债券的价格波动性与久期
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n
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 对上式求价格P对收益率y的导数，经 整理得
tCFt 1 dP dy = − ∑ (1 + y )t 1 + y t =1
n
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 将上式两边同除以P可得
1 n tCFt (dP dy )(1 P ) = − (1 P ) ∑ t 1 + y t =1 (1 + y )
二、久期
（四）对久期的解释 1、久期是一种时间度量 • 麦考利久期的计算公式可写为
PVCFn PVCF1 PVCF2 D= ×1 + × 2 +L+ ×n 价格 价格 价格
PVCFt =∑ ×t t =1 价格
n
二、久期
（四）对久期的解释 1、久期是一种时间度量 • 作为一种度量标准，用年数来表示久 期没有错，但是对于久期的正确理解 就是：久期是有确定到期年限的零息 票债券的价格波动性，其中的到期年 限是用久期计算出来的年数。
二、久期
（三）麦考利久期和修正久期 • 修正久期公式还可以表示为 1 1× PVCF1 + 2 × PVCF2 + L + n × PVCFn (1 + 收益率 / k ) k × 价格 • • • • k——每年付息次数 n——到期前期数 收益率——债券的到期收益率 PVCFt——第t期现金流量以到期收益率折现 的现值
= 10.98 修正久期
*
1× PVCF1 + 2 × PVCF2 + L + n × PVCFn D= k × 价格
1 D = × 10.98 = 10.66 (1 + 6% / 3)
例6，3年期债券，面值1000元，票面利 息10％，现行市场价格1025.33元，因 而其到期收益率为9％。则其久期为：
P
￥200.00
￥180.00
￥160.00
￥140.00
￥120.00
￥100.00
￥80.00
￥60.00
￥40.00
￥20.00
￥0.00 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%
（一）马奇尔债券定价规律
（2）如果债券的收益率与票面利率不等 时，债券价格必然与债券面值不等， 到期期限越长，两者差距越大。
二、久期
（二）用修正久期计算价格变化的近似 百分比 • 利用例5的数据，我们已知该债券修正 久期为10.66，如果收益率上升10个基 点和下降10个基点，债券价格变动的 百分比为多少？
二、久期
（二）用修正久期计算价格变化的近似 百分比
收益率 （%） ） 5.90 6.00 6.10 近似百分比 （%） ） 1.066 0.000 -1.066 实际价格 （元） 136.1193 134.6722 133.2472 实际百分比 （%） ） 1.07 0.00 -1.06
D= 1 1 1 1000 ×10% × ×1 + 1000 ×10% × × 2 + 1100 × ×3 2 3 1 + 0.09 (1 + 0.09 ) (1 + 0.09 ) 1025.33
=2.74年
• 例7：假设有一种6年期的零息债券， 面额100元，收益率为8%，此债券的 久期为？ • 解：
（一）马奇尔债券定价规律
（5）如果债券的息票利率越高，则由其 收益率变化引起的债券价格变化的百 分比就越小。
• 例4：某五年期的债券B，面值为100美元，息 票率为9%，比例9中的A的息票率高2个百分 点。以下三种情况的债券A和B的价格为： • （1）假定债券A和B的收益率等于息票率7% • （2）假定债券A和B的收益率等于8%。
二、久期
（三）麦考利久期和修正久期 • 上面修正久期公式中方括号内的表达 式是由麦考利 (F.R.Macaulay) 在1938 年提出的，被称为麦考利久期。因此 修正久期的表达式也写为
麦考利久期 修正久期 = 1 + 收益率 / k
• 例5 有一只息票率9%、20年期、售价 为134.6722元、对应收益率6%的无选 择权债券，该债券的久期和修正久期 为多少？ • 解：久期
二、久期
（一）久期的计算 • 例5 该债券的修正久期是10.66，即利 率变动100个基点，这只债券的价格大 约变动10.66%。
二、久期
（二）用修正久期计算价格变化的近似 百分比 • 若给定收益率变动和修正久期，我们 可以用下列公式近似求出价格变化的 百分比
近似价格变化的百分比 = −修正久期 × ∆y ×100
二、久期
（五）久期的缺陷
收益率 （%） ） 4.00 6.00 8.00 近似百分比 （%） ） 21.320 0.000 -21.320 实际价格 （元） 168.3887 134.6722 109.8964 实际百分比 （%） ） 25.04 0.00 -18.40
久期的缺陷
