第11章 压杆稳定
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材料力学
工程实例
工程实例
压杆的稳定性试验
压杆的平衡
压力小于临界力
压力大于临界力
压杆丧失直 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 失稳 的平衡。 屈曲
压力等于临界力
§11-2 细长压杆的临界力
两端铰支细长压杆的临界力
y
y y y y y y y
y
y y y y y y
y
y y y y
y
中柔度杆
cr a b
本章小结
一、知识点 1、了解压杆稳定的基本概念。 2、掌握压杆柔度的计算方法。 3、掌握根据压杆的类别计算其临界应力。 4、掌握简单压杆的稳定计算及校核方法。 5、了解提高压杆稳定性的主要措施。 二、重点内容 1、掌握压杆柔度的计算方法。 2、掌握简单压杆的稳定计算及校核方法。
其他约束条件下细长压杆的临界力
两端铰支
Fcr Fcr
EI
2
(l )
2
2
1
一端固定一端自由
EI
(2l )
2
2
2 EI Fcr 欧拉公式普遍形式 2 ( l )
长度系数（长度因数） 相当长度
l
(大柔度压杆)
欧拉公式只适用于大柔度压杆
中小柔度杆临界应力计算
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ （增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
•减小压杆长度 l
•减小长度系数μ（增强约束）
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
•增大弹性模量 E（合理选择材料） 大柔度杆
2 EI Fcr ( l ) 2
2 0.5 172 2 i 0.58 10
l
可见该压杆属于大柔度杆，可以使用欧拉公式 计算其临界力。仍要注意截面的最小惯性矩为对y0 轴的惯性矩 Iy0= 0.77cm4，由此可计算出该压杆的 临界力为：
Fc r π 2 EI ( μ l) 2 π 2 206109 0.77108 (2 0.5) 2 15.7 103 N 15.7 kN
§11−4 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定许用应力、折减系数 稳定许用应力： [ c r ]
cr
ns t 式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔
度的增大而增大。稳定安全系数一般比强
度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，
其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安 全系数规定为1.5～2.2，甚至更大。
第14章 压杆稳定
材料力学
本章主要内容
§11-1 基本概念
§11-2 细长压杆的临界力
§11-3 压杆的临界应力
§11-4 压杆的稳定计算
§11-5 压杆的稳定较核
§11-6 提高压杆稳定性的措施
§11-1 基本概念
不稳定平衡 微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡 微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
折减系数或稳定系数：
[ cr ] [ ]
是的函数，即 = () ，其值在0～1之间。
二、压杆的稳定条件
压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力[cr]。
F [ cr ] A
即
F [ ] A
或
F [ ] A
稳定性计算主要解决三方面的问题：
(1) 稳定性校核；
(2) 选择截面；
(3) 确定许用荷载。
注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响 不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面 积计算。压杆的折减系数（或柔度）受截面形
状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。
§11-5 压杆的稳定校核
解：CD梁
M
C
0
F 2000 FN sin30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆
1.5
l
i
1
l
cos30
1.732m
FN 26.6kN l 1 AB杆 i 1.5 l 1.732m cos30 I D4 d 4 4 i A 64 D 2 d 2
1 1.732 103 得 108 P 16 AB为大柔度杆
y y
y
y
y
适用条件： 理想压杆（轴线为直线，压力 线弹性，小变形 两端为铰支座
与轴线重合，材料均匀）
例1: 图示压杆用30×30×4等边角钢制成，已知
杆长l=0.5m，材料为Q235钢，试求该压杆的临界
力。
F
y0
l x x0
x0
x y0
解：首先计算压杆的柔度。要注意截面的最小惯 性半径为对y0轴的惯性半径 iy0= 0.58cm，由此可计 算出其柔度（长细比）为：
Fcr σ cr A 284.26 352 / 4 273.5 kN
(4) 稳定性校核。
Fcr F
可见，冲头设计是不合理的，应该减小冲头的 长度，以增强其在冲裁钢板时的稳定性。
§11-6 提高压杆稳定性的措施
2 EI Fcr ( l ) 2
Fcr
欧拉公式
越大越稳定
MPa， b 2.57MPa p 100, s 60, a 461
L
i 2 300 68.77 8.725
(2) 计算杆的柔度
(3) 判断杆的类型，计算临界载荷。
s 60 68.77 p 100
故为中柔度杆
σcr=a-bλ=461-2.57×68.77=284.26MPa
2 EI Fcr 118kN 2 l Fcr 118 n 4.42 nst 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
D2 d 2 16mm 4
例2：冲头简化如图所示。冲头由优质碳钢制成，冲床最大冲裁力为 F=400kN，冲头的直径为冲裁的最小孔内径d=35mm，冲头长度为 L=300mm，试校核其稳定性。 解：(1) 由材料性能确定
(大柔度杆)
欧拉公式
S P
(中柔度杆)
cr a b s
a s 当 b 时， 经验直线公式 a s s b
s
(小柔度杆)
cr s
l •压杆柔度 μ的四种取值情况 i
i
I A
2E •临界柔度 P P
P 比例极限
s
a s b
s 屈服极限
•临界应力
P (大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
P s (中柔度杆) cr a b 直线公式
s
(小柔度杆)
cr sHale Waihona Puke Baidu
