离散傅里叶变换的定义
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
离散傅里叶变换(DFT)
sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8
kn 16
设变换区间N=16， 则
X (k ) x(n)W
n 0
15
e
N 0
3
j
2 kn 16
e
3 j k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
具体而言，即：
(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓 (3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列）
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
DFT 矩阵方程为:X WN x 即: 1 X (0) 1 X (1) 1 WN 1 WN 2 X (2) ＝ 1 ( N 1) X ( N 1) 1 W N 1 WN 2 WN 4 WN 2( N 1)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
一. 引言
3.1 离散傅里叶变换的定义
我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信 号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号 处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换 (DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可 以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得 以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理 中也起着核心作用。
离散傅立叶变换
则
m 0
N 1 N 1 ~ f ( n ) ~ ( m) ~ ( n m ) ~ ( m ) ~ ( n m) x y y x
记为
~ f ( n) ~ ( n) ~ ( n) y x
谢 谢！
(3)周期卷积性质 ~ ~ ~ 若 F (k ) X (k ) Y (k ) ~ 则 f ( n) ~ ( n) ~ ( n) y x
2T
t
3. 时移和频移定理
x(t ) X ( f )
x(t t0 ) e
j 2ft0
X( f )
e jx cos x j sin x jx e cos x j sin x
x(t )e
4.卷积定理
j 2f 0t
X ( f f0 )
x1 (t ) x2 (t ) X1 ( f ) X 2 ( f )
。
4、DFS 的性质： (1)线性 (2)移位 ~ ~ ~ (n) b~ (n)] aX (k ) bY (k ) DFS[ax y ~ ~ (n m)] W mk X (k ) DFS[ x
N
~ nl IDFS[ X (k l )] WN ~ (n) x (3)周期卷积 ~ ~ ~ 若 F (k ) X (k ) Y (k )
连续傅里叶变换(FT)：
连续时间,连续频率 的傅里叶变换。 傅里叶级数(FS)： 连续时间,离散频率 的傅里叶变换 序列的傅里叶变换(DTFT): 离散时间, 连续频率 的傅里叶变换. 离散傅里叶变换(DFT): 离散时间, 离散频率 的傅里叶变换
3.1.1
连续时间信号的傅立叶变换
将~的傅氏级数式两端乘以 x e 求和，则得到 x ~(n)e
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期， 即
x ( n)
m
x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m， 总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )
n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。 当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元 素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度
离散傅里叶变换 卷积定理 矩阵乘法
一、离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是信号处理中常用的一种变换方法。
它将离散时域信号转换为频域信号，可以对信号进行频谱分析和滤波处理。
离散傅里叶变换的定义如下：$f_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn}$其中，$x_n$表示输入的离散信号，$k$表示频率索引，$f_k$表示变换后的频域信号。
离散傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换算法（Fast Fourier Transform，FFT）高效地计算，是数字信号处理中的重要工具之一。
二、卷积定理卷积定理是信号处理中的重要定理之一，它描述了两个信号在频域进行卷积操作等效于它们在时域进行乘法操作。
具体来说，如果有两个信号$f(x)$和$g(x)$，它们的傅里叶变换分别为$F(\omega)$和$G(\omega)$，那么它们在时域的卷积$f(x)*g(x)$的傅里叶变换等于$F(\omega)G(\omega)$。
卷积定理在信号处理中有着广泛的应用，例如可以用于滤波器的设计和信号的频域分析等。
