化学研究和应用，薛定谔方程还可以用于：5 化学结合能：薛定谔方程可用于研究原子之间的化学结合能，即相邻原子之间的能量差。
这有助于解释为什么某些原子更容易形成化合物，而其他原子不容易。
6 电子转移反应：薛定谔方程可用于研究电子转移反应，即原子或分子之间电子的转移。
这对于研究催化剂的作用至关重要，因为催化剂能够促进电子转移反应的发生。
7 电子结构：薛定谔方程可用于研究分子的电子结构，包括电子密度分布、电子云形状以及分子的极性。
这些信息对于研究分子的化学性质非常重要。
8 光解反应：薛定谔方程可用于研究光解反应，即分子在受到光照射时分解的过程。
这是一种常见的化学反应，可以用来制造许多有用的化学物质。
总的来说，薛定谔方程是一个非常强大的化学工具，它能够帮助我们理解许多化学现象，并为我们提供重要的研究和应用信息。
薛定谔方程原理在实际中的应用
薛定谔方程原理在实际中的应用1. 量子力学简介量子力学是描述微观领域中粒子行为的物理学理论。
薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了波函数的演化随时间的变化。
薛定谔方程起源于奥地利的物理学家Erwin Schrödinger，被广泛应用于解释原子、分子和凝聚态物质等系统的性质。
2. 基本原理薛定谔方程是一个表示量子系统的波函数随时间演化的偏微分方程。
它可以写成如下的形式：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，ħ是约化普朗克常数，i是虚数单位，∂ψ/∂t表示波函数对时间的偏导数，H是系统的哈密顿算符，ψ是量子态的波函数。
3. 薛定谔方程应用3.1 原子物理学薛定谔方程在原子物理学中起着重要作用。
它可以用来描述电子在原子轨道中的运动行为。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到不同轨道的能量和波函数分布。
这些信息对于研究原子光谱、化学反应和电子结构等具有重要意义。
3.2 分子物理学在分子物理学中，薛定谔方程被应用来描述分子的振动和转动行为。
通过求解薛定谔方程，我们可以计算分子的能级结构和光谱特性，进而研究分子的结构和化学性质。
3.3 凝聚态物理学薛定谔方程在凝聚态物理学中也有广泛的应用。
在固体物理学中，它可以用来描述电子在晶体中的行为，如电子的晶格传播和能带结构等。
在超流体和超导体等凝聚态系统中，薛定谔方程可以用来描述Bose-Einstein凝聚和Cooper配对等现象。
3.4 量子计算与量子通信薛定谔方程的应用还延伸到量子计算和量子通信领域。
量子计算利用量子力学的超位置和量子叠加原理来进行信息处理，薛定谔方程描述了量子比特的演化和相互作用。
量子通信利用纠缠态和量子隐形传态等现象来实现高效的信息传输和安全通信。
4. 结论薛定谔方程是描述量子力学中微观系统行为的基础方程之一。
它在原子物理学、分子物理学、凝聚态物理学以及量子计算和通信等领域具有广泛的应用。
通过解析或数值求解薛定谔方程，我们可以研究量子系统的能级结构、波函数分布及其随时间演化的行为。
15-2 薛定谔方程及其应用
七、薛定谔方程的应用三
氢原子的量子理论
七、薛定谔方程的应用三
2. 解方程得到的主要结论 4 1 me （1）能量量子化 En 2 n 2 8 o h 2
氢原子的量子理论
n 1,2,
（主量子数）
（2）（轨道）角动量（大小）量子化
h L l (l 1) 2
l 0,1,2, (n 1)
E1 e E m B Lz B 2m
七、薛定谔方程的应用三 补充说明：
氢原子的量子理论
（1）氢原子中电子的稳定状态，可以用一组量子数 （n, l, ml）表示，其定态波函数为 nlml (r , , )
nlml 2
（2）根据求得的氢原子电子定态波函数 nlml (r , , ) 2 就可求得电子出现在原子核周围的概率密度 (r , , )
Pdr Rnl r dr Θ sin d
2 2 0
π
2
2π
0
Φ d
2
由归一化条件，对于基态（n=1, l=0）：
玻尔半径 2 0h
a0 π me
在 r r dr内， Rnl (r ) r 2 P
2
5.29 10
11
m
4 3e a0
2r a0
r2
x i 2 (t )
2. 波函数的物理意义
复函数 （自由粒子在空间各点等概率）
Ψ 0e
i
2 ( Et px ) h
t 时刻粒子在空间某点附近体积元 dV 中出现的 概率与该处波函数绝对值的平方成正比。即
2 * dW Ψ (r , t ) dV Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV
薛定谔方程的研究与应用
薛定谔方程的研究与应用薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，它描述了微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程的研究与应用在物理学领域具有重要意义，本文将对薛定谔方程的基本原理、数学形式以及其在量子力学中的应用进行探讨。
薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，它是描述微观粒子的波函数随时间演化的方程。
波函数是描述粒子状态的数学函数，它包含了粒子的位置、动量以及其他物理性质的信息。
薛定谔方程的基本原理是根据哈密顿量来描述粒子的能量，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，从而确定粒子的性质。
薛定谔方程的数学形式为：\[\hat{H}\Psi = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\]其中，\(\hat{H}\)为系统的哈密顿量，\(\Psi\)为波函数，\(i\)为虚数单位，\(\hbar\)为约化普朗克常数，\(\frac{\partial\Psi}{\partial t}\)表示波函数随时间的变化率。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要借助于数学工具和物理学的知识。
薛定谔方程的研究与应用在量子力学中具有广泛的应用。
首先，薛定谔方程可以用来描述微观粒子的运动和行为。
根据波函数的模的平方，可以计算出粒子在空间中的概率分布，从而得到粒子的位置、动量等信息。
薛定谔方程还可以用来描述粒子之间的相互作用，如电子的自旋、原子核的振动等。
其次，薛定谔方程还可以用来解释和预测一系列的实验现象。
例如，薛定谔方程可以解释光的干涉和衍射现象，以及电子的波粒二象性。
薛定谔方程还可以用来解释和预测材料的电子结构和性质，如金属的导电性、半导体的能带结构等。
通过求解薛定谔方程，可以得到材料中电子的波函数和能级分布，从而确定材料的电子性质。
此外，薛定谔方程还被广泛应用于量子计算和量子通信领域。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，相较于传统的计算方式，具有更高的计算效率和安全性。
第3章薛定谔方程及应用简例
n
1 2 3
En
π2 2 E1 2ma 2
n
2 π 1 sin x a a
P n
2 2πx P sin 1 a a
分子束缚 在箱子内
三维方势肼
方势阱
25
3.势垒
U( x)
U( x)
梯形势 散射问题
势垒 隧道贯穿
U( x)
U( x)
26
4.其他形式
超晶格
谐振子
27
一、一维无限深方形势阱
U=U0 U(x) 功函数 U=U0 极 U→∞ U(x) U→∞
E
U=0
金属
E
a 0 x 无限深方势阱 （ potential well ） U=0
为了方便将波函数脚标去掉
•令 将方程写成 •通解
k2
2mE 2
( x) k 2 ( x) 0
( x) A coskx B sinkx
式中 A 和 B 是待定常数
33
5.由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是
( x) A coskx B sinkx
(1)解的形式
2
同学可以将波函数代入验证该方程
可以与经典的波动方程比较形式的不同
4
2. 写薛定谔方程的简单路径 自由粒子波函数 ( x,t )
i ( Px x E t) Ae
微分
( x,t) i － E ( x,t) t
注意到
i E t
( x,t) i P ( x,t) x x
利用
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2 写为 i (r , t ) [ 2 U (r , t )] (r, t) t 2m
薛定谔方程及简单应用
i Et
(x) ei Et
由d2 (x)
dx 2
p2 2
(x)
和
p2 E
2m
振幅函数
得
d2 (x) 2mE (x) 0
dx 2
2
自由粒子的振幅方程
（二）定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
Ek
Ep
p2 2m
U ；p2
2m(E
U)
代入
d 2 ( x)
dx 2
p 2
2
( x)
U(x) =
x 0, x a
o
ax
代入一维定态薛定谔方程
d2
d x2
2m 2
(
E
U )
0
得本问题中的薛定谔方程: 0<x<a
U
d2
d x2
2m 2
E
0
x 0, x a
o
a
x
d2
d x2
2m 2
E
0
0 （粒子不能逸出势阱）
2. 求解波函数
由
d2
dx 2
2mE 2
0
0 x a
令
k
2
最小能量E1即零点能,
o
n= 4
n= 3
n= 2
n= 1
a
x
粒子不可能静止不动， 满足不确定关系
由
E
k 22 2m
n2 22
2ma 2
n2E1
E
En1
En
2n
1
22
2ma 2
n E
(n 1,2,3,...)
