线性系统稳定性分析

lim c(t) 0
t
该系统就是稳定的。
假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程式来描述，即
anc(n)

a c(n1) n1

a1c(1) a0c
(1)

bm r ( m)

b r (m1) m1

b1r(1) b0r
则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可按
0.2657 - 0.6255i -0.4657 + 0.4650i -0.4657 - 0.4650i
存在两个正实部根，所表示系统不稳定。
例3：已知系统特征方程，判断系统的稳定性。
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
s6 1 3 5 7
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 7
斯 s3 ε0 -8
((1(660-－-164)4)//2)1/=2=2=-18
表 s2 2ε+8
7ε
s1 -8(2ε+8) -7ε 2
s0 7ε
劳斯表第一列的系数变号两次，特征方程有两个 根在S平面右半部分，系统不稳定。
本例中，劳斯表可按如下方法计算：
s5
1
14
s4
6
17
s3 67
58
s2 791 134 s1 36900 s0 134
10
2 (同乘以6，实质是不除6)
（同乘以67，不除67） （同乘以791，不除791）
由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。
例2：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的 稳定性。
符号（正值），则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。
注意：a0>0
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0
解 列劳斯表 s5
1
14
10
s4
6
17
2
s3
6 14 117 67
系统稳定
特征方程式所有根 都位于左半平面
特征方程式各 项系数均为正
由此可见，系统稳定的必要条件是其特征方程 的各项系数均为正，即
ai 0 (i 0,1,2,, n)
分析稳定性，首先分析必要条件
首先检查系统特征方程的系数是否都大 于零，若有任何系数是负数或等于零，则系 统是不稳定的。如果满足稳定的必要条件时， 再使用劳斯判据判别系统是否稳定。
程式的所有系数均为正。
证明二：
sn

a1 a0
sn1
a2 a0
sn2......
an1 a0
s
an a0
(s
p1)(s
p2 )......(s
pn ) 0
设方程有k个实根i (i 1, 2, k)和r对共轭复数根
( j j j )( j 1, 2 r且k + 2r = n) ，则
思路：寻找直接用系数就可以判断系统的稳定性的方法。
1、稳定的必要条件
系统稳定的必要条件是其特征方程
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
的各项系数均为正，即
(a0 0)
ai 0 (i 0,1, 2, , n)
证明一：
sn

a1 a0
s n 1
第五章 线性系统的稳定性分析
5-1 线性系统的稳定性分析
项目
内容
教学目的
掌握稳定概念，能用劳斯判据或胡尔维茨稳定判 据判稳。
教 学 重 点 用劳斯判据判定系统稳定性。
教 学 难 点 两种特殊情况的判稳，劳斯判据的灵活运用。
讲授技巧及注 意事项
练习为主。
在控制系统的分析研究中，最重要 的问题是系统的稳定性问题。不稳定的 系统在受到外界或内部的一些因素扰动 时，会使被控制量偏离原来的平衡工作 状态，并随时间的推移而发散。因此， 不稳定的系统是无法正常工作的。
*当系统特征方程的根都具有负实部时，则 各瞬态分量都是衰减的，则有 limc(t) 0 ，此
t
时系统是稳定的。
*如果特征根中有一个或一个以上具有正实 部，则该根对应的瞬态分量是发散的， 此时 limc(t) 0 不成立，系统不稳定。
t
*如果特征根中具有一个或一个以上的零实 部根，而其余的特征根均有负实部，则c(t) 作等幅振荡，这时系统处于临界稳定状态。
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Impulse Response 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
Impulse Response 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
析知道，式(2)的特征方程式为
ansn an1sn1 a1s a0 0
设上式有q个实根-pi （i=1，2，…，q），r对共轭复数 根(-ζkωk±jωk ) (k=1，2，…，r)，q+2r=n，则齐次
方程式解的一般式为
q
r
c(t)
ieit
A e kkt k
齐次微分方程式
anc(n)

a c(n1) n1

a1c(1) a0c 0
(2)
来分析这时，在任何初始条件下，若满足
lim c(t) lim c(1) (t) lim c(n1) (t) 0 (3)
t
t
t
则称系统是稳定的。 为了决定系统的稳定性，可求出式(2)的解。由数学分
6
6
6 10 1 2 58
6
6
s2
67 6
17 6 58 6

791
67
67
67 2 6 0
6
2
67
6
6
s1
791 67

58 6

67 6

2

6150
791
791
67
s0
2
劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。
为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正 数后，再继续运算。
b1
b2
b3
a4

S n3
劳
c1
c2
c3

斯

计
表

算
数

据
S2
d1
d2
d3
S1
e1
e2
S0
f1
五阶Routh表的列写方法举例
a0s5 a1s4 a2s3 a3s2 a4s a5 0
则Routh表为
s5
a0
s4
a1
a2
a4
a3
a5
s3
a1a2 a0a3 a1
b1
12 13 ... 1n

i j
n1n (双根积和)
a3
a0
n

pi p j pk
i, j ,k 1
i jk
(3根积和)
an a0
n

(1)n

i 1
pi

(1)n 1 2......n
(n根积和)
只有当所有根都位于左半平面，才能保证特征方
a1a4 a0a5 a1
b2
0
s2
b1a3 a1b2 b1
c1
a5
s1
c1b2 b1a5 c1

d1
0
s0
a5
劳斯本数

(上行最左数)(上二行右数) (上二行最左数)(上行右数) (上行最左数)
3.利用劳斯表判别系统的稳定性(三种情况)
（1）劳斯表第一列所有系数均不为零 如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的

a2 a0
sn2......
an1 a0
s
an a0
(s
p1)(s
p2)......(s
pn )

0
将上式展开得特征根与特征方程系数的关系如下：
a1
a0
n

i 1
pi
(1 2 ...... n )
(单根和)
a2
a0
n

pi p j
i, j 1
物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t)函数 作为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输 入一个理想单位脉冲 (t) ，这相当于系统在 零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用， 如果当t趋于∞时，系统的输出响应c(t)收敛 到原来的零平衡状态，即
例4 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。
s4 s3 2s2 2s 5 0
方法1 解： 由特征方程列出劳斯表
s4
1
2
5
s3
1
2
0
s2 0≈ε 5
s1 (2ε-5)/ε
s0
5
当ε的取值足够小时，(2ε-5)/ε将取负值，故劳斯
表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方
程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。
sin(dkt

k
)
i 1
k 1
五种运动模态
q
r
c(t) ieit Akekkt sin(dkt k )
i 1
k 1
j
j
j
j
j
0
0
0
0
0
Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude
Impulse Response 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
Impulse Response 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec)
Impulse Response 14
12
10
8
6
4
2
0
0
来自百度文库
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
(s 1)(s 2 ) (s k )[(s 1)2 12 ] [(s r )2 r2] 0
(s 1)(s 2)
(s k )[s2 21s 12 12]
[s
2

2
r
s


2 r

r2
]

0
只有当所有根都位于左半平面，即 i 0, j 0 ，上式展 开后，才能保证特征方程式的所有系数均为正。
2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)
a0 s n a1s n1 an1s an 0
2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)
a0 s n a1s n1 an1s an 0
Sn
a0
a2
a4
a6

原 始
S n1
a1
a3
a5
a7

数 据
S n2
线性定常系统稳定的充分必要条 件：闭环系统特征方程的所有根都具 有负实部，或者说闭环传递函数的所 有极点均位于为S平面的左半部分（不 包括虚轴）。
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
方法2 令s=1/x得：
s4 s3 2s2 2s 5 0
5x4 2x3 2x2 x 1 0
x4 5 x3 2 x2 -1 x1 5 x0 2
21 1 2
劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知， 特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。
求根判别稳定性：
>> s=roots([5,2,2,1,1]) s = 0.2657 + 0.6255i
s4+2s3+s2+s+1=0
解 列劳斯表如下
S4
1
1
1
S3
2
1
0
S2 (2*1-1*1)/2=1/2
(2*1－1*0)/2=1
S1 (1*1-2*2)/1=-3
S0 (-3*2-1*0)/-3=2
由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变
为－3 ，另一次由－3变为2，特征方程有两个根在S
平面右半部分，系统是不稳定的。
解特征方程求根判断稳定性： >> s=roots([1,2,1,1,1]) s=
-1.4656 -1.0000 0.2328 + 0.7926i 0.2328 - 0.7926i
(2) 劳斯表某行的第一项等于零，而 本行中其余各项不全为零
方法1：当劳斯表某一行的第一项为零， 而其余项不全为零，可用一个很小的正数 ε(例如1*10-6 )代替第一列的零项，然后 按照通常方法计算劳斯表中的其余项。
求根判别稳定性：
>> s=roots([1,1,2,2,5]) s = 0.5753 + 1.3544i
0.5753 - 1.3544i -1.0753 + 1.0737i -1.0753 - 1.0737i
方法2：令s=1/x代入特征方程可得到 以x为变量的新的代数方程，对此方程使用 劳斯判据也可判断系统的稳定性（相当于 把特征方程系数的顺序倒过来）。
一、稳定的基本概念
定义：如果线性定常系统受到扰动的 作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动 消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平 衡状态，则称该系统是渐进稳定的（简称 为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。
注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性
只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。
稳定与不稳定系统的示例