【试题及答案】清北学堂2014年暑假物理竞赛模拟试题五

www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第2页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
三、 一个半径为 R 的圆环直立地固定在地面的 P 点， AP 是垂直于环平面的直线，
AP
3 R 。一根匀质细杆的一端用铰链接于 A 点，杆身搁在圆环的 B 点上，过 B 2
点的半径 OB 与 OP 夹角 θ=60° ，如图所示，为使杆能静平衡在此位置。试求杆与 圆环之间的最小静摩擦系数。
，现今月球绕地球周期
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第1页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
二、质量为 ，半径为 的匀质圆柱体 放在水平面上。质量为 的质点 放在柱 表面的顶端。所有的接触都是光滑的，初始时系统静止，质点在小扰动下自圆柱 面最高点下滑。如图所示。 （1）求质点未脱离圆柱面时的运动轨迹； （2）若 ，求质点脱离柱体时的位置 （利用计数器给出数值解）
式 16
联立式 15 和 16，可得： 代入 , , 得：
最后得地球自转周期： ( )“太阳月”是指在太阳系中看月球绕地球的周期，并用现在月球绕地球一个 月的 27.25 天中的天作为单位写出。即：
此时，月球在
处，联立式 15 和式 16，代入
，消去
解得： 所以在一个太阳月中的天数为：
www.qbxt.cn
轨道角动量： 为式 3 联立式 2 与式 3 得圆轨道半径（现在地-月间距） 式4
式5 代入数据：
代入数据可以算出：
式6
（2）设现在地球自转角速度为
，月球圆周运动角速度为
， （其中 为现在地-月间距离） 。 再设同步条件成立时，地球自转角速度和月球圆轨道角速度均为 ，则系统角动
www.qbxt.cn
的四个根的位置分布， 有三个根，
北京清北学堂教育科技有限公司
有一个根， 这个
第 10 页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
的根就是所需的轨道半径，考虑到现今地球自转角速度 轨道角速度
，大于月球绕地球圆 逐渐减少，
，以及地月系统角动量守恒，在潮汐力作用下，
而月球绕地球圆轨道角动量将增加，因此由式 4 知： 将比 增大，即 才是合理的物理解。 的值。 式 12 再求 ，代入 ，求出 式 13 月球运动周期： 式 14
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第7页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
八、 两个光学元件共轴放置， 位置固定。 每个元件都可能是薄透镜或平面反射镜。 一小物体垂直于光轴。已知当小物位于两元件之间的任意位置时，由这光学系统 成的像是有限多个，且两个最后的像大小相等，请对各种可能作分析，论证什么 样的光学系统能满足上述要求，什么样的不能满足要求。
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
清北学堂 2014 暑假物理竞赛模拟练习题（五） 命题人：程稼夫教授
一、考虑地球-月亮系统，地球绕极轴自转，由于潮汐而变慢，引起了月球轨道 半径的增大，如果地球自转周期变为等于月球绕地球转动的周期，那么它们的运 动同步，潮汐摩擦消失（设月球自转不计） 。 （1）现在地球自转角加速度等于 ,求月球轨道半径的变化率；
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第4页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
五、如图所示，立方体框架 ABCDEFGH，它的 12 条边为电导率相同的均匀导线， 每边电阻均为 R.现在 A、G 间接上一直流电源。忽略所有接触电阻。 试求： （1）该电源的外电阻是多少？（2）若电源在 G 点的接线沿一条边做微小 移动，问这一电阻是增大还是减少？
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第5页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
六、如图所示，一光滑水平绝缘桌面上固定一半径为 R 的绝缘介质圆环。在圆环 所围的区域内有垂直于桌面的匀强磁场，磁场感应强度大小为 B.一个质量为 m, 带电量为 q,速度为 v 的粒子从环上小孔 A 处对着环心 O 射入磁场区域。已知带 电粒子在桌面上运动，与环碰撞时带电量不变，粒子与环碰撞是弹性碰撞。若该 带电粒子与换顺次碰撞后不再超越小孔 A 点，并直接从小孔 A 处射出，求，带电 粒子在磁场中运动的时间以及相应的入射粒子的速度大小。
（2）质点运动中受到圆柱体回力为 ，写出质点在未脱离圆柱时的动力学方程： 式7 式8 圆柱的平动方程：方程： 由式 3、4、5 可知： 式 10 式 11 式 12 式 13 考虑到质点脱离时， ，由式,7, 12 解和 8、13 分别得： 式9
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第 13 页
利用计算器，再用逼近法找出
（3） （ ）设当月球在
处，地球自转周期
，月球圆运动周期为
，本题要求的是 。
写出地-月系统角动量守恒方程为：
式 15 其中 采用第二小题中得到的结果：
再利用式 4：
北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页
www.qbxt.cn
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
n N sinr n y cos r n z , N N n N
其中 r 待定。
③
n f ：它既垂直于杆 n i (这是把摩擦力沿杆分为可以不给考虑的结果)，又垂直
n N， n f 三者相互垂直，有人认为，因为 A 处为固定铰链，杆沿 于 n N ，所以 ni，
杆方向不可能有运动趋势，摩擦力 f 不可能有沿杆方向分量。这种观点是错 误的，这是因为在 B 处存在杆方向的相对运动趋势。
'


