层次分析法

有：aij

xi xj
,(i,
j 1, 2,L
, m)
1 3 1/ 4
A 1/ 3 1
5

4 1/ 5 1
具有互反性，
但是不一定具有一致性，
即不一定满足
aij

aik a jk
；
i,
j,k

1, 2, 3
2020/3/7
层次分析法
吴用
15
判断矩阵的一致性
判断矩阵不具备完全的一致性，希望达到满意的一致性
元素 aij＞0（称为正矩阵），i,j=1,2,3，并且满足下列三个条件：
(1) aii 1,
(2) aij

1 a ji
,
(3) aij

aik a jk
；
i,
j, k

1, 2, 3
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层次分析法
吴用
9
判断矩阵
专家法，采用Saaty引用的1-9标度方法
标度 1 3 5 7 9
权重 ������1、������2、������3、������4、������5 指标值������������������：方案j指标i得分
总的评价指数如何计算？ ������1 因 素 B1
目标A
总目标
������2 ������3
因
因
素
素
B2
B3
������4 ������5
因
wm



max wm
max

ai1 w1 L aim wm wi

( AW )i wi
取算述平均值：max

1 m
m i 1
( AW )i wi
2020/3/7
层次分析法
吴用
20
判断矩阵求解
根法
1 3 6
18
2.62074
0.6442
R.I
当C.R≤0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵
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层次分析法
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18
判断矩阵求解
根法
第一步：计算A的每一行元素之积 Mi
第二步：计算Mi的m次方根ai m
第三步：对向量a=(a1,a2,…,am)T作归一化处理， 令 wi ai / ak k 1 得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

M2 a21
LLLL

M
m

am1
a12 L a1m a22 L a2m LLLL
am2 L amm



a1
a2

L
am
a11 a12 L a1m w1
L
m M1

m M2 W
LL

m Mm
w1


i

m
w2 a2 / ai

i
L L L L L L

m

wm

am
/
i
ai

Q AW maxW ,
即： a21 L
a22 L LL
a2m L



w2
L


max


w2
L

am1 am2 L
g1 / g1
A

(aij )33


g2
/
g1
g3 / g1
g1 / g2 g2 / g2 g3 / g2
g1 / g3
g2
/
g3

g3 / g3
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层次分析法
吴用
7
判断矩阵及其特征向量
设有3个物体，它们的重量分别为g1，g2，g3。为了测出各物体的重量，现将 每一物体与其它物体重量两两比较：第i个物体重量与其它物体重量相比较，
2020/3/7
层次分析法
吴用
10
判断矩阵
例：设有3个元素A1，A2，A3，现在构造关于准则Cr的判断矩阵
Cr
Al
Al
a11
A2
a21
A3
a31
A2
A3
a12
a13
a22
a23
a32
a33
1 3 1/ 4
A 1/ 3 1
5

4 1/ 5 1
有矛盾吗？
产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵的最大特征值 是否存在，是否为单根?
得到3个重量比值gi/g1 ，gi/g2，gi/g3 (i=1,2,3)。构成一个3行3列的矩阵A， 称为3个物体重量的判断矩阵。
设3个物体重量组成的向量为 G ( g1 , g2 , g3 )T
特征值
g1 / g1
A

G


g2
/
g1
g1 / g2 g2 / g2
g1 g2
/ /
g3 g3
| i2 i | max m C .I 作为检验判断矩阵一致性指标。
m1 m1
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吴用
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判断矩阵的一致性
一致性指标C.I
C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小
判断矩阵阶数越大，主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越 大，反之，偏离一致性越小
定理2:设 A (aij )mm，A 0, A 是互反矩阵。
① 若max是 A 的最大特征值，则 max ≥m
② 若1,2,…,m 是A的特征值，则
i j 0
i, j
i j
③ A 是一致性矩阵的充分必要条件是 max=m
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层次分析法
吴用
14
max略大于阶数m
其余特征值接近于零
设判断矩阵A的全部特征值为：1= max，2， ，m
由于A是互反矩阵，aii=1，(i=1，2， ，m)。由矩阵理论有
m
m
max 2 L m aii m, 即 | i | max m
i 1
i2
为达到满m意一致性，除了max之外，其余特征值尽量接近于零。取
A 1/ 3 1/ 6
1 1/ 4
4 1

M

4 / 3

1 / 24
a

1.10064

0.34668
W

0.2706 0.0852
1 AW 1 / 3
1 / 6
3 1 1/ 4
6 0.6442 1.9627 ( AW )1
amm

wm
wm
a11 w1 L a1m wm max w1


a21

L L
w1 L
L LL
a2m wm LLLL



max
L L
w2 L

,
am1 w1 L

amm

A2
A3
a12
a13
a22
a23
a32
a33
1 3 1/ 4
A 1/ 3 1
5

4 1/ 5 1
有矛盾吗？
不一致！
2020/3/7
层次分析法
吴用
13
判断矩阵的一致性
定理1(Perron):设 A (aij )mm，A 0,
① A 有最大的正特征值max，并且max是单根，其余特征值的模均小于max ② A 的属于max的特征向量 X＞0
2020/3/7
层次分析法
吴用
17
判断矩阵的一致性
一致性比率 C .R C .I
R.I
一般当C.R≤0.1时，符合一致性标准，可以接受，否者修改矩阵
一致性检验步骤
求出一致性指标 C.I max m
m 1
查表得到平均随机一致性指标 R.I 计算一致性比率 C.R C.I
第四步：求A的最大特征值max
max

