计算机图形学 第三章-2(Bezier)

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义的三次Bezier曲线P30 可被定义为分别由(P0 ，P1 ，P2)和(P1 ， P2，P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控 制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0 可被定义为 分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与 P1n-1的线性组合：
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3.1.2.1 Bezier曲线的定义和性质 曲线的定义和性质
1．定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi （i=0，1，2，…，n），则 Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是： 其 中 ， Pi 构 成 该 Bezier 曲 线 的 特 征 多 边 形 ， Bi,n(t) 是 n 次 Bernstein基函数： 0°=1, 0!=1 曲线实例如右图所示。
i=0 i=0
n
n
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（4）对称性
Bi,n (t) = Bni,n (t)
因为 B (t) = C [1(1t)] （5）递推性。 5
ni,n ni n
n(ni )
i (1t)ni = Cnt i (1t)ni = Bi,n (1t)
Bi,n (t) = (1 t)Bi,n1(t) + tBi1,n1(t)
(i = 0,1,L, n)
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和 函数线性组合而成。 B 因为， (t) = C t (1t) = (C +C )t (1t)
i,n i i n ni i n1 i1 n1 i ni i i = (1t)Cn1t i (1t)(n1)i + tCn1ti1(1t)(n1)(i1) 1
P 0
P 1
P 2
P 1
P 3
P 3
P 0 P 2
图 3.1.8 三次 Bezier曲 线
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2．Betnstein基函数的性质 （1）正性 （2）端点性质
（3）权性
∑B
i=0 n i,n
(t) ≡1 ∈(0,1) t
由二项式定理可知：
∑Bi,n (t) = ∑Cni ti (1t)ni =[(1t) +t]n ≡1
（9）积分
∫B
0 1 i,n
(t) =
1 n +1
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3．Bezier曲线的性质 （1）端点性质 a.）曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0 ； Bernstein 当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相 应的特征多边形的起点、终点重合。 b.）切矢量 P 因为， (t) = n∑P[B (t) B (t)] 所以当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)，当t=1时， P’(1)=n(Pn-Pn-1)，这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线 方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。
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当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：
P1 = (1 t)P + tP 0 0 1 P1 = (1 t)P + tP 1 1 2 P2 = (1 t)P1 + tP1 0 0 1
t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二 条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：
n 0
P 0
P 1 P 2 P 3
P1 0
P1 1 P1 2
P2 0
P2 1
P3 0
P 图3.1.11 n=3时 i n 的递推关系
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这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数 t ∈[0,1] ，就把定 义域分成长度为 t : (1t) 的两段。依次对原始控制多边形每一边执 行同样的定比分割，所得分点就是由第一级递推生成的中间顶 点 P (i = 0,1,L, n 1) , 对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定 比分割，得第二级中间顶点 P (i = 0,1,L, n 2) 。重复进行下去，直到n级 递推得到一个中间顶点 P 即为所求曲线上的点 P(t) ，如图3.1.12 P P 所示。 P
0
2 0
2
0
2
1
2 0
0 1
2
1
1 0
1 1
P P1 PP1 P1P2 0 0 = 11 = 0 0 P1P P1P P2P1 0 1 1 2 0 1
这是所谓抛物线的三切线定理。
P1 0 P2 0
P 1 P1 1
P 2
P 0
Bezier曲 上 点 线 的 图 3.1.10 抛 线 切 定 物 三 线 理
Pn = (1 t)Pn1 + tPn1 0 0 1 t ∈[0,1]
由此得到Bezier曲线的递推计算公式：
P k =0 i Pk = i k 1 k 1 i i (1t)P + tP+1 k =1,2,..., n,i = 0,1,..., n k
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数 下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。上式中：是定义Bezier
计 算 Bezier 曲 线 上 的 点 ， 可 用 Bezier 曲 线 方 程 ， 但 使 用 de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。 如图3.1.10所示，设 P、 P 、P 是一条抛物线上顺序三个不同 的点。过 P 和 P 点的两切线交于 P点,在 P 点的切线交 P P 和 P P 于P 和 P ，则如下比例成立：
= (1t)Bi,n1(t) + tBi1,n1(t)
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（6）导函数
Bi′,n (t) = n[Bi1,n1(t) Bi,n1(t)],i = 0,1, , n;
Bi,n (t) 在 t = i （7）最大值。
n
处达到最大值。
（8）升阶公式
(1t)Bi,n (t) = (1 tBi,n (t) = i +1 Bi+1,n+1(t) n +1 i i +1 Bi,n (t) = (1 )Bi,n+1(t) + Bi+1,n+1(t) n +1 n +1 i )Bi,n+1(t) n +1
i
n i=0 i i,n i i,n
0 1
n
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（6）仿射不变性 对于任意的仿射变换A：
n A([P(t)] = A∑PBi,n (t) = ∑A[P]Bi,n (t) i i i=0
即在仿射变换下，的形式不变。
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3.1.2.2 Bezier曲线的递推 曲线的递推 曲线的递推(de Casteljau)算法 算法
n1 i=0 ' i i1,n1 i,n1
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c.）二阶导矢
P(t) = n(n 1)∑(P+2 2P+1 + P)Bi,n2 (t) i i i
n2 i=0
当t=0时，P (0) = n(n 1)(P 2P + P ) 当t=1时，P (1) = n(n 1)(P 2P + P ) 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导 矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。 ) ) 1) 将 P (0、 P (0及 P (、 P (1)代入曲率公式 k(t) = P (t)×P (t) ，可以得到Bezier P (t) 曲线在端点的曲率分别为：
P2 = (1 t)2 P + 2t(1 t)P + t 2 P 0 0 1 2
当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一 条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义 为分别由前两个顶点（P0 ，P1 ）和后两个顶点（P1 ，P2 ）决定 的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定
i=0 i=0 i=0 i=0
n
n
n
n
t ∈[0,1]
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处 也有相同的性质。
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（3）凸包性 0 ≤ B (t) ≤1(0 ≤ t ≤1, i = 0,1,L, n) 由于 ∑B (t) ≡1 ，且 ，这一结果说明当t在 [0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的 加权平均，权因子依次是 B (t) 。在几何图形上，意味着Bezier 曲线P(t)在 t ∈[0,1] 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在 Pi构成的凸包之中，如图3.1.9所示。
" 2 1 0
"
n
n1
n2
'
"
'
"
'
"
'
3
k(0) =
n 1 (P P ) ×(P P) 2 1 1 0 3 n P P 1 0
k(1) =
n 1 (P 1 P 2 ) ×(P P 1) n n n n 3 n P P 1 n n
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