高中数学《排列组合染色问题》典例讲解

排列组合染色问题的探究

上饶县二中 徐 凯

在任教高二数学教学时，有许多同学被排列组合题的灵活性所困惑，甚至有学生向我询问有没有公式之类的解决途径，每道题都去分析似乎很累。其实就某些特殊的排列组合问题是可以抽象出数学模型来加以研究的，比如说下面我们所要提到的染色问题。

一、一个结论。

若把一个圆（除中间同心圆外的圆环部分）分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 那么

共有S

)1()1()1(--+-=m m n n 种染色方法。 例：在一个圆形花坛种颜色花卉，现有4种颜色可供选择，要求相邻两个区域不同色，则共有多少种方法？

解：从图中可以发现除同心圆部分外的圆环部分被分成了

n=5份，因为有4种颜色可供选择，我们先给同心圆①染色有4

种方法，那么圆环部分有3种颜色可供选择，即m=3,所以圆环部

分共有S=()30232)13()1(1355

=-=--+-种染色方法，从而整个圆形花坛共有120304=⨯种染色方法。

用常规方法同学们是否也能做到那么快和准确呢？

二、结论的证明。

把圆(除中间同心圆部分)分成n 份( n > 1) , 每部分染

一种颜色且相邻。部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种

不同颜色可供使用, 求不同的染色方法总数。

(1) 当m = 2时, n 为偶数时有2种栽种法,n 为奇数时无

解。

(2) 当m > 2时

设把圆分成的n 部分为n n T T T T T 、、、、1321...-。开始

时,1T 有m 种不同的染色法;1T 染好后, 2T 有m - 1 种染色

法;21T T 、染好后,3T 也有m - 1种染色法; 这样依次下去, 染色的方法总数为

1)1(--n m m 。但是在这些染色方法中, 包括1-n T 与n T 染同种颜色的情况,若某种染

色法使1-n T 与n T 同色, 拆去1-n T 与n T 的边界后, 就是分圆为n-1部分, 相邻部分

染不同颜色的方法。因此, 把圆分成n 部分时, 设染色方法的总数为

n a ,

当n = 2时,m m m m a -=-=22)1( 当n = 3、4、5、⋯时, 有11)1(---=+n n n m m a a 此时问题可转化为:

1-1 2-1

在数列{n a }中，已知11)1(---⨯=+n n n m m a a 得：

2

23)1(a m m a --⨯=

)1()1(2---⨯=m m m m

)]1()1[(2---=m m m 334)1(a m m a --⨯=

)]1()1()1[(23-+---=m m m m )]1()1()1()1[(2345---+---=m m m m m a

……

])1)(1(...)1()1()1[(321n n n n n m m m m m a --+--+---=--- )11(1])11(1[)1(11-----

--=--m m m m

a n n n ])11(1[)1(1-----=n n m m

)1()1()1(1----=-m m n n

)1()1()1(--+-=m m n n （m>2） 三、练习。在平时做习题时，我们肯定还见过下面这些图形：

3-1 3-2

3-3

提示：挖掘共同点

我们可以把上面的图形通过变形转化为下列图形。

这样一来就很容易的转变成为刚开始我们所说的那种题型了，同学们不妨自己设已知条件并尝试一下，是不是觉得排列组合是不是并不那么可怕了呢？