E n= 4
a E
Schrodinger方程及应用
Schrodinger方程及应用薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子的运动和行为。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理和应用，并探讨其在物理、化学和工程领域的重要性。
薛定谔方程由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出。
这个方程揭示了微观粒子（如电子和原子等）的双重性质，即既可以表现为粒子，又可以表现为波动。
薛定谔方程的形式如下：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，ħ是普朗克常量的约化形式，Ψ是波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程可以用来描述系统的演化，并预测粒子的位置、动量和能量等物理量的概率分布。
薛定谔方程的解是波函数，用于描述粒子在空间中的分布。
波函数的模的平方给出了粒子在不同位置上被观测到的概率。
这种概率性描述在传统物理理论中是无法解释的，但在量子力学中得到了很好的解释。
薛定谔方程在量子力学的许多应用中起到了关键作用。
首先，它可以用来计算和预测原子和分子的能级和光谱。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到包括电子在内的粒子在各种势场中的能量。
这为解释和预测原子和分子的化学行为提供了理论基础。
其次，薛定谔方程也被广泛应用于材料科学和纳米技术领域。
通过求解薛定谔方程，研究者可以了解材料的电子结构和载流子行为，从而设计出具有特定性能和功能的新材料。
例如，在半导体器件的设计中，通过计算材料的能带结构和载流子的输运性质，可以优化器件的性能。
另外，薛定谔方程还被广泛运用于量子力学系统的模拟和计算。
利用计算机数值求解薛定谔方程，可以模拟和研究各种量子系统，如原子核、凝聚态物质和量子计算机等。
这为研究人员提供了一个重要的工具，帮助他们理解和探索微观世界的奥秘。
除了物理和化学领域，薛定谔方程还在工程应用中发挥着重要作用。
例如，在量子信息技术中，薛定谔方程被用于描述和处理量子比特（qubit）的演化和相互作用。
这对于实现量子计算和量子通信等新一代技术具有重要意义。
总结而言，薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的波动性和运动行为。
02 薛定谔方程及其应用
df = Edt ♦ 一个是变量为t 的方程 ih f 可以把它先解出来： 可以把它先解出来：
其解为
f = Ae
i t − E h
……（★） （
是待定复常数； 有能量量纲, （A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是 粒子的能量： 势能， 包括静能） 粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能） 一个是变量为x ♦ 一个是变量为 的方程
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
奥地利物理学家 薛定谔 （Schrodinger 1887-1961） ）
1933年薛定谔获 年薛定谔获 诺贝尔物理奖。 诺贝尔物理奖。
说明： 说明： （1）它是一个复数偏微分方程； 它是一个复数偏微分方程； 复数偏微分方程 r 复函数。 其解波函数 Ψr, t) 是一个复函数。 ( 是一个复函数 （2）它的解满足态的叠加原理 r r 是薛定谔方程的解， 若 Ψ ( r , t )和 Ψ ( r , t ) 是薛定谔方程的解， 1 2 因为薛定谔方程是线性偏微分方程。 因为薛定谔方程是线性偏微分方程。 线性偏微分方程 （3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 它并非推导所得，最初是假设， 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律” 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。 （4）它是非相对论形式的方程。 它是非相对论形式的方程。
于是对每一个
n
值，波函数的空间部分为
2 nπ sin x, n = 2,4,6,L ψon = a a 2 nπ cos x, n =1,3,5,L ψen = a a ψn = 0,
