矩阵理论及应用-jordan标准型
矩阵论第2章 Jordan标准型
1 2 2＝（－ 1 － 1 1 ） ，只有一个，则 J 2 ( 2) 0 。 2 T 由( A 2 I ) 2取一个 ＝（－ 1 －2 0 ） ，所以
T
P＝（1
矩阵A和JA的特征值相等
J1( 1 ) J ( ) 2 2 JA J s ( s )
AP i P i J i ( i )
细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上
J i (i )是主对角线元素为 i的k i阶Jordan矩阵，把可逆矩阵 P 依据上式J A的结构，相应取 k1列，k 2列， ，k s列分块为 P (P P2 Ps ), AP PJ A可具体表示为： 1 ( AP AP2 APs )＝( P P2 J 2 (2 ) Ps J s (s )) 1 1 J 1 (1 ) 从而有APi＝Pi J i (i )。不妨取AP ＝P 1 1 J 1 (1 )，设 J11 (1 ) J1 (1 )
2
1. (12 …n) 线性无关
n
一、变换T的特征值与特征向量 1. 定义(p35 ，定义2.1) 2. 求解分析：(p35 ，定理2.1)
A的特征值就是T的特征值
2. Ti= ii ； L{ i}是不变子空间
A的特征向量是T的特征向量的坐标
14
再把P1依n1列，n 2列， ，n t 列分块,
(1) P 1 (P 1 (1) P2(1) P )因此有APj(1) Pj(1) J1 j (1 ) t
设Pj(1) (
2 n ), 则上式化为
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解在线性代数中，Jordan标准型（Jordan Canonical Form）和Jordan 分解（Jordan Decomposition）是两个重要的概念。
它们广泛应用于矩阵理论、线性变换及微分方程等领域。
本文将详细介绍Jordan标准型和Jordan分解，并探讨它们在实际应用中的价值。
1. Jordan标准型Jordan标准型是指一个线性变换或矩阵的标准形式。
对于一个n阶方阵A，如果存在可逆方阵P，使得P逆AP的形式为Jordan标准型，那么A就具有Jordan标准型。
Jordan标准型的特点是，它的主对角线由Jordan块组成，每个Jordan块对应一个特征根，而Jordan块的结构由其几何重数和代数重数决定。
1.1 Jordan标准型的计算方法要计算一个矩阵的Jordan标准型，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出A的特征值，即特征多项式的根；（3）对于每个特征值，求出其对应的特征向量；（4）根据特征向量构造Jordan块，并将它们排列在一起形成Jordan矩阵；（5）得到Jordan标准型。
1.2 Jordan标准型的应用Jordan标准型在线性代数的研究中具有重要意义。
它可以用来分析矩阵的性质，如可对角化条件、矩阵的相似性等。
此外，Jordan标准型还可以用来解决微分方程的问题，在微分方程的理论和应用中有广泛的应用。
2. Jordan分解Jordan分解是将一个矩阵分解成若干个Jordan块之和的形式。
对于一个n阶方阵A，如果可以将其分解成 A=S+D，其中S是具有零特征值的Jordan矩阵，D是具有非零特征值的对角矩阵，那么A就具有Jordan分解。
2.1 Jordan分解的计算方法要计算一个矩阵的Jordan分解，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出特征值和对应的特征向量；（3）根据特征向量构造Jordan块，并将具有非零特征值的Jordan 块排列在一起形成S；（4）构造对角矩阵D，将每个特征值放在对角线上。
jordan标准形
jordan标准形Jordan标准形。
Jordan标准形是指矩阵的一种特殊形式，它可以将任意矩阵通过相似变换转化为Jordan标准形。
Jordan标准形在线性代数和矩阵理论中有着重要的应用，对于矩阵的特征值和特征向量的研究具有重要意义。
本文将介绍Jordan标准形的定义、性质以及如何将一个矩阵转化为Jordan标准形。
首先，我们来定义什么是Jordan标准形。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=D，其中D是一个Jordan块对角矩阵，那么我们称D是矩阵A的Jordan标准形。
Jordan块是指形如λI+N的矩阵，其中λ是矩阵的特征值，I是单位矩阵，N是上三角的特殊矩阵。
Jordan标准形的存在性是线性代数中一个重要的结论，它告诉我们任意一个n阶矩阵都可以通过相似变换转化为Jordan 标准形。
接下来，我们来看一下Jordan标准形的性质。
首先，Jordan标准形是唯一的，即对于一个矩阵A，它的Jordan标准形是唯一确定的。
其次，Jordan标准形的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
最后，Jordan标准形的非对角线上的元素对应着矩阵A的特征向量。
这些性质使得Jordan标准形成为了研究矩阵特征值和特征向量的重要工具。
最后，我们来看一下如何将一个矩阵转化为Jordan标准形。
假设我们有一个n阶矩阵A，我们首先需要求出矩阵A的特征值和特征向量。
然后，我们构造出一个可逆矩阵P，它的列向量是矩阵A的特征向量。
接下来，我们可以得到P^{-1}AP，它的对角化矩阵D就是矩阵A的Jordan标准形。
这个过程可以通过线性代数中的特征值分解和相似对角化的理论来实现。
总之，Jordan标准形是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们研究矩阵的特征值和特征向量。
通过相似变换，我们可以将任意矩阵转化为Jordan标准形，从而更好地理解和分析矩阵的性质。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解Jordan标准形的定义、性质和转化过程。
矩阵论-Jordan标准型
d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对 角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵， 其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价 于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变 因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.
