2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文
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符号 说明 油位高度 球冠半径 罐体截面面积
H R
S x
五、
模型的建立与求解
5.1. 问题一：研究罐体变位对罐容表的影响 1. 问题一模型的建立与求解 罐体变位对罐容表的影响可通过对比变位前后同一高度下容量的差异来研 究。因此须先得到罐体变位前后后罐内储油量与油位高度的关系式，该关系式可 以通过建立坐标进行积分得到。 1. 建立坐标系 在小椭圆油罐示意图中建立以油罐左下角为原点，罐底线为 x 轴，油罐截面 为 z-y 平面的空间坐标系，如下图所示：
二、 问题分析
罐容表是罐内油位高度与储油量的对应关系表， 它可以通过油量与油位高度 的数学表达式进行计算制定。 而表达式的具体形式与油罐的形状及油罐的位置有 关。对一般位置的油罐，油量的计算式中应包含油位高度及反映油罐位置信息的 参数。因此，为识别油罐是否变位，可以先建立油量与油位高度及位置参数的一 般数学表达式，然后利用实际检测的油量及油位高度的数据估计出位置参数，若 参数不为零，则罐体发生了变位，然后利用估计出的变位参数代入表达式中计算 标定罐容表。 油量与油位高度的关系式可以通过积分算得，但实际中油位计探针、出油管 和油浮子等浸没油中占据一定空间体积，会导致实测的油位高度比理论值大，反 之即是实测油位高度对应的油量比理论值小， 因此建立油量与油位高度的关系式 时须给理论的数学表达式加上一项修正项。 该修正项可以通过无变位时油量理论 值与附件中的实测值间的差值通过拟合得到。 对于问题一，为掌握变位对罐容表的影响，可以先得到变位前和变位后油量 与实测油位高度的关系式， 即都经过修正后的最终表达式， 然后绘制这两条曲线， 直观得到变位对罐容表的影响，并计算其相对误差，具体体现变位对罐容表的影 响程度。 对于问题二，油罐的形状较复杂，因此通过积分可能得不到油量与油位高度 及变位参数的具体解析式，对于该问题或许可以运用数值分析的方法，离散两个 变位参数，搜索出不同油位高度对应的计算值与实测值误差最小时的参数，这时 的参数即可作为罐体的变位参数。由于附件 2 中没给油罐内油量的初值，对此我
V S x dx
0
0.4
②当 0 H 2.05tan 时，
4
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V
0.4 H cot
0
S x dx
③当 2.05tan H 1.2 0.4 tan 时，
2
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们可以用高度差值对应的油量变化量得到油位高度对应的油量。 总观该问题的求解， 其中对于各种形状的罐体在任意油位高度下油量的计算 的讨论，可以为相关的生产生活需要提供理论计算方法。而且该问题结果中得到 的罐容表标定方法，可以用来标定生活中各种相关的储存罐。
0.4 ab
0.4 2.05
0.4
S x dx V ab 0.4 2.05
3. 理论值对实测值误差的修正 由于实际测量中油位计探针、注油管、出油管和油浮子等浸没油中， 引起体积变大，以及温度、压力等因素影响，导致油位高度的理论值与实 测值存在一定误差。对此，我们利用附件 1 的数据对误差进行修正。 令（3）式中的 0 ，得罐体无变位时储油量与油位高度的理论关 系式为：
图 1-6 误差拟合图
得到的拟合函数： 0.3714h3 1.1904h2 0.9671h 0.2153 ， 用 F-检验检验拟合函数的显著性
ˆi y 0.0486 回归平方和： SSR y
2 i 1
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H
h(x)
h （x）
图 1-1
空间坐标系
在截面 z-y 坐标系中，设椭圆的方程为：
y2 z b a
z b 1
b2
2
（1）
在 x 轴上某处截面的面积 S x （如上图 b 所示）为：
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2
ˆ 2.6076 104 残差平方和： SSE yi y
i 1
53
SSR / 3 3168.0 ， 查表 知 F0.99 3,51 4.20 ， F F0.99 3,51 ，因此相关 SSE / 51 性极好。所以罐体倾斜引起的误差项可以用该三次多项式代替。 F
