第5节 矩阵多项式

ψ (λ) =
Dn (λ ) λI − A = Dn −1 (λ ) d (λ )
0 8 3 例 求A的最小多项式 A = 3 − 1 6 − 2 0 − 5
解1 矩阵A的特征矩阵为 矩阵A
并求 A100
0 − 8 1 λ − 3 λI − A = − 3 λ + 1 − 6 → λ + 1 2 0 λ + 5 (λ + 1) 2
1 2
s
d i = max nik
k
推论
阶矩阵， 的谱为{ 1·设A是n阶矩阵，A 的谱为{λ1, λ2，…, λs } 设 , A的相应于特征值λi 的次数最大的初等因子为 (λ − λi ) i d d d 则A的最小多项式为 ψ (λ ) = (λ − λ1 ) 1 (λ − λ2 ) 2 ⋯ (λ − λs ) s
的第3个不变因子为( A的第3个不变因子为(λ+1)2 ,则A的最小多项式为(λ+1)2
解2
矩阵A 矩阵A的特征多项式为
λ −3
f (λ ) = λI − A = − 3 2
0 λ +1 0
−8 − 6 = (λ + 1) 3
λ +5
• 由于A的特征多项式与最小多项式有相同的根 由于A • 故A的最小多项式具有下列形式为 (λ ψ（ λ ）= (λ+1)k , =1或 k =1或2或3
•设A是n阶矩阵，称A的首项系数为1，次数最小的化零多项 设 阶矩阵， 的首项系数为1 式为A的最小多项式。 式为A的最小多项式。 例：主对角元为λ0 的n阶Jordan 块J的最小多项式为
P( λ) = (λ- λ0 )n
例：主对角元为λ0 的n阶Jordan形 Jordan形
J=diag (J1, J2, …, Js )的最小多项式为 , P( λ) = (λ- λ0 )
= pdiag ( f ( J1 ), f ( J 2 ),⋯ , f ( J t )) P −1
=O
例 设
1 3 A= 0 − 1
f (λ ) = λI − A =
由A的特征多项式为
λ −1
0
−3 = λ2 − 1 λ +1
则一定有 A2 − I = 0
Hamilton-Cayley定理 Hamilton-Cayley定理
∂0[r(λ)] < ∂0[ψ (λ)]
由于 ψ(A) = O, p(A) = O ，则 r( A) = O 是矩阵A的最小多项式， 又 ψ(λ) 是矩阵A的最小多项式，而
∂ 0 [ r (λ )] < ∂ 0 [ψ (λ )]
因此
r ( λ ) = 0 ，即 ψ ( λ ) | p ( λ )
矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。
则J的化零多项式为 P( λ) = (λ- λ0 )n
证明
0 1 0 ⋱ J − λ0 I = ∈ C n×n ⋱ 1 0
0 ( J − λ0 I ) 2 = 0 0 1 ⋯ 0 ⋱ ⋯ 0 ⋱ 1 ⋱ 0 ⋯ 0
A的Jordan 标准形为
J= diag (J1, J2, …, Js ) ,
ik的阶数
其中Ji= diag (Ji1, Ji2, …, Jini ) , 是特征值为λi 的Jordan 形，n ik是J 则A的最小多项式为
ψ (λ ) = (λ − λ1 ) d (λ − λ2 ) d ⋯ (λ − λs ) d
(2)若A = diag ( A1 , A2 , ⋯, As ), 则
p ( A) = diag ( p( A1 ), p ( A2 ),⋯, p ( As ))
(3)若Ax = λx, 则p( A) x = p(λ ) x
即：若
λ
为矩阵A的特征值， 为矩阵A的特征值，则 p (λ ) 为
p( A) 的特征值。 的特征值。
f (λ ) = (λ − λ1 ) m1 (λ − λ2 ) m2 ⋯ (λ − λs ) ms
设A的Jordan标准形为 J = diag ( J1 , J 2 , ⋯ , J t ) Jordan标准形为 其中， Jordan块 其中，Ji为Jordan块
且设 A = PJP −1 则有
f ( A) = Pf ( J ) P −1
阶矩阵， 的特征多项式， 设A是n阶矩阵，f（λ）是A的特征多项式，则f(A)=0
f (λ ) = 2λ4 − 12λ3 + 19λ2 − 29λ + 37, 求 f ( A), 例：设
1 − 1 证明A可逆,并将其逆表示为A的多项式，其中 A = 证明A可逆,并将其逆表示为A的多项式， 2 5 2 提示：矩阵A的特征多项式为 ψ (λ ) = λ − 6λ + 7, 提示：矩阵A
推论 （1）矩阵A的最小多项式是唯一的。 矩阵A的最小多项式是唯一的。 如果矩阵A的特征多项式无重根，则矩阵A （2）如果矩阵A的特征多项式无重根，则矩阵A的特征多项 式与最小多项式相同。 式与最小多项式相同。
定理 设A是n阶矩阵，A的特征多项式为 阶矩阵， f (λ ) = (λ − λ1 ) m1 (λ − λ2 ) m2 ⋯ (λ − λs ) ms
经验证可得(A+I)2=0,且A+I不为零，所以A的最小多项式为 经验证可得(A+I) =0,且A+I不为零，所以A 不为零
(λ ψ（ λ ）= (λ+1)2
解3
