常微分方程课程教学大纲

常微分方程课程教学大纲

（Ordinary Differential Equation）

课程性质：学科基础课

适用专业：信息与计算科学

先修课程：数学分析、高等代数、普通物理

后续课程：微分方程数值解

总学分：3

教学目的与要求：

微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景。通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。

通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法。并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后续课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。

教学内容与学时安排

第一章绪论（4学时）

1、微分方程的产生；

2、基本概念。

第二章一阶微分方程的初等解法（12学时）

1、变量分离方程与变量变换；

2、线性方程与常数变易法；

3、恰当方程与积分因子；

4、一阶隐方程与参数表示。

本章重点：各种初等解法。

难点：一阶隐方程与参数表示。

第三章一阶微分方程解的存在定理（6学时）

1、解的存在唯一性定理与逐步逼近法；

2、解的延拓。

本章重点：解的存在唯一性定理与逐步逼近法。

难点：解的延拓。

第四章高阶微分方程（10学时）

1、线性微分方程的一般理论；

2、常系数线性方程的解法；

3、高阶方程的降阶和幂级数解法。

本单重点：常系数线性方程的解法。

难点：高阶方程幂级数解法。

第五章线性微分方程组（10学时）

1、存在唯一性定理；

2、线性微分方程组的一般理论；

3、常系数线性微分方程组。

本章重点：线性微分方程组的一般理论。

第六章非线性微分方程和稳定性（10学时）

1、引言；

2、相平面；

3、按线性近似决定微分方程组的稳定性；

4、李雅普诺夫第二方法；

5、周期解和极限环。

本章重点：非线性微分方程组的解法。

难点：周期解。

教材：

王高雄等编《常微分方程》（第二版式），高等教育出版社，1982。

主要参考书：

叶彦谦编《常微分方程讲义》，高等教育出版社，1982。

王柔怀编《常微分方程讲义》，高等教育出版社，1980。

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