• 现实生活中，债券价格变动率和收益率变 动之间的关系并不是线性关系，而是非线 性关系 。如果只用久期来估计收益率变动 与价格变动率之间的关系，那么从上页公 式 可以看出，收益率上升或下跌一个固定 的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样 的。显然这与事实不符. (见下图)
到期 期限 债券 价格 面值与价 格差价 差价率 差价率 变化值 5年 年 88.33 11.67 4年 年 90.28 9.72 3年 年 92.41 7.59 2年 年 94.72 5.28 5.28% 2.32% 1年 年 97.25 2.75 2.75% 0年 年 100 0 0
11.67% 9.72% 7.59% 1.95% 2.13%
债券的价格波动性、久期与凸性
（一）马奇尔债券定价规律
（1）债券的市场价格与债券的收益率呈 反方向变动，债券的价格上涨，则收 益率下降，如果债券市场价格下降， 则收益率上升。
例1 一张面额为100元的债券，息票率8%， 期限为10年。如果市场价格等于面值，就 意味着它的收益率等于息票率。如果价格 上升了10%，它的收益率应如何变化?如果 价格下降了10%，它的收益率应如何变化？ Price YTM 100 110 90 8% 7% 10%
例2： 5年期，息票率为6%，面值为 100元，预期收益率为9%
到期 期限 债券 价格 面值与价 格差价 5年 年 88.33 11.67 4年 年 90.28 9.72 3年 年 92.41 7.59 2年 年 94.72 5.28 1年 年 97.25 2.75 0年 年 100 0
￥102.00 ￥100.00 ￥98.00 ￥96.00 ￥94.00 ￥92.00 ￥90.00 ￥88.00 5 4 3 2 1 0 息票率6% 6% 息票率9%
三、凸性
• 定义：凸性 (Convexity) 是指债券价格变 动率与收益率变动关系曲线的曲度。 • 如果说麦考利久期等于债券价格对收 益率一阶导数的绝对值除以债券价 格，我们可以把债券的凸性 (C) 类似 地定义为债券价格对收益率二阶导数 除以价格。即： 2
￥113.00
￥108.00
￥103.00 息票率6% 息票率9% 息票率12%
￥98.00
￥93.00
￥88.00 5 4 3 2 1 0
（一）马奇尔债券定价规律
（3）如果一种债券的收益率在整个有效 期内不变，则其折价或溢价减少的速 度将随着到期日的临近而逐渐加快。
例2*： 5年期，息票率为6%，面值 为100元，预期收益率为9%
二、久期
（一）久期的计算 • 修正久期的估算公式
收益率下降时的债券价格 − 收益率上升时的债券价格 2 × 初始价格 × 小数形式的收益率变化
V− − V+ D = 2 × V0 × ∆y
*
二、久期
（一）久期的计算 • 例5 有一只息票率9%、20年期、售价 为134.6722元、对应收益率6%的无选 择权债券的价格与收益率的关系如下 表所示
• 方括号内的公式就是麦考利久期的公 式
决定久期的大小三个因素
• 各期现金流 • 到期收益率 • 到期时间
麦考利久期定理
麦考利久期定理反映了债券的市场风险 定理一 定理一：只有零息债券的麦考利久期等于它们 的到期时间。 定理二：直接债券的麦考利久期小于或等于它 定理二 们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的 直接债券的麦考利久期等于它们的到期时间， 并等于1 。 定理三：统一公债的麦考利久期等于 [1 + 1 y] ， 定理三 其中y是计算现值采用的贴现率。
PVCF6 PVCF1 PVCF2 D= ×1 + × 2 +L+ ×6 价格 价格 价格
63.02 = ×6 = 6 63.02
二、久期
（四）对久期的解释 1、久期是一种时间度量 • 麦考利在1938年最早提出久期的概念 时，他把它作为未偿付债券的一种时 间度量，即究其实债券持有人取得每 一笔利息经历的时间和取得本金经历 的时间的加权平均数。
麦考利久期定理
• 定理四：在到期时间相同的条件下，息票 定理四： 率越高，久期越短。 • 定理五：在息票率不变的条件下，到期时 定理五： 间越长，久期一般也越长。 • 定理六：在其他条件不变的情况下，债券 定理六： 的到期收益率越低，久期越长。
二、久期
（五）久期的缺陷 • 利用例5的数据，我们已知该债券修正 久期为10.66，如果收益率上升200个 基点和下降200个基点，债券价格变动 的百分比为多少？
2.53% 2.75%
（一）马奇尔债券定价规律
（4）债券收益率的下降会引起债券价格 上升，且上升幅度要超过债券收益率 以同样比率上升而引起的债券价格下 跌的幅度。
• 例3：某五年期的债券A，面值为100美元， 息票率为7%。假定发行价格等于面值，那 么它的收益率等于息票率7%。如果此时收 益率上升了一个百分点，该债券的价格将 如何变化？如果此时收益率下降了一个百 分点，该债券的价格又将如何变化？
