数字信号处理 无限长单位脉冲响应滤波器设计方法共75页文档
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无限脉冲响应滤波器的设计
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如此可得到系统函数
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
Ha(s)
(s
s0
1)(s
1 s1 1)(s
s2
1)
3c
j2
j2(sce 3 )(s来自)(sce 3 )可整理ppt
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第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，
将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归
1
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
6.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器指用运算的方法改变数字信号的频率 分量的相对比例的器件。与模拟滤波器相比，数字滤 波器的精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要 求阻抗匹配？等优点。
1. 数字滤波器的分类
从网络结构或者单位脉冲响应分类：
无限脉冲响应(IIR)滤波器
3. 数字滤波器的设计方法 IIR滤波器设计方法是：
从模拟滤波器变到数字滤波器的设计， 直接在离散频域或时域中设计。 FIR滤波器的设计方法是： 窗函数法， 频率采样法。
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6
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟， 有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、 椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些 滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设 计人员使用。
图6.1.2 低通滤可整波理器ppt 的技术要求
4
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
通带和阻带内都允许有衰减误差。允许的衰减用
【优文档】无限脉冲响应数字滤波器的设计PPT
ωp ----通带截止频率（Pass band cut off frequency） 通带频率范围：0≤ω≤ ωp
通带中要求：(11)H(ej)1
ωs ----阻带截止频率（Stop band cut off frequency） 阻带频率范围： ωs ≤ω≤π 阻带中要求： H(ej) 2
通带内和阻带内允许的衰减用dB表示 通带内允许的最大衰减用αp表示 阻带内允许的最小衰减用αs表示
(3) 按网络结构分：FIR、IIR滤波器
FIR滤波器：永远稳定，容易做到线性相位； IIR滤波器：极点要求苛刻，设计来源于AF，传输特 性差，相位需要矫正
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
6.1 数字滤波器的基本概念
1 定义：
(1)广义滤波器：信号选择系统，让某些信号通过又阻 止或衰减一些成分，其输入输出均为数字信号，即通过 一定的运算改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
（2）狭义：选频系统，低通，高通，带通滤波器等 2 数字滤波器的分类
经典滤波器：数字信号处理就是从噪声中提取信号， 噪声和信号频谱无重叠时用。
zk-1是极点， (zk-1)*也是极点
-----最小相位系统
相频特性：表示各频率成分通过滤波器后在时 间上的延时情况
实际的滤波器通带和阻带中都 允许一定的误差-----通带不一 定水平，阻带不一定完全衰减 到零，通带和阻带之间允许一 定宽度的过渡带。
通带中要求：(11)H(ej)1
ωs ----阻带截止频率（Stop band cut off frequency） 阻带频率范围： ωs ≤ω≤π 阻带中要求： H(ej) 2
通带内和阻带内允许的衰减用dB表示 通带内允许的最大衰减用αp表示 阻带内允许的最小衰减用αs表示
(3) 按网络结构分：FIR、IIR滤波器
FIR滤波器：永远稳定，容易做到线性相位； IIR滤波器：极点要求苛刻，设计来源于AF，传输特 性差，相位需要矫正
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
6.1 数字滤波器的基本概念
1 定义：
(1)广义滤波器：信号选择系统，让某些信号通过又阻 止或衰减一些成分，其输入输出均为数字信号，即通过 一定的运算改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
（2）狭义：选频系统，低通，高通，带通滤波器等 2 数字滤波器的分类
经典滤波器：数字信号处理就是从噪声中提取信号， 噪声和信号频谱无重叠时用。
zk-1是极点， (zk-1)*也是极点
-----最小相位系统
相频特性：表示各频率成分通过滤波器后在时 间上的延时情况
实际的滤波器通带和阻带中都 允许一定的误差-----通带不一 定水平，阻带不一定完全衰减 到零，通带和阻带之间允许一 定宽度的过渡带。
数字信号处理第六章--无限脉冲响应数字滤波器的设计PPT课件
（3）按频率特性确定增益常数 。
.
