微积分期末试卷(考试必做)

一、填空题（每小题2分，共16分）

1、=+⎰

-

22

d )cos e

(4

π

π

x x x x 2 .

fxe^(x^4)dx =0.5fe^(x^4)d(x^2)=1/(4x^2)*e^(x^4)+sinx+c

2、

=⎰

∞+1

2

d ln x x x

. 1 ∫lnx/x ² dx = (-1/x)·lnx - ∫(-1/x)·(lnx)' dx

= (-1/x)·lnx + ∫1/x ² dx = (-1/x)·lnx + (-1/x) = (-1/x)(lnx + 1)

3、设x y y x z +=，则函数在)1,1(处的全微分为 dx+dy . (1,1) zx=y*x^(y-1)+y^x*lny=1 zy=1

∴dz=dx+dy

D 是由0,1,0,e ====y x x y x 所围成区域，则⎰⎰=D

σd e^x-1 .

5、当a 满足 0<=a<0.5 时，∑∞

=--121)1(n a n

n

条件收敛.

lim(-1)^n/n^(1-2a)

6、幂级数∑∞

=⋅-1

4)1(n n

n

n x 的收敛域为 [-3,5) . 7、交换积分次序后 =⎰

⎰-y y

x y x f y d ),(d 1

∫1/-1dx ∫x/x^2

f(x,y)dy .

8、微分方程

1d d -=-x

y

x y 的通解为 y=cx-xlnx . dy/dx=y/x dy/y=dx/x lny=lnx+lnc y=cx

c-y/x=-1 y/x=c+1 y=cx+x

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、下列广义积分收敛的是（ b ）. （A ）⎰∞+ 1

d ln x x （B ）⎰

∞

+ 1

2d 1x x

（C ）⎰∞+ 1 d 1x x （D ）⎰∞+ 1 d e x x

2、设f 是连续函数，积分区域01:22≥≤+y y x D 且，则⎰⎰+D

y x y x f d d )(22可化为

（ a ）.

（A ）⎰1

0d )(r r f r π （B ）⎰10d )(2r r f r π （C ）⎰10d )(2r r f π （D ）⎰1

d )(r r f π

3、设)sin(2

y x z +=, 则=∂∂22x

z

（ a ）.

（A ）)sin(2y x +- （B ）)cos(2y x +- （C ）)sin(2y x + （D ）)cos(2y x + Cos(x+y^2)

4、极限x t x x cos 1dt

)1ln(lim

2sin 0

-+⎰

→等于（ c ）.

（A ）1

（B ）2 （C ）4

（D ）8

(1+t)ln(1+t)-(1+t) -1

5、微分方程0=+''y y 的通解是( a ).

（A ）x C x C y sin cos 21+= （B ）x x C C y -+=e e 21 （C ）x x C C y e )(21+=

（D ）21e C C y x +=

三、计算题(一)（每小题5分，共20分）

1、已知⎰+=2

03d )()(x x f x x f , 求)(x f .

设⎰

=

2

d )(x x f I ，

两边从0到2积分,

I I x x I 242d 20

3+=+=

⎰

,

即4-=I ,所以 4)(3-=x x f .2、设),(y x f z =是由方程012

1e 2

=-+

+z xyz z x 确定的隐函数，求

y

z

x z ∂∂∂∂,

. 方程两边关于x 求偏导，0221)()e e (=∂∂⋅⋅+∂∂++∂∂+x

z z x z xy yz x z z x

x ， z xy yz

z x z x x +++-=∂∂⇒e e （3分）

方程两边关于y 求偏导，0221)(e =∂∂⋅⋅+∂∂++∂∂y z z y z xy xz y z x ，z

xy xz

y z x ++-=∂∂e

3、判断∑∞

=+-1

)1

1ln()1(n n n 的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.\

解： 因为 11

)

11ln(lim =+∞→n n n ， 而∑∞

=11

n n

发散，故原级数非绝对收敛

原级数为交错级数，且)}1

1{ln(n

+单调下降趋向于零，

故原级数条件收敛.

4、求微分方程 5d d tan =-y x

y

x

的通解. 另tanx dy/dx -y=0 dy/y=dx/tanx=cotxdx lny=ln|sinx|+ln|c| y=csinx tanx dy/dx -y=5 tanx*ccosx-y=5 csinx-y=5 y=csinx-5