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图 1-2
0 的油量理论值与实测值对比图
针对理论与实测之间的差异， 计算出各高度下绝对误差相对理论值的相对误 差均为 3.37%，我们认为该误差为系统误差，可能是由于油位计探针、注油管、 出油管和油浮子等浸没油中，引起体积变大，以及管壁厚度不均、温度和压力等 因素所致。由此，用该相对误差对油量与油位高度的理论关系式进行修正，修正 后的油量与油位高度的关系式为：
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图 1-5
4.10 油量初步修正值与实测值的对比图
由图可见倾斜罐体油量与油位高度的关系式进行初步修正后还存在一定的 误差， 因此为制定出精度比较高的罐容表， 还需对其做进一步对 h 0.411m 修正。 我们先画出误差值与高度的曲线， 然后用三次多项式对其拟合， 拟合图如下所示：
(V (h ) V (h ))
i i
2
下面得到的是关于 的误差曲线
图 1-4 误差曲线图 为得到误差最最小时： 4.0780 ，它与 4.10 存在 0.5%的误差。由于我们是 排除系统误差后拟合出的 ，因此 0.5%的误差我们猜测是由于罐体倾斜产生的。 但是该误差很小，因此仍可以用修正关系式（4）对倾斜罐体油量与油位高度的 关系式进行初步修正。 5. 油罐变位倾斜后误差的二次修正 令（3）式中的 4.10 ，并用修正关系式（4）对其修正，然后利用附件 1 中 4.10 时的进油量与油位高度等数据绘制油量初步修正值与实测值关于油位 高度的图形对比如下：
V
0
h 1 5 4.361 25h2 30h 1.3083arcsin h 1 0.65415 6 10 3
根据以上油量与油位高度的理论关系式，利用附件 1 中无变位进油量 与油位高度等数据，用 Matlab 绘出油量理论值与实测值关于油位高度的 图行对比如下：
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储油罐的变位识别与罐容表标定
摘 要
本文综合运用积分、数值分析及搜索的方法，解决了储油罐的变位识别与罐 容表标定问题。 针对问题一，利用油罐的几何结构，运用分段积分法，求得油量与油位高度 及倾斜角间的一般关系式， 并通过分析无变位时油量理论值与实测值间的误差得 到精度很高的系统误差修正项。 用该修正项修正倾斜罐体油量与油位高度的理论 关系式， 并用变位后的数据， 对变位参数用最小二乘进行拟合， 得其值为 4.078 ， 与 4.1 度的误差为 0.5%，验证了在变位情况下的精度，进一步对容量误差用三次 多项式拟合，得到第二个修正项。两次修正后油量的计算值与实测值间的误差不 超过 0.04%。因此，用修正后的公式可以准确标定罐容表，标定的罐容表见表 1。 最后通过对比新标定的罐容表与无变位的罐容表，计算得相对误差最大为 0.26%，说明变位对罐容表影响较大。 针对问题二， 通过积分法建立了油量与油位高度及变位参数间的一般理论关 系式，并运用附件 2 中显示油量与油位高度数据，通过拟合误差得到系统误差修 正项，用该项修正理论关系式得到变位后标定罐容表的精确模型。然后运用数值 分析，离散变位参数，并利用实测的高度差对应的油量变化量数据，搜索出罐体 变位参数为 2.12 ， 1.98 。并对误差做关于 h 的三次曲线拟合，消除拟 合的误差项后，代入补充进油后的出油数据，对模型进行检验，得累积误差不超 过 1/1000；最后将该参数代入标定罐容表模型，计算制定出罐容表见表 2。
V
④当 1.2 0.4 tan H 1.2 时，
0.4 2.05
0
S x dx
V ab 0.4 2b H cot
⑤当 H 1.2 时，
0.4 2.05
0.4 2 b H cot
S x dx
S x
h( x)
0
2 y dz 2a(h( x) b) 1 (
h( x ) b 2 h( x ) b ) arcsin ) b b
（2）
由上图 a 可推出： h x 0.4 tan H x tan ，其中 H 1.2 。 2. 推导储油量与油位高度的理论关系式 由于油面处在不同高度时，油量积分公式的上限会存在差异，因此对油量按 油位高度分段积分，分段线为上图 a 中平行于水平线的两条虚线。 ①当 H 0 时，
关键词：变位识别
标定
积分
数值分析
1
搜索