n sin n x cos n y
n × n i 为杆与过 A 点竖直向上轴线组成平
面的法向。
'
'
n N ：在 B 点处环对杆支持力的单位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量，
它既垂直于 B 点处环的弧长，(它在过半径 OB，即过 y 轴，并垂直于环平面的一个平 面内， 此面必过 z 轴)， 还垂直于杆(过 B 点)， 由图(c),可写出
ni， n N， n f， n ，其方向分别沿杆、 N 、 f 方向和
沿 PO 方向，如图(b)所示，设 PBA 则
cos PB AB R 3 R 2 ( )2 2 2 3 ,sin 13 13
'
① (3) 分析 ni， n N， n f， n 的方向，并用 n x , n y , n z 写出 ni， n N， n f， n 的表达式。
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
式 14
式 15 联立 14、15 得： 式 16 式 17 由式 3，有： 时， =0 利用系统机械能守恒： 式 19 将 10、11、18 代入 19，整理可得： 式 20 当 时，方程 20 变为： 式 21 这里利用牛顿法求解（也可以用逼近法） ，设 式 18
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第8页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
参考答案
一、 （1）由于地球-月球系统角动量守恒，地球自转角动量单位时间减小值，在 不计月球自转的条件下，一定等于系统单位时间轨道角动量的增加值，所以： 式1 地球-月球系统作为二体孤立系统，利用圆轨道近似，有： , 为折合质量， 式2
北京清北学堂教育科技有限公司
第9页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
量守恒， 即 式7
令
方程 7 改写为： 联立方程组 4 与式 8 可知：
式8
式9 联立式 8 和 9，由式 8 平方可得 代入式 9 可得： 式 10 令 式 11 可知：
画出 其中：
www.qbxt.cn
曲线可以确定 (即
令
，取
„
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第 14 页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
所以取 即 时，质点脱离圆柱。
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第 15 页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
三、 (1) 作用在杆上的作用力有：杆的重力、A 点处铰链的约束力、 B 点处圆环的支持 力 N 和摩擦力 f。 杆的平衡条件是这些力的合力为零， 以及力矩代数和为零，我们的目的是 求图(a)所示位形达平衡时，杆与环之 间的最小摩擦系数。 对于通过 A 点竖直轴，铰链的约束力(未知，也不是欲求的物理量)力矩和重 力矩均为零，要使力矩之和为零，通过同一点 B 的支持力 N 和摩擦力 f 的合 力必须位于通过杆的竖直平面内(即此面内杆与过 A 点的竖直线构成)，而且 只需考察合力的垂直于杆的分力而不必考察沿杆的分量(即考虑了 N f 在 杆方向分力，或不考虑此分力，会有相同的结论)。 设图示位置时正好已达到临界平衡状态，有 f min N (2) 建立坐标：B 为坐标原点，z 轴垂直于环平面，x，y 轴在环平面内，x 轴为过 B 点(在环平面内)环的切线，y 轴为 BO 的方向，如图(b)所示。 为了确定矢量 N 、 f 的方向以及分量 ( N x , N y , N z ) 、 ( f x , f y , f z ), 引入四个单位矢量：
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第3页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
四、一个带电量为 的点电荷，被放置在内、外半径分别为 和 r2 的导体球壳的 空腔内，离球心距离为 a 的 P 点（a< ）,如图所示。 （1）作用在点电荷 q 上的电力； （2）如果导体球壳是孤立的，不带电的，其电势多大？ （3）点电荷 q 的电势能及整个系统的电势能。
' '
n i ：沿杆方向，有 A→B 为正方向
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第 16 页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
ni (cos cos ) n x (cos sin ) n y sin n z ② 2 2
n ：沿 PO 方向，竖直向上为正方向，它与过 A 的竖直方向相同
f oz
由 ni nN 0 = sin r cos sin

2
cos r sin 求得： tan r
tan ⑤ sin( 2)
由 n N n f 0 = f oy sin r f oz cos r 求得： tan r
f oz f oy
⑥
由 ni n f 0 = f ox cos cos
北京清北学堂教育科技有限公司
第 12 页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
二、 （1）选取坐标系
，设系统质心为 ，则： 式1
系统水平方向动量守恒，有 这表示 点不动，所以在 (地面系)坐标系中 式3
式2
式4 式5 因此，质点在脱离圆柱体表面前，在(地面系)中轨迹为一个椭圆的一部分，椭圆 方程为： 式6
（2）当同步条件成立时，求月球的轨道半径和运动周期； （3）当月球在 中的天数。 应该注意到：1）因为地球有一个致密的核，它的转动惯量是均匀密度下的 倍。 2）半径为 ，质量为 的均匀球体，相对过球心对称轴的转动惯量为 3）月球和地球的质量，万有引力常量，月-地间距分别为： , , , 个地球半径处，求：1）地球的自转周期；2）在一个太阳月
www.qbxt.cn
北京清北学堂教育科技有限公司
第6页
清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
七、如右图所示，气枪有一气室 V 及直径 3mm 的球形钢弹 B，气室中空气的初始 状态为 P1=900kpa,t1=21℃，当阀门迅速打开时，气室中的气体压力使钢球飞离 枪管。若要求钢弹离开枪管时有 100m/s 的速度，问最小容积 V 及枪管长度 L 应 为多少？ 设枪管内径为 3mm，不漏气，无摩擦。击发时气室内的气体经历可逆绝热膨胀过 程。 已知空气定容比热为 Cu=0.716KJ/(kg.K),R=8.315J/(mol.k).大气压 pa=100kpa, 钢的密度为 =7770kg/m3
n f fox n x foy n y foz n z ， f f n f ④
2 2 2 f oy f oz 1， (4) 利用 ni nN 0 ，ni n f 0 ，n N n f 0 以及 f ox 求解 r，f ox ，f oy ，