抛物线与几何图形培优题压轴题提高题
专题13 抛物线与压轴题(3) 备战2020年中考数学典例精做题集(学生版)
专题13. 抛物线与压轴题（3）五、抛物线与平行四边形15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与轴相交于A、B两点，与轴相交于点C，OA=1，OC=3，连接BC．（1）求b的值；（2）点D是直线BC上方抛物线一动点（点B、C除外），当△BCD的面积取得最大值时，在轴上是否存在一点P，使得|PB﹣PD|最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若在平面上存在点Q，使得以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q坐标．16．如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B．点P是抛物线上的动点。
（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△BCP是以B C为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）当P运动到第一象限时，过P作直线PM平行y轴，交直线B C于点M。
①求线段PM长度的最大值②D为平面内任意一点，当线段PM最大时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形。
若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.17．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B 左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，是否存在以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC的值最小时，求△ABP的面积；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．六、抛物线与动点问题20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P、Q分别是AB、BC上的动点，当点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设P、Q同时运动的时间为t秒（0<t<2).（1）求抛物线的表达式；（2）设△PBQ的面积为S ，当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；当点P移动到抛物线的什么位置时，使得，求出此时点P的坐标；当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止当两个动点移动t秒时，求四边形P AMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？七、抛物线与直线、线段的交点问题23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+4（m≠0）的顶点为P．P，M两点关于原点O成中心对称．（1）求点P，M的坐标；（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x轴翻折，翻折后的图象在0≤x≤5的部分记为图象H，点N为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图象H有两个公共点，结合图象求出点N的纵坐标n的取值范围．24．已知二次函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．（Ⅰ）求k取值范围；（Ⅱ）当k取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）将（Ⅱ）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．25．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）把﹣4＜x＜1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443y mx mx m =-++的顶点为A ．（1）求点A 的坐标；（2）将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位得到线段O A ''．①直接写出点O '和A '的坐标；②若抛物线2443y mx mx m =-++与四边形AOO A ''有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．七、抛物线与整点问题27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
中考压轴题专项训练1——抛物线专题(带答案解析)
中考压轴题专项训练1——抛物线专题考点分析：命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决复杂的图形综合问题。
二次函数常考点汇总：1. 两点间的距离公式：22)()(AB B A B A x x y y -+-=2. 中点坐标公式：已知A ),(A A y x ，B ),(B B y x ，则线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2B A B A y y x x 。
3. 在平面直角坐标系中求面积的方法：公式法、割补法（做铅垂高或水平宽） 4. 几何分析法：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
例题精讲：1.如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．3.已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2114y x =+上的一个动点．（1）①如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，求证：PA=PB ； ②如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．4.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.（1）直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3) 已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.5．如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ． （1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.（本题满分10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标； （3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ∆P N 与∆APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．答案解析1.【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴，则＝∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）3.【解答】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x 轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P 1（，3），直线OP 的解析式为y=x ， P 2（﹣，3）直线OP 的解析式为y=﹣x ， 综上所求，所求直线OP 的解析式为y=x 或y=﹣x ．4.【解答】解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 取得最小值18. 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图)(3) ∵对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.xy111APBMO∴整数c 的值为0.此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩ 对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1.此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴整数a 的值为1.∴整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.5．【解答】解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°． （2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． 设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． ④⑤② ③ ⑥ ⑦图①图②（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．6. 【解答】解：（1）.3)(03,20.0,c -),,0(,.2,12.1x 2CD x //2-=∴=-=++=∴∴=-==-∴=∴=c c c c c c B c C OC OB b bl CD ，舍去或解得）点坐标为（：抛物线对称轴为直线，轴，（2）设点F 坐标为（0，m ）.∵对称轴是直线,1:=x l ∴点F 关于直线l 的对称点’F 的坐标为（2，m ）. ∵直线BE 经过点B （3,0），E （1，-4），∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x-6. ∵点’F 在BE 上，∴m=2⨯2-6=-2,即点F 的坐标为（0，-2）. （3）存在点Q 满足题意。
九年级数学-17.抛物线中的压轴题--精选练习
拔高专题抛物线中的压轴题常见模型思考在边长为1的正方形格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
在射线BD上可以找出一点组成三角形，可得△ABC、△BEC、△CBD为等腰三角形。
二、拔高精讲精练探究点一：因动点产生的平行四边形的问题例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：16404420a b cca b c-+⎪-+⎪⎩+⎧⎨＝＝＝解得1412a b c -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝＝，所以此函数解析式为：y=12x 2+x −4； （2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，12m 2+m −4）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB =12×4×（-12m 2-m+4）+12×4×（-m ）-12×4×4=-m 2-2m+8-2m-8 =-m 2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m ＜0，当m=-2时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S 有最大值S=4．（3）设P （x ，12x 2+x-4）． 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标， 又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（12x 2+x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±25．x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）． 由此可得Q （-4，4）或（-2+25，2-25）或（-2-2 5，2+2 5）或（4，-4）．【变式训练】（2015•贵阳）如图，经过点C （0，-4）的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A （-2，0），B 两点．（1）a ＞ 0，b 2-4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=13，b=-43，c=-4，∴抛物线的函数表达式为y=13x2-43x-4；（3）存在，理由为：（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，∵抛物线y=13x2-43x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=13x2-43x-4，解得：x17x27，∴点E′的坐标为（7，4），同理可得点E″的坐标为（7，4）。
初中数学抛物线与几何专题训练及答案
b ， OC t t
b , t
6
∴ | OB | | OC | | (t 即t2
b t
b )( t t
b b 2 )| | t | t 2 OA 2 , t t
t 2 , 所以当 b 2 t 3 时, 存在抛物线 F 使得 | OA | 2 | OB | | OC | .-- 2 分
2
3、（青海西宁）如图，已知半径为 1 的 O1 与 x 轴交于 A，B 两点， OM 为 O1 的 y M
点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线 OM 的函数解析式；
4
O
A
O1
B x
（ 3）线段 OM 上是否存在一点 P ，使得以 P，O，A 为顶点的三角形与 △OO1M 相 似．若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 4、（辽宁 12 市）如图，在平面直角坐标b 的方程；(2)讨论
t 的取值范围，来求抛物线 F 对应的二次函数的解析式。
【例 2】(江苏常州)如图,抛物线 y x 4 x 与 x 轴分别相交于点 B、 O,它的顶点为 A,连
2
接 AB,把 AB 所的直线沿 y 轴向上平移,使它经过原点 O,得到直线 l,设 P 是直线 l 上一动点.