利用卷积定理，可以将信号的卷积操作转换为频域的乘法操作，从而简化了信号处理的复杂度。
三、矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的重要概念，它描述了两个矩阵相乘得到的新矩阵。
具体来说，如果有两个矩阵$A$和$B$，它们的大小分别为$m\times n$和$n\times p$，那么它们的矩阵乘法$C=AB$的定义如下：$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵$C$的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示矩阵$A$和$B$的元素。
矩阵乘法在计算机图形学、优化算法等领域有着广泛的应用，例如矩阵变换、神经网络的前向传播等。
通过高效的矩阵乘法算法（如Strassen算法、Coppersmith-Winograd算法等），可以加速复杂计算的进行。
离散傅里叶推导
离散傅里叶推导离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散时间域信号转换为频域信号的方法。
它在信号处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
本文将详细介绍离散傅里叶变换的推导过程。
一、离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换可以将一个离散时间序列表示为离散复频谱序列。
给定长度为N的信号序列x(n)，其中n = 0, 1, 2, ..., N-1，其离散傅里叶变换定义如下：X(k) = Σ[x(n)·e^(-j2πkn/N)]，k = 0, 1, 2, ..., N-1其中，X(k)为频谱序列，x(n)为时间序列，j为虚数单位。
二、离散傅里叶变换的推导为了推导离散傅里叶变换，我们首先需要了解指数函数的周期性。
对于任意整数k，有e^(j2πk) = 1。
因此，我们可以将指数e^(-j2πkn/N)简化为e^(-j2π\*k/N)。
接下来，我们以N为周期，将时间序列x(n)分解为N个部分。
x(n) = X(0) + X(1)·e^(j2πn/N) + X(2)·e^(j2π2n/N) + ... + X(N-1)·e^(j2π(N-1)n/N)将上述公式代入离散傅里叶变换的定义中，可得：X(k) = Σ[x(n)·e^(-j2πkn/N)]= Σ[(X(0) + X(1)·e^(j2πn/N) + X(2)·e^(j2π2n/N) + ... + X(N-1)·e^(j2π(N-1)n/N)) · e^(-j2πkn/N)]由于指数函数的周期性，我们可以将每一项中的指数函数合并起来：X(k) = X(0)·Σ[e^(-j2πkn/N)] + X(1)·Σ[(e^(j2π/N))^n] +X(2)·Σ[(e^(j4π/N))^n] + ... + X(N-1)·Σ[(e^(j2π(N-1)/N))^n]根据等比数列的求和公式，可得：X(k) = X(0)·N + X(1)·0 + X(2)·0 + ... + X(N-1)·0由于e^(-j2πkn/N)的周期为N，除非k=0，否则其和为0。
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
离散傅里叶变换
这个过程如下图所示。 16
从图中两虚线之 间的主值序列的 移位情况可以看 出，当主值序列 左移m个样本时， 从右边会同时移 进m个样本，而 且好像是刚向左 边移出的那些样 本又从右边循环 移了进来。因此 取名“循环移 位”。 显然，循环移位 不同于线性移位
17
18
19
b) 时域循环移位定理 对长度为N的有限长序列x(n)，其循环移位后序列y(n)的DFT为
2
傅里叶变换的各种形式
连续时间、离散频率的傅里叶变换 对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
连续时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的。
3
离散时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以2π为周 期的连续函数。
(1)周期延拓 (2)折叠 (3) 移位和取主值 (4)相乘 (5)相加
x2(m)————x2((m))N
x2((m))N————x2((-m))N
循环反转序列
x2((-m))N————x2((n-m))NRN(m)
x2((n-m))NRN(m) ————x1(m) x2((n-m))NRN(m)
summ{0,1,……,N-1}
考虑到DFT关系的对偶性，可以证明，长为N的两序列之积的DFT 等于它们的DFT的循环卷积除以N，即
频域循环卷积定理 26
27
3.2.4 复共轭序列的DFT
x n 是长度为N的序列x(n)的复共轭序列，X k DFT xn
则
DFT x n X N k , 0 k N 1
(3.2.11)
将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 再将式(3.2.9) 和
matlab画离散傅里叶变换dft公式
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种常用的信号处理工具，用于分析信号的频谱和频率成分。
在MATLAB中，可以使用内置函数来快速实现离散傅里叶变换，并且可以通过公式来理解其原理和实现过程。
一、离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换是将离散的时间序列信号转化为离散的频谱序列，其定义如下：给定长度为N的离散信号x(n)，其离散傅里叶变换X(k)的计算公式为：X(k) = Σ x(n) * exp(-j*2πnk/N)，n = 0, 1, ..., N-1其中，k表示频率序列的索引，取值范围为0到N-1。
