高等数学A(一)期末试题及答案

1 / 3

济南大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 高等数学A （一） 考试时间 2013 年 12 月 31 日

………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e

1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ．

(3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-⎰

10211dx x 2π . (5) =⎰∞

+121dx x

1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D)

21. (2) 设x

x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.

(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B)

(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1.

(4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C)

(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.

(5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D)

(A) ⎰=')()(x f dx x f . (B)

C x f dx x f dx d +=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x

-='⎰. (D) )())((0x f dt t f x ='⎰.

三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6

2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x

2 /

3 (2) 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 2

22x x x

x x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 412

2-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dx

dy 和22dx y d . 两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y

所以得; y

y ln 21+=' y

y ln 21+=

'

四、计算下列积分（每小题8分，共32分）

(1) ⎰-dx x x )2sin(2. 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(2

1)2()2sin(21)2sin(2222 (2) ⎰-dx x 21. 解：令t x sin =，2||π≤

t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1 C t t t C t t dt t ++=++=+=

⎰cos sin 2

122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) ⎰1

0arctan xdx . 解：⎰⎰+-=1

0210101]arctan [arctan dx x x x x xdx 2ln 2

14)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) ⎰1

0dx e x . 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=1

0102dt te dx e t x 22][221

0101

0=-==⎰⎰dt e te tde t t t 五、综合题（每小题10分，共20分）

(1) 设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩

⎪⎨⎧=++=⎰22031t u du e y t t x 所确定，求函数)(x y y =的极值. 解：23124t te dx dy t +=，令0=dx

dy ，得0=t ，代入得：1=x 。 当1x 时，0>t ，所以0>dx

dy 。 函数)(x y y =的极大值为0)1(=y 。

3 / 3

(2) 过点)0,0(O 做曲线L ：x e y =的切线，切点为A ；由曲线L ，直线OA 和y 轴所围成的图形记为D . 求：

(Ⅰ) OA 的直线方程；

(Ⅱ) D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

解：(Ⅰ)设A 点的横坐标为0x 。由于x

e y ='，所以00

0x x e x e =，即10=x ， A 点的坐标为),1(e ，OA 的直线方程为ex y =。

(Ⅱ) 26)(21

0222π

ππ-=-=⎰e dx x e e V x

六、证明题（10分）设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且0)0(=f ，1)1(=f .证明：(Ⅰ) 存在一点)1,0(0∈x ，使得21)(0=

x f ； (Ⅱ) 在)1,0(内存在两点1x 和2x ，使得2)

(1)(121='+'x f x f . 证：(Ⅰ)由于)(x f 在闭区间]1,0[上连续，且)1(2

1)0(f f <<，有介值定理，存在一点)1,0(0∈x ，使得2

1)(0=x f 。 (Ⅱ)由于)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，则在),0(0x 内存在一点1x ，使得0001210)0()()(x x f x f x f =--='；又在)1,(0x 内存在一点2x ，使得)

1(211)()1()(0002x x x f f x f -=--='。 所以：

2)1(22)(1)(10021=-+='+'x x x f x f