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 有时市场参与者把久期称为价格收益 率函数的一阶导数或简称为一阶导 数。这是正确的解释，同时也说明了 久期的推导方法 • 但是这没有太多实际意义
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 附息债券的函数为
CFt P=∑ t 1 t =1 ( + y )
二、久期
收益率（ ） 收益率（%） 4.00 5.00 5.50 5.90 5.99 6.00 价格 （元） 168.3887 150.2056 142.1367 136.1193 134.8159 134.6722 收益率（ ） 收益率（%） 6.01 6.10 6.50 7.00 8.00 价格 （元） 134.5287 133.2472 127.7605 121.3551 109.8964
收益率 7% 8% 债券A 债券A 价格 100.00 -3.993% 96.01 103.99 变化幅度 债券B 债券B 价格 108.20 -3.889% 变化幅度
二、久期
• 久期，又称持续期，是衡量债券价值 对利率变动敏感性的近似指标。 • 更准确的说，久期是对于利率变动100 个基点，价值变化的近似百分比。 • 实际上这是对于修正久期的定义。
收益率 8% 7% 6% 价格 96.01 100 104.21 变化幅度 -3.99 +4.21
P
￥200.00 ￥180.00 ￥160.00 ￥140.00 ￥120.00 ￥100.00
P
￥80.00 ￥60.00 ￥40.00 ￥20.00 ￥0.00
0% 2% 4% 6% 8% 10%12%14%16%18%20%22%24%26%28%30%32%
P
￥200.00 ￥180.00 ￥160.00 ￥140.00 ￥120.00 ￥100.00
P
￥80.00 ￥60.00 ￥40.00 ￥20.00 ￥0.00
0% 2% 4% 6% 8% 10%12%14%16%18%20%22%24%26%28%30%32%
三、凸性
• 债券价格与其收益率呈反向变化关 系，但这种关系并非是线性的，收益 率的下降引起的债券价格上升的幅度 超过收益率同比例上升引起的债券价 格下降的幅度。
二、久期
（一）久期的计算 • 例5 如果收益率上下浮动20个基点， 我们可以计算得到 • V-= 137.5888 ，V+= 131.8439 ， • V0= 134.6722 ，∆y=0.002 V− − V+ 137.5888 − 131.8439 * D = = = 10.66 2 × V0 × ∆y 2 ×134.6722 × 0.002
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 对上式求价格P对收益率y的导数，经 整理得
tCFt 1 dP dy = − ∑ (1 + y )t 1 + y t =1
n
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 将上式两边同除以P可得
1 n tCFt (dP dy )(1 P ) = − (1 P ) ∑ t 1 + y t =1 (1 + y )
二、久期
（四）对久期的解释 1、久期是一种时间度量 • 麦考利久期的计算公式可写为
PVCFn PVCF1 PVCF2 D= ×1 + × 2 +L+ ×n 价格 价格 价格
PVCFt =∑ ×t t =1 价格
n
二、久期
（四）对久期的解释 1、久期是一种时间度量 • 作为一种度量标准，用年数来表示久 期没有错，但是对于久期的正确理解 就是：久期是有确定到期年限的零息 票债券的价格波动性，其中的到期年 限是用久期计算出来的年数。
二、久期
（三）麦考利久期和修正久期 • 修正久期公式还可以表示为 1 1× PVCF1 + 2 × PVCF2 + L + n × PVCFn (1 + 收益率 / k ) k × 价格 • • • • k——每年付息次数 n——到期前期数 收益率——债券的到期收益率 PVCFt——第t期现金流量以到期收益率折现 的现值
= 10.98 修正久期
*
1× PVCF1 + 2 × PVCF2 + L + n × PVCFn D= k × 价格
1 D = × 10.98 = 10.66 (1 + 6% / 3)
例6，3年期债券，面值1000元，票面利 息10％，现行市场价格1025.33元，因 而其到期收益率为9％。则其久期为：
P
￥200.00
￥180.00
￥160.00
￥140.00
￥120.00
￥100.00
￥80.00
￥60.00
￥40.00
￥20.00
￥0.00 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%
（一）马奇尔债券定价规律
（2）如果债券的收益率与票面利率不等 时，债券价格必然与债券面值不等， 到期期限越长，两者差距越大。
二、久期