Jordan标准形与Jordan分解
Jordan标准形与Jordan分解Jordan标准形和Jordan分解是线性代数中非常重要的概念，在矩阵理论和线性变换研究中有着广泛的应用。
本文将介绍Jordan标准形以及Jordan分解的定义、性质、计算方法和应用。
1. Jordan标准形Jordan标准形是一个矩阵的特征值表达形式，它是一个对角矩阵，每个对角块都是由相同的特征值组成。
对于一个n阶矩阵A，如果它的特征多项式可以分解为f(x)=(x-λ₁)^(k₁)(x-λ₂)^(k₂)...(x-λₙ)^(kₙ)其中λ₁,λ₂,...,λₙ是A的特征值，k₁,k₂,...,kₙ是它们的代数重数，则存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=J其中J是Jordan标准形矩阵。
Jordan标准形的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块，其形式为：J(λᵢ)=[λᵢλᵢ ... λᵢ][ λᵢλᵢ ...][... λᵢ...](3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
2. Jordan分解Jordan分解将一个n阶可逆矩阵分解为一个特殊的形式，其中矩阵的上三角部分是Jordan标准形矩阵，而下三角部分为0矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹Jordan分解的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块。
(3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
(4) 计算可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹。
3. Jordan标准形和Jordan分解的应用Jordan标准形和Jordan分解在数学和工程领域有广泛的应用。
其中一些重要的应用包括：(1) 系统稳定性分析：可以使用Jordan标准形来分析线性时不变系统的稳定性。
关于Jordan标准形的教学探讨
关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是矩阵理论中的一个重要概念，它能够将一个线性变换表示为一个特定的矩阵形式。
Jordan标准形在线性代数、微积分、微分方程等学科中都有广泛的应用，在数学研究和实际应用中都具有不可替代的作用。
Jordan标准形的概念最初是由法国数学家Camille Jordan在19世纪末提出的。
它是指将一个矩阵分解为对角矩阵和若干个Jordan块的乘积的形式。
其中，对角矩阵是由若干个特征值组成的，Jordan块则是由若干个一定形式的矩阵组成的。
通过这种方式，我们可以用一个更加简单的形式描述线性变换，并且可以更加方便地进行数学计算和分析。
Jordan标准形的教学探讨，首先要理解的是其基本定义。
Jordan标准形的定义可以简单地概括为：对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP可以写成如下的形式：P-1AP = J = diag(J1, J2, ..., Js)其中J是一个n阶对角矩阵，其对角线上的元素分别为若干个Jordan块的集合；J1, J2, ..., Js是一些Jordan块，具体形式由A的特征值和其对应的特征向量决定。
理解Jordan标准形的定义，需要掌握以下几个关键点：（1）特征值和特征向量的概念：特征值和特征向量是描述矩阵线性变换的重要概念，代表了变换对空间中某个方向的拉伸或压缩程度。
具体来说，针对一个n阶方阵A，特征值是使得方程det(A-λI)=0成立的λ值，特征向量则是使得方程(A-λI)x=0成立的非零解向量。
（2）Jordan块的结构和作用：Jordan块是将矩阵转化为Jordan标准形必不可少的组成部分，具有一定的特殊结构和性质。
它由若干个主对角线为同一元素、下对角线全为1的下三角矩阵组成。
Jordan块的大小和数量由矩阵A的特征值和特征向量决定，有助于分析线性变换的产生效应和稳定性等问题。
（3）P矩阵的构造和应用：矩阵P是将矩阵转化为Jordan标准形的关键工具，要求是可逆矩阵。
矩阵的Jordan标准型及其求解方法
矩阵的Jordan标准型及其求解方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中扮演着重要的角色。
在矩阵理论中，Jordan标准型是一种重要的矩阵分解形式，它可以帮助我们更好地理解和求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。
一、Jordan标准型的定义和性质在矩阵理论中，Jordan标准型是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由Jordan块组成的对角矩阵。
Jordan块是一个由特征值和特征向量构成的方阵，它具有一些特殊的性质。
首先，Jordan块是一个上三角矩阵，即除了对角线上的元素外，其余元素都为零。
其次，对于一个Jordan块，对角线上的元素都是特征值，而其余元素则是1或0。
这些1的位置与特征向量有关，具体来说，特征向量在Jordan块中的位置决定了1的个数和位置。
Jordan标准型的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的Jordan 块，从而更容易求解相关问题。
例如，通过Jordan标准型，我们可以求解线性方程组的解、计算矩阵的幂等等。
二、求解Jordan标准型的方法求解矩阵的Jordan标准型有多种方法，其中最常用的方法是通过特征值和特征向量来进行计算。
首先，我们需要计算矩阵的特征值。
特征值是一个标量，它代表了矩阵的某种性质或特征。
通过求解矩阵的特征值，我们可以确定矩阵是否可逆、是否存在特殊结构等。
特征值的计算可以通过求解矩阵的特征多项式来进行，具体计算方法可以使用特征值分解、特征向量分解等。
接下来，我们需要计算矩阵的特征向量。
特征向量是一个非零向量，它与矩阵相乘后等于特征值与特征向量的乘积。
通过求解矩阵的特征向量，我们可以确定矩阵的行与列之间的关系，从而进一步求解Jordan标准型。
在求解特征向量时，我们可以使用多种方法，例如高斯消元法、雅可比迭代法等。
这些方法可以帮助我们求解特征向量的近似解或精确解，从而进一步求解Jordan标准型。
三、应用举例Jordan标准型在实际问题中有着广泛的应用。
关于Jordan标准形的教学探讨
关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中的一个重要概念，特别在线性代数中扮演了重要的角色。
它是矩阵理论中的一个标准矩阵形式，可以将一个线性变换矩阵简化为一种特殊的形式。
本文将对Jordan标准形进行教学探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及其在矩阵理论和线性代数中的应用。
我们来看Jordan标准形的定义。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP的形式为Jordan方阵，那么A被称为具有Jordan标准形。
具体来说，一个Jordan方阵是由多个Jordan块组成的矩阵，它是一个上三角矩阵，主对角线上的元素是矩阵的特征值，而对角线上方的元素表示Jordan块的大小和结构。
接下来，我们来讨论Jordan标准形的性质。
Jordan标准形是唯一的，也就是说，对于任意一个矩阵A，它都存在唯一一个Jordan标准形。
Jordan标准形对于相似变换是不变的，也就是说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的Jordan标准形也是相似的。
Jordan标准形还具有一些其他的重要性质，比如Jordan块的大小等于其特征值的重数，Jordan块的个数等于矩阵A的线性无关的特征向量的个数。
那么，如何计算一个矩阵的Jordan标准形呢？计算Jordan标准形的方法主要有两种，一种是使用线性代数的理论方法，一种是采用计算机的数值算法。
对于小规模的矩阵，理论方法可以直接求解Jordan标准形，但是对于大规模的矩阵，数值算法更加高效和实用。
常用的计算Jordan标准形的数值算法有Givens旋转法、Householder变换法和幂法，它们分别侧重于不同的矩阵计算问题和复杂性。
我们来讨论Jordan标准形在矩阵理论和线性代数中的应用。
Jordan标准形的计算和分析是矩阵理论的核心内容之一，它在矩阵相似性、特征值和特征向量的计算、线性微分方程和差分方程的求解等方面都有广泛的应用。
在实际问题中，Jordan标准形也常常被用来简化线性变换的计算和分析，找到线性变换的规律和性质。
矩阵论—矩阵的Jordan标准形
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns .
A的特征矩阵E A，其行列式 E A 0 所以，特征矩阵E A的秩为n.
数字矩阵A与B相似 对应的特征矩阵E A与E B等价 A与B有相同的不变因子 A与B有相同的行列式因子 A与B有相同的初等因子
(i
)
1
1
解：显然E-J
(i
)
~
的初等因子。
1
i ni ni
( i )ni nini
所以，J (i )的初等因子为( i )ni .
A1()
定理：设A()
A2 ()
At ()
则A1()，A2 (), , At ()的初等因子的全体
就是A( )的初等因子。
2 0 0
det(B)= n det(A)
所以，矩阵A与矩阵B不相似。
定理：设A C nn , A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns ，
则矩阵A相似与矩阵J ,
J1(1)
J
J2 (2 )
J
s
(s
)
其中
i 1
i 1
J
(i
)
1
i ni ni
定理：由A()的不变因子可以确定A()的初等因子， 由A()的初等因子和A()的秩可以确定不变因子。
定义：矩阵A的特征矩阵E-A的初等因子称为矩阵A
的初等因子。
求矩阵A的初等因子。
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
1
解：
E
A
~
1
( 1)2 ( 2)
所以，A的初等因子为( 1)2，( 2)
di ()称为A()的不变因子。
矩阵理论及其应用(重大版第5讲课件)
定理3.3.10 两个������ × ������的多项式矩阵������(������ሻ、 ������(������ሻ等价的
充分必要条件是存在可逆������阶������(������ሻ阵和n阶Q(������ሻ阵，使得
������ ������ ������ ������ Q ������ = ������ ������ 。
定理3.3.11 设A和B是两个数字方阵，则������~������的充分必要
条件是������������ − A ≅ ������������ − ������。
CQU
9
Jordan 标准型
定理3.3.12(*) 任意一个秩为r的������ × ������ 的多项式矩阵������(������ሻ
定义3.16和定理3.3.13。
定义3.16 A(������ሻ中非零的全部k阶子式的最(大)高公因式(首
一)称为A(������ሻ的k阶行列式因子，记为������������ ������ ，且则������������ ������ =
������������ ������ ������������−1 ������
������������ 1
⋱
称为Jordan块矩阵，������1, ������2, ⋯ , ������������是
1 ������������ A的特征值，可以是多重的。
CQU
4
Jordan 标准型
说明： ������������(������������ሻ中的特征值全为������������，但是对于不同的i,j,有可能������������ =
列命题等价。
(1) A ������ ≅ ������ ������
矩阵论学习-(Jordan 标准形)
(2 )
设 | λI -
A|
=
(λ-
λ1
)
k 1
…(λFra bibliotek-λi )
k i
…
(
λ
-
λs )
k s
,
k1
+
k2 + … +
ks =
n
.
A 可对角化 A 的每一个 ki 重特征值λi , 有 ki 个线性无关的待征向量
齐次方程组 (λi I - A ) x = 0 有 ki 个线性无关解
秩 (λi I - A ) = n - ki .
Ir 0
D11
D12 =
D11
D12 ,
0 0 D21 D22
00
Q - 1 BAQ = ( Q - 1 BP - 1 ) ( PAQ ) =
D11
0 ,于是有
D21 0
| λIm - AB | = | P (λI m - AB) P - 1 | = λI m - D11 D12 = 00
0 x-2 - x- y ,
3 3 -3
00
0
62
矩 阵 论 学 习 辅 导 与 典型 题 解 析
由 r (2 I - A) = 1, 得 x - 2 = 0, x + y = 0 ,解得 x = 2, y = - 2 . (2 )
1 -1 1
A= 2 4 -2 ,
-3 -3 5 | λI - A | = (λ- 2) 2 (λ - 6 ) , 得 λ1 = λ2 = 2 ,λ3 = 6 .
[ 典型题解析 ] 1 . 特征值与特征向量问题 例 2 .1－1 设 A, B 为 n 阶方阵 ,λ1 , λ2 , … , λn 是 A 的特征值 , 证明 (1 ) tr ( AB) = tr ( BA ) ( t r A 表示 A 的主对角元之和 ) .