这些波函数也称为能量本征函数。 这些波函数也称为能量本征函数。 能量本征函数
｝
a x≤ 2
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当 n , E n / E 2 / n 0 能级分布可视为连续的。
22
（2）波函数
( x 0, x a ) 在阱 内 ( 0 x a ) ，定态薛定谔方程为：
17
( x) 0
在阱内粒子势能为零，满足：
d ( x)
2 2
2m
令 k
2
dx
2
2
E ( x)
(0 x a )
2 mE
2
，则方程可化为：
d ( x)
2
dx 该方程就是波动方程，其通解为：
4
首先看平面波的波动方程： 将其用于自由粒子则：
x y A cos 2 t
2 1 h x A cos E t px y A cos h t h
Et ( r , t ) ( r )e
12
Et ( r , t ) ( r )e
称为定态。
i
定态波函数所描述的状态 称为
方程 2m 定态薛定谔方程。
2
2
( r ) U ( r ) ( r ) E ( r )
14
i Et ( r , t ) ( r )e
对于波函数，有意义是波函数可以描述粒子的量子状态。 波恩首先提出的波函数的统计解释：波函数在空间 某一点的强度（波函数振幅的平方）与在该点找到粒子 的几率成正比。 2 * 粒子在 r 处的几率 （ r , t ) （ r , t )
E ( x, t )
①
当粒子速度远小于光速c时（v<<c）自由粒子的动量 和能量满足以下关系：
E
p
2
2m
③
利用上面的两个公式消去 p,E 得：
7
可得：
t 2m x 这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。
2
i
( x, t )
2
( x, t )
2
④
2.薛定谔方程的一般形式
i
E 0 e
i ( Et px )
i
E ( x, t ) ①
上式两边都乘以 i 得： ( x, t ) i E ( x, t ) t 对 x 求二阶偏导 i ( Et px ) ( x, t ) i i p0 e p ( x, t ) x
较可知：
13
常数E其实就是微观粒子的总能量，所以定态也 就是微观粒子能量不随时间变化的量子态。 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函 数 ( r , t ) 和在这些态中的能量E。 由于定态波函数 ( r , t ) 和函数 (r ) 以公式 ：
联系起来，所以问题就归结 于解定态薛定谔方程求出能量E的可能值和波函数 (r ) 5.波函数的统计解释： 薛定谔方程的解称为波函数，波函数本身并不表示微 观粒子运动轨迹，也不表示粒子的波动状态（粒子运 动没有振幅） 。实际上波函数本身并没有物理意义。
2
引入薛定谔方程的想法是：我们先假定自由粒子的波动是平面波，则微分方程的最基 本的形式可以由平面波引入，再由有势能存在的情况下作相应的修正得出薛定谔方程。 它的正确性是由其结果能够解释已知的实验事实，并且能够推断出尚未发现的实验现 象来验证的。
3
1926年，薛定谔提出了薛定谔方程做为量子力 学的一个基本方程来描述微观粒子的运动。当微观 粒子所处的力场确定后，粒子所处的状态可以由薛 定谔方程求解。
ˆ i 则⑦式可写为： H t
2
这就是薛定谔方 程的一般形式。
9
3.建立薛定谔方程的一般方法 （1）找出粒子总能E与动量P的关系式； （2）把关系式中的E和P算符化： E i , p i t （3）把经算符化后的关系式分别作用在上，即可 得到所需的薛定谔方程。 4.定态薛定谔方程 如果粒子的势能并不随时间而变化，即V=V(x,y,z)， 它不包含时间。在经典力学中这相应于粒子机械能守 恒的情况，在这种情况下，可以用分离变量法把波函 数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即： 10 ( r , t ) ( r ) f (t )
o
a
16
x
1.薛定谔方程的建立 由于势能与时间无关，所以本题是定态问题。
在阱外 ( x 0 , x a ) ，定态薛定谔方程 为： 2 2 d ( x) V 0 ( x ) E ( x ) ( x 0 , x a ) 2 2 m dx
式中： 0 U 根据波函数应满足连续性和有限性的条件，只 有当=0时，方程才有意义，所以有：
利用复数计算公式
e
ix
cos x i sin x
E
t px
上式可以记为
y Ae
i
1.自由粒子的薛定谔方程
动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴运动的波函数为：