5
（2）求抛物线的函数表达式； （3）在 x 轴的上方是否存在点 P ，点 Q ，使以点 O，B，P，Q 为顶点的平行四边形的 面积是矩形 ABOC 面积的 2 倍，且点 P 在抛物线上，若存在，请求出点 P ，点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由．
7、（苏州市）如图，抛物线 y＝a(x＋1)(x－5)与 x 轴的交点为 M、N．直线 y＝kx＋b 与 x 轴 交 于 P(－ 2， 0)， 与 y 轴 交 于 C． 若 A、 B 两 点 在 直 线 y＝ kx＋ b 上 ， 且
2021年中考数学必刷压轴题专题：抛物线之最值问题(含解析)-个人用心整理
中考数学抛物线压轴题之最值问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．4．如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+OM的最小值．5．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．（1）写出线段AC，BC的长度：AC＝，BC＝；（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．6．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+ QB的最小值．7．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①试判断△ABC的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）（1）求抛物线的表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM 的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线AB相交，与x轴、y轴交于A（2，0）、B．（1）求点O关于AB的对称点P的坐标；（2）若点P在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的关系式．（3）在（2）的条件下，在△ABP内存在点M，使得MA+MB+MP的值最小，则相应点M的坐标为．14．如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A（4，0）、B（5，5）．（1）a＝，b＝，∠AOB＝°；（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标；（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．15．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是半高三角形，此时，称△ABC是BC类半高三角形；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF类半高三角形．（1）直接写出下列3个小题的答案．①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为．②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其最小角的正切值为．③如图3，正方形网格中，L，M是已知的两个格点，若格点N使得△LMN为半高三角形，且△LMN为等腰三角形或直角三角形，则这样的格点N共有个．（2）如图，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点T坐标为（0，5），点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为RS类半高三角形．①当点P介于点R与点S之间（包括点R，S），且PQ取得最小值时，求点P的坐标．②当点P介于点R与点O之间（包括点R，O）时，求PQ+QT的最小值．16．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．17．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点．若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．（4）如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′B、E′C，求E′B+E′C的最小值，请直接写出答案．18．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．19．在平面直角坐标系中，已知y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．20．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？21．如图，抛物线y＝x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ＝S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．22．如图，已知一次函数y1＝x+b的图象l与二次函数y2＝﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程＝0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．23．如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）；（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PB﹣PC|的值最大？若存在，求出点P的坐标；（3）如果点M是抛物线在第三象限的一动点；当M点运动到何处时，M点到AC的距离最大？求出此时的最大距离及M的坐标．24．如图（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠o）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图（2）T是抛物线上的一点，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，求点T的坐标；（3）如图（3），过点A的直线与抛物线相交于E，且E点的横坐标为2，与y轴交于点F；直线PQ是抛物线的对称轴，G是直线PQ上的一动点，试探究在x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）直线AN交y轴于点F，P是抛物线的对称轴x＝1上动点，H是X轴上一动点，请探索：是否存在这样的P、H，使四边形CFHP的周长最短？若存在，请求出四边形CFHP的最短周长和点P、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是∠MDB的角平分线上动点，点R是线段DB上的动点，Q、R在何位置时，BQ+QR的值最小．请直接写出BQ+QR的最小值和Q、R的坐标．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD＝OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．28．已知如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）设点s是三角形ABH上的一动点，从点A沿着AHB方向以每秒1个单位长度移动，运动时间为t秒，到达点B时停止运动．当t为何值时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．（4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．1．【解答】解：（1）y＝，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c＝，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，）；（3）存在，理由：点P（2，），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，m）、（2﹣3m，m+），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线AC等距离，则点B″在直线n上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y＝x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y＝x+（4m﹣3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y＝﹣x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y＝﹣（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，m﹣），而P′（2﹣3m，m+），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2．2．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积＝PH×OA＝3×（x2﹣2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），当x＝时，△ACP的面积的最大，最大值为：，此时点P（，）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN＝CM，故当B、M、N三点共线时，BM+CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN＝AB＝2＝AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．3．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x＝时，PD最大值为：；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝3﹣，当y＝0时，x＝，故点N、M的坐标分别为：（1，3﹣）、（，0），CN+MN+MB的最小值＝CH＝CM+FH＝．4．【解答】解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠BDO＝90°，∵OA绕点O逆时针旋转120°至OB，∴OB＝OA＝4，∠AOB＝120°，B在第二象限，∴∠BOD＝60°，∴sin∠BOD＝，cos∠BOD＝，∴BD＝OB＝2，OD＝OB＝2，∴B（﹣2，2），设过点A（4，0），B（﹣2，2），O（0，0）的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣x；（2）存在△POB为等腰三角形，∵抛物线与x轴交点为A（4，0），O（0，0），∴对称轴为直线x＝2，设点P坐标为（2，p），则OP2＝22+p2＝4+p2，BP2＝（2+2）2+（p﹣2）2＝p2﹣4p+28，①若OP＝OB＝4，则4+p2＝42解得：p1＝2，p2＝﹣2，当p＝﹣2时，∠POA＝60°，即点P、O、B在同一直线上，∴p≠﹣2，∴P（2，2），②若BP＝OB＝4，则p2﹣4p+28＝42解得：p1＝p2＝2，∴P（2，2）；③若OP＝BP，则4+p2＝p2﹣4p+28，解得：p＝2，∴P（2，2）；综上所述，符合条件的点P只有一个，坐标为（2，2）；（3）在OA上取点K，使AK＝1，连接CK交圆与点M，连接OM、CM，此时，MC+OM＝MC+KM＝CK为最小值，理由：∵AK＝1，MA＝2，OA＝4，∴AM2＝AK•OA，而∠MAO＝∠OAM，∴△AKM∽△AMO，∴＝，即：MC+OM＝MC+KM＝CK，CK＝＝5，即：MC+OM的最小值为CK＝5．5．【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝2；故答案为：，2；（4分）（2）∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，﹣x2+x+2），则D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，有S＝PD•OB＝×4（﹣+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2＝＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC＝，（10分）∴S＝BC•PH＝×2×＝5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴＝＝＝S≤；∴的最大值是．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）6．【解答】解：（1）∵D（m，m），OD＝m，四边形CODM为菱形，∴OD＝OC＝2＝m，∴m＝，∴D（）；（2）∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，∴联立，解得，，∵点A在点B的左侧，∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AB＝＝3，∵直线OC的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝x+2，∴AB∥OC，两直线AB、OC之间距离h＝2×＝，∴S△APB＝AB•h＝×3×＝3；（3）∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AM＝1×＝，BM＝2×＝2，由M点坐标（m，m+2），D点坐标（m，m）可知以MC为半径的圆的半径为（m+2）﹣m＝2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，∴MN＝BM＝，∵，∠QMN＝∠BMQ，∴△MNQ∽△MQB，∴，∴，由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，∵直线AB的解析式为y＝x+2，∴直线AB与对称轴夹角为45°，∵点B、B′关于对称轴对称，∴∠BMB′＝90°，由勾股定理得，QB′+QB最小值为B'N＝＝＝．即QB'+QB的最小值是．7．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．设抛物线解析式是：y＝a（x+4）（x﹣2）（a≠0）．把C（0，﹣2）代入，得a（0+4）（0﹣2）＝﹣2．解得a＝．故该抛物线解析式是：y＝（x+4）（x﹣2）或y＝x2+x﹣2；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2；作PQ∥y轴交BC于Q，如图，设P（t，t2+t﹣2），则Q（t，﹣t﹣2），则PQ＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣t，S△PBC＝S△PBQ+S△PCQ＝•PQ•4＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+2）2+2，当t＝﹣2时，△PBC面积有最大值，最大值为2，此时P点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，﹣m﹣2），P（m，m2+m﹣2），∵PE＝OD，∴|﹣m|＝4|﹣m﹣2﹣m2﹣m+2|，∴m2+3m＝0或m2+5m＝0，∴m＝﹣3，m＝0（舍去）或m＝﹣5，m＝0（舍去）∴P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；（4）∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，此时△AMC的周长最小．∵直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∴当x＝﹣1时，y＝﹣．∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，﹣）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC＝2+2．8．