exp(-j*2πnk/N)是复数指数形式的旋转因子，n表示时间序列的索引。
二、MATLAB中的离散傅里叶变换函数在MATLAB中，可以使用fft函数来快速计算离散傅里叶变换。
其函数原型为：Y = fft(X)其中，X为输入的离散信号，Y为离散傅里叶变换的结果。
如果需要计算反变换，则可以使用ifft函数。
三、MATLAB代码实现离散傅里叶变换下面是使用MATLAB实现离散傅里叶变换的示例代码：```matlab生成长度为N的离散信号N = 100;x = rand(1, N);计算离散傅里叶变换X = fft(x);绘制频谱图f = (0:N-1) * (1/N); 频率序列plot(f, abs(X));xlabel('频率');ylabel('幅度');title('离散傅里叶变换频谱图');```以上代码首先生成了长度为N的随机离散信号x，然后使用fft函数计算了其离散傅里叶变换结果X，并绘制了频谱图。
四、离散傅里叶变换的性质和应用离散傅里叶变换具有线性、周期性、卷积和相关性等性质，可以广泛应用于信号处理、通信、图像处理、音频处理等领域。
通过分析离散信号的频谱和频率成分，可以实现信号的滤波、频谱分析、频率提取等功能。
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
它是傅里叶变换在离散领域的推广和延伸，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
在理解离散傅里叶变换之前，我们先来回顾一下傅里叶变换的概念。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号表示为不同频率的正弦波或余弦波的叠加。
傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，从而实现滤波、音频处理等操作。
而离散傅里叶变换则是将傅里叶变换应用于离散信号。
离散信号是指信号在时间（或空间）上以离散的方式采样得到的信号。
在现实应用中，信号往往是以数字的形式存储和处理的，因此离散傅里叶变换成为了非常重要的工具。
离散傅里叶变换的定义如下：给定由N个实数或复数构成的序列{x(n)}，其离散傅里叶变换为:X(k) = Σ(x(n) * e^(-i2πkn/N))其中，k和n都是整数，X(k)是频谱上的一个点，对应于频率为k的分量，x(n)是原始信号上的一个点。
离散傅里叶变换的求解可以利用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法进行高效计算。
FFT算法利用了信号的周期性和对称性，通过将计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算的速度。
FFT算法的精髓在于将长度为N的DFT分解为多个长度为N/2的DFT，这样递归地进行分解，最后合并得到结果。
离散傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，可以利用离散傅里叶变换将时域上的音频信号转换为频域上的频谱图，从而实现音频的分析和处理。
在图像处理中，可以利用离散傅里叶变换将图像转换为频域表示，进而实现图像去噪、图像压缩等操作。
离散傅里叶变换还被广泛应用于通信系统中。
在数字通信中，可以利用离散傅里叶变换将时域上的数字信号转换为频域上的信号，实现信号的调制和解调。
在无线通信中，可以利用离散傅里叶变换对信号进行频谱分析，从而实现信号的解调和信号的检测。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)(2016)
N 1
kn N
k 0,1,...,N 1
x(n) --------有限长序列（长度为M)； WN=e-j2π/N----旋转因子；N-------N 1
kn (N k) DFT DFT [ x ( n )] x ( n )WN X(k) --------x(n)X 的 点 ；
N 1 n 0
*矩阵法求解循环卷积： y(0)c x(0) y(1) c x(1) y( n) x( n) h( n) y(2)c ＝ x(2) y( L 1) x( L 1) c x( L 1) x(0) x(1) x( L 2) x( L 2) x( L 1) x(0) x( L 3) x(1) h(0) h(1) x(2) x(3) h(2) x(0) h( L 1)
2kn 2. Im[ X ( k )] j x( n) sin( ) N n0
N 1 2kn 2kn Im[ X ( k )] j x ( n) sin( ) j x( n) sin( ) Im[ X ( k )] N N n0 n0 X(k)虚 部 奇 对 称 N 1
4. x(n)是长度为N的实序列,且X(k)=DFT［x(n)］,则 1)X(k)实部关于N/2偶对称,即: Re[X(k)]= Re[X(-k)]= Re[X(N-k)] X(k)虚部关于N/2奇对称,即 Im[X(k)]= -Im[X(-k)]= -Im[X(N-k)]
1)证：
N 1 N 1 2kn 2kn kn X ( k ) DFT [ x( n)] x ( n)W N x( n) cos( ) j x( n) sin( ) N N n0 n0 n0 N 1
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
离散傅里叶变换的定义
所以
x (n ) IDFT [ X (k )] x1 (n ) x2 (n ) x2 (n ) x1 (n )
即循环卷积亦满足交换律。
Shanghai Jiao Tong University
1
0 1 2 3 4 5 6 7 x2 (n ) 1
n ，m
0 1 2 3 4 5 6 7 x2 ((－ m))NRN(m) 1
