统计学第九章双因素和多因素方差分析

a
2
A因素误差平方和 SSA bn yi•• y•••
i1
B因素误差平方和
b
SSB an
2
y• j• y•••
j1
AB交互作用误差平方和
a b
SSAB n
yij• yi•• y• j• y••• 2
i1 j1
随机误差项平方和
a bn
SSe
（y ij k
在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母
FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
（三）交互作用的判断
❖ Tukey提供的方法进行因素间是否存在交互作用的 判断
第二节 不同实验类型的双因素方差分析
一、固定模型
（一）重复试验时的双因素方差分析 1、观察值的线性统计模型 yijk i j i j i jk，其中i 1,2，...a; j 1,2，...b;k 1,2，...n;
2、提出假设
H01：i 0, H A1：i 0 H02：i 0, H A2：i 0 H03：（ ）ij 0，HA3：（ ）ij 0，其中i 1,2，...,a; j 1,2，...,b
FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
4、均方期望
E(MSe ) 2
E(MS
B
)
2＋
an b 1
a i1
2 j
E(MS
A
)
2＋ bn a 1
a i 1
2 i
E(MS AB )
2＋ （a
n 1)(b
1)
a i 1
2 ij
❖ （二）无重复无交互作用实验的双因素方 差分析
3、检验统计量的计算
▪ 计算平方和(SS)
AB交互作用误差平方和
a b
SS 随机误差项平方和
AB
n
i1
j 1
yij• yi•• y• j•
y•••
2
a bn
SSe
（y ijk
y
）2
ij•
i1 j 1 k 1
在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计
量 均 以 MSe 做 分 母 ： FA=MSA/MSe
1、观测值的描述
yijk i j i j，其中i 1,2，...a; j 1,2，...b;
a
b
i 0； j 0； i j为相互独立且服从正态分布N 0， 2 的随机变量
i1
j1
2、提出假设
H01：i 0, HA1：i 0 H02：i 0, HA2：i 0
3、检验统计量的计算
4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方 差分析 (Two-factor with replication)：如果两个因 素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还 会对结果产生一种新的影响。
二、双因素交叉分组试验设计的描述
（一）双因素试验的数据描述 （二）观测值的描述 （三）平方和与自由度的分解 （四）平方和的简便计算公式 （五）各项均方的计算
其中表示所有观测值的总平均数
i 表示因素A第i水平的处理效应
表示
j
因素B第j水平的处理效应
ij 表示因素A的第i水平和因素B第i水平的交互效应
ijk表示随机误差
（三）平方和与自由度的分解
1、平方和的分解
总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、 B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起 的平方和SSAB、误差平方和SSe
第一节 双因素方差分析概述
❖ 一、双因素试验汇中的几个基本概念
1、主效应（main effect）：各实验因素相对独立的 效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变， 如包装方式对果汁销售量的影响。
2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的 相互作用而产生的效应。
3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方 差分析(Two-factor without replication)：两个因素 对试验结果的影响是相互独立的，分别判断两个 因素对试验数据的影响。
（一）试验数据的描述
A1
因素A
A2
i=1.，
2,3…，a
┆
B1 y111 y112 ┆ y11n
因素B j=1.，2,3…，b
B2
…
y121
…
y122
┆
y12n
Bb y1b1 y1b2 ┆ y1bn
y211 y212 ┆ y21n
y221 y222 ┆ y22n
…
y2b1 y2b2 ┆ y2bn
┆
y
）2
ij•
i1 j 1 k 1
❖ 2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：dfT=abn-1 ❖ A因素处理间自由度：dfA=a-1 ❖ B因素处理间自由度：dfB=b-1 ❖ 交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1) ❖ 处理内自由度：dfe=ab(n-1) ❖ dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe
（四）平方和的简便计算方式
abn
SST
y2 ij k
C
i1 j1 k 1
a
SS A
1 bn
y2 i••
C
i1
b
SSB
Hale Waihona Puke Baidu
1 an
y•j• 2 C
j1
a b
SSAB n
yij• yi•• y• j• y••• 2
i1 j1
SSe
a i 1
b j 1
n
y2 ij k k 1
1 n
┆
…
┆
Aa 和
ya11 ya12 ┆ ya1n
y.1.
ya21 ya22 ┆ ya2n
y.2.
… …
yab1 yab2 ┆ yabn
y.b.
和 y1..
y2.. ┆ ya.. y…
（二）观测值的描述
❖ 对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述
yijk i j ij ijk
a i 1
b
y2 ij • j 1
SST
SSA
SSB
SSAB
（五）各项均方的计算
MS T
SST dfT
SST abn 1
MS A
SS A df A
SS A a -1
MS B
SSB df B
SSB b 1
MS AB
SS AB df A
SS AB
a -1b -1
MSe
SSe dfe
SSe ab（n -1）
第九章 双因素和多因素方差分析
学习目标
掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、 无重复观察值）资料的方差分析方法。
熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来 源期望均方构成。
了解：缺失数据的估计原理及方差分析方 法。
讲授内容
第一节 双因素方差分析概述 第二节 不同实验类型的双因素方差分析 第三节 多因素试验的方差分析 第四节 缺失数据的估计 第五节 数据变换