【解答】解：（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）①y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝﹣2或8，x＝0，则y＝﹣4，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4），则函数的对称轴为：x＝3，则AB＝10，BC＝，AC＝，则AB2＝BC2+AC2，故△ABC为直角三角形；②作点M关于函数对称轴的对称点D（10，6），连接CD交函数对称轴于点P，则点P为所求，将点CD的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线CD的表达式为：y＝x﹣4，当x＝3时，y＝﹣1，故点P（3，﹣1），此时PM+PC的值最小为CD＝10．9．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CFsin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4×＝，|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，把A（﹣1，0），C（0，3）代入解析式得，∴，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y轴，∴∠CPD＝∠OCB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠PCD＝90°，∴直线CD的解析式为y＝x+3，解得或，∴D（1，4），此时P（1，2）；当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，∴∠CDP＝90°，∴CD∥x轴，∴D点的纵坐标为3，代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此时P（2，1）；当PC＝PD时，∵PC＝t，∴t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣，此时P（3﹣，）；综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）．（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，﹣），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y＝，∴tan∠GBO＝，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴，∴CN+MN+MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3﹣），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（，0）．∵CG＝3+，∠CGB＝60°，∴CB′＝CGsin∠CGB＝（3+）×＝，综上所述：CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．11．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3…①；（2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3…②；①点P的坐标为（﹣3+t，t），点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，即：[（6t﹣t2）]＝t，解得：t＝；（3）点P的坐标为（﹣3+t，t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，点E是PQ的中点，则点E[3﹣t，t+（6t﹣t2）]，将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，即点P（﹣，）即点P是AC的中点，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，则MH＝MB，则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值，∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，OM＝OC＝＝P′H，故PM+BM的最小值为．12．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；（2）∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AM＝MB＝ABsin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，∴四边形ADBM为正方形；（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作QH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．13．【解答】解：（1）连接AB，过点O作OP⊥AB交AB于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，∵点O关于AB的对称点P，∴OG＝PG，tan∠BAO＝＝，则∠BAO＝60°，则∠GOA＝∠GPA＝30°，∠GAO＝∠GAP＝∠PAH＝60°，则GA＝OA＝1，∵∠GAP＝∠PAH，∴AH＝AG＝1，则PH＝AHtan60°＝，故点P（3，）；（2）将点A，B，P的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+2；（3）连接PB，由题意得：AB＝4，AP＝AO＝2，BP＝BO＝＝2，则△ABP为直角三角形，△ABO、△ABP是两个全等的，均有一个角为30°的直角三角形，即AB＝OB＝2，AB＝4，AP＝OA＝2，∠PBA＝∠BAO＝30°，∠BAO＝∠BAP＝60°，当∠BMA＝∠BMC＝∠AMC＝120°时，MA+MB+MP的值最小（证明见备注），以BP边向上作等边三角形APA′，以AP边为基础向右作等边三角形APB′，连接AA′、BB′交于点M，则点M为所求点，BP＝2，则∠A′BO＝∠OBA+∠PBA+∠PBA′＝30°+30°+60°＝120°，则直线A′B的长度为2，倾斜角为30°，则x A′＝A′Bcos30°＝3，同理y A′＝3，故点A′（3，3），由点AA′的坐标可得，直线AA′的表达式为：y＝3（x﹣2）…①；同理可得：直线BB′的表达式为：y＝x+2…②，联立①②并解得：x＝，故点M（，），故答案为：（，）．备注：已知三角形ABC，在其内部找一点P，使得PA+PB+PC为最小．如图，将三角形ABP逆时针旋转60度至三角形A'BP'，连接PP'，CA'．根据旋转变换，三角形P'BP为等边三角形，所以有PA+PB+PC＝P'A'+PP'+PC．利用两点之间线段最短，当点P，P'在直线CA'上时，所求为最短，于是，转化为下图：则∠BPC＝180°﹣∠BPP′＝180°﹣60°＝120°，∠BPA＝∠BP′A′＝180°﹣∠BP′P＝120°，故∠APC＝120°，故满足P的点，必须使∠APB＝∠BPC＝∠APB＝120°．14．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x，故：答案为：1，4，45°；（2）设直线BP交y轴于点H，∵∠HOB＝∠AOB＝45°，∠PBO＝∠OBA，BO＝BO，∴△HOB≌△AOB（AAS），∴OA＝OH＝4，即点H（0，4），则直线PB的表达式为：y＝kx+4，将点B坐标代入上式并解得：直线PB的表达式为：y＝x+4，将上式与二次函数表达式联立并解得：x＝5或﹣（舍去正值），则点P（﹣，）；（3）①由题意得：直线OB的表达式为：y＝x，设点C（m，m），CD＝2，直线OB的倾斜角为45度，则点D（m+2，m+2），则点F（m，m2﹣4m），点E[（m+2），（m+2）2﹣4（m+2）]，则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，∵﹣2＜0，故CF+DE有最大值，此时，m＝，则点C、F、D、E的坐标分别为（，）、（，﹣）、（，）、（，﹣），则CF＝DE＝，CF∥ED，故四边形CDEF为平行四边形；②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，。
初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题有答案解析
初三数学九上压轴题难题提高题培优题一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．6．如图1，已知抛物线的方程C：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于1点E，且点B在点C的左侧．过点M（2，2），求实数m的值；（1）若抛物线C1（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？（4）在第四象限内，抛物线C1若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P 作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AO=OB=4，∴B（4，0）．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA=2，OD=OA=2．∴A（﹣2，2）．将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴M（2，﹣），即OE=2，EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AH=2，HB=HO+OB=6，∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°，∵∠AOM=150°，∴∠OAM＜30°，∴∠OMA＜30°，∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°，∵∠AOM=150°，∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能：①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2，BH=6，∴AB=4．①当△BAC与∽△OAM时，由=得，解得BC=4．（8，0）．∴C1②当△BAC与∽△OMA时，由=得，解得BC=12．（16，0）．∴C2综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（8，0）或（16，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴抛物线的解析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，∴点D的坐标为（4，8）；∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，∴cos∠MDF=；∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°；∴劣弧EF的长为：；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；∵直线AC经过点，∴，解得；∴直线AC的解析式为：；设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为，∵S△PNA ：S△GNA=PN：GN；∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）；当m=﹣3时，=；∴此时点P的坐标为；②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）；当m=﹣12时，=；∴此时点P的坐标为；综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为．答：MO+MA的最小值为．（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），则得梯形OAPB．②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x．设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4，∴直线BP的表达式为y=2x﹣4由，解得x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去）当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P（﹣4，﹣12），则得梯形OAPB．③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，则，解得，∴AB的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直线OP的表达式为y=x．由，得 x2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P不存在．综上所述，存在两点P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12）使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，﹣4）或（﹣4，﹣12）．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），∴，解得，所以，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，∵A（0，1），B （4，3），∴OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB===5，∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，∴∠OAD=∠BOC，又∵∠ADO=∠OCB=90°，∴△AOD∽△OBC，∴==，即==，解得OD=，AD=，∴BD=OB﹣OD=5﹣=，∴tan∠ABO===；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），则，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+1，设点M（a，﹣a2+a+1），N（a，a+1），则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a，∵四边形MNCB为平行四边形，∴MN=BC，∴﹣a2+4a=3，整理得，a2﹣4a+3=0，解得a1=1，a2=3，∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，∴﹣12+×1+1=，∴点M的坐标为（1，）．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2，解得：m=4，经检验：m=4是分式方程的解．∴m的值为4．（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m，∴B（﹣2，0），C（m，0）．由（1）得：m=4，∴C（4，0）．将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2，∴E（0，2）．∴BC=6，OE=2．∴S△BCE=BC•OE=×6×2=6．（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x轴的交点为P．∵x=﹣，∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点B与点C关于x=1对称，∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小．∵HP∥OE，∴△PHC∽△EOC．∴，即．解得HP=．∴点H的坐标为（1，）．（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．∵BF∥EC，∴∠BCE=∠FBC．∴当，即BC2=CE•BF时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为（x，﹣（x+2）（x﹣m）），由，得．解得x=m+2．∴F′（m+2，0）．∵∠BCE=∠FBC．∴，得，解得：．又∵BC2=CE•BF，∴，整理得：0=16．此方程无解．②如图3，作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，∵OE=OB，∠EOB=90°，∴∠EBO=45°．∵∵∠CBF=45°，∴∠EBC=∠CBF，∴当，即BC2=BE•BF时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得（x+2）（x﹣m）=x+2，解得x=2m．∴F′（2m，0）．∴BF′=2m+2，∴BF=2m+2．由BC2=BE•BF，得（m+2）2=2×（2m+2）．解得．∵m＞0，∴m=2+2．综上所述，点m的值为2+2．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解得：x=1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．则S四边形PCOB =S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b，∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，解得b=＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2，∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，∴=，即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB，∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P 作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【解答】解：（1）A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S△ACG =S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．当t=2时，S△ACG的最大值为1．（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据△APE∽△ABC，知=，即=，解得t=20﹣8；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）．综上所述，t=20﹣8或t=．。