矩阵A 矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵为
Baidu Nhomakorabea
0 (λ + 1)(λ + 5) B(λ ) = 3(λ + 1) (λ + 1) 2 − 2(λ + 1) 0
d
分块对角矩阵A=diag(A 2·分块对角矩阵A=diag(A1,A2,…,AS)的最小多项式等于其诸 分块对角矩阵 ,A 对角块的最小多项式的最小公倍数。 对角块的最小多项式的最小公倍数。 3·设 A ∈ C 设
n×n
,则A的最小多项式为A的第n个不变因子。 的最小多项式为A的第n个不变因子。
4.设 阶矩阵， 的伴随矩阵， 4.设A是n阶矩阵，B(λ)是特征矩阵λI-A的伴随矩阵，d(λ)是 中各元素的最高公因式， B(λ)中各元素的最高公因式，则A的最小多项式为
∂ 0 [ψ (λ )] ≤ ∂ 0 [ p (λ )] 由最小多项式的定义可知
利用多项式的带余除法知，存在多项式 q(λ) ,r (λ) 利用多项式的带余除法知 带余除法 使得
p(λ) =ψ (λ)q(λ) + r(λ),
∂0 [r(λ)] < ∂0 [ψ (λ)]
p(λ) =ψ (λ)q(λ) + r(λ),
100 设 f (λ ) = λ , A的最小多项式为 ψ (λ ) = (λ + 1)2
λ
由
100
= g (λ )(λ + 1) + aλ + b,
2
可得： ψ (− 1) = ψ ′(− 1) = 0 可得
1 = − a + b − 100 = a
解得： 解得：
a = −100 b = −99
第五节 矩阵的最小多项式 主要内容：
1·矩阵多项式及其性质 矩阵多项式及其性质 2·化零多项式与Hamilton-Cayley定理 化零多项式与Hamilton-Cayley定理 化零多项式与Hamilton 3·矩阵的最小多项式及求法 矩阵的最小多项式及求法
定义 设p（z）是复数域上的多项式
p ( z ) = am z m + ⋯ + a1 z + a0
可得： 又由 ψ ( A) = 0 可得 f ( A) = −100 A − 99 I
则
(am ≠ 0)
p ( A ) = a m A m + ⋯ + a1 A + a 0 I (A∈ C
n× n
, am ≠ 0)
为矩阵多项式, 称p(A)为矩阵多项式, am是首项系数，m是次数. 是首项系数， 是次数.
性质 设 p（z)是复数域上的多项式， 是复数域上的多项式，
(1)若B = T −1 AT , 则p ( B) = T −1 p ( A)T
k
Jordan块 的最大阶数。 其中k是J的Jordan块 Ji 的最大阶数。
最小多项式的性质
（1）矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 相似矩阵有相同的最小多项式。 （2）相似矩阵有相同的最小多项式。 矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。 （3）矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。 证明 分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式， （1）设 ψ (λ), p(λ) 分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式，
,……,
0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋱ ⋯ ( J − λ0 I )n = 0 ⋱ 0=0 ⋱ 0 ⋯ 0
Hamilton-Cayley定理 Hamilton-Cayley定理
• 设A是n阶矩阵，f（λ）是A的特征多项式，则 阶矩阵， 的特征多项式， f(A)=0 该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式 证明 将A的特征多项式改写为
化零多项式 • 设p（z）是复数域上的多项式，A是n阶矩阵，如果 是复数域上的多项式， 阶矩阵， p(A)=0, • 则称p（z）是矩阵A的化零多项式 是矩阵A 例 设J是n阶Jordan 块矩阵，主对角元为λ0 块矩阵，
λ0 J = 1
λ0
⋱ ∈ C n× n ⋱ 1 λ0
则由带余除法得 f (λ ) = g (λ )ψ (λ ) + λ + 2, 又由 ψ ( A) = 0 从而
3 − 1 f ( A) = A + 2I = 2 7
A2 − 6 A + 7 I = 0, 由 ψ ( A ) = 0 知， 1 则 A(6 I − A) = I 7
最小多项式
6(λ + 1) (λ + 1)(λ − 3)
8(λ + 1)
B(λ)的各元素的最高公因式为λ+1, B(λ 的各元素的最高公因式为λ 又A的特征多项式为(λ+1)3 的特征多项式为( A的最小多项式为
λI − A ψ (λ ) = λ +1
=(λ =(λ+1)2
因此可设 f (λ ) = g (λ )ψ (λ ) + aλ + b, 即