矩阵理论及应用-jordan标准型共25页文档
19.06.2020
电子信息工程学院
3
第六节 矩阵的Jordan标准形
例1.6.1 解：
1 2
求
A()
பைடு நூலகம்
的Smith标准形。
12 2 2
1 2
1 2
A() c 1 c30
12 2 2
1 2 2
1 2
1 0
0 1 0 0
r 3 r110
0 0
0
0 0 (1) 0 0 (1) 0 0 (1)
4、 —矩阵的行列式因子
定义1.6.4 （行列式因子）
设 —矩阵 A() 的秩为 r，对正整数 k, 1kr中， A() 必有
非零的 k阶子式，称 A() 中所有的 k 阶子式的首一最大公因式为A() 的 k 阶行列式因子，记为 Dk () 。
19.06.2020
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6
第六节 矩阵的Jordan标准形
定理1.6.3 等价矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。
由上述定理可以得到： dk()D D kk 1 (()), (1kr); D 0()1
可以通过求 A() 的各阶行列式因子把 A() 化为Smith标准形。
19.06.2020
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7
。
第六节 矩阵的Jordan标准形
例1.6.3
19.06.2020
电子信息工程学院
8
第六节 矩阵的Jordan标准形
()n a n 1n 1 a 1 a 0
D n ( ) d A ( ) e d B t ( ) e ( 1 ) t n 1 ( ) 1 ) n ( 1 ( )
D 1 () D 2 () D n 1 () 1
Jordan标准形及其应用
Jordan 标准形及其应用摘要： 关于矩阵的Jordan 标准形最常见的求法是通过初等因子来求解，本文介绍了有关矩阵Jordan 标准形的基本概念，包括多项式矩阵、多项式矩阵的标准形、Jordan 块、Jordan 标准形，同时介绍了Jordan 标准形的相关定理．还主要介绍了Jordan 标准形的三种求法：初等因子法、计算 的方法以及幂零矩阵的Jordan 标准形的求法． 关键词： 初等因子；Jordan 块；Jordan 标准形．The Jordan canonical form and its applicationAbstract: Finding the solution to the matrix Jordan canonical form through the elementary divisor is the most common ．This article introduces several basic concepts about the matrix Jordan canonical form ，including polynomial matrix ，the canonical form of polynomial matrix,，Jordan block and the Jordan canonical form ．In the meantime ，it introduces the related theories of the Jordan canonical form ．3 methods of Jordan canonical form which still be mostly introduced ：elementary divisor method ，method of computing and method to the Jordan canonical form of nilpotent matrix ．Keywords: Elementary divisor ；Jordan block ；Jordan canonical form定义1 设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ1..................00 (10)00 0100...00 （ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）.当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k B B B 0021（ 2 ） 这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rkk r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设i V =ker V ir i ∈=-ξλσ{)(｜0)(=-ξλσi ri }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块.令|σσ=i i V ，那么i σ=i λ+i τ，于是对于i V 加上基来说，i σ的矩阵是 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i i is i i is i i i iii J J J N N N B 0000002121λλλ 这里iis i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块.对于每一子空间i V ，按以上方式选取一个基，凑起来成为V 的基，那么σ关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意 在矩阵（2）里，主对角上的第i 块B ，是|σσ=i i V 的矩阵.而子空间k V V ,...,1 显然由σ唯一确定，而出现在每一i B 里的若尔当块iis i i J J J ,...,,21里由i σ唯一确定的，因而是由σ唯一确定.定义2 形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m J J J 0021的n 阶矩阵，其中每一J 都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2001000001000001100002,2001000001000001000002,1101100001000002100002 都是若尔当标准形式.定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.定理3 （1）设V 为K 上的n 维线性空间，线性变换T ：V →V 的特征多项式分解为K 上的一次式的积.rr T n r n T a t a t a t a t t υυμγλ)...()(,)...()()(1111--=--=，K a a r ∈,...,1，.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这里，V 是弱特征空间)(~i a V 的直和V =)(~...)(~1r a V a V ⊕⊕，又})(|{)(~O X aI T V x a V I v i =-∈=υ，dim )(~i a V =i n ,T 在)(~i a V 上的限制T |)(~i a V 的特征多项式和最小多项式为.)(,)(ii i n i a t a t υ--（2）设矩阵A ∈（n ，n ，K ）的特征多项式分解为K 上一次式的积.detKa a a t a t a t a t A tE r r A nr nn r r ∈--=--=-,...,,)...()(,)...()()(1111υυμ,.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这时，存在正则矩阵P ),,(K n n ∈，)(...)(11r a J a J AP P⊕⊕=-个以上个以上个至少001)1,(...)1,()1,(...)1,(),(...),()(i i i i i i i i i i i a J a J a J a J a J a J a J ⊕⊕⊕-⊕⊕-⊕⊕⊕=υυυυ方阵J )(i a 的结束等于i n ，构成J )(i a 的若尔当的个数等于属于i a 的特征空间多项式的维数).1(r i ≤≤若尔当块矩阵1-PA P 称为矩阵A 的若尔当.注意 )(...)(1r q a J a J AP P ⊕⊕=-中的J )(i a ，其j 阶若尔当块的个数又A 唯一确定.例1 证明对A ，B ∈（n ，n ，C ），存在正则矩阵P ，使1-P A P =B ⇔A 和B 具有相等的若尔当标准型.证 设A 和B 具有相等的若尔当标准型J ，则存在正则矩阵1P ，2P ，使11-P A 1P =J ，12-P B 2P =J ，令1P 12-P =P ，则P 正则接1-P A P =B .反之，设已存在正则矩阵P ，使1-PA P =B ，设J AQ Q=-1是若尔当标准型，则J PQ A PQ =-)()(1，故A 的若尔当标准型也是J .例2 求矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--601151104，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=603622845131352013D 的若尔当标准型，求实矩阵Q 使DQ Q1-成为若尔当矩阵.解 （1）3233)5(1257515||-=-+-=-t t t t C tE ，rank 1)5(3=-E C ,故特征空间V （5）的维数是3 – rank (C -53E )=2，于是机若尔当块的个数为2，C 的若尔当标准型为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5515. (2)).2()3(1834||2233+-=+--=-t t t t t D tE 方程（D +23E ）x =0的通解为1p =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111u .例如，令u =1，得1p =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111，dim=V （-2）=1，（D -33E ）x =0，的通解是1q =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛47070v v v ，所以属于特征值3的特征空间V （3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个.例如，令v =1，得1q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛170，方程（D -33E ）x =1q 的通解是⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-ωω74721例如，令10=ω，得2q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6101，D 1p = - 21p ，D 2q = 31q ，D 2q =1q +32q .故若令=Q （1p 1q 2q ），则D Q =（D 1p D 1q D 2q ）=（-21p 31q 1q +32q ）=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3132， 所以Q =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6411070101，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-01221AQ Q .参考文献：[ 1 ] 张禾瑞 、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版. [ 2 ] 有马哲 、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.。
矩阵论—Jordan标准形
P( i , j ) -1 = P( i , j ) ,
P( i(c) ) -1 = P( i( c -1 ) ) , P( i , j ( ) ) -1 = P( i , j (- ) ) .
