任意项级数敛散性判断练习及 答案
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任意项级数敛散性判断
下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、
()
∑∞
=--1
1
11n n n
2、 ()∑∞
=--1131n n n
n
3、 ()
∑∞=+121sin n n na
4、 ()()011>-∑∞=a na n n
n
5、 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+2ln 1sin n n n π
6、 +-+-+-
332210
3
211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11
2
212
12121n n n n n 8、 ()()
[]
()01111
>-+-∑∞=-p n n p n n }
答 解：1、()
∑
∞
=--1
1
11n n n
取绝对值 ()∑
∑∞=∞
=-=-1
11
1
1n n n n
n >∞
（
2
1
=p 的p 级数）
而原级数是交错级数
且： 01lim 1
111==<+=∞
→+n
u n
n u n n
n
~
由莱布尼兹定理，原级数收敛。所以是条件收敛。
2、()∑∞
=--113
1n n n
n
13111lim 313
31lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n
绝对值级数 ()∞<-∑∞
=-113
1n n n
n
所以原级数绝对收敛
3、()
∑∞
=+12
1sin n n na
#
()()
2
211
1sin +≤+n n na
()
∑∞
=+1211n n 是p=2 的p 级数。收敛！ 所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、()
()011>-∑
∞
=a na
n n
n
()111lim lim 11<=+=+∞
→+∞→a
a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛
0 01lim lim ≠-=∞ →∞→n n n n n na u 级数发 散 （ 0ln 1 lim lim lim =-==-∞ →∞ ∞ -∞→∞→a a a n na n n n n n n \ () ) 01lim ≠∞=-∴ ∞ →n n n na a=1 时 ()∑∞=-11n n n 满足莱布尼兹定理， 原级数条件收敛 5、 ∑∞ =⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +2ln 1sin n n n π n n n n n n ln 1sin cos ln 1cos sin ln 1sin ⋅+⋅=⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+πππ ()n n n n n n ln 1sin 1ln 1sin 11-=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +∑∑∞=∞ =π 因为当x y x sin 2,0=⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛∈π 单调递增 且 ()n n n u n n u n =<+==+∞ →ln 1 sin 1ln 1sin 0ln 1 sin lim 1 （ ∞ <⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +∴∑∞ =1ln 1sin n n n π 所以原级数条件收敛 6、 +-+-+- 3322103 211032110321 b a b a +≤+ ∑∞ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-110321n n n ∑∞=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+110321n n n 设： n n n n v u 10 321 == ∞<∞ <∑∑∞ =∞ =1 1 n n n n v u ( 所以原级数绝对收敛 7、()() ()∑∞ =+-+-+112 2 12 12121n n n n n ()()12 1122232lim lim 21 221<=+⋅+=++∞ →+∞→n n u u n n n n n n 所以原级数绝对收敛 8、 ()()[]()01111 >-+-∑∞ =-p n n p n n ()()[] ∑∞=--+-11 11n p n n n ()[]()1111lim 1 11 lim =⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-+=-+∞ →∞ →p n n p p n n n n n p>1 原级数绝对收敛