16
3、巴特沃斯低通滤波器设计方法 (1)、幅度平方函数
|H (j )|21(j 1 /j c)2N N1 ,2 , ,
当 =0 时，|H( j)|2 =1
当 c 时，|H( j)|2 =0.5,取3dB值
当 速度 愈 快c 时，，过随渡带 愈加窄大，幅度迅速.下降，
由上面两式可得：
1(p c
)2N
10ap /10
同理
1(s )2N 10as /10 c
上两式得：
(p )N s
10ap /10 1 10as /10 1
（1） （2）
令
sp s /p,ksp
10ap/10 1 10as/10 1
.
则
N lg ksp lg sp 25
c 的确定:
由(1)式
.
18
求极点：
1( s )2N 0 jC
( s )2N 1 jC
1
j (1 2 k 1 )
∴ sk 12 Nj C C e 2 2 N
k=0,1,2,…,2N-1
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上,间隔为 N
设N=3，极点间隔为π/3
.
19
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平 面的N个极点构成Ha(s)
.
23
举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha (s)
设 c 2ra/ds
N3
查表得
Ha(p)12p12p2p3
将
p s c
代入上式得
1 Ha(s)12( sc)2( sc)2( sc)3
8
88s4s2 s3
下面介绍如何确定阶数N
.
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3、巴特沃斯低通滤波器设计方法 (1)、幅度平方函数
|H (j )|21(j 1 /j c)2N N1 ,2 , ,
当 =0 时，|H( j)|2 =1
当 c 时，|H( j)|2 =0.5,取3dB值
当 速度 愈 快c 时，，过随渡带 愈加窄大，幅度迅速.下降，
由上面两式可得：
1(p c
)2N
10ap /10
同理
1(s )2N 10as /10 c
上两式得：
(p )N s
10ap /10 1 10as /10 1
（1） （2）
令
sp s /p,ksp
10ap/10 1 10as/10 1
.
则
N lg ksp lg sp 25
c 的确定:
由(1)式
.
18
求极点：
1( s )2N 0 jC
( s )2N 1 jC
1
j (1 2 k 1 )
∴ sk 12 Nj C C e 2 2 N
k=0,1,2,…,2N-1
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上,间隔为 N
设N=3，极点间隔为π/3
.
19
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平 面的N个极点构成Ha(s)
.
23
举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha (s)
设 c 2ra/ds
N3
查表得
Ha(p)12p12p2p3
将
p s c
代入上式得
1 Ha(s)12( sc)2( sc)2( sc)3
8
88s4s2 s3
下面介绍如何确定阶数N
第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
由第1章1.3节已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位 脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为
y (n ) = x (n ) ∗ h(n ) =
n = −∞
∑ h(m) x(n − m)
∞
将上式两边经过傅里叶变换，可得
但极点决不会落在虚轴上这样滤波器才有可能是稳s的2n个极点中只取s左半平面的n个极点为h511第5章无限长单位脉冲响应iir数字滤波器的设计方法33这里分子系数为512一般模拟低通滤波器的设计指标由参数给出因此对于巴特沃思滤波器情况下设计的实质就是为了求得由这些参数所决定的滤波器阶次n和截止频率lg10513第5章无限长单位脉冲响应iir数字滤波器的设计方法lg10514由式513和式514解出n和10lg10515a一般来说上面求出的n不会是一个整数要求n是一个整数且满足指标要求就必须选lg10515b第5章无限长单位脉冲响应iir数字滤波器的设计方法35这里运算符x的意思是选大于等于x的最小整数例如455
虽然给出了通带的容限δ1及阻带的容限δ2，但是，在具体技 术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）Ap 和阻带应达 到的最小衰减As描述，Ap及As的定义分别为：
| H (e j 0 ) | jω Ap = 20 lg = −20 lg | H (e p ) |= −20 lg(1 − δ 1 ) （5-3a） jω | H (e p ) | | H (e j 0 ) | Ap = 20 lg = −20 lg | H (e jω s ) |= −20 lg δ 2 | H ( e jω s ) |
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
ˆ H a ( s)
[ha (t ) (t nT )]e
n
st
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n )e nsT
H ( z)
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法
4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 的技术指标。（本章主要讨论）
2. 最优化设计法
第一步要选择一种最优准则，然后在此准则下 ， 确定系 统函数的系数。
例如，选择最小均方误差准则,最大误差最小准则等。它
是指在一组离散的频率｛ωi｝(i=1, 2, …, M)上，所设计 出的实际频率响应幅度|H(ejω)|与所要求的理想频率响
的特点 掌握从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器
的频率变换。 掌握从数字滤波器到各种数字滤波器的频率变
换
引言
1、数字滤波器的定义 用有限精度算法实现的时域离散的线性时不
变系统，用于完成对信号的滤波处理 。
低频系 列滤波
器
说明：
1）许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、 预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信 号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数 字信号处理的重要基础。
1. 借助模拟filter的设计方法
1）首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足 预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波 器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数 已经表格化了，设计起来既方便又准确。