由此得出初等变换具有可逆性： 设 - 矩阵 A() 用 初等变换变成 B()，这相当于对 A() 左乘或右乘 一个初等矩阵. 再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B()
2. - 矩阵的Smith标准形
初等变换的定义
定义 下面的三种变换叫做 - 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行(列)互换位置； (2) 矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c ； (3) 矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵 .
就变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由
B()可用初等变换变回 A() . 我们还可以看出在第 二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这 也是为了使 P( i(c) ) 可逆的缘故.
- 矩阵的等价
定义 - 矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果
可以经过一系列初等变换将 A() 化为 B() .
a11 ( ) A( ) a ( ) i1
a1 j ( ) aij ( )
a11 ( ) 0
a1 j ( ) aij ( ) a1 j ( ) ( )
a11 ( ) 0 = A1() .
P[] 的元素,就称为 - 矩阵.
讨论 - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上
关于若尔当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素，所以在
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解在线性代数中，Jordan标准型与Jordan分解是两个重要的概念。
它们在矩阵理论、线性变换以及微分方程等领域都有着广泛的应用。
本文将对Jordan标准型与Jordan分解进行详细介绍和解析。
一、Jordan标准型在线性代数中，Jordan标准型是一种将方阵矩阵分解成特殊形式的表达方式。
对于一个n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P逆乘以A乘以P得到的矩阵(J)具有如下形式：J = [J1 0 ... 0][ 0 J2 ... 0][......][ 0 0 ... Jk]其中，J1、J2、...、Jk是Jordan块，每个Jordan块对应一个特征值。
Jordan块的形式如下：Ji= [λi1 1 0 ... 0][ 0 λi1 1 ... 0][ ][ 0 0 ... λij]其中，λij为特征值λi对应的代数重数j。
同时，对于同一个特征值，其对应的Jordan块数目表示几何重数。
Jordan标准型的出现是为了解决非对角矩阵难以求解特征值和特征向量的问题。
通过将矩阵转化为Jordan标准型，可以方便地求解特征值和特征向量，进而得到矩阵的一些重要性质。
二、Jordan分解Jordan分解是将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和一个幂零矩阵的形式。
对于一个n阶矩阵A，Jordan分解可以表示为：A = T + N其中，T是上三角矩阵，N是幂零矩阵。
上三角矩阵的对角线上的元素为矩阵A的特征值，幂零矩阵的幂次越高则元素越小。
Jordan分解的意义在于将复杂的矩阵分解成两个比较简单的矩阵，从而便于求解和研究。
三、Jordan标准型与Jordan分解的关系Jordan标准型和Jordan分解有着紧密的联系。
具体来说，对于一个有限维向量空间V上的线性变换T，如果它的特征多项式的根覆盖整个复数域，即任何一个复数都是特征多项式的根，那么就存在一个V 的基，使得这个基下T的矩阵表示形式为Jordan标准型。
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan 标准形的两种方法方法1. 利用矩阵的初等因子原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.例. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.解: 方法1..)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为.11001000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J JJ 方法2.(1) 首先求A 的特征值.3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1.(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解:.000000311311311622⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-A E相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .可见131,V ∈ββ, 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足. 所以求解线性方程组 )()(132211V k k X E A ∈=+=-βαα. (*) 该方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---=-==0000000031126223113113113113622212121k k k k k k k k B k k k 取. 由于我们想要求一个向量122113V k k ∈+=ααβ使得线性方程组(*)有解, 所以可取任何使得该方程组有解的k 1,k 2. 我们取了k 1=k 2=k. 事实上, 还可以直接取k 1=k 2=k=1. 即)1,1,2(213=+=ααβ, 这样就得到了(*)的解=2β(1,0,0). 再取)0,1,1(11-==αβ. 于是我们有:11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .即.110010001),,(),,(321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββββββA A A令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100101211),,(321βββT ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-211110010001J J J AT T .。
矩阵理论矩阵的Jordan标准型
定理 3.10 如果矩阵 A 的每个特征值的代数重数 都等于它的几何重数，则矩阵与对角阵相似.
当 A 不满足定理 3.10 时，它肯定不与对角阵相似， 但在与其相似的矩阵中可以找到形式最简单的矩阵， 这就是它的 Jordan 标准形.
定义 3.8 设 i 为 A 的互异特征值，共 s 个． mi 为 i 的代数重数，
那么 A( ) C( ) ．
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
det( E A) ( 1 )m1 ( i )mi ( s )ms
s
其中 mi n，称 mi 为 A 的特征值 i 的代数重数， i 1
dimVi ri（ i 的特征向量空间的维数）为 i 的几何重数.
定理 3.9 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, ..., s ， mi ， ri 分别为 i 的代数重数与几何重数，则
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
( 1)
例 3.4
设 A( )
，求
A(
)
的
( 1)2
Smith 标准型及不变因子.
