数学分析第一学期重点试题汇编

第一学期试题库

一、判断题(正确的记(V )，错误的记(X))：

1设f(x)在［a，b］上连续，M与m分别是f(x)的最大值和最

小值，则对于任何数c(m

乞c岂M )，均存在

［a，b］

，使

得( )

2、设f(x),g(x)在(a,b)

内可导，且

f(x)

，则

f '(x)

g '(x)。( )

3、设｛

X n｝的极限存在，

｛y

n

｝

的极限不存在，则

｛x

n

y

n｝的极限未必不

存在。

( )

4、如X = X。是函数f(

X)的一个极点，则

f

'(X o) = 0。( )

x cosx (x cosx)'

5、对于函数x

lim

，由于x厂X'

--lim (1 -sin x)

x「不存在，根据

洛必达法制，当X趋于无穷大时，x cosx

X的极限不存在。

( )

6 、无界数列必发散；( )

7、若对一；＞0，函数f在［a］上连续，则f在开区间(a，b)内

连续；( )

8、初等函数在有定义的点是可导的；

( )

9、f =；：，-，若函数「在点x0可导，‘在点x0不可导，则函数f在点x0

必不可导

；

( )

10、设函数f在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，但f(x)"(b)

7

贝y 对W x E (a,b) , 有f'(x)式0

( )

二、填空题：

1. 设E={x-[x]|x R},则supE = , inf E =；

sin ax, x 兰0,

f (x)=」|n(1 + x) + b, x > 0

lim (n ^2)6(2n-1)8

4、…C 2n2 1)10二_______________ ；

5、曲线y=xl nx的所有切线中，与直线x・2y-2 = 0垂直的切线

是_________ ；

. _____ dy =

6、y Tn(x J x2) , dx 一___________________________ ；

f x 也=

7、函数f(x)二阶可导，y =e f(x),则dx2一_______________________ ；

_x2

8、把函数f(x)

展开成具Pea no型余项的Maclaurin公式，

f(x)二____________________________ ；

三、计算题：

1、计算下列极限:

sin x — sin a 1

ym a lim (1 + 2x)x

(1) x >a x _ a ； (2) x >0、'

2、计算下列导数：

(1) f (x) - x21-1 n(x 、x2T),求f (x);

求由方程x-acosj表示的函数的二阶导数

(2)y = a si n t

2 2 ~ — 1过其上点(X0 , y0 ) 厶4

2.「(5)=2,则设lim

x —-

5

f(X)- f (5)

■ x -、5

3.

3、求椭圆a2 b2处的切线方程;

7

4 、将边长为a 的正方形铁皮，在其四个角上各切掉一个大小相等的 小正方形，然后折起做成一个无盖的铁盒 •问铁盒上切掉多大的小正方 形，使得做成的铁盒容积最大？

6、计算下列极限:

7、计算下列导数：（10分）

5、描绘函数 f (x)=

(x-3)2

4(x -1)

的图像.

lim

(1)n ?二 n 2 • 1 _ ；n 2 -1 ；(2)

lim

x )a

In x -In a x - a

(a 0)

(1)

sin x - x cosx

cosx xsin x ，

求dy ；

(2)

f(X 0)= 0, f '(X 。)=3,求 lim

f(x ^2：x)

u 0

x = a(t -sint)

8、求摆线.y

=a(1

-

cost)在 2处的切线方程;

JI

t =-

、设函数

ta nax f(x) = «

x x+2,

x 0

x

-

在点x = 0处连续，求a 的值;

10、求函数 四、证明题：

3

2

f （x ）=2x -12x

4

在［-1,7］上的最大值与最小值.

1 a x

n 1

(x n * ), n

= 0,1,2

1、设 a A 0 ,{X n }满足：X 0 =0,

2

X n

证明:{Xn}收敛，并求

2 、 设

弘，*2

,

a

n

为实常数，证明：

在（0,二）内必有零点

f (x)二 a 1 cosx a 2 cos2x ■ 11( a n cosnx