2）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；
3）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 系统函数 Ha (s) ； 将 Ha (s) H (z)
滤波器。
模拟滤波器的理想幅频特性
LPAF
H ( j)
c HPAF
c
BPAF
c
H ( j)
H ( j) c
BSAF
c
c
H ( j)
c2 c1 c1 c2
数字滤波器的理想幅频特性
2. 最优化设计法
第一步要选择一种最优准则，然后在此准则下 ， 确定系 统函数的系数。
例如，选择最小均方误差准则,最大误差最小准则等。它
是指在一组离散的频率｛ωi｝(i=1, 2, …, M)上，所设计 出的实际频率响应幅度|H(ejω)|与所要求的理想频率响
的特点 掌握从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器
的频率变换。 掌握从数字滤波器到各种数字滤波器的频率变
换
引言
1、数字滤波器的定义 用有限精度算法实现的时域离散的线性时不
变系统，用于完成对信号的滤波处理 。
低频系 列滤波
器
说明：
1）许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、 预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信 号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数 字信号处理的重要基础。
1. 借助模拟filter的设计方法
1）首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足 预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波 器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数 已经表格化了，设计起来既方便又准确。
2）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；
3）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 系统函数 Ha (s) ； 将 Ha (s) H (z)
滤波器。
模拟滤波器的理想幅频特性
LPAF
H ( j)
c HPAF
c
BPAF
c
H ( j)
H ( j) c
BSAF
c
c
H ( j)
c2 c1 c1 c2
数字滤波器的理想幅频特性
无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法共158页文档
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
无限长单位脉冲响应滤波器的设计方
法
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一Biblioteka 优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
第三章无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法3
则 H a(~ s) 0 .49 1 1 .20 3 .~ s 3 4 0 8 9 .91 8 ~ s2 3 8~ s3 3
于是
H (Z )H a(~ s)~ s 1 z 1
1 3 z 13 z 2z 3 0 .1321
10 .34 z 1 3 0 .2 60 z 2 4 0 .3 20 z 34
合并上式后两项，并将 c2fcT0.5 代入，计算得：
H (Z ) T 1 1 0 1 .2 .50 7 Z 1 7 1 1 9 0 .1 1 .59 Z 7 1 0 0 .5 1 0 .5 2 5 Z 0 1 4 Z 2 7 1 9
以 s / c代替其归一化频率，得：
1 H a(s)12(s/ c)2(s/ c)2(s/ c)3
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式 的系数，之后以 s / c 代替归一化频率，即得 Ha(s)。
将 c 2fc 代入，就完成了模拟滤波器的设计
，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤 波变换后代入。
1
1 z
图3 三阶切比雪夫高通频响
例5（书上 ） 设计一数字高通滤波器，它的通带为400～ 500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz 的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。
界频率
c
2tgc
T 2
2 T
(三 ) s以/c 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 H a(s) 1 2 (s/ c) 2 (s 1 / c)2 (s/ c)3
并将c 2/T 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。
1 H(Z)Ha(s)sT 21 1 zz 1 1121 1 zz 1 121 1 zz 1 121 1 zz 1 13
数字信号处理(第二版) 第4章-无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器设计方法2
1 z 1 3 3 z 2 1 z 1 1 z 1
1 2
1 z 1 3 3 z2
脉冲响应不变法 双线性变换法
图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响
图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法， 由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折
叠频率处 Z 1, 形成一个三阶传输零点,这个三阶零点
模拟原型
原型变换
映射变换
模拟低通、高通
数字低通、高
带通、带阻
步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一 定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种 数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。
4.4.1 低通变换
通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频 率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟 滤波器的临界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成H(z)（数字滤波器系统函数）