第三章 矩阵旳Jordan原则型
矩阵旳Jordan原则型不但在矩阵理论与 计算中起着十分主要旳作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛旳应用.
jordan标准型中jordan块阶数与个数的确定
Jordan标准型和Jordan块是线性代数中的重要概念，它们在矩阵理论和特征值分解中起着关键的作用。
在本文中，我们将讨论Jordan标准型中Jordan块的阶数和个数的确定方法。
1. Jordan标准型简介Jordan标准型是一个对角矩阵，它是一个矩阵相似于一个特定形式的矩阵，形式为分块对角，每个对角块都是Jordan块。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶非奇异矩阵P，使得P^-1AP为Jordan标准形式，那么P的列向量就是A的一个Jordan基。
2. Jordan块的定义对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶向量空间V和一个向量v∈V，使得A(v)=λv，A(v_i)=λv_i+v_i-1(i=2,...， n)，v_1=v，那么由向量v_i组成的矩阵：\begin{bmatrix} λ & 1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & λ & 1 & 0 & ... \\ 0 &0 & λ & 1 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & λ\end{bmatrix}就是A的一个Jordan块。
3. Jordan块的阶数和个数的确定对于一个矩阵A的Jordan标准型，Jordan块的阶数和个数可以通过以下步骤确定：3.1 计算A的特征值和几何重数。
对于A的特征值λ，其几何重数为m，即A的特征值λ的重数。
3.2 确定每个特征值对应的Jordan块的个数和阶数。
对于每个特征值λ，其对应的Jordan块的个数和阶数可以通过以下步骤确定：- 计算A-λI的秩r。
- 判断r和m的大小关系：- 如果r=m，即A-λI的秩等于λ的几何重数，那么λ对应的Jordan 块的个数为1，阶数为r；- 如果r<m，即A-λI的秩小于λ的几何重数，那么λ对应的Jordan 块的个数为n-r，阶数为r；- 如果r=m-1，即A-λI的秩等于λ的几何重数减1，那么λ对应的Jordan块的个数为2，阶数为r。
矩阵Jordan形—Jordan标准形资料文档
特征根(按重数计Jordan 标准形定理 每个n 阶复数矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似：121;00s J J P AP J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭除了Jordan 块的排列次序可以改变外，Jordan 矩阵J 是唯一的， 称它为A 的Jordan 标准形.注意 A 的Jordan 标准形J 的主对角元就是A 的全部 例1 求矩阵2111213211011122 A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪----⎝⎭的Jordan 标准形J .解 求出A 的特征多项式()31I A λλλ-=+，全体特征值为 0,1,1,1 ---.若A 与相似于Jordan 标准形J ： A ∽J ，则它们有相同的特征值，从而有0111J ⎛⎫ ⎪-* ⎪= ⎪-* ⎪-⎝⎭其中的*等于1或0.特别注意 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由相似关系A I+∽100J I ⎛⎫⎪*⎪+= ⎪* ⎪⎝⎭可得秩数1111232()()21111121 2 1 r J I r A I rank ----⎛⎫ ⎪ ⎪+=+== ⎪ ⎪----⎝⎭可知J I +中的2个*只有一个等于1，另一个为0，因此011101J ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭或010111J ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭这两个J 本质上是相同的(都含有3个Jordan 块)，只是Jordan 块的排列次序不同.注意 如果两个Jordan 矩阵只是Jordan 块的次序不同，则认为它们本质上相同. 在这个意义上，本题中的J 由A 唯一决定.可写A∽01111 J ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭.另外，可找到一个可逆阵1011310010102101P -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭使得01111AP P PJ ⎛⎫⎪- ⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭即1P AP J-=.例2 设 110430102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1)求Jordan 标准形J ，并判断A 可否对角化；(2)求相似变换阵P ，使1P AP J -=.解 A 的特征多项式为：2||(2)(1)I A λλλ-=--,特征值为2,1,1 .所以A∽ 200011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注意， 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由于J 含有2阶Jordan 块，可知A 不能对角化.令123(,,)P X X X =，(1,2,3)i X i =为列向量，则 AP=PJ ，即123123200(,,)(,,)011001A X X X X X X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即 11223232,,AX X AX X AX X X ===+.所以1X 为A 的关于2λ=的特征向量；2X 为A 的关于1λ=的特征向量；3X 是非齐次方程32()A I X X -=的解（广义特征向量）.由1(2)0I A X -= 解出1(0,0,1)T X =， 由2()0I A X -= 解出2(1,2,1)T X =-，由32()A I X X -= 解出3(1,1,0)T X =--，或3(0,1,1)T X =-令123011(,,)021110P X X X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，或010021111P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭可知 200011 001AP P P J ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭即 1P AP J -=.例3 试证：每个Jordan 块k J 都相似于它的转置T k J . 证 计算可知11001011111001001λλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 注 由此例可知，每个Jordan 矩阵J 都相似于它的转置：J ∽T J (下三角矩阵).利用此例3与Jordan 标准形定理可得：推论3 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .例4 设k 为自然数，0kA =，试证：||1A I +=证 由0kA =知A 的特征值全为零， 从而Jordan 标准形J 的主对角线元素全为零. 利用1A PJP -=，可知 11||||||||||1A I PJP I P J I P --+=+=+=.小结 两个看上去很不相同的矩阵可以相似，因此，一条确定两个矩阵是否相似的途径是，设想有某个具有指定简单形式的矩阵集合，然后看这两个已知矩阵是否可以通过相似化成这些简单形式中的一个.如果它们能做到，那么它们必定是相似的（因为相似关系是传递的和对称的），Jordan 标准形就是符合这个要求的简单形式. 本节的主要结果是，每个复矩阵都相似于一个实质上是唯一的Jordan 矩阵.Jordan 标准形定理可以说是矩阵相似理论的一个制高点. 有了Jordan 标准形许多问题就很清楚了.注 相应于每个单独的Jordan 块()m J λ，恰好有矩阵J 的一个特征向量：它是属于矩阵J 中每个()m J λ的第一个对角元素. 从而J 中Jordan 块的个数就是A 的线性无关特征向量个数.补充若干论断和应用利用参考书：R .Horn and C.Johnson. Matrix Analysis, 1985 . 我们不加证明给出下列补充结论.(1) 给定Jordan 标准形J ，可以得到如下几点结论： (2).每个Jordan 块()k J λ恰好对应着属于λ的一个特征向量；(3) 每个值λ，其对应Jordan 块()k J λ的个数等于它的几何重数：()n r A I λ--； (3).Jordan 块的总数(按重复计)等于J 的线性无关特征向量个数利用相似关系 A ∽J 对应的秩数公式: ()()k k rank A bI rank J bI -=-， 可建立以下差分格式，求出方阵A 的Jordan 标准形J. 