( x , t ) 0 e
( Et px )
5
i
对时间求微商，得到：
( x, t ) t
由此可得：
B0 A sin ka 0
若取A=0，则=0，表示粒子不在势阱出现，这违 反粒子在势阱内运动的已知条件，
所以，有：sin ka 0 即： ka n , ( n 1, 2 ,3 )
n不能取零，否则无意义。
k n a
( n 1, 2 ,3 )
19
( x ) A sin(
2-1
薛定谔方程及 其简单应用
1
奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。 薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人 之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭 的放射性等方面的研究都有很大成就。 薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起 来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔 方程的量子力学波动方程。 薛定谔对分子生物学的发展也做过工 作。由于他的影响，不少物理学家参 与了生物学的研究工作，使物理学和 生物学相结合，形成了现代分子生物 学。
8
⑤
由此可知，粒子能量E和动量P与下列作用在波 函数上的算符相当： E i , p 2 2 2或 p i t ˆ 写成式子： E i , p i ˆ t
i j k x y z
ˆ 2 V 引入哈密顿算符： H 2m
k ( x) 0
2
( x ) A sin kx B cos kx
根据波函数的标准化条件，在边界上：
( 0 ) 0 , ( a ) 0
18
代入方程，得： ( 0 ) A sin 0 B cos 0 0
( a ) A sin( ka ) B cos( ka ) 0
一、薛定谔方程
要建立微观粒子的运动方程，应包含时间及空 间变量。这个方程还应满足以下两个条件：（1）方 程是线性的，即如果1和2都是这方程的解，那么 1和2的线性迭加（a1 +b2）也应是方程的解。 这是由态迭加原理(干涉现象）决定的；（2）这个 方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。 否则方程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各 种可能的状态所满足。
iE t
)e
,
n 1, 2 ,3,
(0 x a )
20
讨论：
（1）能级和能级差 由 k
2
2 mE
2
En
2 2
和 k
n a
可得：
2 ma
2
n
2
n 1, 2 ,3,
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一 系列分立值，即它的能量是量子化的。
# 称 n 为量子数；n (x ) 为本征态；E n 为本征能量。
二、薛定谔方程的简单应用
1.一维无限深势阱
考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定 区域内（x=0到x=a）为零，而在此区域外势能为无 限大，即： 0 ( 0 x a )
U ( x)
( x 0及 x a )
U ( x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一维 无限深方势阱。
# 零点能的存在 E
1
2
2 2
称为基态能量。
21
2ma
#能级间隔：
E n E n 1 E n
( 2 n 1)
2 2
2 ma
2
相邻能级间的差值，随量子数n的增加而增加，随 粒子质量m和势阱宽度a的增大而减小。 对宏观物体，由于其质量很大，运动范围也大， E很小，故其能量可看作是连续变化的。
对于平面波
*
0 e
i ( Et Px )
0 e
i ( Et
Px )
2 0
表示自由粒子在空间出现的几率处处相等。
6.应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤
（1）找出问题中势能函数的具体形式，代入相应 的薛定谔方程； （2）用分离变量法求解波函数；
15
(3)由波函数归一化条件和连续性条件，确定积分常 数； (4)求概率密度并讨论其物理意义。
定态薛定谔方程的每一个解表示粒子的一个稳定 状态，并且由其解所得出的粒子在空间的几率密度 与时间无关：
i Et 2 2 2 | ( r , t ) | | ( r ) e | | ( r ) |