2020届高三适应性考试理科数学试卷答案

理科数学（答案）
1.C
2.D
3.C
4.A
5.C
6.B
7.D
8.B
9.C 10.D 11.A 12.C 13.(,)e e 14. 2- 15.3 16. 2
32114
17.（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
1.2400.810 1.5300.720
1.15100
⨯+⨯+⨯+⨯=小时，
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时， 因为1.15小时7
6
<
小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”； （2）由联立表可得，
()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -==++++()2
10040203010 4.762 3.84070305050⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，
所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
18.（1）设数列{}n a 的公比为，因为24a =，所以34a q =，2
44a q =．
因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．即()2
24244q q +=+，化
简得2
20q q -=．
因为公比0q ≠，所以2q
．所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n N ∈）．
（2）因为2n
n a =，所以22log 121n n b a n =-=-．()212n n n a b n =-．
则()()2
3
1
123252232
212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，①
()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-.②
①－②得，()231
2222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--
()()()11
141222212
6232
12
n n n n n -++-=+⨯
--=----，所以
()16232n n T n +=+-．
19．
20.因为所以，
因为函数在处取得极值，
，
当时，，，
，随x的变化情况如下表：
x 1
0 0
增极大值减极小值增所以的单调递增区间为，，单调递减区间为因为
令，，
因为在处取得极值，所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减
所以在区间上的最大值为，
令，解得
当，
当
时，在
上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以最大值1可能在或
处取得
而
所以，解得
当
时，
在区间
上单调递增，上单调递减，
上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而，
所以，
解得，与矛盾.
当
时，
在区间
上单调递增，在
单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾。

综上所述，
或
21.（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211132x y +=，22
22
132
x y +=，
两式相减得：
()()()()2121212103
2
x x x x y y y y -+-++=(*)，
由线段AB 的中点在直线1x =-上，可设此中点()1,M m -，因为直线AB 的斜率存在，所以0m ≠，
设其斜率为k ，由(*)式得
203mk -+=，即2
3k m
=. 由于弦AB 的中点()1,m -必在椭圆内部，则
()2
2
113
2
m -+<，解得)033
m m <<≠.
又2
3k m =，所以斜率k
的取值范围为,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （2）由（1）知()11,A x y ，()22,B x y ，因为椭圆的左焦点F 为()1,0-， 所以()111,FA x y =+，()221,FB x y =+，设()00,P x y ，则()001,FP x y =+，
()()1212002,1,FA FB PF x x y y x y +=⇒+++=---()01231x x x ⇒=--+=-，
()0122y y y m =-+=-，
(
FA x =
=
1x ==≥， 同理可得2B x F =
≥，因为点
()00,P x y 在椭圆上，所以(
)()22
22
00
1
213232
m x y --+=+=，
解得m =.当m =时，23k m ==，直线AB 的方程为
)1y x =+， 代入22
1
32
x y +=
得22410x x ++=，由根与系数关系得1212x x =.
则
2x FB FA -=
=
3
=
=
. 由对称性知，当
m =时63FB FA -=也成立，3FA FB -=
±
22. 【解析】（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由1sin ρθ=-，得31sin 2θ=-，
1
sin 2θ=-，
02θπ≤<，∴76θπ=
或116πθ=，所以点M 的极坐标为37,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭
或311,26
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （2）由题意可设()1,M ρθ，2,
2N π
ρθ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
.由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，
21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫=-+=-
⎪⎝⎭
.MN =
=
=
=故54πθ=
时，MN 1.
23. （1）
()()22,3
4134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪
++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
.
当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-； 当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；
当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥. 综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(]
[),53,-∞-+∞；
（2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫
⎪⎝⎭
，即证1ab a b ->-，
因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，
()()2222222
22
2
12121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<.
所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立.。