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一、 问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实 时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照 有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平 头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做 了实验。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位 高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型， 即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间 的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的 数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定 值。进一步利用实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
卿吉明 刘九龙 李海震 西安电子科技大学
正关系对油量与理论油位高度的关系式进行修正， 得到油量与实测油位高度的关 系式。 4. 油罐的变位识别 为了识别油罐是否变位以及纵向变位后的倾斜角，利用附件 1 中
4.10 时的进出油量与油位高度等数据对修正后的 （3） 式中的参数
用最小二乘法拟合，即满足拟合的误差最小。其中误差项为：
V实际 V理论 0.0337V理论
（4）
为体现修正效果， 用修正式及附件 1 中无变位出油量与油位高度等数据重新 绘制油量与油位高度的图形并与实测值对比如下：
图 1-3 修正后油量值与实测值的对比图
由上图可见，修正后的油量值与实测值非常吻合。因此，我们可以运用该修
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三、 基本假设
1) 假设一：温度和油品静压力作用引起罐体的收缩与膨胀作用可以忽略； 2) 假设二：罐体只发生纵向倾斜和横向偏转等变位变化，形状不发生变化； 3) 假设三：油量计与油位计的读数误差可忽略。 4) 假设四：本文运用数据资料均真实可靠。 3.1. 本文引用数据、资料均真实可靠。
四、 符号说明
H R
S x
五、
模型的建立与求解
5.1. 问题一：研究罐体变位对罐容表的影响 1. 问题一模型的建立与求解 罐体变位对罐容表的影响可通过对比变位前后同一高度下容量的差异来研 究。因此须先得到罐体变位前后后罐内储油量与油位高度的关系式，该关系式可 以通过建立坐标进行积分得到。 1. 建立坐标系 在小椭圆油罐示意图中建立以油罐左下角为原点，罐底线为 x 轴，油罐截面 为 z-y 平面的空间坐标系，如下图所示：
二、 问题分析
罐容表是罐内油位高度与储油量的对应关系表， 它可以通过油量与油位高度 的数学表达式进行计算制定。 而表达式的具体形式与油罐的形状及油罐的位置有 关。对一般位置的油罐，油量的计算式中应包含油位高度及反映油罐位置信息的 参数。因此，为识别油罐是否变位，可以先建立油量与油位高度及位置参数的一 般数学表达式，然后利用实际检测的油量及油位高度的数据估计出位置参数，若 参数不为零，则罐体发生了变位，然后利用估计出的变位参数代入表达式中计算 标定罐容表。 油量与油位高度的关系式可以通过积分算得，但实际中油位计探针、出油管 和油浮子等浸没油中占据一定空间体积，会导致实测的油位高度比理论值大，反 之即是实测油位高度对应的油量比理论值小， 因此建立油量与油位高度的关系式 时须给理论的数学表达式加上一项修正项。 该修正项可以通过无变位时油量理论 值与附件中的实测值间的差值通过拟合得到。 对于问题一，为掌握变位对罐容表的影响，可以先得到变位前和变位后油量 与实测油位高度的关系式， 即都经过修正后的最终表达式， 然后绘制这两条曲线， 直观得到变位对罐容表的影响，并计算其相对误差，具体体现变位对罐容表的影 响程度。 对于问题二，油罐的形状较复杂，因此通过积分可能得不到油量与油位高度 及变位参数的具体解析式，对于该问题或许可以运用数值分析的方法，离散两个 变位参数，搜索出不同油位高度对应的计算值与实测值误差最小时的参数，这时 的参数即可作为罐体的变位参数。由于附件 2 中没给油罐内油量的初值，对此我
V S x dx
0
0.4
②当 0 H 2.05tan 时，
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V