专题23--抛物线(解答题压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
(1)若1l 过抛物线C 的焦点，且垂直于(2)若直线1l 的斜率k ∈2MN MQ =，且MNQ △【答案】(1)22y x =1(1)若B为线段AC的中点，求直线(2)若正方形DFMN的边长为实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出【答案】(1)22；λ=，理由见解析(2)存在2（1）由已知可得DN为抛物线的准线．（2）λ=，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：存在2(1)若抛物线2C的焦点正好为椭圆1C的上顶点，求(2)椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为于点Q，交抛物线2C于点M（Q，M值，并求当p取最大时直线l的斜率．(1)证明：以DE为直径的圆经过点(1)求点P的纵坐标的取值范围；(2)设D是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆PCD的面积存在最大值．【答案】(1)3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；32⎛⎫(1)当k 取不同数值时，求直线l 与抛物线公共点的个数；(2)若直线l 与抛物线相交于A 、B (3)在x 轴上是否存在这样的定点均能使得MA MB k k ⋅为定值，若有，找出满足条件的点【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)存在，()0,0M （1）420240x y x y -+-=+-=(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：1x 、0x 、2x 成等差数列，(3)若A ，F ，B 三点共线，求出动点【答案】(1)焦点坐标为()0,1F ，准线方程为(2)证明见解析(3)1y =-，4（1）(1)抛物线的标准方程为24x y =,于是焦点坐标为(1)若抛物线2C 的焦点恰为椭圆1C (2)若椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为交抛物线2C 于M ，且AM MB =，求【答案】(1)28y x =(2)p 的最大值为3540，此时直线(1)求抛物线的方程；(2)若||||AB CD =，求凹四边形OEBC 面积的最小值．【答案】(1)24y x =(2)324+①若0m ≤，2(22)S m =++②若0m >，((21)2S m ⎡=+⎢⎣综上所述，凹四边形OEBC 面积的最小值是。
九年级中考数学复习高频考点提升练《抛物线压轴题中的四边形形问题》专题练习（word版无答案）
2021年中考数学复习高频考点提升练《抛物线压轴题中的四边形问题》经典考题专题练习1.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x 轴交于点A(－1．0)，B (4．0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x 轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；CA O EFBPDlxy3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋3分别交x轴、y轴于A，B 两点，经过A，B两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的正半轴相交于点C (1，0)．(1)求抛物线的解析式;(2)若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长;(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问:抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由．4. 如图，抛物线过点A（0，1），和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD点的交点为B0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F BDEF为平行四边形．（1）求点F点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A、C、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++（0a ≠）与y 轴交于点C ，与轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且A 点坐标为(2,0)-，直线BC 的解析式为223y x =-+． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 作AD ∥BC ，交抛物线于点D ，点E 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接CE ，BE ，BD ，DC ．求四边形BECD 面积的最大值及相应点E 的坐标； （3）将抛物线22y ax bx =++（0a ≠）向左平移2个单位，已知点M 为抛物线22y ax bx =++（0a ≠）的对称轴上一动点，点N 为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD 的面积最大时，是否存在以A ,E ,M ,N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．6. 如图，直线y ＝－12x ＋2交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．（1）直接写出点点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；（3）将线段OA 绕x 轴上的动点P (m ，0)顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合图象，求m 的取值范围．7. 综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C （2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为，cos∠ABO ＝；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －6与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，OA ＝2，OB ＝4，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当△BCD 的面积是29时，求△ABD 的面积； （3）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．DA O CBl-11 -1 xy9. 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（－2,0），点C的坐标为（0,6），对称轴为直线x ＝1．点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10. 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴的交点A(－3,0)和B(1,0)，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O′B′C′，点O、B、C的对应点分别为O′、B′、C′，设平移时间为t秒，当点O′与点A重合时停止移动，记△O′B′C′与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出．．．．S与t之间的函数关系式；（3）如图2，过该抛物线上任意．．一点M（m，n）向直线l：y＝92作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME－MF＝14？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．11. 如图1，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（3，-1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD.（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；图1 图212.如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．13.如图，抛物线y＝ax2﹣2√3x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B 是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．14.如图(1)所示，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． (1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积．(3)设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．15. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1,0），点B （3,0），与y 轴交于点C （0,3），顶点为点D ． （1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且ACE CEB S S △△∶＝3∶5，求直线CE 的解析式；（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；16.如图，已知抛物线：y1＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C.（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B/两点（B/在B的右侧），顶点D的对应点为点D/，若∠BD/B/＝90°，求点B/的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B/，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．17.如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（－2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题:（1）抛物线的解析式为_________，顶点坐标为_________．（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由:（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE 边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 与x 轴，y 轴的交点分别为C (8，0)，B (0，6)，CD =5，抛物线y =ax 2-415x +c (a ≠0)过B ，C 两点，动点M 从点D 开始以每秒5个单位长度的速度沿D -A -B -C 的方向运动，到达C 点后停止运动，动点N 从点O 以每秒4个单位长度的速度沿OC 方向运动，到达C 点后，立即返回，向CO 方向运动，到达O 点后又立即返回，依此在线段OC 上反复运动，当点M 停止时，点N 也停止运动，设运动时间为t .(1)求抛物线的解析式；(2)求点D 的坐标；(3)当点M ，N 同时开始运动时，若以点M ,D ,C 为顶点的三角形与以点B ，O ，N 为顶点的三角形相似，求t 的值；(4)过点D 与x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段BA 沿过点B 的直线翻折，点A 的对称点为A′，求A′Q +QN +DN 的最小值.。
专题16 必考抛物线有关的压轴题要多练(解析版)-备战2021年中考数学查缺补漏再训练26个微专题
专题16 必考抛物线有关的压轴题要多练 (共8道小题)1. （2020湖北黄石）在平面直角坐标系中，抛物线22y x kx k =-+-的顶点为N ． （1）若此抛物线过点()3,1A -，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y 轴交于点B ，连接AB ，C 为抛物线上一点，且位于线段AB 的上方，过C 作CD 垂直x 轴于点D ，CD 交AB 于点E ，若CE ED =，求点C 坐标；（3）已知点2M ⎛⎫-⎪⎝⎭，且无论k 取何值，抛物线都经过定点H ，当60MHN ∠=︒时，求抛物线的解析式．【答案】（1）224y x x =--+（2）C （-2,4）（3）2(4(8y x x =-++-+． 【解析】（1）把()3,1A -代入22y x kx k =-+-得-9-3k-2k=1 解得k=-2∴抛物线的解析式为224y x x =--+；（2）设C （t, 224t t --+）,则E （t, 222t t --+）,设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （-3，1），（0,4）代入得134k b b =-+⎧⎨=⎩ 解得14k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为y=x+4∵E （t, 222t t --+）在直线AB 上∴222t t --+=t+4解得t=-2（舍去正值）， ∴C （-2,4）；（3）由22y x kx k =-+-=k （x-2）-x 2, 当x-2=0即x=2时，y=-4故无论k 取何值，抛物线都经过定点H （2，-4）二次函数的顶点为N （2,224k k k -）1°如图，过H 点做HI ⊥x 轴，若2k＞2时，则k ＞4∵23M ⎛⎫-⎪⎝⎭，H （2，-4） ∴∵HI=4∴tan ∠MHI= 34=∴∠MHI=30° ∵60MHN ∠=︒ ∴∠NHI=30° 即∠GNH=30°由图可知tan ∠GNH=222244k GH k GN k -==-+解得k=4（舍）2°如图，若2k＜2，则k ＜4 同理可得∠MHI=30° ∵60MHN ∠=︒∴HN ⊥IH ，即2244k k -=-解得k=4不符合题意； 3°若2k=2，N 、H 重合，舍去． ∴∴抛物线解析式为2(4(8y x x =-++-+．2.（2020贵州黔西南）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6（a ≠0）交x 轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD ＋PE 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图（2），点M 为抛物线对称轴l 上一点，点N 为抛物线上一点，当直线AC 垂直平分△AMN 的边MN 时，求点N 的坐标．的【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(52，494)；（2）P(3，12)；（3），72)或72)【解析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；（2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论；（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），∴06 03666a ba b=-+⎧⎨=++⎩，，解得a＝－1，b＝5，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x52-)2＋494，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（52，494）．（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，∴C（0，6），∴OC＝6．∵A（6，0），∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE，∴PD＋PE＝2PE，∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，把A（6，0），C（0，6）代入得066k dd=+⎧⎨=⎩，，解得k＝－1，d＝6，∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，∴P（3，12）．（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，∴NF∥x轴．由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，当x＝52时，y＝72，∴F（52，72），∴点N的纵坐标为72．∵点N在抛物线上，∴－x2＋5x＋6＝72，解得，x1x2，∴点N72，72）．【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE ，（3）中NF ∥x 轴是解本题的关键．3.（2020甘肃威武）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =+-交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，且28OA OC OB ==，点P 是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若//PC AB ，求点P 的坐标； （3）连接AC ，求PAC ∆面积最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）2722y x x =+-；（2）（72-，2-）；（3）PAC ∆面积的最大值是8；点P 的坐标为（2-，5-）． 【解析】（1）由二次函数的性质，求出点C 的坐标，然后得到点A 、点B 的坐标，再求出解析式即可； （2）由//PC AB ，则点P 的纵坐标为2-，代入解析式，即可求出点P 的坐标； （3）先求出直线AC 的解析式，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ，则12PAC S PD OA ∆=•，设点P 为（x ，2722x x +-），则点D 为（x ，122x --），求出PD 的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P 的坐标即可．解：（1）在抛物线22y ax bx =+-中，的令0x =，则2y =-， ∴点C 的坐标为（0，2-）， ∴OC=2，∵28OA OC OB ==， ∴4OA =，12OB =， ∴点A 为（4-，0），点B 为（12，0）， 则把点A 、B 代入解析式，得16420112042a b a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得：172a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴2722y x x =+-； （2）由题意，∵//PC AB ，点C 为（0，2-）， ∴点P 的纵坐标为2-， 令2y =-，则27222x x +-=-， 解得：172x ，20x =， ∴点P 的坐标为（72-，2-）；（3）设直线AC 的解析式为y mx n =+，则把点A 、C 代入，得402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AC 的解析式为122y x =--； 过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ，如图：设点P 为（x ，2722x x +-），则点D 为（x ，122x --）， ∴22172(2)422PD x x x x x =---+-=--，∵OA=4， ∴2211(4)42822APC S PD OA x x x x ∆=•=⨯--⨯=--， ∴22(2)8APC S x ∆=-++，∴当2x =-时，APC S ∆取最大值8； ∴22772(2)(2)2522x x +-=-+⨯--=-， ∴点P 的坐标为（2-，5-）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．4.（2021海南模拟）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点D 的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式．（2）在y 轴上找一点E ，使得△EAC 为等腰三角形，请直接写出点E 的坐标． （3）点P 是x 轴上动点，点Q 是抛物线上的动点，是否存在点P 、Q ，使得以点P 、Q 、B 、D 为顶点，BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 、Q 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣）、（0，﹣3）、（0，﹣43）；（3）存在，P（﹣，0）、Q（，4）或P（﹣1﹣，0）、Q（1﹣，4）．【解析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC，设点E（0，m），则AECE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），∴E（3，0），②当AC＝CE＝|m+3|，∴m＝﹣3，∴E（0，﹣）或（0，﹣3），③当AE＝CE|m+3|，∴m＝﹣43，∴E（0，﹣43），即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣）、（0，﹣3）、（0，﹣43）；（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝或t＝1﹣∴Q（，4）或（1﹣4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴点P的横坐标为（）﹣2＝﹣1﹣2＝﹣1﹣，即P（﹣，0）、Q（，4）或P（﹣1﹣，0）、Q（1﹣，4）．【点睛】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．5．（2021福建模拟）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．【答案】见解析。
中考数学数学中考数学压轴题的专项培优练习题(含答案(1)
一、中考数学压轴题1．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728CG AG =，求点P 的坐标．2．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ）（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上，BC 与y 轴交于点D ，OA＝2，OC＝1．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．（2）若ω＝120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝23，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（23，23），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．3．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．(1)（课本习题）如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．求证：DB=DE(2)（尝试变式）如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD．求证：DB=DE．(3)（拓展延伸）如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论．4．综合与实践4A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，2，我们定义：长宽之比是2的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：()1如图1所示，矩形纸片2ABCD AD AB=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点()AB=求CF的B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,长，()2如图2，在()1的基础上，连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ，连接,BE 判断四边形BFDE 的形状，并说明理由．探究发现：()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．5．已知：如图，二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90︒，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ∆的面积最大时点D 的坐标；在DEB ∆的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．（2）在DEB ∆的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．8．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．9．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEP S =，求sin APB ∠的最大值．10．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.11．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点．（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(1,3),(1,3)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围．12．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式；（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．13．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ， 所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．15．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．16．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度17．在菱形ABCD 中，P 为直线DA 上的点，Q 为直线CD 上的点，分别连接PC ，PQ ，且PC PQ =．（1）若60B ∠=︒，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图①，易证：DQ PD AB +=（不需证明）；（2）如图②，若∠B ＝120°，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图③，猜想线段DQ ，PD 和AB 之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．18．在Rt ABC ∆中，6AB =，90B ∠=︒，8BC =，点P 从A 出发沿AC 方向在运动速度为3个单位/秒，点Q 从C 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒，P 、Q 同时出发，点Q 到点B 时两点同时停止运动．（1）点P 在线段AC 上运动，过P 作DP PQ ⊥交边AB 于D ，2t =时，求PD PQ的值； （2）运动t 秒后，90BPQ ∠=︒，求此时t 的值；（3）t =________时，AQ QP =． 19． 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x+4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝﹣x+4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1．（1）该抛物线的解析式为；（2）如图1，Q为抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与B、A重合），过Q作QP⊥x 轴，交x轴于P，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．（3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点T为线段OA 上的一动点（不与O、A重合），以点O为圆心、以OT为半径的圆弧与线段OC交于点D，以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC交于点F，连接DF．在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．20．如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．（1）求证：CM＝BN；（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；（3）在（2）的条件下，求PFBN的值．21．定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）当m＝0时①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为；②点（12，﹣98）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y ＝（x ﹣1）2+2关于点P 的相关函数y ＝﹣（x +3）2﹣2，则m ＝ ； （3）当m ﹣1≤x ≤m +2时，函数y ＝x 2﹣mx ﹣12m 2关于点P （m ，0）的相关函数的最大值为6，求m 的值．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线212y ax bx =++过D ，C ，E 三点．（1）当//DE AB 时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．点E 的坐标． 23．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB ∥EF ，请直接写出∠BAD ，∠ADE ，∠DEF 之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD ，ED 分别平分∠BAC ，∠CEF 时，∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB ∥EF ，当∠ACD=90°时，∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．24．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B'处．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM＋AN＞2BD．25．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），2，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．（1）求点B 的坐标；（2）设点P 的运动时间为点t 秒，△BDP 的面积为S，求S 与t 的函数关系式；（3）当点P 与点D 重合时，连接BP，点E 在线段AB 上，连接PE，当∠BPE=2∠OBP 时，求点E 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．C解析：（1）21322y x x =--；（2）1m t =-；（3）933,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a （x-1）2-4a ，则C 点为（1，-4a ），再由-4a=-2即可求a 的值，进而确定函数解析式；（2）由已知分别求出点P 和点A 的坐标，可得AP 的直线解析式，求出D 点坐标则可求CD ；（3）设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F 作FN ⊥BE 于点N ，过点P 作PM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，可证明Rt △PME ≌Rt △ENF （HL ），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C 作CK ⊥CG 交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，能够进一步证明△ACK ≌△BCG （SAS ），得到∠KGB=90°；令AG=8m ，则CG=BG=6m ，过点G 作GL ⊥x 轴于点L ，在Rt △ABG 中，AG=10m=4，求出m 值，利用等积法可求G 点的坐标，再将G 点坐标代入3322t t y x --=+，求出t ，即可求出点P 坐标.【详解】解：（1）22223(23)(1)4y ax ax a a x x a x a =--=--=--，∴顶点C 的坐标为(1,4)a -，点C 的纵坐标为2-，42a ∴-=-，12a ∴=，21322y x x ∴=--；（2）点P 的横坐标为t ，213(,)22P t t t ∴--，21322y x x =--与x 轴的交点为(1,0)A -，(3,0)B ，∴设AP 的直线解析式为y kx b =+，则有201322k b kt b t t -+=⎧⎪⎨+=--⎪⎩，解得3232t k t b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，3322t t y x --∴=+，//CD y 轴交AP 于点D ，(1,3)D t ∴-，321CD t t ∴=-+=-，1m t ∴=-；（3）如图：设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，CD 垂直平分AB ，ED AD =，//DH BE ∴，12DH BE =，BE x ∴⊥轴，2(3)26BE t t ∴=-=-，过点F 作FN BE ⊥于点N ，过点P 作PM BE ⊥交BE 的延长线于点M ，EF BF =，132EN BN BE t PM ∴===-=， EP FE =，Rt PME Rt ENF(HL)∴∆≅∆，MPE FEN ∴∠=∠，90FEN MEP MPE MEP ∴∠+∠=∠+∠=︒，90PEF ∴∠=︒，45EPF EFP ∴∠=∠=︒，过点C 作CK CG ⊥交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，90KCG ∴∠=︒，45K KGC ∴∠=∠=︒，CK CG ∴=，90AHC BHC ∠=∠=︒，2AH BH CH ===，45CAH ACH HBC HCB ∴∠=∠=∠=∠=︒，90ACB ∴∠=︒，AC CB =，90KCA ACG GCB ∴∠=︒-∠=∠，()ACK BCG SAS ∴∆≅∆，45BGC K AGC ∴∠=∠=∠=︒，AKBG =，90KGB ∴∠=︒，令8AG m =，则CG =，CK CG =，90KCG ∠=︒，14KG m ∴=，6BG AK KG AG m ∴==-=，过点G 作GL x ⊥轴于点L ，在Rt ABG ∆中，104AB m ===，25m ∴=， 165AG ∴=， 11861022ABG S m m m GL ∆=⨯⨯=⨯⨯， 4825GL ∴=，AL ∴=3925OL AL AO ∴=-=，39(25G ∴，48)25， AG 的解析式为3322t t y x --=+， ∴483393252252t t --=⨯+， 92t ∴=， 9(2P ∴，33)8．【点睛】本题考查二次函数的综合题．熟练掌握二次函数的图象及性质，通过辅助线构造三角形全等，逐步求出G 点的坐标从而求出t 的值是解题的关键．2．B 解析：（1）①（2，0），（12），（﹣12y 2x ；③y ＝﹣2x 2； （2）①半径为2，M 43232＜r ＜4 【解析】【分析】（1）①如图2−1中，作BE ∥OD 交OA 于E ，CF ∥OD 交x 轴于F ．求出OE 、OF 、CF 、OD 、BE 即可解决问题；②如图2−2中，作BE ∥OD 交OA 于E ，作PM ∥OD 交OA 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；③如图3−3中，作QM ∥OA 交OD 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）①如图3中，作MF ⊥OA 于F ，作MN ∥y 轴交OA 于N ．解直角三角形即可解决问题；②如图4中，连接OM ，作MK ∥x 轴交y 轴于K ，作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F ．求出FN ＝NE ＝1时，⊙M 的半径即可解决问题；【详解】解：（1）①如图2﹣1中，作BE ∥OD 交OA 于E ，CF ∥OD 交x 轴于F ．由题意OC ＝CD ＝1，OA ＝BC ＝2，∴BD ＝OE ＝1，OD ＝CF ＝BE＝2， ∴A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)，故答案为：A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)．②如图2﹣2中，作BE ∥OD 交OA 于E ，作PM ∥OD 交OA 于M ．∵OD ∥BE ，OD ∥PM ，∴BE ∥PM ，∴BE OE PM OM=， ∴21y x=， ∴y ＝2x ．故答案为：y ＝2x ．③如图2﹣3中，作QM ∥OA 交OD 于M ．222MQ DM OA DOx ∴=∴=∴222y x=-+故答案为：y＝﹣22x+2．（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．∵ω＝120°，OM⊥y轴，∴∠MOA＝30°，∵MF⊥OA，OA＝23，∴OF＝FA＝3，∴FM＝1，OM＝2FM＝2，∴圆M的半径为2∵MN∥y轴，∴MN⊥OM，∴MN＝233，ON＝2MN＝433，∴M4323,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．∵MK∥x轴，ω＝120°，∴∠MKO＝60°，∵MK＝OK＝3∴△MKO是等边三角形，∴MN＝3，当FN＝1时，MF＝3﹣1=2，当EN＝1时，ME＝3+1=4，观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为2＜r＜4．故答案为：2＜r＜4．【点睛】本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．3．D解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE成立，证明见详解【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE，则∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE；（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，证明△BDC≌△EDG，根据全等三角形的性质证明结论；（3）过点D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB=DE．【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠BCA=60°，∵点D为线段AC的中点，∴BD平分∠ABC，AD=CD，∴∠CBD=30°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED，又∵∠CDE+∠CED=∠BCD，∴2∠CED=60°，∴∠CED=30°=∠CBD，∴DB=DE；（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，如图，∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°，∴△DGC为等边三角形，∴DG=GC=CD，∴BC-GC=AC-CD，即AD=BG，∴BG=CE ， ∴BC=GE ，在△BDC 和△EDG 中，60DC DG BCD EGD BC EG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△BDC ≌△EDG （SAS ） ∴BD=DE ； （3）DB=DE 成立，理由如下：过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，∴∠CDF=∠A ，∠CFD=∠ABC ， ∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB ， ∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF ， ∴△CDF 为等边三角形 ∴CD=DF=CF ， 又AD=CE ， ∴AD-CD=CE-CF ， ∴BC=AC=EF ，∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°， ∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°， ∴∠BCD=∠DFE ，且BC=EF ，CD=DF ， ∴△BCD ≌△EFD （SAS ） ∴DB=DE ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 4．(1) CF 2；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析 【解析】（1）1AB =，则AD =ABCD 是矩形，得到1,CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =，则FB FD x ==，在Rt DCF △中，222+=CD CF DF ，可得)2221x x +=即可求解．（2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得BOF DOE ≅，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边形，根据90DOE DAB ∠=∠=︒，得到DOEDAB ，再根据AD =，可得2OE AB OD AD ===，进而得到OE =，EF BD =，同理可得，MN AC =，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形ENFM 是矩形，90EMF ∠=，MF ODtan FEM ME OE∠===MF =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"． 【详解】解：()11,AB =则AD AB ==四边形ABCD 是矩形1,CD AB BC AD ∴==-=由折叠得FB FD =设CFx =，则FB FD x == 在Rt DCF △中，222+=CD CF DF)2221x x +=x =答：CF 长为4()2四边形BFDE 是菱形.理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BDOB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=在矩形ABCD 中，//,AD BCOBF ODE ∴∠=∠在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,BOF DOE ∴≅OE OF ∴= OB OD =∴四边形BFDE 是平行四边形EF BD ⊥平行四边形BFDE 是菱形.()3纸片ENFM 是“标准纸”理由如下：由()2可知，,OE OF =同理可知，,OM ON =∴四边形ENFM 是平行四边形90DOE DAB ∠=∠=︒DOE DAB ∴2AD =222OE AB OD AD ∴===22OE OD ∴=2EF BD ∴=同理可得，2MN AC =四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=， EF MN ∴=∴四边形ENFM 是矩形.90EMF ∴∠=.MF ODtan FEM ME OE∴∠===MF ∴=.∴纸片ENFM 是“标准纸".【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．5．D解析：（1）D 点坐标为()2,3，矩形MONC 的最小值为645；（2）交点坐标为（），（3），（1），（）． 【解析】 【分析】（1）当△DEB 的面积最大时，直线DN 与抛物线相切，可求出直线DN 的解析式和点D 的坐标，当矩形面积最小时，MG 最小，求出MG 的最小值即可．（2）分两种情况讨论，以DB 为边和以DB 为对角线，分别求出此时ON 的解析式，联立求出交点坐标即可． 【详解】解：（1）如图1所示，过点D 作y 轴的平行线交MB 于点H ，过点O 作OQ 垂直MB 于点Q ，令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，∴E（0，2），设直线BE的解析式为y＝kx+b，则2, 40,bk b=⎧⎨+=⎩解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BE的解析式为y＝﹣12x+2，∵DN∥BE，∴设直线DN的解析式为y＝﹣12x+b1，S△DEB＝DH12⨯•（x B﹣x E），∴当△DEB面积最大时，即是DH最大的时候，∴﹣12x+b1＝﹣12x2+32x+2，△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，解得b1＝4，点D（2，3），S矩＝2S△MOG+S平形四边形，∴矩形面积最小时就是MG最小，设QG＝m，MQ＝n，∴MG＝m+n，∵m+n≥mn∵△QOG∽△MQO，∴OQ2＝m•n，∵△OEQ ∽△EOB ，∴OQ ∴m •n ＝165，∴m +n ．∴MG ＝5， ∴S 矩＝2S △MOG +S 平形四边形＝645． （2）分两种情况讨论，情况一：当GN ∥DB 时， 直线DB 的解析式为：y ＝﹣32x +6， 则直线NG 的解析式为y ＝﹣32x ， ∴﹣32x ＝﹣12x 2+32x +2，解得x 1＝x 2＝3∴交点坐标为（），（3）， 情况二：DB 为对角线时，此时NG 必过DB 的中点（3，32）， 设直线ON 的解析式为y ＝k 1x ， 则k 1＝12， ∴直线OD 的解析式为y ＝12x ， 12＝﹣12x 2+32x +2，解得x 1＝1x 2＝∴交点坐标为（1），（），综上所述：交点坐标为（），（3），（1﹣12），（12）．【点睛】此题考查了二次函数的性质以及二次函数与几何相结合的问题，转化矩形面积最小和三角形面积最大为某条线段的最值为解题关键．6．A解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤. 【解析】 【分析】（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确定“倍增点”横坐标的范围；（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可． 【详解】（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，32DC ==⨯ ∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；()1,1E -到线段BC 的距离为1，3EC ==>,∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；()0,2F 到线段BC 的距离为2，32FC ==<⨯ ∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点； （2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ， 当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤解方程222(2)8m m +-+=，得11m =21m =当点在O 内部时，43(4+≥解得：m≥0或m≤-2∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为12m ≤≤-或01m ≤≤（3）如图所示，当点G(1,0)为T "倍增点"时， T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值， 当点H(0,1)为T “倍增点”时， 则T(63-,0)，此时T 的横坐标为最小值；∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．【点睛】在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不等关系式，即可列不等式组求解范围．7．C解析：（1）①3，3，32CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3．【解析】 【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可． （2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可． 【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(0，∴OD=1，OE =∴OEtan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，•602OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•60CD cos =︒= 当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，2CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ， 故点O 与线段DE 满足限距关系． 故答案为O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点， 此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴1+b ≥2（1-b ）， 解得13b ≥， ∴b 的取值范围为131b ≤＜． 当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系， 当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点， 此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为121b -，最大距离为b+1， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭， 而11212b b ⎛⎫+≥-⎪⎝⎭总成立， ∴b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b ≥． （3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r的取值范围为0＜r≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．8．C解析：（1）C；（2）﹣12≤x k22﹣1≤x k≤2；（3）m≤3﹣10或10【解析】【分析】（1）由题意可知当Q与A重合时，点C在以AP为直径的圆上，所以可以成为点P与线段AB的共圆点的是C；（2）根据题意由两点的距离公式可得2，分别画以AP和BP为直径的圆交x轴于4个点：K1、K2、K3、K4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；（3）由题意先根据直线y=12x+3，当x=0和y=0计算与x轴和y轴的交点坐标，分两种情况：M在A的左侧和右侧，先计算圆E与直线y=12x+3相切时m的值，从而根据图形可得结论．【详解】解：（1）如图1，可以成为点P与线段AB的共圆点的是C，故答案为：C；（2）∵P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．∴AP＝BP＝22(20)(11)--+--＝22，如图2，分别以PA、PB为直径作圆，交x轴于点K1、K2、K3、K4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE2，∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣12，0），k2（120），k32﹣1，0），k4（2，0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣12≤x k≤122﹣1≤x k2；（3）分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，y ＝12x+3＝0，x ＝﹣6， ∴ON ＝3，OH ＝6， ∵tan ∠EHF ＝ON EF OH FH =＝36＝12， 设EF ＝a ，则FH ＝2a ，EH ＝5a ， ∴OE ＝6﹣5a ，Rt △OEP 中，OP ＝1，EP ＝a ， 由勾股定理得：EP 2＝OP 2+OE 2， ∴2221(65)a a =+-， 解得：a ＝3522+（舍去）或3522-， ∴QG ＝2OE ＝2（6﹣5a ）＝﹣3+210， ∴m≤3﹣210；②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，同理得QG ＝10，∴m≥3+210，综上，m的取值范围是m≤3﹣210或m≥3+210．【点睛】本题属于圆和一次函数综合题，考查一次函数的应用，新定义：M为点P与线段AB的共圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题.9．B解析：（1）∠BPC＜∠BAC；（2）点P坐标为（22，0）；（3）sin∠APB的最大值为1．【解析】【分析】（1）如图，设PB与⊙O交于点D，连接CD，根据圆周角定理可得∠BDC=∠BAC，根据三角形外角性质可得∠BDC＞∠BPC，进而可得答案；（2）如图，作过A、B两点的⊙C，与x轴相切于点P，连接AC、BC、PC，可知x轴正半轴上的点除P点外都在⊙C外，由（1）可得∠APB的度数最大，根据锐角的度数越大，余弦值越小可得点P即为所求，由AC=BC可得点C在AB的垂直平分线上，由A、B坐标可得点C纵坐标为3，根据切线的性质可得PC⊥x轴，可得PC=BC=3，设P（x，0），则P （x，3），根据两点间距离公式列方程求出x的值，即可得答案；（3）如图，过点B作BH⊥CD于H，过点A作AM⊥DE于M，延长AM至N，使MN= AM，过N作DE的平行线l，作FG⊥l于G，交DE于Q，以AB为直径作⊙F，交直线l于C 可得BH的长，可得AD的长，可求出P，由AB、CD的长可求出CH点长，根据tan2△ADE点面积，根据S△DEP=9可得△ADE与△DEP对应高的比为2：1，可得点P在直线l 上，根据等腰直角三角形点性质可求出FG的长，可得FG＜AB，可知⊙F与直线l有两个交点，根据圆周角定理可得∠APB=90°，可得∠APB正弦的最大值．【详解】（1）如图，设PB与⊙O交于点D，连接CD，∵∠BAC和∠BDC是BC所对的圆周角，∴∠BAC=∠BDC，∵∠BDC是△PDC的外角，∴∠BDC＞∠BPC，∴∠BPC＜∠BAC．。
中考数学 抛物线-压轴题
1 / 5数学中考题精选----------抛物线1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ， △AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 直接写出相应的点Q 的坐标．2、已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （0，4），且抛物线的对称轴为直线x ＝2． （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为B ，在抛物线上是否存在点C ，使得A 、B 、O 、C 点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C （3）试问在抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 又与对称轴相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出对称轴被⊙P 的弦EF 的长度；若不存在，请说明理由．3、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由． ．4、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴2 / 5上，OA ＝OD ＝2，OC ＝OE ＝4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点，P 为线段FG 上一个动点（与F 、G 不重合），PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q ． （1）求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．5、如图，把抛物线y ＝－x 2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l 1，抛物线l 2与抛物线l 1关于y 轴对称．点A 、O 、B 分别是抛物线l 1、l 2与x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线l 1、l 2的顶点，线段CD 交y 轴于点E ．（1）分别写出抛物线l 1与l 2的解析式；（2）设P 是抛物线l 1上与D 、O 两点不重合的任意一点，Q 点是P点关于y 轴的对称点，试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由．（3）在抛物线l 1上是否存在点M ，使得S △ABM ＝S 四边形AOED ，如果存在，求出M 点的坐标；如果不存在，请说明理由．6、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （3，0），B （2，－3），C （0，－3）．（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；（2）点P 从B 点出发以每秒个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平行线交AB 于点N ，设四边形ANPQ 的面积为S ，求面积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值X 围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值． 说明理由．7、如图，二次函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴交于A （－21，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；3 / 5（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．8、如图，Rt △ABC 的顶点坐标分别为A （0，3），B （－21，23），C （1，0），∠ABC ＝90°，BC 与y 轴的交点为D ，D 点坐标为（0，33），以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′，求证：四边形AOCB ′是矩形，并判断点B ′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA 交抛物线于点E ，在线段BE 上取一点P ，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，是否存在这样的点P ，使四边形PADF 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．9、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－21x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． （1）求B 、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，在平面直角坐标系中，以点A (－3，0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于D 、M 两点（点D 在点M 的下方）．（1）求以直线x ＝－3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式； （2）若点P 是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC ＋PD 的取值X 围；（3）若点E E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F4 / 511、如图，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．12、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C (0，－2)，直线x ＝m (m ＞1)与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线x ＝m (m ＞1)上有一点P （点P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13、已知抛物线：x x y 22121+-= （1）求抛物线y 1的顶点坐标；（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式；（3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．x ＝m5 / 514如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为，高为（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？15、已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B （3，－4），直线y ＝41x 与抛物线在第一象限的交点为C ，连结OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点P 在射线．．OC ．．上运动，连结BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）如图（2），点P 在直线．．OC ．．上运动，点Q在抛物线上运动，试问点P 、Q 在运动过程中是否存在以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图（1） 图（2） 备用图。