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
Shanghai Jiao Tong University
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位 定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
Shanghai Jiao Tong University
其中X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。
Shanghai Jiao Tong University
证明：
Y (k ) DFT [ y ( n )]
kn x (( n m)) N RN ( n )WN n 0 kn x (( n m)) N WN n 0 N 1 N 1
n
0 1 2 3 4 5 6 7 x2 ((1 －m))NRN(m) 1
m
0 1 2 3 4 5 6 7 x2 ((2 －m))NRN(m) 1
m
0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 x(n )
m
0 1 2 3 4 5 6 7
n
图3.2.2 循环卷积过程示意图
Shanghai Jiao Tong University
2 k N
离散傅里叶变换的特点
离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种数学变换技术，用于将时域离散信号转换为频域离散信号。
它是傅里叶变换在离散时间序列上的推广和离散信号处理中最重要的工具之一。
离散傅里叶变换具有以下几个特点：1. 离散性：离散傅里叶变换适用于离散时间序列的信号处理，它将连续时间信号转换为离散频率信号。
与连续傅里叶变换不同，离散傅里叶变换对信号进行采样和离散化处理，适用于数字信号处理领域。
2. 周期性：离散傅里叶变换是一种周期性变换，其输入信号在时域上必须是周期性的。
这是因为离散傅里叶变换假设信号是周期重复的，频域上的离散频率点也是周期性重复的。
3. 线性性：离散傅里叶变换具有线性性质，即对于输入信号的线性组合，其离散傅里叶变换等于各个信号的离散傅里叶变换的线性组合。
这使得离散傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用。
4. 对称性：离散傅里叶变换具有对称性质，即输入信号的离散傅里叶变换结果的实部和虚部具有对称性。
这个性质在信号处理中常常用于简化计算和减少存储空间。
5. 傅里叶变换和逆变换：离散傅里叶变换和逆变换是互逆的，即对一个信号进行离散傅里叶变换后再进行逆变换，可以恢复原始信号。
这使得离散傅里叶变换在信号压缩、滤波和频谱分析等方面具有重要应用。
离散傅里叶变换的特点使其在数字信号处理、通信系统、图像处理、音频处理等领域得到广泛应用。
在数字信号处理中，离散傅里叶变换可以用于信号的频谱分析和滤波。
通过计算信号的离散傅里叶变换，可以将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱信息。
频谱分析可以帮助我们了解信号的频率成分和能量分布，从而对信号进行特征提取、模式识别和信号分类等任务。
同时，通过对信号的频域信息进行滤波，可以实现信号的去噪、陷波和增强等处理。
在通信系统中，离散傅里叶变换可以用于信号的调制和解调。
调制是将基带信号转换为带通信号，而解调是将带通信号转换为基带信号。
离散傅里叶变换和傅里叶变换
离散傅里叶变换和傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理和频谱分析中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解信号的频率成分，对信号进行频域分析，以及在数字信号处理中起到了非常重要的作用。
本篇文章将从简单到复杂，从浅入深地介绍离散傅里叶变换和傅里叶变换的概念和应用，帮助大家更深入地理解这两个概念。
一、离散傅里叶变换1. 概念概述离散傅里叶变换是傅里叶变换在离散域上的表示。
它将一个离散的信号转化为一组离散的频谱成分，用于分析信号的频域特性。
在许多数字信号处理的应用中，离散傅里叶变换被广泛应用，比如音频分析、图像处理等领域。
2. 计算公式离散傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$其中，$X_k$表示频谱分量，$x_n$表示输入信号的离散样本，而$e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$则是复指数函数。
3. 应用场景离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，包括语音处理、图像处理、通信系统等。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，对信号进行压缩、滤波等操作。
二、傅里叶变换1. 概念概述傅里叶变换是一种数学变换，将一个时域上的信号转化为频域上的表示。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率成分，从而更好地理解信号的频谱特性。
2. 计算公式傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \cdot e^{-j2\pi ft} dt$其中，$X(f)$表示频谱成分，$x(t)$表示输入信号，而$e^{-j2\pi ft}$则是复指数函数。
3. 应用场景傅里叶变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域都有着非常重要的应用。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，进行滤波、压缩等操作，同时也在图像处理中起到了重要作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