强度问题
§11-3
压杆的临界应力
临界应力总图
Fcr cr A
工程实例
工程实例
压杆的稳定性试验
压杆的平衡
压力小于临界力
压力大于临界力
压杆丧失直 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 失稳 的平衡。 屈曲
压力等于临界力
§11-2 细长压杆的临界力
两端铰支细长压杆的临界力
y
y y y y y y y
y
y y y y y y
y
y y y y
y
中柔度杆
cr a b
本章小结
一、知识点 1、了解压杆稳定的基本概念。 2、掌握压杆柔度的计算方法。 3、掌握根据压杆的类别计算其临界应力。 4、掌握简单压杆的稳定计算及校核方法。 5、了解提高压杆稳定性的主要措施。 二、重点内容 1、掌握压杆柔度的计算方法。 2、掌握简单压杆的稳定计算及校核方法。
其他约束条件下细长压杆的临界力
两端铰支
Fcr Fcr
EI
2
(l )
2
2
1
一端固定一端自由
EI
(2l )
2
2
2 EI Fcr 欧拉公式普遍形式 2 ( l )
长度系数（长度因数） 相当长度
l
(大柔度压杆)
欧拉公式只适用于大柔度压杆
中小柔度杆临界应力计算
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ （增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
•减小压杆长度 l
•减小长度系数μ（增强约束）
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
•增大弹性模量 E（合理选择材料） 大柔度杆
2 EI Fcr ( l ) 2
2 0.5 172 2 i 0.58 10
l
可见该压杆属于大柔度杆，可以使用欧拉公式 计算其临界力。仍要注意截面的最小惯性矩为对y0 轴的惯性矩 Iy0= 0.77cm4，由此可计算出该压杆的 临界力为：
Fc r π 2 EI ( μ l) 2 π 2 206109 0.77108 (2 0.5) 2 15.7 103 N 15.7 kN
§11−4 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定许用应力、折减系数 稳定许用应力： [ c r ]
cr
ns t 式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔
度的增大而增大。稳定安全系数一般比强
度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，
其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安 全系数规定为1.5～2.2，甚至更大。
第14章 压杆稳定
材料力学
本章主要内容
§11-1 基本概念
§11-2 细长压杆的临界力
§11-3 压杆的临界应力
§11-4 压杆的稳定计算
§11-5 压杆的稳定较核
§11-6 提高压杆稳定性的措施
§11-1 基本概念
不稳定平衡 微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡 微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
折减系数或稳定系数：
[ cr ] [ ]
是的函数，即 = () ，其值在0～1之间。
二、压杆的稳定条件
压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力[cr]。
F [ cr ] A
即
F [ ] A
或
F [ ] A
稳定性计算主要解决三方面的问题：
(1) 稳定性校核；
(2) 选择截面；
(3) 确定许用荷载。
注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响 不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面 积计算。压杆的折减系数（或柔度）受截面形
状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。
§11-5 压杆的稳定校核
解：CD梁
M
C
0
F 2000 FN sin30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆
1.5
l
i
1
l
cos30
1.732m
FN 26.6kN l 1 AB杆 i 1.5 l 1.732m cos30 I D4 d 4 4 i A 64 D 2 d 2
1 1.732 103 得 108 P 16 AB为大柔度杆
y y
y
y
y
适用条件： 理想压杆（轴线为直线，压力 线弹性，小变形 两端为铰支座
与轴线重合，材料均匀）
例1: 图示压杆用30×30×4等边角钢制成，已知
杆长l=0.5m，材料为Q235钢，试求该压杆的临界
力。
F
y0
l x x0
x0
x y0
解：首先计算压杆的柔度。要注意截面的最小惯 性半径为对y0轴的惯性半径 iy0= 0.58cm，由此可计 算出其柔度（长细比）为：
Fcr σ cr A 284.26 352 / 4 273.5 kN
(4) 稳定性校核。
Fcr F
可见，冲头设计是不合理的，应该减小冲头的 长度，以增强其在冲裁钢板时的稳定性。
§11-6 提高压杆稳定性的措施
2 EI Fcr ( l ) 2
Fcr
欧拉公式
越大越稳定
MPa， b 2.57MPa p 100, s 60, a 461
L
i 2 300 68.77 8.725
(2) 计算杆的柔度
(3) 判断杆的类型，计算临界载荷。
s 60 68.77 p 100
故为中柔度杆
σcr=a-bλ=461-2.57×68.77=284.26MPa
2 EI Fcr 118kN 2 l Fcr 118 n 4.42 nst 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
D2 d 2 16mm 4
例2：冲头简化如图所示。冲头由优质碳钢制成，冲床最大冲裁力为 F=400kN，冲头的直径为冲裁的最小孔内径d=35mm，冲头长度为 L=300mm，试校核其稳定性。 解：(1) 由材料性能确定
(大柔度杆)
欧拉公式
S P
(中柔度杆)
cr a b s
a s 当 b 时， 经验直线公式 a s s b
s
(小柔度杆)
cr s
l •压杆柔度 μ的四种取值情况 i
i
I A
2E •临界柔度 P P
P 比例极限
s
a s b
s 屈服极限
•临界应力
P (大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
P s (中柔度杆) cr a b 直线公式
s
(小柔度杆)
cr sHale Waihona Puke Baidu
强度问题
§11-3
压杆的临界应力
临界应力总图
Fcr cr A