（二）用修正久期计算价格变化的近似 百分比 • 利用例5的数据，我们已知该债券修正 久期为10.66，如果收益率上升10个基 点和下降10个基点，债券价格变动的 百分比为多少？
二、久期
（二）用修正久期计算价格变化的近似 百分比
收益率 （%） ） 5.90 6.00 6.10 近似百分比 （%） ） 1.066 0.000 -1.066 实际价格 （元） 136.1193 134.6722 133.2472 实际百分比 （%） ） 1.07 0.00 -1.06
D= 1 1 1 1000 ×10% × ×1 + 1000 ×10% × × 2 + 1100 × ×3 2 3 1 + 0.09 (1 + 0.09 ) (1 + 0.09 ) 1025.33
=2.74年
• 例7：假设有一种6年期的零息债券， 面额100元，收益率为8%，此债券的 久期为？ • 解：
（一）马奇尔债券定价规律
（5）如果债券的息票利率越高，则由其 收益率变化引起的债券价格变化的百 分比就越小。
• 例4：某五年期的债券B，面值为100美元，息 票率为9%，比例9中的A的息票率高2个百分 点。以下三种情况的债券A和B的价格为： • （1）假定债券A和B的收益率等于息票率7% • （2）假定债券A和B的收益率等于8%。
二、久期
（三）麦考利久期和修正久期 • 上面修正久期公式中方括号内的表达 式是由麦考利 (F.R.Macaulay) 在1938 年提出的，被称为麦考利久期。因此 修正久期的表达式也写为
麦考利久期 修正久期 = 1 + 收益率 / k
• 例5 有一只息票率9%、20年期、售价 为134.6722元、对应收益率6%的无选 择权债券，该债券的久期和修正久期 为多少？ • 解：久期
二、久期
（一）久期的计算 • 例5 该债券的修正久期是10.66，即利 率变动100个基点，这只债券的价格大 约变动10.66%。
二、久期
（二）用修正久期计算价格变化的近似 百分比 • 若给定收益率变动和修正久期，我们 可以用下列公式近似求出价格变化的 百分比
近似价格变化的百分比 = −修正久期 × ∆y ×100
二、久期
（五）久期的缺陷
收益率 （%） ） 4.00 6.00 8.00 近似百分比 （%） ） 21.320 0.000 -21.320 实际价格 （元） 168.3887 134.6722 109.8964 实际百分比 （%） ） 25.04 0.00 -18.40
久期的缺陷
• 现实生活中，债券价格变动率和收益率变 动之间的关系并不是线性关系，而是非线 性关系 。如果只用久期来估计收益率变动 与价格变动率之间的关系，那么从上页公 式 可以看出，收益率上升或下跌一个固定 的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样 的。显然这与事实不符. (见下图)
到期 期限 债券 价格 面值与价 格差价 差价率 差价率 变化值 5年 年 88.33 11.67 4年 年 90.28 9.72 3年 年 92.41 7.59 2年 年 94.72 5.28 5.28% 2.32% 1年 年 97.25 2.75 2.75% 0年 年 100 0 0
11.67% 9.72% 7.59% 1.95% 2.13%
债券的价格波动性、久期与凸性
（一）马奇尔债券定价规律
（1）债券的市场价格与债券的收益率呈 反方向变动，债券的价格上涨，则收 益率下降，如果债券市场价格下降， 则收益率上升。
例1 一张面额为100元的债券，息票率8%， 期限为10年。如果市场价格等于面值，就 意味着它的收益率等于息票率。如果价格 上升了10%，它的收益率应如何变化?如果 价格下降了10%，它的收益率应如何变化？ Price YTM 100 110 90 8% 7% 10%
例2： 5年期，息票率为6%，面值为 100元，预期收益率为9%
到期 期限 债券 价格 面值与价 格差价 5年 年 88.33 11.67 4年 年 90.28 9.72 3年 年 92.41 7.59 2年 年 94.72 5.28 1年 年 97.25 2.75 0年 年 100 0
￥102.00 ￥100.00 ￥98.00 ￥96.00 ￥94.00 ￥92.00 ￥90.00 ￥88.00 5 4 3 2 1 0 息票率6% 6% 息票率9%
三、凸性
• 定义：凸性 (Convexity) 是指债券价格变 动率与收益率变动关系曲线的曲度。 • 如果说麦考利久期等于债券价格对收 益率一阶导数的绝对值除以债券价 格，我们可以把债券的凸性 (C) 类似 地定义为债券价格对收益率二阶导数 除以价格。即： 2
￥113.00
￥108.00
￥103.00 息票率6% 息票率9% 息票率12%
￥98.00
￥93.00
￥88.00 5 4 3 2 1 0
（一）马奇尔债券定价规律
（3）如果一种债券的收益率在整个有效 期内不变，则其折价或溢价减少的速 度将随着到期日的临近而逐渐加快。
例2*： 5年期，息票率为6%，面值 为100元，预期收益率为9%
二、久期
（一）久期的计算 • 修正久期的估算公式