)
1 T
k
Xa
( j
jks )
结论: 时域离散信号的频谱是模拟信号的频谱 周期性延。
是连续的、周期的
X
离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)
第
9 页
X(t)的FT
时域离散信号 的频谱是模拟 信号的频谱周 期性延。
更重要的是， DFT有多种快 速算法(FFT)。
X(n)的DTFT
DFT的核心思想 是频域离散化
X(n)的DFT
X
第 10 页
一 DFT的定义
N 1
X (k) DFT [x(n)] x(n)WNkn, k 0,1, N 1. n0
x(n)
1 N
N 1
X
(k
)WNkn
,
n
k 0
0,1,,
N
1
WN
e
j
2
N
X~ (k )
8
第 14 页
n
0 12 345 678
k
X
第 15 页X ( z) xnz n
n0
N 1
X (k )
x(n)WNkn
n0
X
(k)
X
(z)
z
e
j
2 N
k
DFT是x(n)的Z变换在单位圆上N点等间隔采样 P69
X
第
16 页
DFT与FT的关系
X (e j ) xne jn
n
N 1
N 1
X (k)
x(n)WNkn
x(n)e
j
2 N
k
n
n0
n0
X (k) X (e j )
2 N
k
X (k)是x(n)的Fourier变 换X (e j )在
0， 2 上的N点等间隔采样。
1
N 1 X~
k
j 2 kn
eN
N k0
离散傅立叶级数逆变换
X
X~(k)
N 1 ~x
j 2 kn
ne N
~x n
1
N 1 X~
k
2
j kn
eN
n0
N k0
第
13 页
比较 ： DFT与离散Fourier级数的定义
N 1
X (k) DFT [x(n)] x(n)WNkn, k 0,1, N 1. n0
X
第 4 页
三角级数的概念可以追朔到古巴比伦人，他们用这 一思想预测天体的运动。 1753年，Bernoulli曾声称：一根弦的运动可以用标 准振荡模型的线性组合来表示。 1759年，Lagrange也曾强烈批评用三角级数来研究 弦的振动。
X
第 5 页
Jean Baptiste Joseph Fourier于1768年3月21日出 生于法国Allxerre，他的发现在他的有生之年没 有得到人们的认可。 1802年，Fourier被任命为法国一个地方的行政 长官，在次期间，他构思了他关于三角级数的 想法
X
第 2 页
教学重点和难点
教学重点： 周期序列的离散傅立叶级数正变换和反变换的形式； 离散傅立叶级数的四个基本性质； 离散傅立叶变换（DFT）的正变换和反变换表示形式。 教学难点： DFT的周期性； 循环卷积； DFT的共轭对称性； DFT的应用。
X
第 3 页
3.1 离散傅里叶变换的定义
青海民族大学物电学院
k 0
1 0
m n MN , M为整数 m n MN
X
第
12 页
DFT并不是一个新的傅里叶变换形式，它实 际上来自于DFS。只不过仅在时域、频域各取 一个周期而已。
X~(k)
N 1 ~x
n
j 2 kn
eN
离散傅立叶级数正变换
n0
~x n
X
第 7 页
1965年，库利和图基独立的发现了Fourier的快 速算法。从此，利用离散Fourier变换进行某些 运算在过去被认为是不切实际的想法变得成为 可能。 后来，人们在高斯得手稿中也找到了这一算法。
X
第 8 页
引入：
时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅 里叶变换之间的关系
X
(e jT
X
第 17 页
X (k)是x(n)的Fourier变换X (e j )在
0， 2 上的N点等间隔采样。
X
第 18 页
例：x(n) R4 n,求其8点和16点DFT.
N 8
X (k)
7
x(n)W8kn
3
j 2 kn
e8
n0
n0
j3k
e 8
第 1 页
教学目的和要求
了解傅立叶变换的几种形式（傅立叶变换、傅立叶级 数、序列的傅立叶变换、离散傅立叶变换），加深对 傅立叶变换的理解； 掌握周期序列的离散傅立叶级数正变换和反变换的表 示形式，理解周期序列和有限长序列之间的本质联系； 熟练掌握离散傅立叶级数的四个基本性质：线性、序 列的移位、调制特性和周期卷积和； 掌握离散傅立叶变换（DFT）的正变换和反变换表示形 式； 理解掌握频域抽样理论。
sin
k 2
sin
k 8
k 0 ~ 7.
N 1
X (k) DFT [x(n)] x(n)WNkn, k 0,1, N 1. n0
X
第
19 页
N 16
15
X (k) x(n)W1k6n
3
j 2 kn
e 16
n0
x(n)
1 N
N 1
X
(k
)WNkn
,
n
k 0
0,1,,
N
1
j 2
WN e N
X
求x(n)的DFS
~x (n)
1
0 12 345 678
X~(k)
7
~x
(n)e
j
2 8
kn
3
e j 2 kn 8
n0
n0
j 3k
e 8
sin k 2
sin k
X
第 6 页
当时指定了4位科学家来评审1807年Fourier的论 文，其中拉克劳克斯、G.孟济和拉谱拉斯赞成发 表Fourier的论文；拉格郎日拒绝接受Fourier的观 点。Fourier的论文没有公开发表，几经努力，最 后出现在他的“热的解析理论”一书中。 到了Fourier的晚年，他的理论已经在数学、科 学和工程等诸多领域获得了应用。
，变换区间长度，
N
M
X
第 11 页
IDFT在特定区间上是唯一的:
IDFT
X (k)
1 N
N 1 N 1 x
k 0 m0
m WNmk WNkn
N 1
x(m)
m0
1 N
N 1
WNk mn
k 0
x(n)
1
N
N 1
WNk mn