0.4 H cot
0
S x dx
③当 2.05tan H 1.2 0.4 tan 时，
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们可以用高度差值对应的油量变化量得到油位高度对应的油量。 总观该问题的求解， 其中对于各种形状的罐体在任意油位高度下油量的计算 的讨论，可以为相关的生产生活需要提供理论计算方法。而且该问题结果中得到 的罐容表标定方法，可以用来标定生活中各种相关的储存罐。
0.4 ab
0.4 2.05
0.4
S x dx V ab 0.4 2.05
3. 理论值对实测值误差的修正 由于实际测量中油位计探针、注油管、出油管和油浮子等浸没油中， 引起体积变大，以及温度、压力等因素影响，导致油位高度的理论值与实 测值存在一定误差。对此，我们利用附件 1 的数据对误差进行修正。 令（3）式中的 0 ，得罐体无变位时储油量与油位高度的理论关 系式为：
图 1-6 误差拟合图
得到的拟合函数： 0.3714h3 1.1904h2 0.9671h 0.2153 ， 用 F-检验检验拟合函数的显著性
ˆi y 0.0486 回归平方和： SSR y
2 i 1
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H
h(x)
h （x）
图 1-1
空间坐标系
在截面 z-y 坐标系中，设椭圆的方程为：
y2 z b a
z b 1
b2
2
（1）
在 x 轴上某处截面的面积 S x （如上图 b 所示）为：
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ˆ 2.6076 104 残差平方和： SSE yi y
i 1
53
SSR / 3 3168.0 ， 查表 知 F0.99 3,51 4.20 ， F F0.99 3,51 ，因此相关 SSE / 51 性极好。所以罐体倾斜引起的误差项可以用该三次多项式代替。 F
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图 1-2
0 的油量理论值与实测值对比图
针对理论与实测之间的差异， 计算出各高度下绝对误差相对理论值的相对误 差均为 3.37%，我们认为该误差为系统误差，可能是由于油位计探针、注油管、 出油管和油浮子等浸没油中，引起体积变大，以及管壁厚度不均、温度和压力等 因素所致。由此，用该相对误差对油量与油位高度的理论关系式进行修正，修正 后的油量与油位高度的关系式为：
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图 1-5
4.10 油量初步修正值与实测值的对比图
由图可见倾斜罐体油量与油位高度的关系式进行初步修正后还存在一定的 误差， 因此为制定出精度比较高的罐容表， 还需对其做进一步对 h 0.411m 修正。 我们先画出误差值与高度的曲线， 然后用三次多项式对其拟合， 拟合图如下所示：
(V (h ) V (h ))
i i
2
下面得到的是关于 的误差曲线
图 1-4 误差曲线图 为得到误差最最小时： 4.0780 ，它与 4.10 存在 0.5%的误差。由于我们是 排除系统误差后拟合出的 ，因此 0.5%的误差我们猜测是由于罐体倾斜产生的。 但是该误差很小，因此仍可以用修正关系式（4）对倾斜罐体油量与油位高度的 关系式进行初步修正。 5. 油罐变位倾斜后误差的二次修正 令（3）式中的 4.10 ，并用修正关系式（4）对其修正，然后利用附件 1 中 4.10 时的进油量与油位高度等数据绘制油量初步修正值与实测值关于油位 高度的图形对比如下：
V
0
h 1 5 4.361 25h2 30h 1.3083arcsin h 1 0.65415 6 10 3
根据以上油量与油位高度的理论关系式，利用附件 1 中无变位进油量 与油位高度等数据，用 Matlab 绘出油量理论值与实测值关于油位高度的 图行对比如下：
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储油罐的变位识别与罐容表标定
摘 要