收益率下降时的债券价格 − 收益率上升时的债券价格 2 × 初始价格 × 小数形式的收益率变化
V− − V+ D = 2 × V0 × ∆y
*
二、久期
（一）久期的计算 • 例5 有一只息票率9%、20年期、售价 为134.6722元、对应收益率6%的无选 择权债券的价格与收益率的关系如下 表所示
• 方括号内的公式就是麦考利久期的公 式
决定久期的大小三个因素
• 各期现金流 • 到期收益率 • 到期时间
麦考利久期定理
麦考利久期定理反映了债券的市场风险 定理一 定理一：只有零息债券的麦考利久期等于它们 的到期时间。 定理二：直接债券的麦考利久期小于或等于它 定理二 们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的 直接债券的麦考利久期等于它们的到期时间， 并等于1 。 定理三：统一公债的麦考利久期等于 [1 + 1 y] ， 定理三 其中y是计算现值采用的贴现率。
PVCF6 PVCF1 PVCF2 D= ×1 + × 2 +L+ ×6 价格 价格 价格
63.02 = ×6 = 6 63.02
二、久期
（四）对久期的解释 1、久期是一种时间度量 • 麦考利在1938年最早提出久期的概念 时，他把它作为未偿付债券的一种时 间度量，即究其实债券持有人取得每 一笔利息经历的时间和取得本金经历 的时间的加权平均数。
麦考利久期定理
• 定理四：在到期时间相同的条件下，息票 定理四： 率越高，久期越短。 • 定理五：在息票率不变的条件下，到期时 定理五： 间越长，久期一般也越长。 • 定理六：在其他条件不变的情况下，债券 定理六： 的到期收益率越低，久期越长。
二、久期
（五）久期的缺陷 • 利用例5的数据，我们已知该债券修正 久期为10.66，如果收益率上升200个 基点和下降200个基点，债券价格变动 的百分比为多少？
2.53% 2.75%
（一）马奇尔债券定价规律
（4）债券收益率的下降会引起债券价格 上升，且上升幅度要超过债券收益率 以同样比率上升而引起的债券价格下 跌的幅度。
• 例3：某五年期的债券A，面值为100美元， 息票率为7%。假定发行价格等于面值，那 么它的收益率等于息票率7%。如果此时收 益率上升了一个百分点，该债券的价格将 如何变化？如果此时收益率下降了一个百 分点，该债券的价格又将如何变化？
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 有时市场参与者把久期称为价格收益 率函数的一阶导数或简称为一阶导 数。这是正确的解释，同时也说明了 久期的推导方法 • 但是这没有太多实际意义
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 附息债券的函数为
CFt P=∑ t 1 t =1 ( + y )
二、久期
收益率（ ） 收益率（%） 4.00 5.00 5.50 5.90 5.99 6.00 价格 （元） 168.3887 150.2056 142.1367 136.1193 134.8159 134.6722 收益率（ ） 收益率（%） 6.01 6.10 6.50 7.00 8.00 价格 （元） 134.5287 133.2472 127.7605 121.3551 109.8964
收益率 7% 8% 债券A 债券A 价格 100.00 -3.993% 96.01 103.99 变化幅度 债券B 债券B 价格 108.20 -3.889% 变化幅度
二、久期
• 久期，又称持续期，是衡量债券价值 对利率变动敏感性的近似指标。 • 更准确的说，久期是对于利率变动100 个基点，价值变化的近似百分比。 • 实际上这是对于修正久期的定义。
收益率 8% 7% 6% 价格 96.01 100 104.21 变化幅度 -3.99 +4.21
P
￥200.00 ￥180.00 ￥160.00 ￥140.00 ￥120.00 ￥100.00
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￥80.00 ￥60.00 ￥40.00 ￥20.00 ￥0.00
0% 2% 4% 6% 8% 10%12%14%16%18%20%22%24%26%28%30%32%
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三、凸性
• 债券价格与其收益率呈反向变化关 系，但这种关系并非是线性的，收益 率的下降引起的债券价格上升的幅度 超过收益率同比例上升引起的债券价 格下降的幅度。
二、久期
（一）久期的计算 • 例5 如果收益率上下浮动20个基点， 我们可以计算得到 • V-= 137.5888 ，V+= 131.8439 ， • V0= 134.6722 ，∆y=0.002 V− − V+ 137.5888 − 131.8439 * D = = = 10.66 2 × V0 × ∆y 2 ×134.6722 × 0.002