华中科技大学 微积分 课件

解: 令 u arctan x , v x 1 1 2 则 u , v x 2 1 x2 2 1 2 1 x ∴ 原式 x arctan x dx 2 2 2 1 x 1 1 1 2 ) dx x arctan x (1 2 2 2 1 x 1 2 1 x arctan x ( x arctan x) C 2 2
1 x
指: 指数函数 三: 三角函数
原式 = x arccos x
x 1 x 2
dx
2
1
x arccos
x1 2
2 2 ( 1 x ) d( 1 x )
x arccos x 1 x 2 C
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例6. 求
1 , 则 解: 令 u ln cos x , v cos 2 x u tan x , v tan x

24
1 e 4u 44

0

e
4u
1 e 4u 45
1 4u 4 3 3 2 3 3 u u u u 原式 = e C 4 8 4 32 1 4 3 2 3 3 4 3 C x ln x ln x ln x ln x 4 4 8 32
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例14. 求
u u 解: 令 u ln x , 则 x e , dx e d u
原式 e3 u u 4 eu d u u 4 e 4 u d u
u4

4 u3
1 e 4u 4

12 u 2
1 e 4u 42
24 u
1 e 4u 43
I
1 x 2 1 x
2
e
arctan x
C
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内容小结
分部积分公式
u v d x u v u v dx
1. 使用原则 : v 易求出, u v dx 易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v
3. 题目类型 :
例1. 求
解: 令 u x , v cos x , 则 u 1, v sin x
∴ 原式 x sin x sin x dx
x sin x cos x C
思考: 如何求
2 提示: 令 u x , v sin x, 则
原式
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x e 例4. 求 sin x dx . x 解: 令 u sin x , v e , 则
x u cos x , v e
x x e e sin x ∴ 原式 cos x dx
x 再令 u cos x , v e , 则 u sin x , v e x
2
1
1
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t 2 t e 原式 dt t u t , v e 令
t e ) C 2(t e
t
2e
x
( x 1) C
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例8. 求 解: 令 u x a , v 1, 则 u
2 2
x x2 a
x2 x a
2 2
v x , 2

x a dx x x a
2 2
2
2
dx
x x a
2 2 2 2
( x 2 a 2 )a 2 x a
2 2
dx
dx x2 a2
2 2 2 x a d x a x x a
2 1 a 2 2 2 2 ∴ 原式 = x x a ln ( x x a ) C 2 2
2 tan x ln cos x tan 原式 = x dx
tan x ln cos x (sec 2 x 1) dx tan x ln cos x tan x x C
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例7. 求 解: 令 x t , 则 x t 2 , d x 2 t d t
例12. 求 I
earctan x
3
(1 x 2 ) 2 解法1 先换元后分部 2 x tan t , dx sec tdt 令 t arctan x , 则 et I 3 sec 2 t d t e t cos t d t sec t 2 t t 1 x e sin t e sin t d t
cos x cos x C x x x cos x sin x 2 C x
再求积分反而复杂.
说明: 此题若先求出
2 sin x 2 cos x cos x d x x f ( x) dx 2 x x
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例2. 求 x ln x dx .
解: 令 u ln x , v x 1 1 2 u , v x 则 x 2 1 2 1 原式 = x ln x x dx 2 2 1 2 1 2 x ln x x C 2 4
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例3. 求 x arctan x dx .
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备用题. 求不定积分
解： 方法1 (先分部 , 再换元)
d (e x 1)
令 u e 1, 则
x
4
u 2 1 1
4(u arctan u ) C
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方法2 (先换元,再分部)
令 u e x 1, 则
故
2u ln(1 u )
分部化简 ; 循环解出; 递推公式
4. 计算格式 :
u
u v v
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例13. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令 则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
sin t e
t
cos t t e
第三节 分部积分法
由导数公式 积分得:
第五章
(uv) u v uv
uv u vdx u v dx
分部积分公式
uv dx uv uv dx 或 ud v uv v d u
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
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1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 例4
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .
例4
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例11. 已知 解:
的一个原函数是
求
x f ( x) dx x d f ( x) x f ( x) f ( x ) dx
1 x 2 n 1 I 得递推公式 I n1 2 2 2 n 2 n 2 n a (x a ) 2na
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1 x 2 n 1 I 递推公式 I n1 2 2 2 n 2 n 2 n a (x a ) 2na 1 x 说明: 已知 I1 arctan C 利用递推公式可求得 I n . a a 例如, 3 1 x 2 I2 I3 2 2 2 2 4a ( x a ) 4a 3 1 x 1 x 1 2 2 2 2 2 2 I1 2 2 2 4a ( x a ) 4a 2a x a 2a 3 x 3 x 1 x 2 2 4 2 5 arctan C 2 2 2 a 4a ( x a ) 8a x a 8a
dx .
e t sin t e t cos t e t cos t d t 故 I 1 (sin t cos t ) e t C 2 1 x 1 arctan x e C 2 2 1 x 2 1 x
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x
t 1
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解法2 用分部积分法 e arctan x I dx 3 1 (1 x 2 ) 2 I d e arctan x 1 x2 arctan x 1 arctan x xe e dx 3 2 1 x (1 x 2 ) 2 1 x arctan x e d e arctan x 1 x2 1 x2 1 earctan x (1 x) I 1 x2
e x sin x e x cos x e x sin x dx
故 原式 =
1 e x (sin x cos 2
x) C
说明: 也可设 必须一致 .
为三角函数 , 但两次所设类型
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解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 v . 顺序, 前者为 u 后者为 对: 对数函数 例5. 求 幂: 幂函数 解: 令 u arccos x , v 1 , 则 u 1 2 , v x
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例9. 求
1 2n x 1, 则 u v , ,v x 解: 令 u 2 2 n 2 2 n 1 (x a ) ( x a ) x2 x In 2 2 n d x ( x 2 a 2 ) n 1 ( x a 2 )n 2 2 2 x (x a ) a 2 dx 2 n 2 n 2 2 n 1 (x a ) (x a ) x 2 2 2 n I 2 n a I n1 n 2 n (x a )
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例10. 证明递推公式
n2 2 I tan x (sec x 1) dx 证: n
tan n 2 x d(tan x) I n2
tan x I n2 n 1
注:
n 1
或
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说明:
分部积分题目的类型:
sin t et
e t sin t e t cos t d t
et (sin t cos t ) I 可用表格法求 1 t I e (sin t cos t ) C 多次分部积分 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2
思考与练习
1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
cos x sin x dx cos x 1 dx sin x cos x cos x dx d x 1, sin x sin x
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .