二次函数图像规律1
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数中二次项系数与像的关系及变化规律的详细解析
二次函数中二次项系数与像的关系及变化规律的详细解析二次函数是数学中常见的一种函数形式，具有形如f(x) = ax^2 + bx + c 的表达式，其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0。
在二次函数中，二次项系数a决定了函数的开口方向、形状以及顶点位置，而像则代表了函数在横轴上各点对应的纵坐标值。
本文将对二次函数中二次项系数与像之间的关系及变化规律进行详细解析。
1. 开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a > 0时，函数的抛物线开口向上；当a < 0时，函数的抛物线开口向下。
二次项系数a的正负直接影响了像的取值范围以及函数的凹凸性。
2. 最值点和顶点二次函数的最值点可以通过求导数的方法得出，根据导数的结果可以确定函数的最小值或最大值。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数为f'(x) = 2ax + b。
当导数为零时，即f'(x) = 0时，可以解得函数的极值点x = -b / (2a)。
将x代入原函数f(x)中，即可得到极值点对应的像f(-b / (2a))。
这个极值点也称为顶点，它在抛物线上的位置决定了像的取值范围。
3. 函数开口程度与a的绝对值大小二次项系数a的绝对值越大，函数的开口越窄，形状越细长；a的绝对值越小，函数的开口越宽，形状越圆润。
通过改变二次项系数a的取值可以调整函数的开口程度，进而影响像的取值范围。
4. 对称轴与顶点位置对称轴是二次函数的一个重要特征，它是通过顶点且垂直于横轴的一条直线。
对称轴的方程可以通过将表达式中的x替换成常数得出。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为x = -b / (2a)。
对称轴的位置与像的取值范围也有一定的关系，根据对称性质可知，对称轴与像的取值范围存在一种对应关系。
5. a的正负与函数的单调性当二次项系数a > 0时，函数开口向上，其图像呈现上凹形态，也即在对称轴两侧，函数单调递增；而当a < 0时，函数开口向下，其图像呈现下凹形态，函数在对称轴两侧单调递减。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
二次函数的图像与性质1
= 2
= − 2
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
结论：
=
描点法
2
二次函数
= 2
的图像是_抛物线_
抛物线
二次函数 = 2 ≠ 0 的图像是________
二次函数 = 2 + + ≠ 0 的图像是
抛物线
__________
画图
用描点法画图像 (小组内每人画一个，不重复)
方法回顾：画一次函数 = + ≠ 0 图像
一次函数 = + ≠ 0
令 b=0
一次函数 = ≠ 0
令 k=1
=
描点法
=
描点法探索函数图像
列表
选取若干个满足函数解析式的数对
描点
以数对中x的值作为点的横坐标，y的值作为点的
纵坐标，在平面直角坐标系中描出点的位置
2
2
≠ 0 图像特征
(1) 二次函数 = 2 和 = − 2 的图像关于x轴对称
y=2x2
(2) ||越大，二次函数的开口越小
y
(3) 试一试
y=
x
O
y=
1 2
x
2
1 2
x
2
y=
2x2
典型例题
已知二次函数 = 2 经过点A(-2,-8)
(1)不求a，有哪些点一定在函数图像上，写出点的坐标 (0,0) (2,-8)
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
...
y= x2
...
...
4
1
...
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
课件1二次函数的图像和性质
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
x
-2
-4
-6
-8
y = - x2
-10
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？
知识要点
抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y ax2 bx c 的图象叫做抛物线 y ax2 bx c。
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。
y= 2x2
y=x2
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y= 0.5x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2
-3 -4
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x
-10
y=－2x2 y=x2
a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的 大小决定抛物线开口的大小，|a|越大开 口越小
二次函数二次函数的性质与变化规律全面解析
二次函数二次函数的性质与变化规律全面解析二次函数是高中数学中的一个重要章节，它在数学建模、物理、经济等领域都有广泛的应用。
本文将从二次函数的性质和变化规律两个方面进行全面解析，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的性质二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
根据二次函数的相关定理和性质，我们可以得出以下结论：1. 首先讨论二次函数的图像：由于a≠0，故二次函数的图像为抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 求解二次方程：对于二次函数f(x) = 0，我们可以通过因式分解、配方法、根判别式等方法求解。
当二次方程存在两个实根时，抛物线与x轴交于两点；当二次方程只有一个实根时，抛物线与x轴相切；当二次方程无实根时，抛物线与x轴无交点。
3. 寻找二次函数的顶点：二次函数的顶点即为抛物线的最值点，其横坐标由公式x = -b / (2a)得出。
根据a的正负可以知道顶点是极大值或者极小值。
4. 判断二次函数的增减性和凹凸性：根据二次函数的导数可以判断其增减性和凹凸性。
当a>0时，二次函数是上升的凹函数；当a<0时，二次函数是下降的凸函数。
5. 研究二次函数与坐标轴的交点：根据二次函数与坐标轴的交点可以推断出函数的根的情况。
与x轴的交点即为二次方程的实根，与y轴的交点即为函数的截距。
二、二次函数的变化规律在实际问题中，我们经常需要研究二次函数的变化规律，进而进行数学建模和解决实际问题。
下面我们将从平移、缩放和翻转等方面来详细介绍二次函数的变化规律。
1. 平移：二次函数在坐标系中的平移可以通过改变顶点的坐标来实现。
当二次函数f(x)平移(x₀, y₀)个单位时，新函数的顶点坐标为(x₀,y₀)。
具体而言，如果向右平移a个单位，那么函数变为f(x-a)；如果向左平移a个单位，那么函数变为f(x+a)；如果向上平移b个单位，那么函数变为f(x)+b；如果向下平移b个单位，那么函数变为f(x)-b。
二次函数平移规律口诀图像关系是什么
二次函数平移规律口诀图像关系是什么
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
二次函数一般式及图像关系
二次函数的一般式为:y=ax²+bx+c(a≠0)。
a、b、c值与图像关系
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
c>0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；c<0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。
a=0时，此图像为一次函数。
b=0时，抛物线顶点在y轴上。
c=0时，抛物线在x轴上。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
二次函数的顶点坐标公式
二次函数的一般式为:y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
二次函数的顶点式为：y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)。
推导过程：
y=ax^2+bx+c
y=a(x^2+bx/a+c/a)
y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)
y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a
y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
对称轴x=-b/2a
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
二次函数图像和性质总结(附答案解析)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=3(x+4)22y=3x 2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数图像与性质详解
二次函数图像与性质详解二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在许多领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍二次函数图像的性质，包括图像类型、顶点坐标、对称轴、开口方向以及图像的平移等内容。
1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c其中，a、b、c是实数且a ≠ 0。
在这个公式中，x 是自变量，y 是因变量。
二次函数图像是一条曲线，其形状取决于系数 a、b 和 c 的值。
2. 二次函数图像的类型根据系数 a 的取值，二次函数的图像可以分为以下三种类型：2.1 开口向上的二次函数当a > 0 时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个U 字形。
这种情况下，函数的最小值在顶点处达到，曲线在顶点处取得最小值。
2.2 开口向下的二次函数当 a < 0 时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个倒过来的 U 字形。
这种情况下，函数的最大值在顶点处达到，曲线在顶点处取得最大值。
2.3 平行于 x 轴的二次函数当 a = 0 时，二次函数退化为一次函数 y = bx + c，图像为一条平行于 x 轴的直线。
3. 二次函数图像的顶点坐标对于一般形式的二次函数，可以通过求解顶点来确定其顶点坐标。
顶点坐标可以表示为(ℎ,k)，其中 h 和 k 分别是顶点在 x 轴和 y 轴上的坐标。
顶点的坐标可以使用以下公式进行计算：$$ h = \\frac{-b}{2a} $$k=aℎ2+bℎ+c通过计算可以得到顶点坐标(ℎ,k)，进而确定二次函数图像上的最值点。
4. 二次函数图像的对称轴对称轴是指二次函数图像的对称线。
对于一般形式的二次函数，对称轴的方程可以通过以下公式计算：$$ x = \\frac{-b}{2a} $$对称轴与 x 轴垂直，并通过顶点。
5. 二次函数图像的平移二次函数图像可以通过平移作出一些调整。
平移可以分为沿 x 轴平移和沿 y 轴平移两种。
5.1 沿 x 轴平移沿 x 轴平移时，顶点(ℎ,k)的横坐标 h 会发生变化。
22.1.3二次函数的图像和性质(1)
(3)顶点是(0,k).
5
4
(4)增减性：与y=ax2
3
的增减性相同 。
2 1
(5)最大（小）值：当a>0时， -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y有最小值k；当a<0时,y有最大值k。
（6）抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向
下平移|k|得到.（只要ax2项的系数a相同，抛物线的
小结二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点
k>0
k<0
开口向上
k>0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
k<0
关于y轴 （x=0）对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
当x=
时0 ，函数y的值最大，最大值是 ,它
是由抛3 物线y= −2x2
向上平得移到3个的单（位怎么平
移）.
（ 2）抛物线 y= x²-5 的顶点坐标是（_0_，__-5），对称 轴是_y_轴__,在对称轴的左侧，y随着x的 增大而减小 ； 在对称轴的右侧，y随着x的 增大而增大 ，当x=_0___ 时，函数y函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
二次函数的图象和性质(1)精选ppt
(-2,-4)
(2,-4)
顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下.
当x<0时，ຫໍສະໝຸດ 数值y随x的增大而增大； 当x>0时，函数值y随x的增大而减小.
当x=0时,函数 y 整a理x2取得最大值 ymax 05
y 2x2
y x2
y 1 x2 2
整理
6
如图所示的四个二次函数的图像所对应的
函数分别是① y ax2 ; ②y bx2 ;③
(1)求二次函数的表达式；
(2)求抛物线与过点(0，-2)且与x轴
平行的直线的两个交点与顶点构成
的三角形的面积.
整理
16
9．如图，直线AB过x轴上的点A(2，0)，且 与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为
(1，1). (1)求直线和抛物线所表示的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使得 S△OAD=S△OBC，若不存在，说明理由；若存在， 请求出点D的坐标.
D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的
顶点
整理
11
4．若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2
的值总是非负数，则a的取值范围是
（）
A.a≥－1
B.a≤－1
C.a>－1
D.a<－1
整理
12
5．如图，函数y=－a(x+a)与y=－ax2(a≠0)在
同一坐标系上的图象是（ ）
整理
13
6．已知a<－1，点(a－1，y1)，(a,y2), (a+1，y3)都在函数y=x2的图象上，则 （） A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2
整理
17
整理
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∴a,b同号 又∵a<0，∴b<0
2、判断下列各图中的a、b、c及△的符号
(1)a___0; > c___0; > b___0; < (2)a___0; < c___0; = > b___0; (3)a___0; > b___0; > < c___0; (4)a___0; < b___0; > c___0; <
开口向上 开口向下
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 a、b同号 a、b异号 b=0
1、 已知抛物线y= 试确定a、b、c，并说明理由。
解：∵抛物线的开口向下 ∴a<0 ∵抛物线交y轴于正半轴 ∴c ＞0
ax2+bx+c如图，
y
o
x
b 又∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，即- <0 2a
2、抛物线y= ax2+bx+c与y轴的交点的位置
常数项c 决定的。 是由__________
c=0 抛物线经过原点；
c>0 抛物线交y轴的正半轴；
c<0 抛物线交y轴的负半轴；
二次函数图象有如下规律： 3、抛物线y= ax2+bx+c的对称轴的位置是由 a和b共同 决定的。 ___________ b __ 考察x=， 可得“左同右异”； 2a
二次函数图象有如下规律：
1、抛物线的形状由a决定. a相同 抛物线的形状相同 a>0 开口向上 由c决定. c=0 抛物线经过原点； c>0 抛物线交y轴的正半轴； c<0 抛物线交y轴的负半轴； a<0 开口向下
2、抛物线y= ax2+bx+c与y轴的交点的位置
b __ 可得“左同右异”； 3、考察x=， 2a b=0 抛物线的对称轴是y轴。
2
2
b 直线x 2a ， 对称轴是__________________
b 4ac b , 4a 2a 顶点坐标是______________ 。
2
向上 练习：函数y=2x2+4x-6的开口方向_____; (-1,-8) 直线x=-1 ；顶点坐标是________; 对称轴是__________ (-3,0)与(1,0) 与y轴的交 与x轴的交点坐标为____________, (0，-6) 点坐标为_______.
y
O
y x
O
y x
O
y x
O
x
A
B
C
D
5、二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点和 第一、第二、第三象限，则有( B ) A、a>0,b<0, c=0 B、a>0,b>0, c=0 C、a<0,b>0, c=0 D、a>0,b<0, c=0
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示， 判断下列各式的符号： (1)a; (2)b; (3)c; (4)a+b+c; (7)2a-b
二次函数 y=ax² +bx+c 的符号问题
2＋bx＋c(a≠0) y=ax 二次函数一般形式是___________________, 抛物线 它的图象是____________ ，化为顶点式是
b 4ac b y a x 2a 4a ________________________
y
(5)a-b+c; (6)2a+b;
-1
0
1
x
7、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所 示，根据图象回答问题： (1)抛物线的对称轴是________;
(2)x______时，y随x的增大而减小。
(3)x______时，y＜0？ (4)x______时，y＞0？
0
-1 5 x y
6 、已知二次函数y= x2+(2m-1)x+m2. 1 __ = 时，顶点在 x轴上； (1)当m_____ 4 1 __ = (2)当m_____ 2 时，顶点在 y轴上；(b=0) (c=0) (3)当m_____ 时，图象过原点。 =0 1 __ > (4)当m_____ 2 时，图象的对称轴在y轴的左侧。 (ab<0)
b=0 抛物线的对称轴是y轴。
a,b同号 抛物线的对称轴在y轴左侧； a,b异号 抛物线的对称轴在y轴右侧；
总结1：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
a>0 a<0 由抛物线与y轴的交点位置确定 （2）C的符号： c>0 与y轴的正半轴相交 与y轴的负半轴相交 经过坐标原点 c<0 c=0
a,b同号 抛物线的对称轴在y轴左侧； a,b异号 抛物线的对称轴在y轴右侧；
(5)
(1)
y(4) y O x y
x
O
(5)a___0; > < b___0; = c___0;
O
x
3、二次函数y= ax2+bx+c中，a>0，b>0，c=0， 则其图象的顶点坐标在( C ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
4、二次函数y= ax2+bx+c和一次函数y=ax+b的 图象在同一坐标系内大致图象是( C )
二次函数图象有如下规律： 抛物线 ， 1、二次函数y= ax2+bx+c的图象是_________ 这条抛物线的形状(开口方向、开口大小) 二次项系数a 决定的。 是由____________ a相同 抛物线的形状相同 a>0 开口向上 |a|越大，开口越窄 a<0 开口向下
二次函数图象有如下规律：