最新计算方法(方程组的迭代法)3

xn(k+1)=cn1x1(k+1) +cn2x2(k+1)+ +cn(n-1)xn-1(k+1)
+ gn
假设 aii0 令 cij = -aij /aii (ij) gi= bi /aij , i=1,2,3,n
x(k1) Bsx(k) gs
这里 Jaco矩 bi阵 Bs (DL)1U gs DL1b
矩阵，于是可知方程组I B x g 有唯一解 x ，从
而得到关系式 x Bx g ，利用关系式（1）及（2）
可得lim xk x，充分性得证。 k
定理 2 提供了判别迭代格式
xk1 Bxk g
的收敛的等价条件。不过由于 B一般不容易求 出，实用中较少直接应用定理 2，而是采用由定 理 2 得出的判别条件。定理 1 说明了谱半径与矩 阵范数的关系，由于范数一般较容易计算，故可 得到以下判别定理。
xD 1L xD 1UxD 1b
x(k1)D 1L(kx1)D 1U(k)xD 1b
Seidel迭代法的具体形式
Seidel迭代格式
x1(k+1)=
c12x2(k)+c13x3(k)+
+c1nxn(k)+g1
x2(k+1)=c21x1(k+1)
+c23x3(k)+
+c2nxn(k)+g2
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
xk1 Bxk g
定理 1 对任何 A Rnn ，都有 A A ，这里 A 是
矩阵 A 的任何算子范数。
证明 设 i 和 xi 是矩阵 A 的任一特征值和对应的
特征向量，则有 Axi ixi，两边取范数，有
i xi i xi Axi A xi
因为 xi 不是零向量，所以 xi 0，对上式同除 xi ，即得
计算方法(方程组的迭代法 )3
课程性质和计划（续）
计算方法
概论
泛函分析中若干概念
方程组及非 线性方程的 数值解法
线性方程组的解法 非线性方程的求根方法
矩阵特征值与特征向量的计算
数值逼近方法
插值法 最佳平方逼近
数值积分与数值微分
常微分方程初值问题的数值解法
（三）、Seidel迭代法
为了加快收敛速度，同时为了节省计算机的内存，我们作
（四）、收敛性及误差估计
赋范线性空间 Rn 中的任何一组点列都有收敛与发散 的问题。因此，由 Jacobi 迭代格式或 Seidel 迭代格式 产生的点列也有这样的问题，当点列收敛时，可以成功 地逼近所求解，若点列发散，将不能逼近解；此时应该 及时终止迭代过程而转向用其它方法求解。讨论 Jacobi 迭代和 Seidel 迭代的收敛条件。为此，先把这两种迭代 格式写成统一的形式
证明 因为 Jacobi 迭代矩阵 BJ I D1A ，则有
BJ
max
1in
n
j1 ji
aij aii
max
1in
1 aii
n j1
i A ，利用i 的任意性，可得
A
max
1in
i
A
定理２ 迭代格式 xk1 Bxk g 对由任何初始
向量 x0 Rn产生的点列 xk 都收敛的充分必要条件是谱
半径 B 1。 证 明 设 lim xk x ， 则 有 x Bx g ， 用
k
xk1 Bxk g 与其相减得：
xk1 x Bxk g Bx g B xk x
定理 3 若矩阵 B 的某种算子范数 B 1，则迭
代格式 xk1 Bxk g 对任何初始向量 x0 都收
敛于方程组 x Bx g 的唯一解 x 。
证明 先证方程组 x Bx g 在 B 1时有唯一解。由
x Bx g ，得I Bx g ，因此当矩阵 I B 是非奇异
时可保证有唯一解。
B B 1，再由定理 2 得出定理成立。
定理 3 给出了判别迭代格式
xk1 Bxk g
对 任意 初始向 量 x0 都 收敛的 实用 判别法 。它 对 Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法都适用。根据这个判
别定理，通常利用矩阵的三个范数
A 1，A
，
2
A
是
否有小于１的情况来判别收敛。不过，由于 A 较难 2
第二个判别定理是针对线性方程组的系数矩阵 是比较特殊的矩阵，这种矩阵的主对角线上元素的 绝对值严格大于同一行上其它元素绝对值之和，称 为严格对角占优矩阵。
定理 4 如果 A 为严格对角占优矩阵，则对应的
线性方程组 Ax b 的 Jacobi 迭代和 Seidel 迭代对
任意的初始向量 x0 都收敛。
计算，利用
A 2
A 的条件，可用 F
A 1代替 F
A 1 2
来判别。但要注意的是定理 3 是一个充分条件，当上
述几个范数有一个小于 1 时可得收敛结果；然而当它
们都大于 1 时不能得出发散的结果。
注意到这几个范数都是与 B 的元素有关，因此 要想使迭代收敛，设法使迭代矩阵 B 的所有元素的 绝对值变小是一种重要手段，它在某些场合可以得 到收敛的迭代点列。
百度文库
假设 I B 是奇异矩阵，则有非零向量 x1 Rn ，满足
I B x1 0 ， 由 此 可 得 x1 Bx1 。 取 范 数 有
x1 Bx1 B x1 ，因为 x1 0 ，所以有 B 1，这与
B 1矛盾。矛盾说明 I B 是奇异的假设不对，这样
就证得了 x Bx g 在 B 1有唯一解。 设 x 是其唯一解，则有 x Bx g ，由定理 1 可得
如下的改进：每算出一个分量的近似值，立即用到下一个分 量的计算中去，即用迭代格式：
i1
n
bi
ax(k1) ij j
ax(k1) ij j
x(k) i
j1
ji1
aii
这样所得的迭代法就称为Gauss-Seidel迭代法，也称为“ 异步迭代法”，简称为GS迭代法．利用Ax=b 及A=L+D+U, 其中D为对角矩阵,L,U分别为严格下，上三角矩阵．则有， GS迭代法的矩阵形式为:
反复利用上式，有：
xk1 x B2 xk1 x Bk1 x0 x （1）
由 x0 的任意性及lim xk x，可得 k
lim Bk 0
k
（2）
所以lim Bk 0，又因定理 1 及 Bk Bk Bk ，所 k
以 B 1，必要性得证。
反过来，假设 B 1，则矩阵 I B 是非奇异