统计学第九章双因素和多因素方差分析

（四）平方和的简便计算方式
abn
SST
y2 ij k
C
i1 j1 k 1
a
SS A
1 bn
y2 i••
C
i1
b
SSB
1 an
y•j• 2 C
j1
a b
SSAB n
yij• yi•• y• j• y••• 2
i1 j1
SSe
a i 1
b j 1
n
y2 ij k k 1
1 n
（一）试验数据的描述
A1
因素A
A2
i=1.，
2,3…，a
┆
B1 y111 y112 ┆ y11n
因素B j=1.，2,3…，b
B2
…
y121
…
y122
┆
y12n
Bb y1b1 y1b2 ┆ y1bn
y211 y212 ┆ y21n
y221 y222 ┆ y22n
…
y2b1 y2b2 ┆ y2bn
┆
y
）2
ij•
i1 j 1 k 1
❖ 2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：dfT=abn-1 ❖ A因素处理间自由度：dfA=a-1 ❖ B因素处理间自由度：dfB=b-1 ❖ 交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1) ❖ 处理内自由度：dfe=ab(n-1) ❖ dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe
a i 1
b
y2 ij • j 1
SST
SSA
SSB
SSAB
（五）各项均方的计算
MS T
SST dfT
SST abn 1
MS A
SS A df A
SS A a -1
MS B
SSB df B
SSB b 1
MS AB
SS AB df A
SS AB
a -1b -1
MSe
SSe dfe
SSe ab（n -1）
4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方 差分析 (Two-factor with replication)：如果两个因 素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还 会对结果产生一种新的影响。
二、双因素交叉分组试验设计的描述
（一）双因素试验的数据描述 （二）观测值的描述 （三）平方和与自由度的分解 （四）平方和的简便计算公式 （五）各项均方的计算
其中表示所有观测值的总平均数
i 表示因素A第i水平的处理效应
表示
j
因素B第j水平的处理效应
ij 表示因素A的第i水平和因素B第i水平的交互效应
ijk表示随机误差
（三）平方和与自由度的分解
1、平方和的分解
总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、 B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起 的平方和SSAB、误差平方和SSe
3、检验统计量的计算
▪ 计算平方和(SS)
AB交互作用误差平方和
a b
SS 随机误差项平方和
AB
n
i1
j 1
yij• yi•• y• j•
y•••
2
a bn
SSe
（y ijk
y
）2
ij•
i1 j 1 k 1
在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计
量 均 以 MSe 做 分 母 ： FA=MSA/MSe
1、观测值的描述
yijk i j i j，其中i 1,2，...a; j 1,2，...b;
a
b
i 0； j 0； i j为相互独立且服从正态分布N 0， 2 的随机变量
i1
j1
2、提出假设
H01：i 0, HA1：i 0 H02：i 0, HA2：i 0
3、检验统计量的计算
在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母
FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
（三）交互作用的判断
❖ Tukey提供的方法进行因素间是否存在交互作用的 判断
FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
4、均方期望
E(MSe ) 2
E(MS
B
)
2＋Βιβλιοθήκη an b 1a i1
2 j
E(MS
A
)
2＋ bn a 1
a i 1
2 i
E(MS AB )
2＋ （a
n 1)(b
1)
a i 1
2 ij
❖ （二）无重复无交互作用实验的双因素方 差分析
a
2
A因素误差平方和 SSA bn yi•• y•••
i1
B因素误差平方和
b
SSB an
2
y• j• y•••
j1
AB交互作用误差平方和
a b
SSAB n
yij• yi•• y• j• y••• 2
i1 j1
随机误差项平方和
a bn
SSe
（y ij k
┆
…
┆
Aa 和
ya11 ya12 ┆ ya1n
y.1.
ya21 ya22 ┆ ya2n
y.2.
… …
yab1 yab2 ┆ yabn
y.b.
和 y1..
y2.. ┆ ya.. y…
（二）观测值的描述
❖ 对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述
yijk i j ij ijk
第一节 双因素方差分析概述
❖ 一、双因素试验汇中的几个基本概念
1、主效应（main effect）：各实验因素相对独立的 效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变， 如包装方式对果汁销售量的影响。
2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的 相互作用而产生的效应。
3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方 差分析(Two-factor without replication)：两个因素 对试验结果的影响是相互独立的，分别判断两个 因素对试验数据的影响。
第九章 双因素和多因素方差分析
学习目标
掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、 无重复观察值）资料的方差分析方法。
熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来 源期望均方构成。
了解：缺失数据的估计原理及方差分析方 法。
讲授内容
第一节 双因素方差分析概述 第二节 不同实验类型的双因素方差分析 第三节 多因素试验的方差分析 第四节 缺失数据的估计 第五节 数据变换
第二节 不同实验类型的双因素方差分析
一、固定模型
（一）重复试验时的双因素方差分析 1、观察值的线性统计模型 yijk i j i j i jk，其中i 1,2，...a; j 1,2，...b;k 1,2，...n;
2、提出假设
H01：i 0, H A1：i 0 H02：i 0, H A2：i 0 H03：（ ）ij 0，HA3：（ ）ij 0，其中i 1,2，...,a; j 1,2，...,b