给定特征值λ(1) 计算秩数 ：()kr A I λ- 1, 2,k =规定 0r n = ， 1()r r A I λ=-， 22()r r A I λ=-，(2) 计差：1k k k d r r +=-，0, 1, 2,k =01d n r =-， 112d r r =-， 223d r r =- ，(3) 计差：1k k k l d d -=-，1, 2,k =101l d d =-，212l d d =-，323l d d =-，则(1) J 中含有λ的Jordan 块共有 0()d n r A I λ=-- 个； (2) J 中含λ的k 阶Jordan 块恰有 k l 个，1, 2,k= .注1 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 注2 可以证明：必有一个自然数k 使得，1()()kk r A I r A I λλ+-=-==常数.从而有 10k k d d +===.补充例子例5 用求秩法求以下矩阵的Jordan 标准形3411451100320021A --⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-⎪-⎝⎭. 解 特征多项式为：223432||(1)(1)4521I A λλλλλλλ---==+--+-+.计算秩数令1:λ=-()3r A I +=，2()2r A I +=，3()2r A I +=. 令 01234, 3, 2, 2r r r r ====，按差分格式，有124103 1 1202l l •== 得知，1λ=-恰有1个2阶Jordan 块1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭； 同理可知，含有1λ=的Jordan 块为1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭，从而可得A∽ 1100010000110001J -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭.习 题 1. 如果A 与B 相似，C 与D 相似，试证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛C O O A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D O O B 相似. 2. 若A 与B 都是方阵，证明 00 A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭与00 B A ⎛⎫⎪⎝⎭相似.3. n 阶矩阵A 叫做幂零的，如果存在一个自然数m 使A m =0. 证明: (1) A 是幂零矩阵当且仅当它的特征多项式的根全是0；(2) 如果一个幂零矩阵A 可以对角化，那么A 一定是零矩阵； (3) 如果A 是幂零阵，且0A ≠，则A 不能对角化；(4) 如果A 是幂零阵，则 ||1A I +=.4. 证明: 每个阶数大于1的Jordan 块都不能对角化.5. 设0ε>，证明：下列两个矩阵A 与B 不能相似101011100b b A bb ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 10101110b bB bb ε⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ . 6. 求下列矩阵的Jordan 标准形J 及其相似变换阵P .(1) 301121103⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2) 170250109013-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(3)120020221⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦(4) 460350361⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(5) 211212112--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7. 用求秩方法求下列矩阵的Jordan 标准形.(1) 1231123123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2)3131131331311313 --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎪--⎝⎭ (3)3411451100320021--⎛⎫⎪--⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭(4) 111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ (5)308316205⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(6) 142034043⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7) 211221121-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(8)131011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (9) 126103114--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. (10)4000040030400304⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(11)1110110100240012-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭，(12)(0)n na a a a a aa A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭8. 试写出两个矩阵，它们的Jordan 标准形都是200011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 9. 设1221A --⎛⎫=⎪-⎝⎭，求00A B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0A I C A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的Jordan 标准形.10. 利用Jordan 标准形证明： 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .11. 已知A 的Jordan 标准形J ，b 为复数. 证明：()()k k rank bI A rank bI J -=-. 12. 已知5阶方阵A 适合条件223, 2, ()4, ()3rankA rankA rank A I rank A I ==+=+=.求A 的Jordan 标准形J . 13. 已知n 阶方阵A 满足10nn A A-=≠，求其Jordan 标准形为J .14. 利用方阵A 的Jordan 标准形证明：如果1()()k k rank A rank A r +==，则对任何自然 数l 必有 ()k l rank A r +=.15. 设b 是n 阶方阵A 的k 重特征值，证明：()k rank A bI n k -=-.16. 设n 阶上三角阵0A ≠，且主对角元都是0.则A 的Jordan 标准形不是对角阵.∽∽∽例 已知8阶方阵A 适合：23(2)4, (2)1, (2)0rank A I rank A I A I -=-=-=， 求A 的Jordan 标准形J .解 按差分格式， 有 1284143 211l l •==2100210022102210202J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.