抛物线压轴题专项练习
1、（吉林省2004）如图、已知抛物线y=x 2 –ax+a+2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D （0，8），直线DC 平行于x 轴，交抛物线于另一点C 。
动点P 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿C→D 运动，同时，点Q 以每秒1个单位长度的速度从A 出发，沿A→B运动。
连结PQ 、CB.设点P 的运动时间为t 秒 . （1）求a 的值；（2）当t 为何值时，PQ 平行于y 轴？ （3）当四边形PQBC 的面积等于14时， 求t 的值山东烟台2008如图，抛物线2123L y x x =--+：交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于M 点抛物线1L 向右平移2个单位得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C ，D 两点．（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A ，B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由．四川眉山2007六、本大题共1小题，共11分．26．如图，矩形A B C O '''是矩形O A B C （边O A 在x 轴正半轴上，边O C 在y 轴正半轴上）绕B 点逆时针旋转得到的，O '点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(13)，．（第26题图）（1）如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过O ，O '两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P ，使得P O M △为直角三角形？若存在，请求出P 点的坐标和P O M △的面积；若不存在，请说明理由； （3）求边C O ''所在直线的解析式．2006枣庄27．（13分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米.现以O 点为原点，OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系（如图所示）. （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和．．．．的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.24．（本小题12分）已知如图，矩形OABC 的长OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。
中考压轴大题--抛物线+四边形(10题) 教师版
001如图，直线y=kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求k的值和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①若以O，B，N，P为顶点的四边形OBNP是平行四边形时，求m的值．解：（1）把A（3，0）代入y=kx+2中得，0=3k+2，k=﹣，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2，∴B（0，2），把A（3，0）和B（0，2）代入抛物线y=﹣x2+bx+c中，则，解得：，二次函数的表达式为：y=﹣；（2）①设M（m，0），则P（m，﹣m+2），N（m，﹣）有两种情况：①当N在P的上方时，如图1，∴PN=y N﹣y P=（﹣）﹣（﹣m+2）=﹣+4m，由于四边形OBNP为平行四边形得PN=OB=2，∴+4m=2，解得：m=或；②当N在P的下方时，同理可得：PN=（﹣m+2）﹣（﹣）=﹣4m=2，解得：m=；综上，m=或；002如图，抛物线y＝x2－2x＋c的顶点A在直线l：y＝x－5上．(1)求抛物线的顶点A的坐标；(2)在直线l上是否存在一点P，使以点P，A，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)A(1，－4)(2)存在，易得直线BD的解析式为y＝x－3，∴直线BD与直线l平行．又点D可看作是由点B向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的，所以若四边形ABDP1是平行四边形，则点P1可看作是由点A向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的，∴P1(4，－1)；若四边形ADBP2是平行四边形，则点P2可看作是由点A向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的，∴P2(－2，－7)，故点P的坐标为(4，－1)或(－2，－7)如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y=kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直线BD解析式为y=x﹣2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m， m﹣2），则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，∴当﹣m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=﹣1或m=3，即m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；004如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5．（2）∵直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（4，0），∴0＜m＜4．∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），点E的坐标为（m，﹣m+3），∴PE=﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+．∵﹣1＜0，0＜＜4，∴当m=时，PE最长．（3）由（2）可知，点P的坐标为（，）．以PQCD为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：①以PD为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（+4﹣0， +0﹣3），即（，）；②以PC为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（+0﹣4， +3﹣0），即（﹣，）；③以CD为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（0+4﹣，3+0﹣），即（，﹣）．综上所述：在（2）的情况下，存在以PQCD为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（，）、（﹣，）或（，﹣）．005如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．解：（1）由已知，B点横坐标为3∵A、B在y=x+1上∴A（﹣1，0），B（3，4）把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得解得∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）①过点P作PE⊥x轴于点E∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）∴EQ=4﹣3t，PE=t∵∠PQE+∠NQC=90°∠PQE+∠EPQ=90°∴∠EPQ=∠NQC∴△PQE∽△QNC∴∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2∵PQ2=PE2+EQ2∴S=2（）2=20t2﹣48t+32当t=时，S最小=20×（）2﹣48×+32=②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t∴N点坐标为（3，8﹣6t）由矩形对角线互相平分∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）当M在抛物线上时8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得t=当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2当N在抛物线上时，8﹣6t=4∴t=综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．006如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交A（-1，0），B两点，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．（2）设点M的坐标为（m，0），点N的坐标为（1，n）．分三种情况考虑：①当四边形CBMN为平行四边形时，有1-0=m-3，解得：m=4，∴此时点M的坐标为（4，0）；②当四边形CMNB为平行四边形时，有m-1=0-3，解得：m=-2，∴此时点M的坐标为（-2，0）；③当四边形CMBN为平行四边形时，有0-1=m-3，解得：m=2，∴此时点M的坐标为（2，0）．综上所述：存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（4，0）或（-2，0）或（2，0）．007如图，二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．（1）写出线段AC，BC的长度：AC=，BC=；（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACP H为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．解：（1）二次函数y=﹣x2+x+2，当x=0时，y=2，∴C（0，2），∴OC=2，当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，由勾股定理得：AC==，BC==2；故答案为：，2；（2）不存在，如图2，∵AC2+BC2==25=AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH=AC=，（10分）∴S=BC•PH=×2×=5，∵而S=﹣x2﹣4x=﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴===S≤；∴的最大值是．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）x2+bx+ 008如图，直线y=x−4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=13c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 由 C 向 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 由 B 向 C 运动， P 、 Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C 点时， P 、 Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 D ，使 P 、 Q 运动过程中的某一时刻，以 C 、 D 、 P 、 Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，说明理由．（1）解：直线解析式 y =x −4 ，令 x =0 ，得 y =−4 ；令 y =0 ，得 x =4 ．∴ A(4, 0) 、 B(0, −4) ．∵点 A 、 B 在抛物线 y =13x 2+bx +c 上，∴ {163+4b +c =0c =−4 ，解得 {b =−13c =−4，∴抛物线解析式为： y =13x 2−13x −4 ．令 y =13x 2−13x −4=0 ，解得： x =−3 或 x =4 ，∴ C(−3, 0) ．（2）解：设 ∠BCO =θ ，则 tanθ=43 ， sinθ=45 ， cosθ=35 ．假设存在满足条件的点 D ，设菱形的对角线交于点 E ，设运动时间为 t ．①若以 CQ 为菱形对角线，如答图 3−1 ．此时 BQ =t ，菱形边长 =t ．∴ CE =12CQ =12(5−t) ．在 Rt △PCE 中， cosθ=CE CP =12(5−t)t =35 ， 解得 t =2511 ．∴ CQ =5−t =3011 ．过点 Q 作 QF ⊥x 轴于点 F ， 则 QF =CQ ⋅sinθ=2411 ， CF =CQ ⋅cosθ=1811 ，∴ OF =3−CF =1511 ．∴ Q(−1511, −2411) ．∵点 D 1 与点 Q 横坐标相差 t 个单位，∴ D 1(−4011, −2411) ；②若以 PQ 为菱形对角线，如答图 3−2 ．此时 BQ =t ，菱形边长 =t ．∵BQ=CQ=t，∴t=52，点Q为BC中点，∴Q(−32, −2)．∵点D2与点Q横坐标相差t个单位，∴D2(1, −2)；③若以CP 为菱形对角线，如答图3−3．此时BQ=t，菱形边长=5−t．在Rt△CEQ中，cosθ=CECQ =12t5−t=35，解得t=3011．∴OE=3−CE=3−12t=1811，D3E=QE=CQ⋅sinθ=(5−3011)×45=2011．∴D3(−1811, 2011)．综上所述，存在满足条件的点D，点D坐标为：(−4011, −2411)或(1, −2)或(−1811, 2011)．009如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，∴4=3+m．∴m=1；设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2，∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，∴4=a（3﹣1）2，∴a=1．∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2，即y=x2﹣2x+1；（3）存在．要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．∵点D在直线y=x+1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0．解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）．∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．010如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把交点坐标为（﹣1，0），（3，0）代入二次函数的表达式：解得：a=1，b=﹣2，故：二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）当AB是为平行四边形的边长时，如下二图所示，M1、M2为所求点，∵四边形ANM1B为平行四边形，∴△ANH≌△BM1G，则M1的横坐标为：﹣2，代入二次函数表达式，解得：M1坐标为（﹣2，5）；∵四边形ANM2B为平行四边形，∴△ABG≌△NHM2，则M2的横坐标为：4，代入二次函数表达式，解得：M2坐标为（4，5）；当AB时平行四边形的对角线时，下图所示，M3与点C重合，故M3（0，﹣3）；故M点的坐标为：（0，﹣3）、（4，5）、（﹣2，5）．。