matlab插值分析

返回
3
一维插值的提法
已知 n+1个节点 (x j , y j ) ( j 0,1,n,其中 x j
互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点 x*( xj ) 处的插值 y*.
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
节点可视为由
y g(x)产生,
g 表达式复杂,
三次样条插值:(*)
曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
返回
16
用MATLAB作插值计算
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 插值节点 值结果
被插值点
插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值；
‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值。
缺省时： 分段线性插值。
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，
并且xi不能够 超过x的范围。
17
1) si ( x) ai x3 bi x2 ci x di 2) S (xi ) yi (i 0,1,n)
3) S ( x) C 2[ x0 , xn ]
(i 1,n)
si (xi ) si1(xi ), si(xi ) si1(xi ), si(xi ) si1(xi ) (i 1, , n 1)
返回
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
15
三种插值的比较
拉格朗日插值（高次多项式插值）：
曲线光滑；误差估计有表达式 收敛性不能保证（振荡现象） 用于理论分析，实际意义不大
分段线性插值：
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
xi1 )(x xi1 )(x x i1 )(x i x i1 )(x i
xn) xn
)
称为拉格朗日插值基函数。 6
拉格朗日(Lagrange)插值
特别地:
两点一次(线性)插值多项式:
L1x
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
三点二次(抛物)插值多项式:
L2
x
x x0
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=20
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
1
0.9
0.8
0.7
0.6 n=40
0.5
0.4
0.3
0.2
返
0.1
回
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
12
4) S(x0 ) S(xn ) 0 (自然边界条件）
2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)
lim S(x) g(x)
g(x)为被插值函数。
n
14
例
g(x)
1 1 x2
,
6 x6
用 三次样条插值 ，选取11个基点计算插值(ych)
To MATLAB ych(larg1)
三次样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
a
xi-1 xi
bx
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的 k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。
光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次
的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值 就是一个很好的例子。
13
三次样条插值
S(x) {si (x), x [xi1, xi ], i 1,n}
Mathematical modeling
数学建模与数学实验
插值
1
一维插值
一、插值的定义
二、插值的方法
拉格朗日插值
分段线性插值
三次样条插值 三、用Matlab解插值问题
返回
2
二维插值
一、二维插值定义
二、网格节点插值法 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值
三、用Matlab解插值问题 网格节点数据的插值 散点数据的插值
x1 x1
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
直接验证可知 , Ln x满足插值条件 .
7
例
g(x) 1 , 5 x 5
1 x2
采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值 节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n 分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：
Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.
解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
n
Pn (x) Li (x) yi i0
其中Li(x) 为n次多项式：
Li
(x)
(x x0 )(x x1)(x (xi x 0 )(xi x1 )(xi
或无封闭形式,
或未知。
4
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1, n)
再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
返回
5
拉格朗日(Lagrange)插值
x x j1
x
j
x j 1
,
x j 1
x
xj
l j (x)
x xj
x j1 x j1
,
xj
x
x j 1
0,
其它
xj xj+1 xn
x
计算量与n无关; n越大，误差越小.
lim
n
Ln
Hale Waihona Puke Baidu
(x)
g(x),
x0
x
xn
10
例
g(x)
1 1 x2
,
6 x6
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.
1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11)
To Matlab lch(larg1)
拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象
返回
8
2 1.5
1 0.5
0 -0.5
-1 -1.5
-5
n=10 y=1/(1n+=x42)n=2 n=6
n=8
0
5
9
分段线性插值
y
••• •
• •
o x0
xj-1
n
Ln ( x) y jl j ( x) j 0
2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13) 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14)
To MATLAB
xch11，xch12， xch13，xch14
返回
11
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=4 0.4
0.3