另外可知100001000012,00010000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦200100000000(2)00000000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 3(2)0J I -=例 求以下矩阵的Jordan 标准形，并求变换阵P ，使1P AP J -=.111111201232011212202A ⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 特征多项式为5||(1)(2)I A λλλ-=-- 令2λ=1111110012300112012000A I -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭， 2111033000120000()000000A I --⎛⎫⎪⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3111021000000000()000000A I ---⎛⎫⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)4r A I -=， 2(2)2r A I -=， 3(2)1r A I -=， 4(2)1r A I -=令 012346, 4, 2, 1, 1r r r r r =====，按差分格式，有 123620421 21111l l l •===得知2λ=共有2个Jordan 块（1个2阶块，1个3阶块）： 2102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 210021002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭另外1λ=是单根，它对应1阶的Jordan 块为 1(1) J =，可知Jordan 标准形为 1210212212J ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 另外可求得变换矩阵为 131040034010003033003000000102000201P --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭， 它满足AP JP =，即 1P AP J -=。
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2020/3/5
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第六节 矩阵的Jordan标准形
定理1.6.5 A()与 B() 均为 m n 的 —矩阵：
（1） A() B() 的充要条件是存在可逆的 P()mm 与 Q()nn 使得
P()A()Q() B()
（2） A() B() 的充要条件是 A() 与 B() 具有相同的不变因子。 （3） A() B() 的充要条件是 A() 与 B()具有相同的Smith标准形。 （4） A() B() 的充要条件是 A() 与 B()有相同的各级行列式因子。 （5） A() B() 的充要条件是 A() 与 B() 有相同的秩和初等因子组。
2 0
1
rankA() 2
—矩阵的逆: 若两个 n 阶的 —矩阵 A() 和 B() 满足
A()B() B()A() I 则称 A() 为可逆矩阵（或为单模矩阵），并称 B() 是 A() 的逆矩阵
记为 B() A1()
定理1.6.1 —矩阵 A() 可逆的充要条件是 det A() 是数域 K 中的非零常数。
（由单位矩阵作相应的初等变换即可得其对应的初等矩阵）
初等矩阵都是可逆矩阵 P1(i, j) P( j, i) P1(i(k)) P(i(k 1)) P1( jh(), i) P( j(h()), i)
当对 — 矩阵进行行变换时，相当于左乘相应的初等矩阵；当 对 —矩阵进行列变换时，相当于右乘相应的初等矩阵，且施行初 等变换不改变 —矩阵的秩。
已知矩阵
A
0
2
0
，求其特征矩阵 I A 的不变因子、
2 2 1
初等因子及Smith标准形。
解：
1
I
A
0
2
2 2
2
0
0
1
D3() I A ( 1)( 1)( 2) D2 () D1() 1
为 () ( 1)m1 ( 2 )m2 ( s )ms ，m1 m2 ms n ,则 V n 可分解
为不变子空间的直和V n N1 N2 N s ，其中Ni x (T Te )mi 0, x V n
A() 的初等因子；全部初等因子称为 A() 的初等因子组；其中
( j )k1j , ( j )k2 j ,( j )krj 称为与 ( j ) 相当的初等因子组。
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第六节 矩阵的Jordan标准形
例1.6.4
1 2 0
定义1.6.4 （行列式因子）
设 —矩阵 A() 的秩为 r ，对正整数 k , 1 k r 中， A() 必有
非零的 k 阶子式，称 A() 中所有的 k 阶子式的首一最大公因式为A() 的 k 阶行列式因子，记为 Dk () 。
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第六节 矩阵的Jordan标准形
an1
an2
a
nn
就是一个 —矩阵。
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第六节 矩阵的Jordan标准形
—矩阵的秩: 不恒等于零的子式的最高阶数称为 —矩阵的秩，记为
rankA()
例：
A()
2
2
1
2 2 det A()
于是不变因子为 d2 () d1() 1
初等因子组为 1, 1, 2
d3 () ( 1)( 1)( 2)
Smith标准形为
1 0
0
0 1
0
0 2 ( 1)( 1)( 2)
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第六节 矩阵的Jordan标准形
由定义可知，一个n 阶 —矩阵 A() 的 k 阶行列式因子Dk () 能整
除任一个k 阶子式，而由行列式的展开可知一个 k 1 阶行列式可表
示为k 1 个k 阶子式的代数和，从而Dk () 能整除任一个k 1 阶子 式，因此，Dk () 能整除Dk1 () ，即
Dk () Dk1(), (k 1,2, , r 1)
di ()(i 1,2, r) 是 的首
一多项式，且 di () di1() ， 将 J () 称为 A() 的Smith标
准形。
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第六节 矩阵的Jordan标准形
例1.6.1 解：
1 2
求
A(
)
的Smith标准形。
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第六节 矩阵的Jordan标准形
定义1.6.4 （等价变换）若 —矩阵 A() 经有限次初等变换化为 — 矩阵 B() ，则称 A() 与 B() 等价，记为 A() B() 。
—矩阵的等价关系与数字矩阵一样，满足自反性、对称性和传递性。
amn ()
其中 aij () (1 i m , 1 j n) ，是数域 K上的变量 的多项式。
例如：矩阵 A (aij )nn 的特征矩阵
a11 a12 a1n
I
A
a 21
a22
a2n
3、 —矩阵的标准形
定理1.6.2 任一非零的 —矩阵 A() (aij ()) mn 都等价于一个如下形 式的标准对角形 —矩阵
d1 ( )
d2 ()
A(
)
J
(
)
dr ()
0
0
其中r( 1) 是 A() 的秩，
第六节 矩阵的Jordan标准形
一、 —矩阵及其Smith标准形
1、 —矩阵 以数域 K 上的变量 的多项式为元素的矩阵
a11 () a12 ()
A(
)
a
21
(
)
a22 ()
am1 () am2 ()
a1n ()
a
2n
(
)
2
如：
—矩阵
A(
)
( 1)2
其初等因子组为 , 1, , ( 1)2
不变因子为 d3 () ( 1)2 d2 () ( 1) d1() 1
Smith标准形为
1
A( )
( 1)
( 1)2
定理1.6.3 等价矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。
由上述定理可以得到：
dk
()
Dk () , Dk1 ()
(1 k r);
D0 () 1
可以通过求 A() 的各阶行列式因子把 A() 化为Smith标准形。
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。
第六节 矩阵的Jordan标准形
0
3
，求特征矩阵
I
A
1
3
1 1 4
1 1 4
的Smith标准形。
解：
1 2 6 1 3
I
A
1
3
1
2
6
1 1 4
1 1 4
1 0
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第六节 矩阵的Jordan标准形
二、矩阵的Jordan标准形
1、Jordan形矩阵和Jordan块
定理1.6.6
设T 是复数域 C 上的线性空间 V n 的线性变换，任意取 V n 的一个基，T 在 该基下的矩阵为 A ,（T 或 A ）的特征多项式 det(I A) 可分解因式
0
2 2
1
3 1
3 3 0
1
0
0
1 2 2
0
1
3 3
1 0
0
0
1
0
0 1
0
0
2 2 1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 0 ( 1)
0 0 ( 1)
0 0 ( 1)
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第六节 矩阵的Jordan标准形
1 2 6
1 2 6
例1.6.2 已知矩阵 A 1
例1.6.3
已知矩阵
0 A a0
a1
I n1
an1
I A 的Smith标准形。 1 0
解： 0源自1 A的特征矩阵为 A() I A
0
0
0
a0 a1 a2
，求其特征矩阵
0
0
0
0