本文综合运用积分、数值分析及搜索的方法，解决了储油罐的变位识别与罐 容表标定问题。 针对问题一，利用油罐的几何结构，运用分段积分法，求得油量与油位高度 及倾斜角间的一般关系式， 并通过分析无变位时油量理论值与实测值间的误差得 到精度很高的系统误差修正项。 用该修正项修正倾斜罐体油量与油位高度的理论 关系式， 并用变位后的数据， 对变位参数用最小二乘进行拟合， 得其值为 4.078 ， 与 4.1 度的误差为 0.5%，验证了在变位情况下的精度，进一步对容量误差用三次 多项式拟合，得到第二个修正项。两次修正后油量的计算值与实测值间的误差不 超过 0.04%。因此，用修正后的公式可以准确标定罐容表，标定的罐容表见表 1。 最后通过对比新标定的罐容表与无变位的罐容表，计算得相对误差最大为 0.26%，说明变位对罐容表影响较大。 针对问题二， 通过积分法建立了油量与油位高度及变位参数间的一般理论关 系式，并运用附件 2 中显示油量与油位高度数据，通过拟合误差得到系统误差修 正项，用该项修正理论关系式得到变位后标定罐容表的精确模型。然后运用数值 分析，离散变位参数，并利用实测的高度差对应的油量变化量数据，搜索出罐体 变位参数为 2.12 ， 1.98 。并对误差做关于 h 的三次曲线拟合，消除拟 合的误差项后，代入补充进油后的出油数据，对模型进行检验，得累积误差不超 过 1/1000；最后将该参数代入标定罐容表模型，计算制定出罐容表见表 2。
V
④当 1.2 0.4 tan H 1.2 时，
0.4 2.05
0
S x dx
V ab 0.4 2b H cot
⑤当 H 1.2 时，
0.4 2.05
0.4 2 b H cot
S x dx
S x
h( x)
0
2 y dz 2a(h( x) b) 1 (
h( x ) b 2 h( x ) b ) arcsin ) b b
（2）
由上图 a 可推出： h x 0.4 tan H x tan ，其中 H 1.2 。 2. 推导储油量与油位高度的理论关系式 由于油面处在不同高度时，油量积分公式的上限会存在差异，因此对油量按 油位高度分段积分，分段线为上图 a 中平行于水平线的两条虚线。 ①当 H 0 时，
关键词：变位识别
标定
积分
数值分析
1
搜索
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一、 问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实 时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照 有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平 头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做 了实验。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位 高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型， 即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间 的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的 数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定 值。进一步利用实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
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正关系对油量与理论油位高度的关系式进行修正， 得到油量与实测油位高度的关 系式。 4. 油罐的变位识别 为了识别油罐是否变位以及纵向变位后的倾斜角，利用附件 1 中
4.10 时的进出油量与油位高度等数据对修正后的 （3） 式中的参数
用最小二乘法拟合，即满足拟合的误差最小。其中误差项为：
V实际 V理论 0.0337V理论
（4）
为体现修正效果， 用修正式及附件 1 中无变位出油量与油位高度等数据重新 绘制油量与油位高度的图形并与实测值对比如下：
图 1-3 修正后油量值与实测值的对比图
由上图可见，修正后的油量值与实测值非常吻合。因此，我们可以运用该修
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三、 基本假设
1) 假设一：温度和油品静压力作用引起罐体的收缩与膨胀作用可以忽略； 2) 假设二：罐体只发生纵向倾斜和横向偏转等变位变化，形状不发生变化； 3) 假设三：油量计与油位计的读数误差可忽略。 4) 假设四：本文运用数据资料均真实可靠。 3.1. 本文引用数据、资料均真实可靠。
四、 符号说明