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构：
c
c / 3e j /6
c / 3e j /6
Ha(s)
s c s c(1 j 3) / 2 s c(1 j 3) / 2
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 ,有 A1 c , s1 c ; A2 c / 3e j /6
s2 c (1 j 3) / 2; A3 c / 3e j /6, s3 c (1 j 3) / 2
将上式部分系数代入数字滤波器的系统函数：
H (Z )
N
Ai
i1 1 eSiT Z 1
第三章无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法
1 H(a s)
12s2s2s3 以 s / c代替其归一化频率，得：
1 H a(s)12(s/ c)2(s/ c)2(s/ c)3
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式 的系数，之后以 s / c 代替归一化频率，即得 Ha(s)。
将 c 2fc 代入，就完成了模拟滤波器的设计
，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤 波变换后代入。
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构：
c c / 3 e j/6
c / 3 e j/6
H (s )a
s cs c ( 1 j3 )/2s c ( 1 j3 )/2
例1 设采样周期 T25s0 (fs4kh)z,设计一个三阶巴特沃
兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。
解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc
=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc 归一化的三 阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：
第三章无限长单位脉冲响应滤 波器的设计方法
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤 波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。
一．低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：
1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临 界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成 H(z)（数字滤波器传递函数）
2 2 z 1 1 2 z 1 z 2
12s2s2s3 以 s / c代替其归一化频率，得：
1 H a(s)12(s/ c)2(s/ c)2(s/ c)3
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式 的系数，之后以 s / c 代替归一化频率，即得 Ha(s)。
将 c 2fc 代入，就完成了模拟滤波器的设计
，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤 波变换后代入。
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构：
c c / 3 e j/6
c / 3 e j/6
H (s )a
s cs c ( 1 j3 )/2s c ( 1 j3 )/2
例1 设采样周期 T25s0 (fs4kh)z,设计一个三阶巴特沃
兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。
解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc
=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc 归一化的三 阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：
第三章无限长单位脉冲响应滤 波器的设计方法
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤 波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。
一．低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：
1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临 界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成 H(z)（数字滤波器传递函数）
2 2 z 1 1 2 z 1 z 2
【2019年整理】CH3无限长单位脉冲响应滤波器IIR的设计方法
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设计数字滤波器的步骤：
• 一般包括以下三步： • (1)按照任务的要求，确定滤波器的性能 指标任务包括：
°需要滤除哪些频率分量 °保留哪些频率分量 °保留的部分允许有多大的幅度或相位失真
• •
Slide 4
(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系 统的系统函数去逼近这一性能要求 系统函数可以分为IIR和FIR两类系统
• 该方法只适用于带限的AF。
• 高通和带阻滤波器不宜采用脉冲响 应不变法
否则要加保护滤波器，滤掉高于折叠 频率以上的分量。
阻带衰减越大，则混叠效应越小
• 带通和低通滤波器，需充分地带限
Slide 24
例1 将已知传递函数的模拟滤波器数字化
图3.3 脉冲响应不变法的幅频特性
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3.1.2 双线性变换法 P105
M
一般M N
Slide 7
系统的组成
•一般，M≤N,这类系统称为N阶系统
•当 M ＞ N 时， H(z) 可看成是一个 N 阶 IIR 子系统与一个 (M-N) 阶的 FIR 子系 统的级联。
X(n)
IIR
(N阶)
FIR
(M-N阶)
y(n)
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数字低通滤波器频率响应幅度特性的容限图
H (e j )
1＋ 1 1 1－ 1 通带 过渡带 阻带
2
o
1 1 | H (e j ) | 1 1
| H (e j ) | 2
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|ω|≤ωc ωr≤|ω|≤π
IIR滤波器的逼近问题
• 寻找滤波器的各系数 ai 和 bi，使其逼 近一个所要求的特性。 • 通常有以下两种方法：