积分变换主要公式

一、傅里叶变换

1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：

1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞

⎰

收敛；

则傅氏积分公式存在，且有

()()()()()(),

1[]11002,2

iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ

+∞+∞--∞

-∞

⎧⎪

=-⎨++-⎪

⎩⎰⎰

是的连续点是的第一类间断点

2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞

--∞

==

⎰

1-2

傅里叶逆变换定义式：()1

1

[]()()2iwt F F w f t F w e dw π

+∞--∞

==

⎰

1-3

3、常用函数的傅里叶变换公式()1

()F

F

f t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1

,22()sin 2

0,2

F F E t E f t t τ

τωτω-⎧

≤

⎪⎪

−−→=⎨

←−−⎪>

⎪⎩

1-4 单边指数衰减函数

()()1,0110

,0t

F

F

e t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨

←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()1

1F F

t δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()1

1

F F u t w iw

πδ-−−→+←−− 1-7 ()112F F

w πδ-−−→←−− 1-8 ()1

2F

F

t j πδω-−−→'←−− 1-9 ()01

02F j t F e ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos F

F

t ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦

1-11 ()()1000sin F F

t j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦

1-12

4、傅里叶变换的性质

设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =

（1）线性性：()()1

121()()F F

f t f t F F αβαωβω-−−→++←−− 1-13 （2）位移性：()()0

1

0F j t F f t t e F ωω--−−→-←−− 1-14

()01

0()F

j t F

e f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1

()F F

f t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1

()F n n F

f t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1

()F

F

jt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1

()F

n

n F

jt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：

()1

1()t

F F f t dt F j ωω

--∞

−−→←−−⎰

1-20 （5）相似性：1

1()F

F f at F a a ω-⎛⎫

−−→←−− ⎪⎝⎭

1-21 （6）对称性：()1

()2F

F

F t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：

（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1

[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2

（2）位移性：[]0()F f t t -=()0

iwt e

F w - 1-14

()

00

0()()iw t

w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15

（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有

[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16

()()()()()[]()n

n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦

1-17 []()()d

F tf t j

F w dw

= 1-18

()()n

n

n

n d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19

（4）积分性：()

()t

F w F

f t dt iw

-∞

⎡⎤=

⎢⎥⎣

⎦⎰

1-20

（5）相似性：[]1()()w

F f at F a a

=

1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2

（6）对称性:设 ()()w F t f −→←

，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-22

5、卷积公式 ：)()(21t f t f *=

τττd t f f )()(21-⎰

+∞

∞

-。 1-23

()()12012()(),0()()0,0

t

f f t d t f t u t f t u t t τττ

⎧-≥⎪*=⎨

⎪<⎩

⎰ 1-24

6、卷积定理：设[]11()()F f t F w = []22()()F f t F w =

1

1212()()()()F

F

f t f t F w F w -−−→*⋅←−− 1-25 1

1212()()()()F F

f t f t F w F w -−−→⋅*←−− 1-26 7、单位脉冲函数:

筛选性：假设()f t -∞+∞在（，）上连续，则有：

()()(0)t f t dt f δ+∞

-∞

=⎰

1-27

更一般的有：

00()()()t t f t dt f t δ+∞

-∞

-=⎰

1-28

时间尺度变换性质：1()()c

kt c t k k

δδ-=

- 其中,0k c ≠ 1-29 特殊的：1

()(),(0)kt t k k

δδ=

≠和()()t t δδ-= 1-30 乘以时间的函数()f t 性质：()()()()f t t a f a t a δδ-=- 1-31 特殊的：()()(0)()f t t f t δδ=和()0t t δ=