第二讲习题辅导

线代辅导2

1．检验下列集合对指定的加法和数量乘法, 是否构成所给域上的线性空间.若是，给出基和维数。

(5,6) C(C); C(R); R(C); R(R)；Q(R) 对通常数的加法和数量乘法。

解 {1}；{1, i}; 不是; {1}; 不是。

(2) R 2(R) 对向量加法和如下定义的数量乘法： 1．ααλαλ== .2;0。

解 都不是。因为1中αααααl k l k +≠+≠)(2;

1中 。

(10） ；且)}()(,)(,|{)(1x f x f R x f R x f R V -=-∈∈=

)}.()(,1)0(,)(,|{)(2x f x f f R x f R x f R V =-=∈∈=且

对通常的函数加法和数与函数的乘法。 解 V 1是，V 2不是。

(12) 平面上终点在第一象限的向量对向量加法数量乘法。 解 不是。

2. 判断下列子集是否为给定线性空间的子空间(对3R 中的子集并说明其几何意义)： (1)

}

,0|),,{(22111为固定数F a x a x a x a F x x W i n n n

n ∈=+++∈=

答 是。与向量（a 1,a 2,⋯a n ）正交的过原点的n 维平面上的全体向量。

(5) },0)1(|][)({1=∈=p x F x p W

)}.0()1(|][)({2p p x R x p W n =∈=

答 是。(p+q)(1)=0; (kp)(1)=0, ∀p(x), q(x) ∈W i .

(6) },),()(|),({R x x f x f R R F f W ∈∀=-∈=其中F (R ,R )是所有实变量的实值函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域上构成的线性空间.

答：是。偶函数的和与数乘还是偶函数。

加题 f(-x)= f(x)偶函数集且f(0)=1，则不是其子空间.因为加法没有单位元。

4. 设n R ∈321,,ααα, R c c c ∈321,,, 如果

.0,031332211≠=++c c c c c 且ααα证明.).,(),(3221ααααL L =

证明

)(1),(122331

122113

3ααααααc c c c c c +-

=+-

=又

所以{α1, α2}与{α2, α3}等价。

6.设)2,1,1(),0,1,1(),1,0,1(321-===ααα, 问下列21,ββ属于

)

,,(321αααL 吗？如属于, 它们由321,,ααα线性表示唯一吗？为什

么？

(1) ).1,1,1(1--=β (2) ).1,2,1(2-=β

答：

不唯一。

无解，;2);(,2);

(2133,2,122123,2,113322111ααααααβααβαααβαααβ-=∈+-=∉++=L L x x x

7. 判别下列向量组的线性相关性： (1) ).6,3,1(),5,2,0(),1,1,1(321===ααα 答: α2= α3 -α1.相关 (2) ).14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(321==-=βββ 答：β3= 3β1 +β2相关 (3) ,

)()(),

()(,

1)(][2

030213x x x p x x x p x p x R -=-==中：其中常数

.0R x ∈

答：k 1+k 2 (x-x 0)+k 3 (x-x 0)2=0⇒ k 1=k 2 =k 3=0. 无关。

10. 下列命题是否正确？如正确, 证明之, 如不正确, 举反例.

(1) 若)2(,,1>m m αα 线性相关, 则其中每一向量都是其余向量的线性组合.

答：否。如α2, α1线性无关, α2, -α1, α1线性相关.α2不是其余向量的线性组合.

(2) 若m αα,,1 线性无关, 则其中每一向量都不是其余向量的线性组合, 这个命题的等价命题应如何叙述？

答：若存在一向量是其余向量的线性组合,则m αα,,1 线性相关。 (3) )2(,,1>m m αα 线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关.

答：⇒对；⇐不对

(4) 若21,αα线性相关, 21,ββ线性相关, 则2211βαβα++、也线性相关.

答：否。.,,2111212αβββααk ≠==

(5) 若n αα,,1 线性无关, 则113221,,,,αααααααα++++-n n n 也线性无关.

答：n 为偶数时相关；n 为奇数时无关.因为

00,0

00)()()(,0)()()(12111221111322211非时为奇数偶数为方程组的系数行列式当，

即

n k k k k k k k k k k k k k k k n n n n n n n n n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+=+=+=++++++=++++++--

ααααααααα

(6) 若321,,ααα线性相关, 则133221,,αααααα+++也线性相关.

答：是。不妨设

线性表示。

，可用，，线性表示，则

，可用211

33221213ααααααααααα+++

(7)* 设},,{321ααα=B 是3R 的一组基, 非零向量30R ∈α, 则

},,{302010αααααα+++也是3R 的一组基.

答：不对。取

）线性相关，

（）（则有3020103210,αααααααααα+++=+--=