1 m
m i 1
( AW )i wi
2020/3/7
层次分析法
吴用
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判断矩阵求解
根法


w1

a1
/
m
ai

a11
A


a21

am1
a12 a22 am2

a1m
a2m

amm

M1 a11
别是战略决策问题 定量和定性相结合的多目标决策方法 将复杂、模糊不清的相关关系转化为定量分析问题的有效方法 有效地综合测度决策者的判断和比较 广泛应用于社会、经济、管理等方面
2020/3/7
层次分析法
吴用
6
判断矩阵及其特征向量
设有3个物体，它们的重量分别为g1，g2，g3。为了测出各物体的重量，现将 每一物体与其它物体重量两两比较：第i个物体重量与其它物体重量相比较， 得到3个重量比值gi/g1 ，gi/g2，gi/g3 (i=1,2,3)。构成一个3行3列的矩阵A， 称为3个物体重量的判断矩阵。
平均随机一致性指标R.I：随机方法构造判断矩阵，经过500次以 上的重复计算，求出一致性指标，并加以平均而得到的。
阶数 1
2
3
4
5
6
7
8
R.I. 0 阶数 9
0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 10 11 12 13 14 15
R.I. 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
4

0.2706


0.8261

( AW
)2

1 0.0852 0.2609 ( AW )3
max

1 m
m i 1
( AW )i wi

1 [( AW )1 3 w1
( AW )2 w2
( AW )3 ] w3
1 [1.9627 0.8261 0.2069] 3.0535 3 0.6442 0.2706 0.0852
2020/3/7
层次分析法
吴用
11
判断矩阵的一致性
定义1:设 A (aij )mm，A 0, 如果满足下列二个条件：
(1)aii 1,
(2) aij

1； a ji
i,
j
1, 2,L
,m
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设 A (aij )mm，A 0, 如果满足下列三个条件：
判断矩阵
a11 a12 a13 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 1 g1 / g2 g1 / g3
A


a21
a22
a23



g2
/
g1
g2 / g2
g2
/
g3



g2
/
g1
1
g2
/
g3

a31 a32 a33 g3 / g1 g3 / g2 g3 / g3 g3 / g1 g3 / g2 1
吴用
2
方案评价与选取
区域物流设施规划方案评价指标体系
A or B
2020/3/7
层次分析法
吴用
3
方案评价与选取
物流中心规划方案综合评价指标体系
物流中心规划影响因素
社会效益 经济效益 技术效益
评价指数
2020/3/7
层次分析法
吴用
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu案评价与选取
如何区分各指标的优劣程度？
判断矩阵的一致性
定理3:设 A (aij )mm，A 0, A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵；
② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；
③ A 的每一行均为任意指定一行的正数倍数；
④ A 的最大特征值max=m，其余特征值均为0 ；
⑤ 若A的属于max的特征向量为 X (x1 , x2 , , xm )T





g1 g2


3g1 g1


3g2


3

g2


3G
g3 / g1 g3 / g2 g3 / g3 g3 3g3 g3
AG 3G
特征向量
2020/3/7
层次分析法
吴用
8
判断矩阵及其特征向量
(1) aii 1,
1 (2) aij a ji ,
(3) aij

aik ； a jk
i,
j, k
1, 2,L
,m
则称 A 为一致性矩阵。
2020/3/7
层次分析法
吴用
12
判断矩阵
例：设有3个元素A1，A2，A3，现在构造关于准则Cr的判断矩阵
Cr
Al
Al
a11
A2
a21
A3
a31
2,4,6,8 上列标度倒数
定义 同样重要 稍微重要 明显重要 强烈重要 极端重要 相邻标度中值
反比较
含义 两元素对某准则同样重要 两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要 两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要 两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要 两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要 表示相邻两标度之间折衷时的标度 元素i对元素j的标度为aij，反之为l/aij
物流系统规划与设计
层次分析法 吴用
物流管理系
2020/3/7
层次分析法
吴用
1
方案评价与选取
物流节点选址指标体系
配送中心选址
成本因素
交通因素
供应商因素
地人 价员 成成 本本
运 配交 输 送通 工 节线 具 点路
地供 区应 经分 济布
2020/3/7
层次分析法
A or B
环境因素
便稳 利定 因因 素素
因
素
素 准则层
B4
B5
2020/3/7
方
方
方
案
案
案
C1
C2
C3
层次分析法
方案层
吴用
5
层次分析法
AHP(Analytic Hierarchy Process)方法
20世纪70年代初美国运筹学家、匹兹堡大学萨蒂(T.L.Saaty)首次提出 多层次权重解析方法 用于多目标、多准则、多要素、多层次的非结构化的复杂决策问题，特